期中檢測(cè)模擬試卷02-2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試好題匯編(人教A版2019選擇性)

2021–2022學(xué)年上學(xué)期期中模擬測(cè)試卷02高二數(shù)學(xué)（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個(gè)小題紿岀的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．雙曲線的漸近線方程是（）A．y=4x B． C．y=±2x D．【答案】C【分析】直接由雙曲線方程求解漸近線方程即可.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，即，故選：C2．已知點(diǎn)在圓的內(nèi)部，則（）A． B．C． D．【答案】D【分析】由點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，由此可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在圓的內(nèi)部，則，解得.故選：D.3．已知向量，．若向量與向量平行，則實(shí)數(shù)m的值是（）A．2 B．2 C．10 D．10【答案】A【分析】利用向量共線定理即可得到，再進(jìn)行向量坐標(biāo)化，由向量相等得到參數(shù)值.【詳解】向量，，，向量與向量，，平行，存在實(shí)數(shù)使得，坐標(biāo)化得到：，解得．故選：A．4．已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)P，使∠F1PF2=90°，則橢圓的離心率e的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】如圖，橢圓上存在點(diǎn)P，使得PF1⊥PF2，化為，即可得出橢圓的離心率的范圍.【詳解】若橢圓上存在點(diǎn)P，使得PF1⊥PF2，則以原點(diǎn)為圓心，F(xiàn)1F2為直徑的圓與橢圓必有交點(diǎn)，如圖，可得，即c2≥b2，所以2c2≥a2，即e2≥，又e<1，所以e∈．故選：B5．已知直線過拋物線：的焦點(diǎn)，并交拋物線于，兩點(diǎn)，，則弦中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是（）A． B． C． D．1【答案】C【分析】過點(diǎn)作拋物線準(zhǔn)線的垂線，則由拋物線的定義結(jié)合梯形中位線定理可求得結(jié)果【詳解】如圖，由題意可得拋物線的準(zhǔn)線的方程為，過點(diǎn)作拋物線準(zhǔn)線的垂線于，過分別作于點(diǎn)，于點(diǎn)，則，因?yàn)橄业闹悬c(diǎn)為，所以，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，故選：C6．如圖,在平行六面體中,點(diǎn)分別為棱,中點(diǎn),若平行六面體的各棱長均相等,給出下列說法:①∥;②∥;③∥平面;④∥平面,則以上正確說法的個(gè)數(shù)為()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】連接PM，易得為平行四邊形，故①正確．顯然與為異面直線．故②錯(cuò)誤．由①知∥．由于即在平面內(nèi)，又在平面內(nèi)．故③④正確【詳解】連接PM，因?yàn)镸、P為AB、CD的中點(diǎn)，故PM平行且等于AD．由題意知AD平行且等于．故PM平行且等于．所以為平行四邊形，故①正確．顯然與為異面直線．故②錯(cuò)誤．由①知∥．由于即在平面內(nèi)，又在平面內(nèi)．且即不在在平面內(nèi)，又不在平面內(nèi)．故③④正確【點(diǎn)睛】本題主要考察線面平行的判斷．其中通過證明平行四邊形得到線線平行為關(guān)鍵．7．已知在菱形中，，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，點(diǎn)F為的中點(diǎn)，將菱形沿翻折，使平面平面，則異面直線和所成角的余弦值為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量求解.【詳解】由題意可知，在菱形，和都是等邊三角形，連結(jié)，交于點(diǎn)O，則，，菱形沿翻折后，平面平面，易得，所以，，兩兩垂直，所以以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，，，，所以，，設(shè)異面直線和所成角為，則.故選：B.8．已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)M是雙曲線右支上一點(diǎn)，滿足，點(diǎn)N是F1F2線段上一點(diǎn)，滿足．現(xiàn)將△MF1F2沿MN折成直二面角，若使折疊后點(diǎn)F1，F(xiàn)2距離最小，則為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知條件及雙曲線的定義可得，，將△MF1F2沿MN折成直二面角后，過作，應(yīng)用直角三角形邊角關(guān)系、余弦定理及勾股定理求最小時(shí)的大小，進(jìn)而求值.【詳解】∵，，∴，，將△MF1F2沿MN折成直二面角，過作，易知面，設(shè)，在中有，，∴在△中，，有，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立.∴F1，F(xiàn)2距離最小時(shí)，為角平分線，故，可得.故選：B二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9．以下四個(gè)命題表述正確的是（）A．直線恒過定點(diǎn)B．圓上有且僅有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離都等于1C．曲線與曲線恰有三條公切線，則D．已知圓，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)向圓引兩條切線，，，為切點(diǎn)，則直線經(jīng)過定點(diǎn)【答案】BCD【分析】由過定點(diǎn)的直線系方程判斷A，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系與點(diǎn)到直線的距離判斷B，由圓與圓的位置關(guān)系判斷C，引入?yún)?shù)，求直線AB的方程，求直線所過定點(diǎn).【詳解】由，得，聯(lián)立，解得，直線恒過定點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；圓心到直線的距離等于1，直線與圓相交，而圓的半徑為2，故到直線距離為1的兩條直線，一條與圓相切，一條與圓相交，因此圓上有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1，故B正確；兩圓有三條公切線，則兩圓外切，曲線化為標(biāo)準(zhǔn)式，曲線化為標(biāo)準(zhǔn)式，圓心距為，解得，故C正確；設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，以為直徑的圓的方程為，兩圓的方程作差得直線的方程為：，消去得，，令，，解得，，故直線經(jīng)過定點(diǎn)，，故D正確．故選：BCD．10．在棱長為1的正方體中，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)（包含線段的端點(diǎn)），點(diǎn)，分別為線段，的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)，，，四點(diǎn)共面B．異面直線與的距離為C．三棱錐的體積為定值D．不存在點(diǎn)，使得【答案】AC【分析】對(duì)于A，借助空間向量判斷共面即可；對(duì)于B，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求距離即可判斷；對(duì)于C，證明直線A1C//平面DMN即可判斷；對(duì)于D，利用空間直角坐標(biāo)系中向量坐標(biāo)運(yùn)算即可判斷作答.【詳解】在棱長為1的正方體中，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，如圖，對(duì)于A，因，則，共面，且它們有公共點(diǎn)A，點(diǎn)，，，四點(diǎn)共面，A正確；對(duì)于B，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，A1(1，0，1)，，設(shè)與都垂直的向量，因此，，令，得，則異面直線與的距離，B不正確；對(duì)于C，因點(diǎn)，分別為線段，的中點(diǎn)，則，平面DMN，平面DMN，于是得平面DMN，因此，上任意點(diǎn)P到平面DMN的距離都相等，而點(diǎn)D，M，N都是定點(diǎn)，即面積是定值，則三棱錐的體積為定值，C正確；對(duì)于D，令，，則，而，于是得，當(dāng)時(shí)，，即，因此當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，，D不正確.故選：AC11．一般地，我們把離心率為的橢圓稱為“黃金橢圓”．則下列命題正確的有（）A．若是“黃金橢圓”，則；B．若，且點(diǎn)在以，為焦點(diǎn)的“黃金橢圓”上，則的周長為；C．若是左焦點(diǎn)，，分別是右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，則；D．設(shè)焦點(diǎn)在軸上的“黃金橢圓”左右頂點(diǎn)分別為，，“黃金橢圓”上動(dòng)點(diǎn)（異于，），設(shè)直線，的斜率分別為，，則.【答案】BCD【分析】利用橢圓的焦點(diǎn)的位置可判斷A；利用、可得，再利用橢圓定義可得的周長可判斷B；利用的關(guān)系，可得、、，再利用勾股定理可判斷C；設(shè)，，，利用和可判斷D.【詳解】對(duì)于A，由于沒有說明橢圓的焦點(diǎn)在x軸還是y軸，所以應(yīng)該有兩個(gè)，故錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，，所以，且點(diǎn)在以，為焦點(diǎn)的“黃金橢圓”上，則的周長為，故正確；對(duì)于C，是左焦點(diǎn)，，分別是右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，由于橢圓為“黃金橢圓”，所以離心率為，即，所以，，，，即，所以，即，故正確；對(duì)于D，設(shè)，，，則，，所以，因?yàn)樵跈E圓上，所以，即，所以，因?yàn)闄E圓為“黃金橢圓”，所以離心率為，得，又，所以，，所以，故正確.故選：BCD.12．如圖，已知橢圓，過拋物線焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，連接并延長分別交于兩點(diǎn)，連接，與的面積分別記為，則在下列結(jié)論中正確的為（）A．若記直線的斜率分別為，則的大小是定值B．的面積是定值C．設(shè)，則D．為定值【答案】BC【分析】設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系和斜率公式判斷A；設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程組，求出，坐標(biāo)，計(jì)算點(diǎn)到的距離，代入面積公式化簡判斷B，聯(lián)立方程組，求出，坐標(biāo)，用表示出的面積，利用基本不等式即可判斷C，根據(jù)，坐標(biāo)和距離公式判斷D.【詳解】A，由題意，，設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立方程組，得，所以，得，所以，故A錯(cuò)誤；B，設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，聯(lián)立方程組，得，不妨設(shè)點(diǎn)在第三象限，則，可得，所以點(diǎn)到的距離，又，所以，故B正確；C，聯(lián)立方程組，可得，故，所以，可得，所以到直線的距離，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).所以，故C正確；D，又，，所以，故D錯(cuò)誤；故選：BC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分.13．已知圓與軸交于點(diǎn)、，過圓上動(dòng)點(diǎn)(不與、重合)作圓的切線，過點(diǎn)、分別作軸的垂線，與切線分別交于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，則點(diǎn)的軌跡方程為_______【答案】【分析】相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程：設(shè)，先根據(jù)條件，求出，兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再聯(lián)立直線和求出交點(diǎn)，根據(jù)，兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，確定用，表示點(diǎn)的坐標(biāo)，再由點(diǎn)在圓上，列方程整理即可.【詳解】依題意作圖，有，，設(shè)()，.過點(diǎn)的圓的切線的方程為，所以，.聯(lián)立解得，所以點(diǎn).又點(diǎn)，關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，即，又點(diǎn)在圓上，所以，把代入整理得，，又，所以點(diǎn)的軌跡方程().故答案為：().14．如圖，在長方體中，，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)(包含線段端點(diǎn))，則下列結(jié)論正確的__________．①當(dāng)時(shí)，平面；②當(dāng)時(shí)，平面；③的最大值為；④的最小值為.【答案】①②【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則,,設(shè),.對(duì)于①，當(dāng)，即，解得，，設(shè)平面的法向量為，則由，解得，由于，所以平面成立.對(duì)于②，當(dāng)時(shí)，即，解得，由可知平面成立.對(duì)于③，設(shè)，即，解得，由，其分子化簡得，當(dāng)時(shí)，，故的最大值可以為鈍角，③錯(cuò)誤.對(duì)于④，根據(jù)③計(jì)算的數(shù)據(jù)，,，在對(duì)稱軸，即時(shí)取得最小值為，故④錯(cuò)誤.15．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過的直線交的右支于，兩點(diǎn)，且，，則的離心率為_________【答案】【分析】由題設(shè)知，令，易得，根據(jù)雙曲線的定義知、，又即可求雙曲線參數(shù)a與m的數(shù)量關(guān)系，在中應(yīng)用勾股定理構(gòu)造a、c的齊次方程即可求離心率.【詳解】由，知：，令，，則，∴中，，又且，∴，即，則，，故在中，，即，∴.故答案為：16．已知為拋物線的焦點(diǎn)，過作斜率為的直線和拋物線交于，兩點(diǎn)，延長，交拋物線于，兩點(diǎn)，直線的斜率為.若，則______.【答案】4【分析】設(shè)，，設(shè)過點(diǎn)作斜率為的直線方程為：，與拋物線聯(lián)立，由韋達(dá)定理可得，設(shè)，，則，，設(shè)，所在直線方程可得，，由此可得的值.【詳解】設(shè)過點(diǎn)作斜率為的直線方程為：，聯(lián)立方程，消去可得：，設(shè)，，∴，設(shè)，，則，同理，設(shè)所在的直線方程為，聯(lián)立方程，消去得：，∴，同理可得，則.故答案為：4.四、解答題：本題共6小題，共計(jì)70分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（10分）已知直線與直線的交點(diǎn)為P.（1）若直線l過點(diǎn)P，且點(diǎn)A(1,3)和點(diǎn)B(3,2)到直線l的距離相等，求直線l的方程；（2）若直線l1過點(diǎn)P且與x軸和y軸的正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)，△ABO的面積為，求直線l1的方程．【答案】（1）或；（2）.【分析】（1）由題可求，由題知直線l與直線AB平行或過AB的中點(diǎn)，即求；（2）可設(shè)直線方程的截距式，由題可得即求.【詳解】（1）由得，即，因?yàn)橹本€l過點(diǎn)P，且點(diǎn)A(1,3)和點(diǎn)B(3,2)到直線l的距離相等，∴直線l與直線AB平行或過AB的中點(diǎn)，當(dāng)直線l與直線AB平行時(shí)，直線l的方程為即，當(dāng)直線l過AB的中點(diǎn)時(shí)，直線l的方程為，故直線l的方程為或.（2）由題可設(shè)直線l1方程為，則，解得，故直線l1的方程為即.18.（12分）如圖，在四棱柱中，四邊形是一個(gè)邊長為2的菱形，.側(cè)棱平面，.（1）求二面角的余弦值；（2）設(shè)是的中點(diǎn)，在線段上是否存在一點(diǎn)使得平面PDB？若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）；（2）存在，.【分析】（1）設(shè)是的中點(diǎn)，易得平面，平面，則以，，方向建立空間直角坐標(biāo)系，顯然平面的一個(gè)法向量是，再求解平面的一個(gè)法向量，設(shè)二面角的平面角為，由求解；（2）法一：連接AC，BD相交于點(diǎn)O，連接EC，設(shè)N是EC的中點(diǎn)，再連接ON，由中位線得到，連接并延長交于點(diǎn)，滿足平面PDB，在中，利用平面幾何知識(shí)求解；法二：利用空間向量法，設(shè)，求得平面的一個(gè)法向量，根據(jù)平面，由求解.【詳解】（1）由題意，是正三角形，設(shè)是的中點(diǎn)，則，所以，又平面，平面.如圖1，以，，方向建立空間直角坐標(biāo)系：則，，，，顯然，平面的一個(gè)法向量是，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得，設(shè)二面角的平面角為，則.（2）在線段上存在點(diǎn)使得平面，此時(shí).論證如下：如圖2甲連接AC，BD相交于點(diǎn)O，連接EC，設(shè)N是EC的中點(diǎn)，再連接ON，又菱形ABCD中，點(diǎn)O是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，由中位線知：，連接并延長交于點(diǎn)，連接，因?yàn)槠矫鍼DB，平面PDB，所以平面PDB.如圖乙，在中，作交BP于點(diǎn)F，因?yàn)镋是的中點(diǎn)，所以由中位線關(guān)系得：，①又由可得：與相似，又N是EC的中點(diǎn)，所以，結(jié)合①知：，從而可得.法二：利用空間向量法，設(shè)，即有，因?yàn)?，，所以，又，，于是，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得，因?yàn)椋闹悬c(diǎn)為，所以，因?yàn)槠矫?，所以，即，解得，即線段上存在點(diǎn)使得平面，此時(shí).19.（12分）已知拋物線的準(zhǔn)線為，M，N為直線上的兩點(diǎn)，M，N兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為8，P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，，分別交拋物線于A、B兩點(diǎn).（1）求拋物線E方程；（2）問直線是否過定點(diǎn)，請(qǐng)求出此定點(diǎn)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由【答案】（1）；（2）過定點(diǎn).【分析】（1）由準(zhǔn)線方程求出p，進(jìn)而得到拋物線方程；（2）設(shè)、、，以及直線：，將其代入到拋物線方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到：；根據(jù)P,A的坐標(biāo)得到直線PA的方程，再由點(diǎn)P在拋物線上將直線方程化簡，進(jìn)而求出，同理求出，然后根據(jù)求出的值，最后解出答案.【詳解】（1）由得，故拋物線方程.（2）設(shè)、、，直線方程為，代入拋物線方程化簡得，則，由直線的斜率則直線的方程：，又，即直線的方程：，令，得，同理，，整理得.則，即，，故直線的方程：，即直線過定點(diǎn).20.（12分）在四棱錐中，平面，，，，，是的中點(diǎn)，在線段上，且滿足.（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.（3）在線段上是否存在點(diǎn)，使得與平面所成角的正弦值是，若存在，求出的長；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）存在，.【分析】（1）取中點(diǎn)，進(jìn)而證明四邊形為平行四邊形，得到，進(jìn)而根據(jù)線面平行的判定定理即可得到答案；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，進(jìn)而通過空間向量的夾角公式即可得到答案；（3）設(shè),進(jìn)而通過空間向量線面角公式求出，進(jìn)而得到答案.【詳解】（1）如圖1，取中點(diǎn)，且，又∵，分別為，的中點(diǎn)，∴且，且，四邊形為平行四邊形，，平面，平面，平面.（2）因?yàn)镻D⊥平面ABCD，所以PD⊥DA，因?yàn)?45°，所以PD=DA，設(shè)，又因?yàn)锳B⊥AD，AB∥DC，所以DC⊥AD，如圖2，以為原點(diǎn)，，，所在方向分別是，，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，，由得，則，，，設(shè)平面的法向量為，由，令x=1，得：，設(shè)平面的法向量為，由，令b=1，得：，所以，由圖可知，平面與平面夾角為銳角，故平面與平面夾角的余弦值為.（3）設(shè)，，，，與平面所成角的正弦值為，整理得：，解得：，（舍）存在滿足條件的點(diǎn)，，則.21.（12分）．已知橢圓：的離心率為，橢圓的上頂點(diǎn)與拋物線：的焦點(diǎn)重合，且拋物線經(jīng)過點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）求橢圓和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線：與拋物線交于，兩點(diǎn)，與橢圓交于，兩點(diǎn)，若直線平分，四邊形能否為平行四邊形？若能，求實(shí)數(shù)的值；若不能，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）；；（2）四邊形不是平行四邊形，理由見解析.【分析】（1）由拋物線經(jīng)過點(diǎn)，可得拋物線方程為，其焦點(diǎn)為，可知，再利用橢圓的離心率即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線，的斜率分別為，，由已知得，設(shè)，，利用兩點(diǎn)求斜率公式求得直線：