安徽省合肥市蜀山區(qū)西苑中學(xué)2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)試題

合肥西苑中學(xué)2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期九年級(jí)期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的）1.下列函數(shù)一定是二次函數(shù)的是（）A. B. C. D.2.對(duì)于二次函數(shù)y＝3（x﹣2）2+1的圖象，下列說(shuō)法正確的是（）A.開(kāi)口向下 B.對(duì)稱軸直線x＝﹣2C.頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，1） D.與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)3.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)(－3，2)，(－1，)，(2，)都在反比例函數(shù)的圖象上，則與的大小關(guān)系為（）A.y1<2<y2 B.y1>2>y2 C.y1<y2<0 D.y1>y2>04.如圖，直線，直線a，b與直線分別交于點(diǎn)A，B，C和點(diǎn)D，E，F(xiàn)，若，，則的長(zhǎng)是（）A4 B.6 C.7 D.85.拋物線平移得到拋物線平移得到，平移方法是（）A.先向左平移3個(gè)單位，再向下平移5個(gè)單位 B.先向右平移3個(gè)單位，再向上平移5個(gè)單位C先向左平移3個(gè)單位，再向下平移14個(gè)單位 D.先向右平移3個(gè)單位，再向上平移14個(gè)單位6.如圖，平行四邊形中，E為上一點(diǎn)，交于點(diǎn)F．已知，則下列判斷錯(cuò)誤的是（）A.與的周長(zhǎng)比為B.與四邊形的面積比為C.若連接，則與不相似D.若題中條件“”改為“點(diǎn)E為邊的黃金分割點(diǎn)，”，則7.“直播帶貨”已經(jīng)成為一種熱門的銷售方式，某主播代銷某一品牌的電子產(chǎn)品（這里代銷指廠家先免費(fèi)提供貨源，待貨物銷售后再進(jìn)行結(jié)算，未售出的由廠家負(fù)責(zé)處理）．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)每件售價(jià)99元時(shí)，日銷售量為200件，當(dāng)每件電子產(chǎn)品每下降1元時(shí)，日銷售量會(huì)增加2件．已知每售出1件電子產(chǎn)品，該主播需支付廠家和其他費(fèi)用共50元，設(shè)每件電子產(chǎn)品售價(jià)為（元），主播每天的利潤(rùn)為（元），則與之間的函數(shù)解析式為（）A. B.C. D.8.如圖，已知在等腰中，，過(guò)點(diǎn)作，且，于點(diǎn)，連接，則的值是（）A.1 B. C. D.29.二次函數(shù)與一次函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中圖象可能是（）A B.C. D.10.如圖，矩形的邊長(zhǎng)，，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)在線段上，且，分別與、交于點(diǎn)M、N，則＝（）A. B. C. D.二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）11.若，則＝__________．12.鸚鵡螺曲線的每個(gè)半徑和后一個(gè)半徑的比都是黃金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如圖，P是的黃金分割點(diǎn)，若線段的長(zhǎng)為，則的長(zhǎng)為_(kāi)___．13.如圖，雙曲線經(jīng)過(guò)斜邊上的點(diǎn)，且滿足，與交于點(diǎn)，的面積為，則____．14.已知拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)為_(kāi)___________；（2）設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值與最小值之差和函數(shù)的最大值與最小值之差相等，則t的值為_(kāi)___________．三、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）15.已知線段a，b滿足，且．（1）求a，b，c的值．（2）若線段x是線段b，c的比例中項(xiàng)，求x．16.如圖，在中，，于D，（1）求證：；（2）若，，求的長(zhǎng)．四、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）17.已知拋物線中自變量和函數(shù)值的部分對(duì)應(yīng)值如表所示：x…012345…y…441428…（1）請(qǐng)直接寫出該拋物線的頂點(diǎn)；（2）請(qǐng)求出該拋物線的解析式；（3）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．18.已知函數(shù)．（1）求證：無(wú)論m為任何實(shí)數(shù)，此二次函數(shù)的圖象與x軸都有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；（2）若函數(shù)圖象不經(jīng)過(guò)第三象限，則m的取值范圍為_(kāi)_____．五、（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）19.如圖，用長(zhǎng)為的鋁合金材料做一個(gè)如圖所示的窗框，其中三個(gè)，（1）若，用含有x的式子表示的長(zhǎng)，并求出x的取值范圍；（2）求窗框的面積y關(guān)于x的解析式，并求出面積的最大值．20.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與反比例函數(shù)的圖象交于、兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，已知點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為和．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）直接寫出不等式的解集；（3）連接，求面積．六、（本大題共2小題，每小題12分，滿分24分）21.2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)8月6日單人10米決賽中，全紅嬋以425.60分的總分奪得第一獲得金牌，陳芋汐位列第二獲得銀牌．在精彩的比賽過(guò)程中，全紅嬋選擇了一個(gè)極具難度的（向后翻騰三周半抱膝）．如圖2所示，建立平面直角坐標(biāo)系．如果她從點(diǎn)起跳后的運(yùn)動(dòng)路線可以看作拋物線的一部分，從起跳到入水的過(guò)程中她的豎直高度y（單位：米）與水平距離x（單位：米）近似滿足函數(shù)關(guān)系式．水平距離3h44.5豎直高度1011.25106.25（1）在平時(shí)訓(xùn)練完成一次跳水動(dòng)作時(shí)，全紅嬋的水平距離x與豎直高度y的幾組數(shù)據(jù)如上；根據(jù)上述數(shù)據(jù)，直接寫出h的值為_(kāi)___________，直接寫出滿足的函數(shù)關(guān)系式：____________；（2）比賽當(dāng)天的某一次跳水中，全紅嬋的豎直高度y與水平距離x近似滿足函數(shù)關(guān)系：，記她平時(shí)訓(xùn)練的入水點(diǎn)的水平距離為；比賽當(dāng)天入水點(diǎn)的水平距離為，則____________（填，，）；（3）在（2）的情況下，全紅嬋起跳后到達(dá)最高點(diǎn)開(kāi)始計(jì)時(shí)，若點(diǎn)到水平面的距離為，則她到水面的距離與時(shí)間之間近似滿足，如果全紅嬋在達(dá)到最高點(diǎn)后需要1.5秒的時(shí)間才能完成極具難度的動(dòng)作，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明，她當(dāng)天的比賽能否成功完成？22.如圖，中，邊上的中線與的平分線交于F點(diǎn)，．（1）求證：；（2）求證：；（3）若，，求．八、（本題滿分14分）23.如圖1，已知直線與坐標(biāo)軸相交于A、B，點(diǎn)C坐標(biāo)是，拋物線經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)．點(diǎn)P是拋物線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線，與直線交于點(diǎn)D，與x軸相交于點(diǎn)F．（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，連接交于點(diǎn)E，連接，如圖2所示；①求的值；②設(shè)四邊形的面積為S，則點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中是否存在面積S的最大值，若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

合肥西苑中學(xué)2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期九年級(jí)期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的）1.下列函數(shù)一定是二次函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)的識(shí)別．解題的關(guān)鍵是掌握：形如（、、是常數(shù)，）的函數(shù)叫做二次函數(shù)，其中是自變量，、、分別是函數(shù)表達(dá)式的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)．據(jù)此解答即可．【詳解】解：A．該函數(shù)不是二次函數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；B．該函數(shù)是二次函數(shù)，故此選項(xiàng)符合題意；C．若，則該函數(shù)不二次函數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；D．該函數(shù)不是二次函數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：B．2.對(duì)于二次函數(shù)y＝3（x﹣2）2+1的圖象，下列說(shuō)法正確的是（）A.開(kāi)口向下 B.對(duì)稱軸是直線x＝﹣2C.頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，1） D.與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)【答案】C【解析】【分析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)A、B、C進(jìn)行判斷；利用3（x﹣2）2+1＝0的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)對(duì)D進(jìn)行判斷．【詳解】解：二次函數(shù)y＝3（x﹣2）2+1的圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為直線x＝2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1），當(dāng)y＝0時(shí)，3（x﹣2）2+1＝0，整理得：，此方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解，所以拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．3.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)(－3，2)，(－1，)，(2，)都在反比例函數(shù)的圖象上，則與的大小關(guān)系為（）A.y1<2<y2 B.y1>2>y2 C.y1<y2<0 D.y1>y2>0【答案】B【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)（-3，2）在反比例函數(shù)的圖象上，求得k=-6＜0，即可得到反比例函數(shù)的圖象在二、四象限，根據(jù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可判斷y1與y2的大?。驹斀狻拷猓骸唿c(diǎn)（-3，2）在反比例函數(shù)的圖象上，∴k=-3×2=-6，∴反比例函數(shù)的圖象在二、四象限，且在每個(gè)象限y隨x的增大而增大，∵點(diǎn)（-3，2），（-1，y1），（2，y2）都在反比例函數(shù)的圖象上，∴點(diǎn)（-3，2），（-1，y1）在第二象限，點(diǎn)（2，y2）在第四象限，∴y1＞2＞y2，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；用到的知識(shí)點(diǎn)為：反比例函數(shù)的比例系數(shù)小于0，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大．4.如圖，直線，直線a，b與直線分別交于點(diǎn)A，B，C和點(diǎn)D，E，F(xiàn)，若，，則的長(zhǎng)是（）A.4 B.6 C.7 D.8【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到，據(jù)此代值計(jì)算即可．【詳解】解：∵，∴，∴，故選：B．5.拋物線平移得到拋物線平移得到，平移方法是（）A.先向左平移3個(gè)單位，再向下平移5個(gè)單位 B.先向右平移3個(gè)單位，再向上平移5個(gè)單位C.先向左平移3個(gè)單位，再向下平移14個(gè)單位 D.先向右平移3個(gè)單位，再向上平移14個(gè)單位【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的平移．熟練掌握函數(shù)平移規(guī)律，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．把化為頂點(diǎn)式，根據(jù)平移規(guī)律“左減右加，下減上加”即得．【詳解】∵平移后的拋物線為，∴拋物線向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移14個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線．故選：C．6.如圖，平行四邊形中，E為上一點(diǎn)，交于點(diǎn)F．已知，則下列判斷錯(cuò)誤的是（）A.與的周長(zhǎng)比為B.與四邊形的面積比為C.若連接，則與不相似D.若題中條件“”改為“點(diǎn)E為邊的黃金分割點(diǎn)，”，則【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，從而可得，再利用平行線的性質(zhì)可得，從而可得，進(jìn)而利用相似三角形的性質(zhì)即可判斷A；然后利用相似三角形的性可得，從而可得的面積：的面積，再設(shè)的面積為，則的面積為，從而可得的面積，進(jìn)而可得的面積，再利用平行四邊形的性質(zhì)可得，，從而利用證明，進(jìn)而可得的面積的面積，再利用面積的和差關(guān)系可得四邊形的面積，從而可得的面積：四邊形的面積比，即可判斷B；再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，從而可得和不一定相似，即可判斷C；最后根據(jù)黃金分割的定義可得，從而可得，再利用相似三角形的性質(zhì)可得，從而進(jìn)行計(jì)算即可判斷D，即可解答．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴與的周長(zhǎng)比為；與的面積比為；故A不符合題意；∵，∴，∴的面積：的面積，設(shè)的面積為，則的面積為，∴的面積，∴的面積的面積的面積，∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，∴的面積的面積，∴四邊形的面積的面積的面積，∴的面積：四邊形的面積比，故B不符合題意；連接，如圖：∵，∴，∵，∴和不一定相似，故C符合題意；∵點(diǎn)E為邊的黃金分割點(diǎn)，，∴，∴，∵，∴，∴，故D不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，黃金分割以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，以及平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7.“直播帶貨”已經(jīng)成為一種熱門的銷售方式，某主播代銷某一品牌的電子產(chǎn)品（這里代銷指廠家先免費(fèi)提供貨源，待貨物銷售后再進(jìn)行結(jié)算，未售出的由廠家負(fù)責(zé)處理）．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)每件售價(jià)99元時(shí)，日銷售量為200件，當(dāng)每件電子產(chǎn)品每下降1元時(shí)，日銷售量會(huì)增加2件．已知每售出1件電子產(chǎn)品，該主播需支付廠家和其他費(fèi)用共50元，設(shè)每件電子產(chǎn)品售價(jià)為（元），主播每天的利潤(rùn)為（元），則與之間的函數(shù)解析式為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用（降價(jià)促銷問(wèn)題），理清“每件利潤(rùn)實(shí)際售價(jià)成本價(jià)，銷售量原銷售量變化量，總利潤(rùn)每件利潤(rùn)數(shù)量”是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：解：設(shè)每件電子產(chǎn)品售價(jià)為元，主播每天的利潤(rùn)為元，則每件盈利元，每天可銷售件，根據(jù)題意得：，故選C．8.如圖，已知在等腰中，，過(guò)點(diǎn)作，且，于點(diǎn)，連接，則的值是（）A.1 B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】在線段CE上取點(diǎn)，使，連接．由平行線的性質(zhì)得，，進(jìn)而證明，得，，從而證是等腰直角三角形，利用勾股定理得，代入即可得解．【詳解】解：在線段CE上取點(diǎn)，使，連接．∵，∴，，∵AC⊥DE，∴，∴．∵，，∴，∴，，∴，∴是等腰直角三角形，∴∴故應(yīng)選∶．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，勾股定理及比例，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基本性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形形．9.二次函數(shù)與一次函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與一次函數(shù)圖象的綜合，函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)a、b的正負(fù)確定一次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)的象限．先判斷出一次函數(shù)圖象與二次函數(shù)的對(duì)稱軸交于軸同一點(diǎn)，再進(jìn)行逐一分析，根據(jù)二次函數(shù)圖象的開(kāi)口以及對(duì)稱軸與y軸的關(guān)系即可得出a、b的正負(fù)，由此即可得出一次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)的象限，再與函數(shù)圖象進(jìn)行對(duì)比即可求解．【詳解】解：二次函數(shù)對(duì)稱軸為：直線，令，則，解得，∴一次函數(shù)圖象與二次函數(shù)的對(duì)稱軸交于軸同一點(diǎn)，A．∵二次函數(shù)開(kāi)口向上，對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，∴，，∴一次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)第一、三、四象限，故本選項(xiàng)不符合題意；B．∵二次函數(shù)開(kāi)口向上，對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，∴，，∴一次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，但一次函數(shù)圖象不與二次函數(shù)的對(duì)稱軸交于軸同一點(diǎn)，故本選項(xiàng)不符合題意；C．∵二次函數(shù)開(kāi)口向下，對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，∴，，∴一次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)第二、三、四象限，且一次函數(shù)圖象與二次函數(shù)的對(duì)稱軸交于軸同一點(diǎn)，故本選項(xiàng)符合題意；D．∵二次函數(shù)開(kāi)口向下，對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，∴，，∴一次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)第二、三、四象限，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．10.如圖，矩形的邊長(zhǎng)，，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)在線段上，且，分別與、交于點(diǎn)M、N，則＝（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，比例的性質(zhì)，先作輔助線，然后根據(jù)勾股定理求出的值，然后根據(jù)三角形相似可求得線段之間的比例，進(jìn)而求得結(jié)果，準(zhǔn)確作出輔助線，求出與的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：過(guò)F作于H，交于O，如圖所示：，∵，E為的中點(diǎn)，∴，∵，，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴,∵，∴，∴，∴，∴，故選：C．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）11.若，則＝__________．【答案】【解析】【分析】設(shè)a=3k，b=2k，將a，b代入即可求解．【詳解】解：∵，∴設(shè)a=3k，b=2k，將a=3k，b=2k代入，得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了比例的基本性質(zhì)，把a(bǔ)，b換元是解本題的關(guān)鍵．12.鸚鵡螺曲線的每個(gè)半徑和后一個(gè)半徑的比都是黃金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如圖，P是的黃金分割點(diǎn)，若線段的長(zhǎng)為，則的長(zhǎng)為_(kāi)___．【答案】【解析】【分析】本題考查了黃金分割．熟練掌握黃金分割是解題的關(guān)鍵．由題意得，，即，計(jì)算求解即可．【詳解】解：∵P是的黃金分割點(diǎn)，，∴，即，解得，，故答案為：．13.如圖，雙曲線經(jīng)過(guò)斜邊上的點(diǎn)，且滿足，與交于點(diǎn)，的面積為，則____．【答案】##0.5【解析】【分析】過(guò)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，可得△AOE∽△BOC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，然后根據(jù)反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義可得，求出，再根據(jù)得出方程，求出k的值即可．【詳解】解：過(guò)A作AE⊥x軸，垂足為E，則∠AEO＝∠BCO＝90°，∵，∴，∵∠AOE＝∠BOC，∴△AOE∽△BOC，∴，∵點(diǎn)A，D分別在雙曲線上，∴，∴，∵，∴，∴k＝，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，相似三角形的判定和性質(zhì)，能靈活運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)得出三角形面積之間的關(guān)系是解此題的關(guān)鍵．14.已知拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)為_(kāi)___________；（2）設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值與最小值之差和函數(shù)的最大值與最小值之差相等，則t的值為_(kāi)___________．【答案】①.②.或【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合問(wèn)題，熟練掌握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求解；（2）分情況討論，即可求解；【詳解】解：（1）將代入，得，即①，將代入，得，即②，聯(lián)立兩個(gè)式子，解得：，，當(dāng)時(shí)，，，故答案為：（2）將，代入，得，解得：，，，時(shí)，有最小值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大者與最小值的差和函數(shù)的最大值與最小值之差相等，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，的最大值與最小值之差為，的最大值與最小值之差為故解得：（舍去）或當(dāng)時(shí)，的最大值與最小值之差為，的最大值與最小值之差為，，解得：或（舍去）當(dāng)時(shí)，的最大值與最小值之差為，的最大值與最小值之差為，故，即，故不滿足題意，當(dāng)時(shí)，的最大值與最小值之差為，的最大值與最小值之差為，即，不符合題意綜上所述，的值為或，故答案為：或三、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）15.已知線段a，b滿足，且．（1）求a，b，c的值．（2）若線段x是線段b，c的比例中項(xiàng)，求x．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查比例性質(zhì)，比例中項(xiàng)，熟練掌握比例的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵：（1）設(shè)，得到，根據(jù)，求出的值，即可；（2）根據(jù)比例中項(xiàng)的定義，進(jìn)行求解即可．【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)，則：，∴，∴，∴；【小問(wèn)2詳解】∵線段x是線段b，c的比例中項(xiàng)，∴，且，∴．16.如圖，在中，，于D，（1）求證：；（2）若，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】此題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．（1）首先根據(jù)題意證明出，然后利用相似三角形的性質(zhì)證明即可；（2）首先根據(jù)勾股定理求出，然后利用等面積法求解即可．小問(wèn)1詳解】證明：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴．【小問(wèn)2詳解】解：∵，，；∴；∴；∴；解得：．四、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）17.已知拋物線中自變量和函數(shù)值的部分對(duì)應(yīng)值如表所示：x…012345…y…441428…（1）請(qǐng)直接寫出該拋物線的頂點(diǎn)；（2）請(qǐng)求出該拋物線的解析式；（3）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，（1）根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，觀察自變量量和函數(shù)值的部分對(duì)應(yīng)值即可確定拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；（3）求出當(dāng)和時(shí)，的對(duì)應(yīng)值，結(jié)合拋物線的性質(zhì)即可求出的取值范圍．【小問(wèn)1詳解】解：根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，由自變量和函數(shù)值的對(duì)應(yīng)值可以確定拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，故答案為：；【小問(wèn)2詳解】由圖表得，，；，；，，代入得：，解得，拋物線的解析式為；【小問(wèn)3詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，又當(dāng)時(shí)，得最小值為，得取值范圍為：．18.已知函數(shù)．（1）求證：無(wú)論m為任何實(shí)數(shù)，此二次函數(shù)的圖象與x軸都有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；（2）若函數(shù)圖象不經(jīng)過(guò)第三象限，則m的取值范圍為_(kāi)_____．【答案】（1）見(jiàn)詳解（2）【解析】【分析】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)可進(jìn)行求解；（2）由（1）可知二次函數(shù)的圖象與x軸始終有2個(gè)不同的交點(diǎn)，且該圖象不經(jīng)過(guò)第三象限，然后可列不等式組進(jìn)行求解．【小問(wèn)1詳解】解：由題意得：，∵，∴，∴無(wú)論m為任何實(shí)數(shù)，此二次函數(shù)的圖象與x軸都有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；【小問(wèn)2詳解】解：由（1）可知：二次函數(shù)的圖象與x軸始終有2個(gè)不同的交點(diǎn)，且該圖象不經(jīng)過(guò)第三象限，∴，解得：；故答案為．五、（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）19.如圖，用長(zhǎng)為的鋁合金材料做一個(gè)如圖所示的窗框，其中三個(gè)，（1）若，用含有x的式子表示的長(zhǎng)，并求出x的取值范圍；（2）求窗框的面積y關(guān)于x的解析式，并求出面積的最大值．【答案】（1），（2），最大面積為【解析】【分析】本題考查了列代數(shù)式，一元一次不等式的應(yīng)用，二次函數(shù)的應(yīng)用；（1）設(shè)，根據(jù)得出，，進(jìn)而得出，根據(jù)窗框的周長(zhǎng)為得出，進(jìn)而求得的取值范圍；（2）根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)，即可求解．【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)，∵∴，∵則，即∴∴，∵窗框的周長(zhǎng)為∴∴∵∴∴，【小問(wèn)2詳解】解：依題意，∴當(dāng)時(shí)，取得最大值20.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與反比例函數(shù)的圖象交于、兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，已知點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為和．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）直接寫出不等式的解集；（3）連接，求面積．【答案】（1）（2）或（3）【解析】【分析】本題考查了反比例函數(shù)解析式，反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合．熟練掌握反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合是解題的關(guān)鍵．（1）把點(diǎn)代入，解得，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，然后由反比例函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，求反比例函數(shù)即可；（2）把點(diǎn)代入直線，解得，即，根據(jù)不等式的解集為一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象的上方所對(duì)應(yīng)的的取值范圍，結(jié)合圖象作答即可；（3）根據(jù)三角形面積公式，即可求解．【小問(wèn)1詳解】解：把點(diǎn)代入得，，解得：，點(diǎn)的坐標(biāo)為：，反比例函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，∴，∴反比例函數(shù)的解析式為；【小問(wèn)2詳解】解：把點(diǎn)代入直線得，，解得，∴，由函數(shù)圖象可知：當(dāng)或時(shí)，一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象的上方，不等式的解集為或．【小問(wèn)3詳解】連接，如圖所示，∵直線與軸相交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，∴∴∴．六、（本大題共2小題，每小題12分，滿分24分）21.2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)8月6日單人10米決賽中，全紅嬋以425.60分的總分奪得第一獲得金牌，陳芋汐位列第二獲得銀牌．在精彩的比賽過(guò)程中，全紅嬋選擇了一個(gè)極具難度的（向后翻騰三周半抱膝）．如圖2所示，建立平面直角坐標(biāo)系．如果她從點(diǎn)起跳后的運(yùn)動(dòng)路線可以看作拋物線的一部分，從起跳到入水的過(guò)程中她的豎直高度y（單位：米）與水平距離x（單位：米）近似滿足函數(shù)關(guān)系式．水平距離3h44.5豎直高度1011.25106.25（1）在平時(shí)訓(xùn)練完成一次跳水動(dòng)作時(shí)，全紅嬋的水平距離x與豎直高度y的幾組數(shù)據(jù)如上；根據(jù)上述數(shù)據(jù)，直接寫出h的值為_(kāi)___________，直接寫出滿足的函數(shù)關(guān)系式：____________；（2）比賽當(dāng)天的某一次跳水中，全紅嬋的豎直高度y與水平距離x近似滿足函數(shù)關(guān)系：，記她平時(shí)訓(xùn)練的入水點(diǎn)的水平距離為；比賽當(dāng)天入水點(diǎn)的水平距離為，則____________（填，，）；（3）在（2）的情況下，全紅嬋起跳后到達(dá)最高點(diǎn)開(kāi)始計(jì)時(shí)，若點(diǎn)到水平面的距離為，則她到水面的距離與時(shí)間之間近似滿足，如果全紅嬋在達(dá)到最高點(diǎn)后需要1.5秒的時(shí)間才能完成極具難度的動(dòng)作，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明，她當(dāng)天的比賽能否成功完成？【答案】（1）3.5，（2）<（3）她當(dāng)天的比賽能成功完成【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出解析式，即可．（2）分別求出兩個(gè)解析式，當(dāng)時(shí)，的值，進(jìn)行比較即可．（3）先求出的值，再求出時(shí)的值，進(jìn)行判斷即可．【小問(wèn)1詳解】解：由表格可知，圖象過(guò)點(diǎn)，，，，解得：，．故答案：3.5，．【小問(wèn)2詳解】解：∵，當(dāng)時(shí)：，解得：或(不合題意，舍去)；．，當(dāng)時(shí)：，解得：或（不合題意，舍去），，．故答案為：<．【小問(wèn)3詳解】解：，，，，當(dāng)時(shí)，即她在水面上能夠完成此動(dòng)作，∴她當(dāng)天的比賽能成功完成此動(dòng)作．【點(diǎn)晴】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，用待定系數(shù)