1014概率的基本性質(zhì)精講

10.1.4概率的基本性質(zhì)(精講）目錄一、必備知識(shí)分層透析二、重點(diǎn)題型分類研究題型1:判斷事件的互斥關(guān)系題型2:利用互斥事件的概率公式求概率題型3:互斥事件與對(duì)立事件的辨析題型4:寫出某事件的對(duì)立事件題型5:利用對(duì)立事件的概率公式求概率三、高考（模擬）題體驗(yàn)一、必備知識(shí)分層透析知識(shí)點(diǎn)1：概率的基本性質(zhì)（性質(zhì)1、性質(zhì)2、性質(zhì)5）性質(zhì)1：對(duì)任意的事件，都有；性質(zhì)2：必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即，；性質(zhì)5：如果，那么，由該性質(zhì)可得，對(duì)于任意事件，因?yàn)?，所?知識(shí)點(diǎn)2：互斥事件的概率加法公式（性質(zhì)3）性質(zhì)3：如果事件與事件互斥，那么；注意：只有事件與事件互斥，才可以使用性質(zhì)3，否則不能使用該加法公式.知識(shí)點(diǎn)3：對(duì)立事件的概率（性質(zhì)4）性質(zhì)4：如果事件與事件互為對(duì)立事件，那么，；知識(shí)點(diǎn)4：概率的一般加法公式（性質(zhì)6）性質(zhì)6：設(shè)，是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，有二、重點(diǎn)題型分類研究題型1:判斷事件的互斥關(guān)系典型例題例題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）一批產(chǎn)品共7件，其中5件正品，2件次品，從中隨機(jī)抽取2件，下列兩個(gè)事件互斥的是（

）A．“恰有2件次品”和“恰有1件次品” B．“恰有1件次品”和“至少1件次品”C．“至多1件次品”和“恰有1件次品” D．“恰有1件正品”和“恰有1件次品”【答案】A【詳解】5件正品，2件次品，從中隨機(jī)抽取2件共有如下可能性結(jié)果：“兩件次品”，“一件正品一件次品”，“兩件正品”根據(jù)互斥事件可知：A正確；“至少1件次品”包含“兩件次品”和“一件正品一件次品”，B不正確；“至多1件次品”包含“一件正品一件次品”，“兩件正品”，C不正確；“恰有1件正品”和“恰有1件次品”是同一事件，D不正確；故選：A．例題2．（2022春·四川廣元·高二期末）從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球的袋內(nèi)任取2個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是（

）A．取出的球至少有1個(gè)紅球；取出的球都是紅球B．取出的球恰有1個(gè)紅球；取出的球恰有1個(gè)白球C．取出的球至少有1個(gè)紅球；取出的球都是白球D．取出的球恰有1個(gè)白球；取出的球恰有2個(gè)白球【答案】D【詳解】A答案中的兩個(gè)事件可以同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件B答案中的兩個(gè)事件可以同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件C答案中的兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生，但必有一個(gè)發(fā)生，既是互斥事件又是對(duì)立事件D答案中的兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生，也可以都不發(fā)生，故是互斥而不對(duì)立事件故選：D同類題型演練1．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）一盒子里有黑色、紅色、綠色的球各一個(gè)，現(xiàn)從中選出一個(gè)球.事件選出的球是紅色，事件選出的球是綠色.則事件與事件（）A．是互斥事件，不是對(duì)立事件 B．是對(duì)立事件，不是互斥事件C．既是互斥事件，也是對(duì)立事件 D．既不是互斥事件也不是對(duì)立事件【答案】A【詳解】由題意可知，事件與為互斥事件，但事件不是必然事件，所以，事件與事件是互斥事件，不是對(duì)立事件.故選：A.2．（2022秋·福建莆田·高二莆田第二十五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）袋中有紅球3個(gè)，白球2個(gè)，黑球1個(gè)，從中任取2個(gè)，則互斥的兩個(gè)事件是（

）A．至少有一個(gè)白球與都是白球B．恰有一個(gè)紅球與白、黑球各一個(gè)C．至少一個(gè)白球與至多有一個(gè)紅球D．至少有一個(gè)紅球與兩個(gè)白球【答案】BD【詳解】袋中裝有紅球3個(gè)、白球2個(gè)、黑球1個(gè)，從中任取2個(gè)，在A中，至少有一個(gè)白球和都是白球兩個(gè)事件能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故A不成立.在B中，恰有一個(gè)紅球和白、黑球各一個(gè)不能同時(shí)發(fā)生，是互斥事件，故B成立；在C中，至少一個(gè)白球與至多有一個(gè)紅球，能同時(shí)發(fā)生，故C不成立；在D中，至少有一個(gè)紅球與兩個(gè)白球兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生，是互斥事件，故D成立；故選：BD.題型2:利用互斥事件的概率公式求概率典型例題例題1．（2022春·新疆烏魯木齊·高一烏魯木齊101中學(xué)校考期末）已知，，如果，那么（

）A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3【答案】A【詳解】∵，∴，互斥，∴.故選：A.例題2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若隨機(jī)事件，互斥，，發(fā)生的概率均不等于0，且，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因隨機(jī)事件，互斥，則，依題意及概率的性質(zhì)得，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C例題3．（2022·全國·高一假期作業(yè)）袋中裝有除顏色外完全相同的黑球和白球共7個(gè)，其中白球3個(gè)，現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，取后不放回，直到兩人中有一人取到白球時(shí)終止.每個(gè)球在每一次被取出的機(jī)會(huì)是等可能的.（1）求取球2次即終止的概率；（2）求甲取到白球的概率.【答案】（1）；（2）【詳解】（1）設(shè)事件A為“取球2次即終止”.即甲第一次取到的是黑球而乙取到的是白球，借助樹狀圖求出相應(yīng)事件的樣本點(diǎn)數(shù)：因此，.（2）設(shè)事件B為“甲取到白球”，“第i次取到白球”為事件，因?yàn)榧紫热?，所以甲只可能在?次，第3次和第5次取到白球.借助樹狀圖求出相應(yīng)事件的樣本點(diǎn)數(shù)：所以.同類題型演練1．（多選）（2023·全國·高三專題練習(xí)）某籃球運(yùn)動(dòng)員在最近幾次參加的比賽中的投籃情況如下表：投籃次數(shù)投中兩分球的次數(shù)投中三分球的次數(shù)1005518記該籃球運(yùn)動(dòng)員在一次投籃中，投中兩分球?yàn)槭录嗀，投中三分球?yàn)槭录﨎，沒投中為事件C，用頻率估計(jì)概率的方法，得到的下述結(jié)論中，正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【詳解】依題意，，，顯然事件A，B互斥，，事件B，C互斥，則，于是得選項(xiàng)A，B，C都正確，選項(xiàng)D不正確.故選：ABC2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）甲乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率為，乙獲勝的概率為，則乙不輸?shù)母怕蕿開__________.【答案】##0.75##75%【詳解】解：乙不輸?shù)氖录瑑扇讼潞推寤蛞耀@勝故乙不輸?shù)母怕蕿楣蚀鸢笧椋?．（2022秋·山東濟(jì)寧·高二?？茧A段練習(xí)）有3個(gè)兩兩互斥的事件A，B，C，已知事件是必然事件，事件A發(fā)生的概率是事件B發(fā)生的概率的2倍，事件C發(fā)生的概率比事件B發(fā)生的概率大0.2.分別求事件A，B，C發(fā)生的概率.【答案】，，【詳解】設(shè)，則，.由題意知，解得.所以，，.題型3:互斥事件與對(duì)立事件的辨析典型例題例題1．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）從裝有2個(gè)白球和3個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取兩個(gè)球，那么下列事件中是互斥而不對(duì)立的事件是（

）A．“恰有兩個(gè)白球”與“恰有一個(gè)黑球”B．“至少有一個(gè)白球”與“至少有一個(gè)黑球”C．“都是白球”與“至少有一個(gè)黑球”D．“至少有一個(gè)黑球”與“都是黑球”【答案】A【詳解】對(duì)于A，事件：“恰有兩個(gè)白球”與事件：“恰有一個(gè)黑球”不能同時(shí)發(fā)生，但從口袋中任取兩個(gè)球時(shí)還有可能兩個(gè)都是黑球，∴兩個(gè)事件是互斥事件但不是對(duì)立事件，∴A正確；對(duì)于B，事件：“至少有一個(gè)黑球”與事件：“至少有一個(gè)白球”可以同時(shí)發(fā)生，如：一個(gè)白球一個(gè)黑球，∴這兩個(gè)事件不是互斥事件，∴B不正確；對(duì)于C.“都是白球”與“至少有一個(gè)黑球”不能同時(shí)發(fā)生，且對(duì)立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，“至少有一個(gè)黑球”與“都是黑球”可以同時(shí)發(fā)生，故不互斥.故選A.例題2．（2022春·陜西渭南·高一統(tǒng)考期末）書架上有2本數(shù)學(xué)書和2本語文書，從這4本書中任取2本，那么互斥但不對(duì)立的兩個(gè)事件是（

）A．“至少有1本數(shù)學(xué)書”和“都是語文書”B．“至少有1本數(shù)學(xué)書”和“至多有1本語文書”C．“恰有1本數(shù)學(xué)書”和“恰有2本數(shù)學(xué)書”D．“至多有1本數(shù)學(xué)書”和“都是語文書”【答案】C【詳解】對(duì)于A：“至少有1本數(shù)學(xué)書”和“都是語文書”是對(duì)立事件，故不滿足題意對(duì)于B：“至少有1本數(shù)學(xué)書”和“至多有1本語文書”可以同時(shí)發(fā)生，故不滿足題意對(duì)于C：“恰有1本數(shù)學(xué)書”和“恰有2本數(shù)學(xué)書”互斥但不對(duì)立，滿足題意對(duì)于D：“至多有1本數(shù)學(xué)書”和“都是語文書”可以同時(shí)發(fā)生，故不滿足題意故選：C例題3．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）一個(gè)射擊手進(jìn)行一次射擊，設(shè)事件表示“命中的環(huán)數(shù)大于7環(huán)”；事件表示“命中的環(huán)數(shù)為10環(huán)”；事件表示“命中的環(huán)數(shù)小于6環(huán)”；事件表示“命中的環(huán)數(shù)為6，7，8，9，10環(huán)”.判斷下列各對(duì)事件是不是互斥事件，是不是對(duì)立事件，并說明理由.（1）事件與；（2）事件與；（3）事件與.【答案】（1）不是互斥事件，也不是對(duì)立事件，理由見解析（2）是互斥事件，但不是對(duì)立事件，理由見解析（3）是互斥事件，也是對(duì)立事件.，理由見解析【詳解】（1）不是互斥事件,也不是對(duì)立事件.理由：事件A“命中的環(huán)數(shù)大于7環(huán)”包含事件B“命中的環(huán)數(shù)為10環(huán)”,當(dāng)一次射擊命中10環(huán)時(shí),二者能夠同時(shí)發(fā)生.（2）是互斥事件,但不是對(duì)立事件.理由：事件A“命中的環(huán)數(shù)大于7環(huán)”與事件C“命中的環(huán)數(shù)小于6環(huán)”不可能同時(shí)發(fā)生,但（I為全集）.（3）是互斥事件,也是對(duì)立事件.理由：事件C“命中的環(huán)數(shù)小于6環(huán)”與事件D“命中的環(huán)數(shù)為6,7,8,9,10環(huán)”不可能同時(shí)發(fā)生,且（I為全集）.同類題型演練1．（2022秋·湖北十堰·高二?？茧A段練習(xí)）2021年某省新高考將實(shí)行“”模式，即語文、數(shù)學(xué)、外語必選，物理、歷史二選一，政治、地理、化學(xué)、生物四選二，共有12種選課模式.某同學(xué)已選了物理，記事件：“他選擇政治和地理”，事件：“他選擇化學(xué)和地理”，則事件與事件（

）A．是互斥事件，不是對(duì)立事件 B．是對(duì)立事件，不是互斥事件C．既是互斥事件，也是對(duì)立事件 D．既不是互斥事件也不是對(duì)立事件【答案】A【詳解】事件與事件不能同時(shí)發(fā)生，是互斥事件他還可以選擇化學(xué)和政治，不是對(duì)立事件故答案選A2．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）拋擲一枚骰子1次,記“向上的點(diǎn)數(shù)是1,2”為事件A,“向上的點(diǎn)數(shù)是1,2,3”為事件B,“向上的點(diǎn)數(shù)是1,2,3,4”為事件C,“向上的點(diǎn)數(shù)是4,5,6”為事件D,則下列關(guān)于事件A，B，C，D判斷正確的有A．A與D是互斥事件但不是對(duì)立事件 B．B與D是互斥事件也是對(duì)立事件C．C與D是互斥事件 D．B與C不是對(duì)立事件也不是互斥事件【答案】ABD【詳解】拋擲一枚骰子1次,記“向上的點(diǎn)數(shù)是1,2”為事件A,“向上的點(diǎn)數(shù)是1,2,3”為事件B,“向上的點(diǎn)數(shù)是1,2,3,4”為事件C,“向上的點(diǎn)數(shù)是4,5,6”為事件D.事件A與D不能同時(shí)發(fā)生，但能同時(shí)不發(fā)生，是互斥事件但不是對(duì)立事件，故選項(xiàng)A正確；事件B與D不可能同時(shí)發(fā)生，且必有一個(gè)發(fā)生，故B與D是互斥事件，也是對(duì)立事件，故選項(xiàng)B正確；事件C與D可能同時(shí)發(fā)生，故不是互斥事件，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；事件B與C能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件也不是對(duì)立事件，故選項(xiàng)D正確.故選：ABD.3．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）對(duì)飛機(jī)連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈.設(shè)A＝{兩次都擊中飛機(jī)}，B＝{兩次都沒擊中飛機(jī)}，C＝{恰有一枚炮彈擊中飛機(jī)}，D＝{至少有一枚炮彈擊中飛機(jī)}，其中互為互斥事件的是__________；互為對(duì)立事件的是__________.【答案】

A與B、A與C，B與C、B與D

B與D.【詳解】解：由于事件A與B不可能同時(shí)發(fā)生，故A與B是互斥事件；同理可得，A與C，B與C、B與D也是互斥事件.綜上可得，A與B、A與C，B與C、B與D都是互斥事件.在上述互斥事件中，再根據(jù)B、D滿B∪D為必然事件，故B與D是對(duì)立事件，故答案為A與B、A與C，B與C、B與D；B與D.題型4:寫出某事件的對(duì)立事件典型例題例題1．（2022·高一單元測試）拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，下列事件與事件“至少一枚硬幣正面朝上”互為對(duì)立的是（

）A．至多一枚硬幣正面朝上 B．只有一枚硬幣正面朝上C．兩枚硬幣反面朝上 D．兩枚硬幣正面朝上【答案】C【詳解】由對(duì)立事件的概念知：“至少一枚硬幣正面朝上”的對(duì)立事件為“兩枚硬幣反面朝上”.故選：C.例題2．（多選）（2022·全國·高一專題練習(xí)）中任取兩數(shù)，下列事件是對(duì)立事件的是（）.A．至少有一個(gè)偶數(shù)和兩個(gè)數(shù)都是奇數(shù)B．至少有一個(gè)是奇數(shù)和兩個(gè)數(shù)都是奇數(shù)C．至少有一個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)數(shù)都是偶數(shù)D．至少有一個(gè)奇數(shù)和至少有一個(gè)偶數(shù)【答案】AC【詳解】從中任取兩數(shù),其中可能的情況有：“兩個(gè)奇數(shù)”，“兩個(gè)偶數(shù)”，“一個(gè)奇數(shù)與一個(gè)偶數(shù)”三種情況.對(duì)A選項(xiàng)：至少有一個(gè)偶數(shù)即包括“兩個(gè)偶數(shù)”，“一個(gè)奇數(shù)與一個(gè)偶數(shù)”兩種情況，與兩個(gè)數(shù)都是奇數(shù)是對(duì)立事件，故A選項(xiàng)正確；對(duì)B選項(xiàng)：至少有一個(gè)是奇數(shù)包括“兩個(gè)奇數(shù)”，“一個(gè)奇數(shù)與一個(gè)偶數(shù)”，所以至少有一個(gè)是奇數(shù)和兩個(gè)數(shù)都是奇數(shù)不是對(duì)立事件，故B選項(xiàng)不正確；對(duì)C選項(xiàng)：至少有一個(gè)奇數(shù)包括“兩個(gè)奇數(shù)”，“一個(gè)奇數(shù)與一個(gè)偶數(shù)”，與“兩個(gè)偶數(shù)”是對(duì)立事件，故C選項(xiàng)正確；對(duì)D選項(xiàng)：至少有一個(gè)奇數(shù)包括“兩個(gè)奇數(shù)”，“一個(gè)奇數(shù)與一個(gè)偶數(shù)”，至少有一個(gè)偶數(shù)包括“兩個(gè)偶數(shù)”，“一個(gè)奇數(shù)與一個(gè)偶數(shù)”，所以至少有一個(gè)奇數(shù)和至少有一個(gè)偶數(shù)不是對(duì)立事件，故D選項(xiàng)不正確；故選：AC例題3．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若某人在打靶時(shí)連續(xù)射擊2次，則事件“至少有1次中靶”的對(duì)立事件是______________．【答案】兩次都未中靶【詳解】由于兩個(gè)事件互為對(duì)立事件時(shí)，這兩件事不能同時(shí)發(fā)生，且這兩件事的和事件是一個(gè)必然事件，再由于一個(gè)人在打靶中，連續(xù)射擊2次，事件“至少有1次中靶”的反面為“2次都不中靶”，故事件“至少有1次中靶”的對(duì)立事件是“2次都未中靶”.故答案為：2次都未中靶.同類題型演練1．（2022·高一單元測試）一個(gè)人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，事件“兩次都中靶”的對(duì)立事件是A．至多有一次中靶 B．至少有一次中靶C．只有一次中靶 D．兩次都不中【答案】A【詳解】根據(jù)對(duì)立事件的定義可得，事件“兩次都中靶”的對(duì)立事件是：至多有一次中靶，故選A.2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）從裝有3個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取3個(gè)球，那么“至少有2個(gè)黑球”的對(duì)立事件是（

）A．至少有1個(gè)紅球 B．至少有1個(gè)黑球C．至多有1個(gè)黑球 D．至多2個(gè)紅球【答案】C【詳解】由題，由對(duì)立事件的定義，“至少有2個(gè)黑球”與“至多有1個(gè)黑球”對(duì)立，故選：C3．（2022春·河南許昌·高一統(tǒng)考期末）某學(xué)校計(jì)劃從3名男生和4名女生中任選4名參加七一征文比賽，記事件M為“至少3名女生參加”，則下列事件與事件M對(duì)立的是（

）A．恰有1名女生參加 B．至多有2名男生參加C．至少有2名男生參加 D．恰有2名女生參加【答案】C【詳解】至少3名女生的對(duì)立面是至多兩名女生．總共選4名，也即為至少2名男生，故選：C．題型5:利用對(duì)立事件的概率公式求概率典型例題例題1．（2023春·四川宜賓·高二?？奸_學(xué)考試）甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是，乙獲勝的概率是，則甲獲勝的概率是（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是，乙獲勝的概率是，記事件兩人下成和棋，事件乙獲勝，事件甲獲勝，則事件和事件為互斥事件，且事件與事件互為對(duì)立事件，所以，甲獲勝的概率為.故選：C.例題2．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知事件與互斥，它們都不發(fā)生的概率為，且，則______.【答案】##【詳解】因?yàn)槭录嗀、B互斥，，所以，又它們都不發(fā)生的概率為，所以，解得，所以.故答案為：.例題3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）從1~30這30個(gè)整數(shù)中隨機(jī)選擇一個(gè)數(shù)，設(shè)事件表示選到的數(shù)能被2整除，事件表示選到的數(shù)能被3整除．求下列事件的概率：(1)這個(gè)數(shù)既能被2整除也能被3整除；(2)這個(gè)數(shù)能被2整除或能被3整除；(3)這個(gè)數(shù)既不能被2整除也不能被3整除．【答案】(1)(2)(3)（1）1~30這30個(gè)整數(shù)中既能被2整除也能被3整除的有5個(gè)，∴；（2）1~30這30個(gè)整數(shù)中能被2整除的有15個(gè)，能被3整除的有10個(gè)，所以，，；（3）由于事件“這個(gè)數(shù)既不能被2整除也不能被3整除”與事件“這個(gè)數(shù)能被2整除或能被3整除”互為對(duì)立事件，則．同類題型演練1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）事件A的優(yōu)勢比定義為，如果，則事件A的優(yōu)勢比是_____________．【答案】2【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以事件A的優(yōu)勢比是，故答案為：22．（2022春·四