第4章 概率統(tǒng)計VIP

第4章概率統(tǒng)計4.1隨機事件與概率4.2隨機變量及其分布4.3隨機變量的數(shù)字特征4.4統(tǒng)計量與參數(shù)估計返回4.1隨機事件與概率4.1.1隨機事件1.隨機現(xiàn)象與隨機事件「先行問題」(1)請問“拋一石塊，會往地上落嗎?”您會肯定地回答:“是的.”(2)請問“在常溫下，焊錫能熔化嗎?”您一定會回答:“不能.”(3)請問“明天一定下雨嗎?”您會猶豫地回答:“不能確定，可能下雨，一也可能不下雨.”在一定條件下必然發(fā)生或必然不發(fā)生的現(xiàn)象稱為確定現(xiàn)象(必然現(xiàn)象)，如問題(1)、問題(2);在一定條件下，事先不能確定會出現(xiàn)哪種結(jié)果的現(xiàn)象稱為隨機現(xiàn)象(偶然現(xiàn)象)，如問題(3).如果在相同條件下進行大量重復(fù)試驗，偶然現(xiàn)象一也會呈現(xiàn)其規(guī)律性，例如，在相同條件下下一頁返回4.1隨機事件與概率多次拋擲一枚均勻硬幣，正、反兩面出現(xiàn)的機會分別約占一半，這種規(guī)律稱為統(tǒng)計規(guī)律.概率就是研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的科學(xué).為了尋求隨機現(xiàn)象的內(nèi)在規(guī)律，就要對其進行大量重復(fù)觀察，我們把一次觀察稱為一次隨機試驗，簡稱試驗.如每擲一次J殷子，就是一次試驗.試驗具有以下三個特點:(1)在相同條件下可以重復(fù)進行;(2)每次試驗可能結(jié)果不止一個，并且能事先明確所有可能結(jié)果;(3)每次試驗的結(jié)果事先無法預(yù)知.

隨機試驗的每一個可能發(fā)生的結(jié)果稱為隨機事件，簡稱事件，通常用大寫字母A,B,C,…表示.不能再分解的隨機事件稱為基本事件，如上一頁下一頁返回4.1隨機事件與概率擲一枚J殷子，“出現(xiàn)1點”，“出現(xiàn)2點”，“出現(xiàn)3點”各是一個隨機事件，由于它們都不能再分解，所以它們都是基本事件.而“出現(xiàn)偶數(shù)點”“出現(xiàn)奇數(shù)點”各是一個隨機事件，由于它們還可以再分解，比如，“出現(xiàn)偶數(shù)點”可分解為“出現(xiàn)2點”或“出現(xiàn)4點”或“出現(xiàn)6點”，所以不是基本事件.全體基本事件的集合稱為這個試驗的基本事件組，記作Ω.

特殊地，Ω一也是一個隨機事件，由于每次試驗總是Ω中的一個基本事件發(fā)生，即Ω必然發(fā)生，所以Ω稱為必然事件，它是一個特殊的“隨機”事件.同樣空集?也是一個特殊的“隨機”事件，由于任何一個基本事件都不屬于?，這樣在每一次試驗中，?都不可能發(fā)生，所以，稱?為不可能事件.上一頁下一頁返回4.1隨機事件與概率2.事件間的關(guān)系與運算和集合的關(guān)系與運算相對應(yīng)，下面介紹事件之間的關(guān)系與運算.設(shè)Ω為樣本空間，A,B,Ak.(k=1，2，3,···，n，···)為事件，它們都是Ω的子集.

(1)包含與相等若事件A的發(fā)生必然導(dǎo)致事件召發(fā)生，則稱事件B包含事件A.記作AB或BA.如圖4.1所示.若AB和BA同時成立，則稱事件A與B相等，記作A=B.例如擲一枚骰子，設(shè)A={出現(xiàn)2點}，B={出現(xiàn)偶數(shù)點}，有AB(2)事件的積(交)“兩事件A與B都發(fā)生”這一事件稱為事件A與召的積(交)，記為上一頁下一頁返回4.1隨機事件與概率A∩B或AB.如圖4.2中的陰影部分.對任意事件A，有AA=A,AΩ=A,A?=?.例如上例中，A={出現(xiàn)2點}，B={出現(xiàn)偶數(shù)點}，則AB=A，而C={出現(xiàn)奇數(shù)點}，則BC=?.(3)事件的和(并)“兩事件A與召中至少有一件發(fā)生”這一事件稱為事件A與召的和(并)，記為A∪B或A+B.如圖4.3中的陰影部分.對任意事件A，有A+A=A,A+Ω=Ω,A+?=A.上一頁下一頁返回4.1隨機事件與概率例如擲一枚骰子，A1={出現(xiàn)1點}，A2={出現(xiàn)2點},則A1+A2={出現(xiàn)1點

或2點}.(4)事件的差“事件A發(fā)生而B不發(fā)生”這一事件稱做事件A與B的差，并記作A-B,如圖4.4中的陰影部分:(5)互不相容事件若事件A與B不能同時發(fā)生，也就是說A∩B是一個不可能事件，即A∩B=?，則稱事件A與B互不相容.如圖4.5所示.例如，投擲一枚硬幣，A={正面向上}，B={正面向下}，則A,B互不相容.基本事件間是互斥的，不可能事件與任何事件是互斥的.上一頁下一頁返回4.1隨機事件與概率(6)互逆事件(對立事件)若事件A與B滿足A+B=Ω且AB=?，則稱事件A與B互逆，并稱事件A(或B)是B(或A)的逆事件(或?qū)α⑹录?，常將事件A(或B)的逆事件B(或A)記為(或 ).即=B(或 =A>.若A是一個事件，令 =Ω-A，稱

是A的對立事件或逆事件.如圖4.6中的陰影部分所示.例如上例中，A,B也是對立事件.容易知道，在一次試驗中，若A發(fā)生，則

必不發(fā)生.即A與二者只能有一個發(fā)生，并且一也必然發(fā)生一個.因而有A=?,A+ =Ω.此外顯然有=A.注意:互逆與互不相容是不同的兩個概念，互逆必互不相容，但互不相容不一定互逆.上一頁下一頁返回4.1隨機事件與概率例4-1從一批包含正品和次品的產(chǎn)品中，一件一件地依次任意取出三件，若記A1={第一個零件是正品}，A2={第二個零件是正品},A3={第三個零件是正品}，試表示:(1)沒有一個零件是次品;(2)只有第一個零件是次品;(3)恰有一個零件是次品;(4)至少有一個零件是次品.解(1){沒有一個零件是次品}表示成:A1A2A3;(2){只有第一個零件是次品}表示成: A2A3;(3){恰有一個零件是次品}表示成:A2A3∪A1A3∪A1A2;(4){至少有一個零件是次品}表示成: 或 .上一頁下一頁返回4.1隨機事件與概率「課堂練習(xí)」1.指出下列事件中哪些是必然事件?哪些是不可能事件?哪些是隨機事件?(1)A={一副撲克牌中隨機地抽出一張是黑桃};(2)B={沒有水分，水稻發(fā)芽};(3)C={某電話機在一分鐘內(nèi)接到至少15次呼喚};(4)D={同性電荷，相互排斥}.2.設(shè)A、B、C為三事件，用A、B、C的運算關(guān)系來表示下列事件(1)A發(fā)生，B與C不發(fā)生;(2)A與B都發(fā)生，而C不發(fā)生;(3)A、B、C都發(fā)生;(4)A、B、C中至少有一個發(fā)生;(5)A、B、C都不發(fā)生.上一頁下一頁返回4.1隨機事件與概率4.1.2隨機事件的概率1.古典概型「先行問題」擲一枚均勻的硬幣，可能出現(xiàn)的結(jié)果有“正面向上”，“反面向上”分別以A1、A2表示，它們是該隨機試驗的2個基本事件，且由于硬幣質(zhì)地均勻，可以認(rèn)為每一個基本事件白勺出現(xiàn)等可能，出現(xiàn)每種情況的機會都為1/2有100張彩券，其中有2張三等獎券，現(xiàn)有100人各取一張，問每人得到三等獎的機會有多大?大家可以通過分析判斷或猜測得出答案:2%.該數(shù)值表達了“每個人得到三等獎”這個隨機事件發(fā)生的可能性的大小.上兩例中“投擲硬幣”“抓彩券”試驗有如下兩個特征:上一頁下一頁返回4.1隨機事件與概率(1)基本事件總數(shù)有限;(2)每個基本事件發(fā)生的可能性相等.滿足上述兩個特征的試驗?zāi)Ｐ头Q為古典概型.概率的古典定義在古典概型中，若基本事件總數(shù)為n，事件A包含的基本事件數(shù)為m，則事件A的概率為由該定義知古典概率有如下性質(zhì):(1)非負(fù)性:對于任何事件A，有0≤P(A)≤1;(2)規(guī)范性:P(Ω)=1P(?)=0;上一頁下一頁返回4.1隨機事件與概率(3)可加性:如果A與B互斥，則P(A+B)=P(A)+P(B).以上性質(zhì)中，(1)、(2)是顯然的，(3)的證明作為練習(xí).用這個定義求概率時，關(guān)鍵是要求出一切基本事件的總數(shù)n，其次是要正確求出事件所包含的基本事件個數(shù)m，計算n和m時經(jīng)常使用排列與組合的計算公式.例4-2在100件產(chǎn)品中，有95件合格品,5件次品，從中任取2件，求:恰有1件次品的概率.上一頁下一頁返回4.1隨機事件與概率例4-3在添加劑的搭配使用中，為了找到最佳的搭配方案，需要對各種不同的搭配方式作比較，在試制某種牙膏新品種時，需要選用兩種不同的添加劑，現(xiàn)有芳香度分別為0,1,2,3,4,5的六種添加劑可供選用.根據(jù)試驗設(shè)計學(xué)原理，通常首先要隨機選取兩種不同的添加劑進行搭配試驗，求所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和等于4的概率.解從六種不同的添加劑中任取不同的兩種，可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)一共有n= =15種，設(shè)事件A={所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和等于4}，而芳香度之和等于4的取法有2種，即(0,4)和(1,3)，則事件A包含的基本事件數(shù)m=2種.上一頁下一頁返回4.1隨機事件與概率2.概率的加法公式「先行問題」一個電路上裝有甲、乙兩根熔絲，甲熔斷的概率為0.8，乙熔斷的概率為0.7，兩根同時熔斷的概率為0.6，問至少有一根熔斷的概率是多少?分析設(shè)A={甲熔絲熔斷}，P={乙熔絲熔斷}，則{兩根熔絲同時熔斷}為AB,{至少有一根熔絲熔斷}為A+B，現(xiàn)在的問題是:已知P(A)=0.8P(B)=0.7P(AB)=0.6，求P<A}B>.

因Ω是必然事件，P(Ω)=1，如圖4.7所示.設(shè)矩形的面積為1,P(A+B)可用圖中陰影部分的面積表示，它應(yīng)該等于A的面積P(A)與B的面積P(B)之和減去重復(fù)計算了一次的AB的面積P(AB)，即P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.8+0.7-0.6=0.9=90%,即至少有一根熔絲熔斷的概率為90%.上一頁下一頁返回4.1隨機事件與概率概率的加法公式一般地，有如下計算A與B和的概率P(A+B)的公式:P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)(4-1)可以得到如下推論:推論1若事件A與B互斥，則P(A+B)-P(A)+P(B).

一般地，若事件A1,A2,A3,···,An，彼此互斥，那么事件A1+A2+A3+···+An發(fā)生(即A1,A2,A3,···,An中有一個發(fā)生)的概率，等于這n個事件分別發(fā)生的概率之和，在例3中，求所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和不小于3的概率.解設(shè)事件A={所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和不小于3},上一頁下一頁返回4.1隨機事件與概率事件A1={所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和等于1},事件A2={所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和等于2},則事件A的對立事件為={所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和小于3}.因為從六種不同的添加劑中任取不同的兩種，可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)一共有=15種，上一頁下一頁返回4.1隨機事件與概率注:本題也可以直接計算芳香度之和為3,4,5,6,7,8,9的概率，再將相應(yīng)的概率相加.例4-4某班有70%的學(xué)生參加了數(shù)學(xué)竟賽,50%的學(xué)生參加了外語竟賽，40%的學(xué)生既參加了數(shù)學(xué)竟賽又參加了外語竟賽，若從該班學(xué)生中任選一人，發(fā)現(xiàn)沒有參加這兩種竟賽的學(xué)生的概率是多少?解設(shè)A={參加數(shù)學(xué)竟賽的學(xué)生}，B={參加外語竟賽的學(xué)生}，則AB={既參加數(shù)學(xué)竟賽又參加外語竟賽的學(xué)生}，A+B={至少參加這兩種競賽中的一種的學(xué)生}，={沒有參加這兩種競賽的學(xué)生}，因為P(A)=0.7,P(B)=0.5,P(AB)=0.4,又P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.7+0.5-0.4=0.8上一頁下一頁返回4.1隨機事件與概率所以 =1-P(A+B)=1-0.8=0.2因此，從該班學(xué)生中任選一人，發(fā)現(xiàn)沒有參加這兩種竟賽的概率為0.2.3.概率的乘法公式「先行問題」在實際問題中，除了考慮事件A發(fā)生的概率P(A)，有時還需考慮在“事件B已發(fā)生”的條件下，事件A發(fā)生的概率.由于增加了新的條件“事件B已發(fā)生”，所以后者的概率一般來說不同于P(A)，一般我們稱它為A對B的條件概率，記為P(A︳B).為了說明這個特點，先看一個簡單的例子.

例4-5考慮有兩個孩子的家庭，假定男女出生率一樣，則兩個孩子(依大小排列)的性別分別為(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)的可能性是一樣的.上一頁下一頁返回4.1隨機事件與概率解若記A={隨機抽取一個這樣的家庭中有一男一女}則P(A)=1/2，但如果我們事先知道這個家庭至少有一個女孩，則上述事件的概率為2/3.這兩種情況下算出的概率不同，這一也很容易理解，因為在第二種情況下我們多知道了一個條件.記B={這個家庭中至少有一個女孩}，因此我們算得的概率是“在已知事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生”的概率(可記此概率為P(A|B)，見下面的定義，，則這個概率P(A︳B=2/3;上一頁下一頁返回4.1隨機事件與概率這雖然是一個特殊的例子，但是容易驗證對一般的古典概型，只要P(B)＞0上述等式總是成立的，因而我們給出下列定義:1)條件概率定義設(shè)A,B是樣本空間Ω中的兩個事件(即某個隨機實驗下的兩個事件)，若P(B)＞0，則稱為“在召發(fā)生下A的條件概率”或“A對召的條件概率”，簡稱條件概率.例4-6已知某家三胞胎小孩中有女孩，求至少有一個男孩的概率(假定每個小孩是男是女是等可能的).上一頁下一頁返回4.1隨機事件與概率解三胞胎小孩的所有可能結(jié)果不難一一列出，即Ω={(女，女，女)，(女，女，男)(女，男，女)，(男，女，女)，(女，男，男)，(男，女，男)，(男，男，女)，(男，男，男)}共8個樣本.記A={三胞胎中至少一個是男孩}，B={三胞胎中有女孩}.不難驗證條件概率具有概率的三個基本性質(zhì)，即非負(fù)性、規(guī)范性以及有限可加性.由此可知，對給定的一個概率空間和屬于該概率空間的事件，如果該事件的概率非負(fù)，則其條件概率一也是該概率空間上對該事件的一個概率測度.上一頁下一頁返回4.1隨機事件與概率例4-7已知一臺電腦的壽命不低于3年的概率為0.5，壽命不低于5年的概率為0.2，現(xiàn)有一臺電腦已經(jīng)使用了3年，問:它可以使用超過5年的概率.解設(shè)A={電腦使用期不低于3年},B={電腦使用期不低于5年}，該題要解決的實際上是A已經(jīng)發(fā)生的情況下召發(fā)生的概率，因此是一個典型的條件概率，同時電腦使用期不低于}>年這個事件包含在使用期不低于3年這個事件當(dāng)中，即:BA，那么有P(AB)=P(B)=0.2，再根據(jù)條件概率公式，該電腦已經(jīng)使用了3年，可以使用超過5年的概率是:上一頁下一頁返回4.1隨機事件與概率2)概率的乘法公式由條件概率的定義，變換其形式，就可以得到一般情況下概率的乘法公式:(1)當(dāng)P(A)＞0時，有P(AB)=P(A)P(B︱A)(4一3)(2)當(dāng)P(B)＞0時，有

P(AB)=P(B)P(A︱B)

(4一4)推廣到多個事件概率積的計算，有乘法公式在概率計算中有非常重要的作用.上一頁下一頁返回4.1隨機事件與概率例4-8罐中有三個自球兩個黑球，從中依次取出三個，試求取出的三個球都是白球的概率.解記Ai={第i次取球得白球}例4-9甲、乙兩市都位于長江下游，據(jù)一百多年來的氣象記錄，知道在一年中的雨天的比例甲市占20%，乙市占15%，兩地同時下雨占10%.記A={甲市出現(xiàn)雨天},B={乙市出現(xiàn)雨天}求:(1)兩市至少有一市是雨天的概率;(2)乙市出現(xiàn)雨天的條件下，甲市一也出現(xiàn)雨天的概率;上一頁下一頁返回4.1隨機事件與概率(3)甲市出現(xiàn)雨天的條件下，乙市一也出現(xiàn)雨天的概率.解由題意，可得(1)兩市至少有一市是雨天的概率可表示為P(A+B)，根據(jù)加法公式有P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.2+0.15-0.1=0.25;(2)乙市出現(xiàn)雨天的條件下，甲市一也出現(xiàn)雨天的概率可表示為P(A︱B)，根據(jù)條件概率公式有(3)甲市出現(xiàn)雨天的條件下，乙市一也出現(xiàn)雨天的概率可表示為P(B︱A)，根據(jù)條件概率公式有上一頁下一頁返回4.1隨機事件與概率「課堂練習(xí)」1.在40根纖維中，有12根的長度超過30mm，從中任取1根，求取到長度超過30mm的纖維的概率.2.已知P(A)=0.4,P(B)=0.6,P(B︱A)=0.8，求P().3.設(shè)10件產(chǎn)品中有4件不合格品，從中任取一件，取兩次，且不放回，求兩次所取的產(chǎn)品都是不合格品的概率.上一頁下一頁返回4.1隨機事件與概率4.1.3事件的獨立性貝努里概型1.相互獨立事件同時發(fā)生的概率「先行問題」在一盒子中裝有10只晶體管，2只是次品，8只是正品，從中每次取一個，有放回地取兩次，記A={第一次取到次品}，B={第二次取到次品}，求P(A)，P(B)，P(AB).分析該例是放回抽樣的問題.所謂放回抽樣，是指第一次無論是取到次品，都要放回袋中，第二次仍從盒子中10只晶體管中任取一只，因此，事件A的發(fā)生與否不影響與事件B的發(fā)生，這時，也稱事件A與事件B相互獨立一般有如下定義:上一頁下一頁返回4.1隨機事件與概率定義4.1若兩個事件A、B中，任一事件的發(fā)生與否不影響另一事件的概率，則稱事件A與事件B相互獨立.可以推出，相互獨立的事件有如下性質(zhì):性質(zhì)1事件A與B相互獨立的充要條件是尸<AB>=P<A>"P<B>.性質(zhì)2若事件A與B相互獨立，則A與B,A與B,A與B也都是相互獨立的.事件的獨立性概念可以推廣到有限個事件的情形.在解決實際問題時，對于事件的獨立性，我們常常不是根據(jù)定義來判斷，而是根據(jù)實際意義來加以判斷.例4-10設(shè)三臺機床正常工作的概率分別是0.95,0.90,0.85，求在任一時刻上一頁下一頁返回4.1隨機事件與概率(1)三臺機床都正常工作的概率;(2)三臺機床至少有一臺正常工作的概率.解由于三臺機床工作正常與否是相互獨立的，所以設(shè)Ai={第i臺機床正常工作}(i=1,2,3)，則A1,A2,A3相互獨立，且

也相互獨立，故(1)所求事件的概率為(2)所求事件的概率為上一頁下一頁返回4.1隨機事件與概率例4-11設(shè)有電路如圖4.8，其中1,2,3,4為繼電器接點，設(shè)各繼電器接點導(dǎo)通的概率均為p，求L到R為通路的概率.解設(shè)事件Ai={第i個繼電器接點導(dǎo)通}(i=1,2,3,4)，A={L到R為通路}.2.貝努里概型「先行問題」一頭病牛服用一種藥品后被治愈的概率是90%，計算服用這種藥的3頭病牛中恰有2頭被治愈的概率.上一頁下一頁返回4.1隨機事件與概率

分析設(shè)Ai={第i頭牛被治愈}(i=1,2,3)，則={第i頭牛沒有被治愈}(i=1，2，3)在上面的例子中，3頭牛服藥可以看成是進行了3次獨立重復(fù)試驗.上一頁下一頁返回4.1隨機事件與概率

一般地，如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率是p，那么在n次獨立重復(fù)試驗中這個事件恰好發(fā)生k(0≤k≤n)次的概率為例4-12某類電子元件使用時數(shù)在1000h以上的概率為0.1，求:三個電子元件在使用1000h以后至少有兩個沒有損壞的概率.解把對一個元件的觀察視為一次試驗，三個電子元件獨立工作的觀察相當(dāng)于三次獨立重復(fù)實驗，設(shè)三個電子至少有兩個沒有損壞的概率，就是三個電子元件恰有兩個沒有損壞的概率與三個電子元件都沒有損壞的概率之和，上一頁下一頁返回4.1隨機事件與概率因此，三個電子元件在使用使用1000h以后至少有兩個沒有損壞的概率為0.028.例4-13在質(zhì)量管理中常用的質(zhì)量控制圖，如圖4.9所示，其中CL叫做中心線，UCL叫做上控制線，LCL叫做下控制線，在上下控制線之間，一個隨機的點落在中心線兩側(cè)的概率相等(各為1/2).試求11個獨立點中恰有10個點落在中心線同一側(cè)的概率.解設(shè)事件A1={1個點落在中心線上側(cè)}A2={1個點落在中心線下側(cè)}B1={11個獨立點恰有10個點落在中心線上側(cè)}B2={11個獨立點恰有10個點落在中心線下側(cè)}上一頁下一頁返回4.1隨機事件與概率A={11個獨立點恰有10個點落在中心線同一側(cè)}于是11個獨立的點恰有10個點落在中心線同一側(cè)的概率為上一頁下一頁返回4.1隨機事件與概率

在上例中，11個隨機點有10個落在中心線同一側(cè)的概率只有1%，是個小概率事件，如果確實發(fā)生了，可以認(rèn)為生產(chǎn)中可能會有某種不正常的因素，應(yīng)予以檢查.

注意:(1)貝努力試驗是n次獨立試驗的每一次試驗只有兩個可能結(jié)果A及;(2)每次試驗中A的概率保持不變.上一頁返回4.2隨機變量及其分布為了研究隨機現(xiàn)象的整體規(guī)律及運用更多的數(shù)學(xué)工具，引人了隨機變量的概念.一般地，隨機變量有離散型與連續(xù)型之分.4.2.1離散型隨機變量與直方圖1.離散型隨機變量「先行問題」在10件同類型產(chǎn)品中，有3件次品，現(xiàn)任取2件，如果用X表示抽取所得的次品數(shù)，問X可能取值有哪些?分析X有三種可能取值，分別為0,1,2，且

X=0時，取得2件全是正品;X=1時，取得2件中恰有一件是正品;X=2時，取得2件中沒有正品.下一頁返回4.2隨機變量及其分布從上述例子受到啟發(fā)，在隨機現(xiàn)象中，引進隨機變量的概念，會為表示隨機事件提供方便.在隨機現(xiàn)象中，如果一個量X可能取的值可以一一列舉出來，并且X取每個值都表示一個隨機事件，則稱X是一個離散型隨機變量.定義4.2設(shè)隨機變量X的可能取值為x1，x2，x3，…，xn，且其相應(yīng)的概率分別為p1,p2,p3,...，pn，記P(X=xi)=pi,(i=1,2,3,...,n)，稱為離散型隨機變量的概率分布，簡稱分布列.也可用表格形式表示分布，如表4一1所示.上一頁下一頁返回4.2隨機變量及其分布概率分布具有以下兩個性質(zhì):

如上例中，10件產(chǎn)品中有3件次品，現(xiàn)任取2件，這2件中的次品數(shù)X的分布列，可寫成如下表4-2形式:上一頁下一頁返回4.2隨機變量及其分布

其直方圖如圖4.11所示2.常見離散型隨機變量分布(1)兩點分布「先行問題」

一批產(chǎn)品共100件，其中有3件次品.從這批產(chǎn)品中任取一件，考察取上一頁下一頁返回4.2隨機變量及其分布出的產(chǎn)品是正品還是次品，試用隨機變量描述該試驗的結(jié)果，并寫出其概率分布.分析在該試驗中，試驗的結(jié)果只有兩種可能，要么取出正品，要么取出次品若用A表示取出正品，自然應(yīng)用A表示取出次品，顯然有設(shè)x是一個隨機變量，若用{x=0}表示取出次品，{x=1}表示取出正品，則x只有兩個值，且上一頁下一頁返回4.2隨機變量及其分布X的分布列也可寫成如下表4-3形式:上述X的分布稱為兩點分布.上一頁下一頁返回4.2隨機變量及其分布一般地，如果隨機變量X只取0,1兩個值，即其分布列為其中0＜p＜1，q=1-p，則X服從參數(shù)為fi的兩點分布或(0-1)分布記為X～(0-1)分布.注意:(1)兩點分布是簡單且又經(jīng)常遇到的一種分布，一次試驗只可能出現(xiàn)兩種結(jié)果時，便確定一個服從兩點分布的隨機變量.如檢驗產(chǎn)品是否上一頁下一頁返回4.2隨機變量及其分布合格、電路是“通路”還是“斷路”、新生兒的性別、系數(shù)運行是否正常等，相應(yīng)的結(jié)果均服從兩點分布.(2)(0-1)分布與貝努里概型緊密相連.「課堂練習(xí)」籃球運動員在比賽中每次罰球命中得1分，罰不中得。分，已知某運動員罰球命中的概率為0.7，求他罰球1次得分的分布列.(2)二項分布如果隨機變量X具有分布列則稱X服從參數(shù)為n,pi的二項分布，記為X～B(n,P).上一頁下一頁返回4.2隨機變量及其分布設(shè)隨機變量X表示在n重貝努里試驗中，事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A發(fā)生的概率，則“在n重貝努里試驗中，事件A發(fā)生k次”的概率可表示為由此可知，二項分布是用來描述n重貝努里試驗的.特別地，當(dāng)，n=1時，二項分布就是兩點分布.例4-14某大樓裝有兩部電梯，每部電梯因故障不能使用的概率均為0.02,設(shè)同時不能使用的電梯數(shù)為X，求:X的分布列.解因為X～B(2,0.02),上一頁下一頁返回4.2隨機變量及其分布所以X的分布列為表4一4所示:例4-15在一個車間里有9個工人相互獨立地工作，且他們間歇地使用電力，若每個工人在1小時內(nèi)平均有12分鐘需要電力，問在1小時內(nèi)至少有7人需要電力的概率是多少?解設(shè)X表示在1小時內(nèi)需要用電的工人數(shù)，則X～B(9,0.2)，依題設(shè)，每個工人在1小時內(nèi)需要用電的概率P=12/60=0.2，至少有7人需要用電的概率是:P(X≥7)=P(X=7)+P(X=8>P(X=9)上一頁下一頁返回4.2隨機變量及其分布「課堂練習(xí)」

某工廠的螺絲的次品率為o.05,設(shè)每個螺絲是否為次品是相互獨立的，這個工廠將10個螺絲包成一包出售，并保證若發(fā)現(xiàn)一包內(nèi)多于一個次品即可退貨，求:售出的螺絲的退貨率.(3)泊松(PoiSSon)分布(X-P(λ))如果在二項分布的概率計算中，當(dāng)試驗次數(shù)增加，而每次試驗中某事件出現(xiàn)的概率很小，即n很大，p很小，而np大小適中時，可以證明有近似公式:定義4.3如果隨機變量X的分布列為:其中λ>0，則稱X服從參數(shù)為λ的泊松分布，記為X～P(λ).上一頁下一頁返回4.2隨機變量及其分布泊松分布是概率論的重要分布一方面，當(dāng)，，很大，fi很小時，它可以近似代替二項分布(二項分布計算量較大);另一方面，許多隨機現(xiàn)象服從泊松分布.例如:在一段時間內(nèi)電話臺的呼喚次數(shù)、紡織廠生產(chǎn)的疵點數(shù)、一塊線路板上的焊接不良處、某段時間內(nèi)放射物質(zhì)放射的粒子數(shù)等，都可用泊松分布來描述.例4-16某網(wǎng)吧有一批計算機，假設(shè)機器間的工作狀況是相互獨立的，且發(fā)生故障的概率都是0.01，若(1)由1人負(fù)責(zé)維修20臺計算機;(2)由3人負(fù)責(zé)維修80臺計算機.試分別求計算機發(fā)生故障而需要等待維修的概率(假定一臺計算機的故障可由1人來處理)，并比較兩種方案的優(yōu)劣.解設(shè)X表示同一時間內(nèi)發(fā)生故障的計算機的臺數(shù)，則X服從二項分布，且n較大，p較小.上一頁下一頁返回4.2隨機變量及其分布

上一頁下一頁返回4.2隨機變量及其分布由0.0091<0.0175可見，第二種方案不僅每人平均維修的計算機數(shù)量有所增加，而且計算機發(fā)生故障需要等待維修的概率會大大降低，因此優(yōu)于第一種方案.「課堂練習(xí)」一街口15s內(nèi)通過的車輛服從參數(shù)為λ=0.8的泊松分布，試寫出X的分布列，并求15s內(nèi)通過4輛車的概率.上一頁下一頁返回4.2隨機變量及其分布4.2.2連續(xù)型隨機變量與正態(tài)分布1.連續(xù)型隨機變量「先行問題」

測試某批燈泡的壽命(單位:h)，若用X表示區(qū)間「0，+∞」上的任意實數(shù)，顯然X是一個變量，它取不同的數(shù)值表示測得壽命的不同結(jié)果.例如{500X1000}表示事件{被測試的燈泡壽命在5ooh到1000h之間}.

像這樣在某一個或若干個有限或無限區(qū)間上取值的隨機變量稱為連續(xù)型隨機變量.對于連續(xù)型隨機變量X來說，由于它可以取某一區(qū)間內(nèi)的任意實數(shù)，因此不考慮X在此區(qū)間內(nèi)某一點取值的概率，只有確知它在此區(qū)間內(nèi)某一部分區(qū)間上取值的概率時，才能掌握其取值的概率分布情況，如上一頁下一頁返回4.2隨機變量及其分布上例中，考察X在「500,1000」的概率，即被測試的燈泡壽命在500h到1000h之間的概率.對于連續(xù)型隨機變量X，恒有P(X=x)=0，以及隨機事件“X=x”也沒有實際意義，因而需要研究的是隨機變量X在某個區(qū)間上取值的概率，即P(a＜X＜b)，這個概率P(a＜X＜b)可以通過一個定積分來求得.定義4.4于隨機變量X，若存在一個非負(fù)可積函數(shù)?(x)(-∞x<+∞)，使得對任意實數(shù)a,b(a＜b)，有則稱X為連續(xù)型隨機變量，稱?(x)為隨機變量X的概率密度函數(shù)，簡稱密度函數(shù)或概率密度.上一頁下一頁返回4.2隨機變量及其分布密度函數(shù)?(x)滿足如下性質(zhì):

由定義可知，對任意實數(shù)a，有P(X=a)=0，從而有由此可見，計算連續(xù)型隨機變量X在某一區(qū)間的概率時，可以不必分開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間，如果給出了隨機變量的概率密度，那么它在任何區(qū)間取值的概率就等于概率密度在這個區(qū)間的定積分.上一頁下一頁返回4.2隨機變量及其分布我們在直角坐標(biāo)系中畫出密度函數(shù)?(x)的圖像，稱其為密度曲線.如圖4.12所示，密度曲線位于x軸上方，X在任一區(qū)間(a,b)內(nèi)取值的概率等于以(a,b)為底，曲線?(x)為頂?shù)那吿菪蔚拿娣e，?(x)與x軸之間的面積為1.注意概率密度?(x)不表示隨機變量X取值為x的概率，而表示隨機變量X在點x附近取值的密集程度.可以認(rèn)為連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)?(x)，相當(dāng)于離散型隨機變量X的概率直方圖函數(shù).例4-17設(shè)隨機變量X具有概率密度上一頁下一頁返回4.2隨機變量及其分布試確定常數(shù)k，并求P(X>0.1).上一頁下一頁返回4.2隨機變量及其分布一般地，如果X的密度函數(shù)常數(shù)，則X服從參數(shù)為θ的指數(shù)分布.例4-18某種燈泡的壽命(單位:h>X服從θ=1000的指數(shù)分布，求一只這樣的燈泡，其壽命不少于500h的概率.上一頁下一頁返回4.2隨機變量及其分布即任取一只燈泡，其壽命不少于500h的概率為0.6065.在實際中，經(jīng)常遇到下面的連續(xù)分布.如果隨機變量X的密度函數(shù)為則稱X在(a,b)上服從均勻分布.上一頁下一頁返回4.2隨機變量及其分布例4-19設(shè)電阻的阻值R是一個隨機變量，均勻分布在900～1100Ω，求R的概率密度及R落在900～1050Ω的概率.解R的概率密度為「課堂練習(xí)」

是某連續(xù)型隨上一頁下一頁返回4.2隨機變量及其分布機變量X概率密度.(1)求常數(shù)k;(2)P(1＜X＜3);(3)P(X＜1).2.正態(tài)分布(1)正態(tài)分布的密度函數(shù)在高中，我們已學(xué)了作出100個產(chǎn)品尺寸的頻率分布直方圖，并指出了當(dāng)樣本容量無限增大時，這個頻率分布直方圖無限接于一條總體密度曲線.在其他條件穩(wěn)定條件下，產(chǎn)品尺寸的總體密度曲線就是或近似地是以下函數(shù)的圖象.上一頁下一頁返回4.2隨機變量及其分布式中的實數(shù)μ,σ(σ＞0)是參數(shù)，分別表示總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差，其分布叫做正態(tài)分布，正態(tài)分布由參數(shù)μ,σ唯一確定.因此，正態(tài)分布常記作X～N(μ,σ2)，其圖像對應(yīng)的曲線稱正態(tài)曲線.正態(tài)曲線具有兩頭低、中間高、左右對稱的基本特征(圖4.13).如圖4.14中畫出了三條正態(tài)曲線:(1)μ=-1,σ=0.5，(2)μ=0，σ=1，(3)μ=1，σ=2.特別地，當(dāng)μ=0,σ=1時，稱X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即X～-N(0,1)，其概率密度函數(shù)記為上一頁下一頁返回4.2隨機變量及其分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的密度函數(shù)是偶函數(shù)，即φ(-x)=φ(x)，其圖形關(guān)于y軸對稱.在自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象中，大量的隨機變量都服從或近似服從正態(tài)分布，例如，測量誤差，各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)(如零件尺寸、材料的強度等)，人的身高或體重，某種植物的株高，某城市每天的用電量，某個教學(xué)班的考試成績等.正態(tài)分布是一種最常見的重要分布.在歷史上，高斯曾對正態(tài)分布研究作出貢獻，因此正態(tài)分布一也稱高斯分布.通常，如果一個隨機現(xiàn)象受多個因素的影響，而每個因素影響的作用都很小時，可以認(rèn)為這個隨機現(xiàn)象服從或近似服從正態(tài)分布.(2)正態(tài)分布的計算1)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率計算上一頁下一頁返回4.2隨機變量及其分布研究正態(tài)分布的隨機變量X的概率規(guī)律，常常也需要計算P(a≤X＜b)、P(X＜b)等概率，由于{X＜b}={X＜a}+{a≤X＜b}，所以φ(x)的值可用近似方法求得，為了便于計算，數(shù)學(xué)工作者編制了φ(x)的數(shù)值表，稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表(見附表1),隨機變量X在區(qū)間「a,b」上的概率為上一頁下一頁返回4.2隨機變量及其分布用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布數(shù)值表時，有以下幾種情況:(1)因表中x的范圍為「0,3.09」，因此，當(dāng)x∈「0,3.09」時，可直接查表，對于x>3.09時，取φ(x)≈1;上一頁下一頁返回4.2隨機變量及其分布2)一般正態(tài)分布的概率計算正態(tài)分布N(μ,σ2)均可化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)來計算，可以證明，對正態(tài)分布X～N(μ,σ2)，有上一頁下一頁返回4.2隨機變量及其分布這樣，正態(tài)分布的概率計算都可以通過查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布數(shù)值表完成.例4-21某工廠生產(chǎn)一種斜拉橋鋼索，拉斷強度服從正態(tài)分布，其參數(shù)μ=5.72t/cm2，σ=0.50t/cm2，某大橋根據(jù)設(shè)計要求，需要采用拉斷強度不小于4.20t/cm2的鋼索.如果大橋所用鋼索合格率在99.9%以上，則認(rèn)為是安全的.問:該大橋能否使用此工廠生產(chǎn)的鋼索?解設(shè)鋼索的拉斷強度為X,因為X～N(5.72,0.502)，上一頁下一頁返回4.2隨機變量及其分布答:該大橋能使用該工廠生產(chǎn)的鋼索.例4-22某廠計劃對全廠5%產(chǎn)量最高的工人發(fā)放特別獎金.已知該廠工人的月產(chǎn)量Y～N(3000,1600).問發(fā)放特別獎的最低產(chǎn)量應(yīng)為多少?

解因為給5%的工人發(fā)放特別獎，設(shè)獲獎?wù)叩淖畹驮庐a(chǎn)量應(yīng)為x，則應(yīng)有上一頁下一頁返回4.2隨機變量及其分布

答:應(yīng)把發(fā)放特別獎的最低月產(chǎn)量定為3066件.「課堂練習(xí)」已知X～N(3,22)，求P(2≤X≤5).3)正態(tài)分布在工程中的應(yīng)用例如產(chǎn)品某個質(zhì)量特性X的不合格品率的計算要知道下列兩件事:(1)質(zhì)量特性X的分布，在過程受控情況下，X的分布常為正態(tài)分布N(μ,σ2),這是穩(wěn)定過程的概括.(2)產(chǎn)品的規(guī)范限，常包括上規(guī)范限TU和下規(guī)范限TＬ，這些都是以文上一頁下一頁返回4.2隨機變量及其分布件形式對產(chǎn)品特性所作的要求，這些要求可能是顧客要求、可能是公認(rèn)的標(biāo)準(zhǔn)、也可能是企業(yè)下達的生產(chǎn)任務(wù)書.明確了這兩點后，產(chǎn)品質(zhì)量特性X的不合格品率為ｐ＝ｐＬ+ｐＵ其中pＬ為X低于下規(guī)范限的概率，ｐＵ為X高于上規(guī)范限的概率.為了具體說明不合格品率的計算，可看下面的例子.(1)某廠生產(chǎn)的電阻器的規(guī)范限為80士4kΩ.從現(xiàn)場得知該廠電阻器的阻值X服從正態(tài)分布，其均值μ=80.8kΩ，標(biāo)準(zhǔn)差σ＝1.3kΩ.則其低于下規(guī)范限TＬ＝76kΩ的概率和超過上規(guī)范限TＵ＝84kΩ的概率分別為:故該電阻器的不合格品率ｐ＝ｐＬ+ｐＵ=0.0070上一頁下一頁返回4.2隨機變量及其分布(2)某金屬材料的抗拉強度(單位:kg/cm2)服從正態(tài)分布N（38,1.82）.抗拉強度是望大特性(愈大愈好的特性)，故只需規(guī)定其下規(guī)范限，如今TＬ=33kg/cm2.故其不合格品率為

p=pＬ=P(X<33)＝Ф(－2.78)=0.0027=0.27%.在抗拉強度上，該金屬材料的不合格品率為0.27％.例4-23在磨床上加工銷軸，要求外徑，抽樣后測得，σ＝0.005mm,其尺寸分布符合正態(tài)分布，試分析該工序的加工質(zhì)量.上一頁下一頁返回4.2隨機變量及其分布解T=-0.016-(-0.043)=0.027上一頁下一頁返回4.2隨機變量及其分布工序能力指數(shù)Cp＜1，說明該工序工藝能力不足，因此出現(xiàn)不合格品是不可避免的.工序最小尺寸，故不故不會產(chǎn)生不可修復(fù)的廢品.工序最大尺寸故要產(chǎn)生可修復(fù)的廢品.廢品率

查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)表上一頁返回4.3隨機變量的數(shù)字特征對于隨機現(xiàn)象，知道它的一些特征，可以簡明扼要地了解隨機現(xiàn)象.隨機現(xiàn)象的數(shù)字特征主要有數(shù)學(xué)期望與方差，數(shù)學(xué)期望反映隨機現(xiàn)象的平均情況，方差則反映隨機現(xiàn)象的分散情況.4.3.1數(shù)學(xué)期望1.離散型隨機變量「先行問題」某人欲購一臺586型微機，現(xiàn)有甲、乙兩廠生產(chǎn)該型號微機，據(jù)資料統(tǒng)計其平均周故障率分別如下表4-7所示，試問他該購買哪個廠的產(chǎn)品為好?下一頁返回4.3隨機變量的數(shù)字特征分析這個問題的答案并不是顯而易見的，盡管分布列完整地描述了離散型分布，但卻沒能集中反映出兩者的差異，若分別計算它們的平均故障率，即

P1=0X0.67+1X0.26+2X0.05+3X0.02=0.42，

P2=0X0.62+1X0.30+2X0.07+3X0.01=0.47.平均看，甲、乙兩廠產(chǎn)品每周出現(xiàn)故障分別是0.42次和0.47次，即甲廠的微機質(zhì)量優(yōu)于乙廠，故購買甲廠的產(chǎn)品為好.若將兩廠產(chǎn)品每周出現(xiàn)故障次數(shù)理解成隨機變量X，則上述計算過程，即

0x0.67+1x0.26+2x0.05+3x0.02=0.42

與0X0.62+1X0.30+2X0.07+3X0.01=0.47上一頁下一頁返回4.3隨機變量的數(shù)字特征正是X的所有可能取值與其相應(yīng)的概率乘積之和，也就是以概率為權(quán)數(shù)的加權(quán)平均值，這就是我們要引人的數(shù)學(xué)期望的概念.定義4.5設(shè)離散型隨機變量X的分布列為則和數(shù)

叫做隨機變量X數(shù)

學(xué)期望,簡稱期望或均值，記作E(X).例4-24在10臺電視機中有8臺一等品、2臺二等品，從中任取3臺，求取出的3臺中出現(xiàn)二等品的數(shù)學(xué)期望.解設(shè)取出的3臺中出現(xiàn)二等品的臺數(shù)為隨機變量X，則其分布列為上一頁下一頁返回4.3隨機變量的數(shù)字特征例4-25一批產(chǎn)品中有一、二、三等品、等外品、廢品五種，各占該產(chǎn)品的品70%,10%,10%,6%及4%，若產(chǎn)值分別為6元、5元、4元、3元及0元，求該產(chǎn)的平均產(chǎn)值.解設(shè)產(chǎn)品的產(chǎn)值是一個隨機變量X，其概率分布列見下表4-8上一頁下一頁返回4.3隨機變量的數(shù)字特征E(X)=6X0.7+5X0.1+4X0.1+3X0.06+OX0.04=5.28(元)即該批產(chǎn)品的平均產(chǎn)值為5.28(元).下面我們求幾個常用的離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望:(1)二點分布的分布列為其中，0＜p＜1，q=1-p,所以二點分布的數(shù)學(xué)期望為

E(X)=0xq+1xp=p.上一頁下一頁返回4.3隨機變量的數(shù)字特征

即二項分布的數(shù)學(xué)期望為E(X)=np.(3)泊松分布的分布列為上一頁下一頁返回4.3隨機變量的數(shù)字特征可以推出E(X)=λ即泊松分布的參數(shù)幾就是隨機變量的數(shù)學(xué)期望.2.連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望定義4.6設(shè)連續(xù)型隨機變量X的概率密度函數(shù)為?(x}，則稱E(X)=為連續(xù)型隨機變量的期望(或均值).如正態(tài)分布X～N(μ,σ2)，其概率密度為由連續(xù)型隨機變量均值的定義，有上一頁下一頁返回4.3隨機變量的數(shù)字特征由此可知，正態(tài)分布中的參數(shù)μ就是隨機變量X的數(shù)學(xué)期望.上一頁下一頁返回4.3隨機變量的數(shù)字特征3.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)下面給出數(shù)學(xué)期望的幾個性質(zhì)，并假設(shè)所提到的數(shù)學(xué)期望均存在.性質(zhì)1設(shè)C為常數(shù)，則有E(C）=C；性質(zhì)2設(shè)X是隨機變量,C為常數(shù)，則E（CX）=CE(X)；性質(zhì)3設(shè)X,Y是任意兩個隨機變量，則有E（X士Y)=E(X)士E(Y).4.數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用例4-26電冰箱的利潤一工廠生產(chǎn)的電冰箱的壽命X服從指數(shù)分布，密度函數(shù)為上一頁下一頁返回4.3隨機變量的數(shù)字特征工廠規(guī)定，出售的電冰箱若在一年內(nèi)損壞，則可以調(diào)換.若工廠出售的電冰箱每臺贏利300元，調(diào)換一臺則廠方需花費700元，問廠方出售的電冰箱平均每臺贏利多少?解先計算一臺電冰箱在一年內(nèi)損壞的概率為

從而，電冰箱在一年內(nèi)不損壞的概率為P=1-0.0952=0.9048.

因為出售每臺電冰箱贏利300元，而調(diào)換一臺需要花費700元，即損失=700-300=400(元)

故廠方出售的電冰箱平均每臺盈利(即贏利的數(shù)學(xué)期望)為

300X0.9048一400X0.0952=233.36(元).上一頁下一頁返回4.3隨機變量的數(shù)字特征「課堂練習(xí)]有一批鋼筋共10根，抗拉強度指標(biāo)為120和130的各有2根,125的有3根，110,135,140的各有一根，求它們的平均抗拉強度指標(biāo).4.3.1方差1.方差的定義「先行問題]有甲、乙兩顯像管廠生產(chǎn)同一規(guī)格的顯像管，其使用壽命(h)的既率分布如下表4-9(X表示甲廠生產(chǎn)的顯像管的使用壽命，Y表示乙廠生產(chǎn)的顯象管的使用壽命):上一頁下一頁返回4.3隨機變量的數(shù)字特征試比較甲、乙兩顯像管的質(zhì)量.分析可通過求數(shù)學(xué)期望，即求甲、乙兩顯像管的平均使用壽命來比較甲乙兩廠顯像管的質(zhì)量:E(X)=8000X0.1+9000X0.2+10000X0.4+11000X0.2+12000X0.1=10000，

E(Y)=8000X0.2+9000X0.2+10000X0.2+11000X0.2+12000X0.2=10000.結(jié)果表明，甲、乙兩廠顯像管的平均使用壽命相等.那么這兩個廠顯像管的質(zhì)量是否完全相同?通過對題設(shè)數(shù)據(jù)進一步分析會發(fā)現(xiàn):甲廠40%的顯像管使用壽命為l0000h,上一頁下一頁返回4.3隨機變量的數(shù)字特征使用壽命在9000-11000h之間的占了80%，使用壽命與均值偏離較小，質(zhì)量比較穩(wěn)定；而乙廠僅20%的顯像管使用壽命為l0000h，使用壽命在9000-11000h之間的僅占60%，使用壽命分布比較分散，與均值偏離較大，質(zhì)量不夠穩(wěn)定.由此可見，比較產(chǎn)品質(zhì)量的優(yōu)劣，只了解其均值是不夠的，必須了解它們的取值與均值之間的偏離程度.怎樣去描述隨機變量X的取值與其均值E(X)的偏離程度呢?隨機變量X與其均值ECX)之差X-E（X)稱為X的離差.離差可以反映隨機變量X的取值與其均值E(X)的偏離程度.但離差的值有正有負(fù)，也有可能是零，在求平均離差時，它們可能相互抵消.正因為如此，我們用離差的平方來衡量隨機變量X與其均值E(X)的偏離程度.定義4.7設(shè)X是一個隨機變量，如果E 存在，上一頁下一頁返回4.3隨機變量的數(shù)字特征稱其為隨機變量X的方差，記作D(X)，即D(X)=E .

稱為X的標(biāo)準(zhǔn)差.如果X是離散型隨機變量，那么如果X是連續(xù)型隨機變量，其概率密度函數(shù)為/f(x)，那么隨機變量的方差是一個常數(shù).當(dāng)X的可能取值集中在均值附近時，方差較?。环粗讲钶^大.例4-27甲、乙兩工人，在一天生產(chǎn)中出現(xiàn)廢品的概率分布如下表4-10.上一頁下一頁返回4.3隨機變量的數(shù)字特征若兩人的日產(chǎn)量相等，求誰的技術(shù)好?解首先求甲、乙兩人出現(xiàn)廢品數(shù)的數(shù)學(xué)期望.E(X甲)=0X0.4+1X0.3+2X0.2+3X0.1=1，

E(X乙)=0X0.25+1X0.5+2X0.25+3X0=1.兩人平均廢品數(shù)相等，僅根據(jù)數(shù)學(xué)期望比較不出誰的技術(shù)好壞，因此繼續(xù)求甲、乙兩人出現(xiàn)廢品的方差.

上一頁下一頁返回4.3隨機變量的數(shù)字特征所以由于D大于D ，所以乙的生產(chǎn)技術(shù)比較穩(wěn)定，即乙的技術(shù)較好.例4-28如果X在區(qū)間(a,b）上服從均勻分布，其概率密度為

，求D(X).解上一頁下一頁返回4.3隨機變量的數(shù)字特征所以，2.方差的性質(zhì)方差具有以下性質(zhì)(假設(shè)D(X）,D(Y)都存在):（1）若c為常數(shù)，則D(c)=0；（2）若c為常數(shù)，則D（cX）=D（X）；（3）若X與Y為相互獨立的隨機變量，則D（X+Y）=D（X）+D（Y）.3.常用的分布列(或概率密度)以及均值和方差我們將常用的分布列(或概率密度)以及均值和方差列于下表4-11，以方便使用，建議學(xué)生自己推導(dǎo)出各常見的連續(xù)型隨機變量的方差.上一頁下一頁返回4.3隨機變量的數(shù)字特征上一頁下一頁返回4.3隨機變量的數(shù)字特征例4-29某廠每天生產(chǎn)大批產(chǎn)品，其次品率為0.1，檢驗員每天檢驗4次，每次隨機地取10件產(chǎn)品檢驗，如發(fā)現(xiàn)其中的次品數(shù)多于一件，就去調(diào)整設(shè)備，以X表示一天中調(diào)整設(shè)備的次數(shù)，試求E(X),D(X).解設(shè)在一次實驗中檢驗結(jié)果為需調(diào)整設(shè)備的概率為p,即為10件產(chǎn)品

中次品數(shù)多于一件的概率.即

p=1- -lO×0.1× =0.2639.

由q=1一p，得q=1一p=1一0.2639=0.7361,

又X～B(4，p)，故「課堂練習(xí)]有一批數(shù)量很大的商品的次品率為1%，從中任意地連續(xù)取出200件商品，設(shè)其中次品數(shù)為X，求E(X),D(X).上一頁返回4.4統(tǒng)計量與參數(shù)估計數(shù)理統(tǒng)計是根據(jù)概率論的理論，研究如何利用有限次的試驗和觀察所得數(shù)據(jù)，通過整理、分析和計算，對所研究的隨機變量作出合理的估計和推斷的一門數(shù)學(xué)學(xué)科.4.4.1總體樣本統(tǒng)計量1.總體和樣本在中學(xué)，我們學(xué)習(xí)了數(shù)理統(tǒng)計的一些基本概念，如總體:指研究對象全體的集合，記作Ω;個體:指總體中的任何一個元素(稱為總體單位)，記作ω;樣本:總體中的部分對象的集合;樣本容量:樣本中個體的數(shù)目.下一頁返回4.4統(tǒng)計量與參數(shù)估計由于我們所說的總體是指研究對象的某種數(shù)列指標(biāo)，其中每個個體都可以取不同的數(shù)值，在學(xué)習(xí)了概率論，有了隨機變量的概念之后，不難理解總體是個隨機變量.例如，我們要研究1萬臺顯像管的使用壽命，總體就是1萬個使用壽命，由于各顯像管的使用壽命各不相同，因此使用壽命是個隨機變量.再如，研究某年高考考生的數(shù)學(xué)成績，總體就是全部考生的數(shù)學(xué)成績，是個隨機變量，而個體就是每一個考生的數(shù)學(xué)成績.對于總體中抽取的一組樣本，由于樣本中每個個體都是隨機抽取的，其中每個個體的取值在試驗之前是無法知道的，因此每個個體的取值都可看成是與總體同分布的隨機變量.即容量為n的一組樣本可看成n個隨機變量(ξ1,ξ2

,···ξn).在一次抽樣檢驗后，得到的n個實測值(a1,a2,···,an)叫做(ξ1,ξ2

,···ξn)的一組觀察值，簡稱為樣本值.上一頁下一頁返回4.4統(tǒng)計量與參數(shù)估計數(shù)理統(tǒng)計的基本思想方法是由樣本來估計與推斷總體，為使樣本能充分反映總體的情況，我們要求抽樣必須是隨機的，這樣樣本中n個隨機變量(ξ1,ξ2

,···ξn)與總體答都有相同的分布.其次要求樣本中，n個隨機變量是相互獨立的.則這樣的樣本稱為簡單隨機樣本.今后我們討論的樣本都是指簡單隨機樣本.2.統(tǒng)計量及其分布(1)統(tǒng)計量的概念雖然樣本來自于總體，一定程度上反映了總體的相關(guān)特征，但在實際研究中，由于樣本本身研究起來并不方便，因此，我們需要將它壓縮成一些有用的信息，然后用這些信息來解決實際問題.我們稱這些信息為統(tǒng)計量，它是樣本的函數(shù).上一頁下一頁返回4.4統(tǒng)計量與參數(shù)估計設(shè)X1,X2,X3,X,···是總體X的樣本，θ(X1,X2,X3,···,Xn)是一個連續(xù)函數(shù)且此函數(shù)中不含任何未知參數(shù)，則稱函數(shù)θ(X1,X2,X3,···,Xn)為一個統(tǒng)計量.常用的統(tǒng)計量有樣本均值:(2)抽樣分布統(tǒng)計量是樣本的函數(shù)，它隨著樣本的變化而變化，是一個隨機變量.例如，某商品在不同地區(qū)的價格分別為20,25,22,23,21，從中任取兩個地區(qū)的價格為一樣本，并以此計算商品的平均價格.顯然，樣本均值隨著抽取樣本的不同而變化，它是一個隨機變量.上一頁下一頁返回4.4統(tǒng)計量與參數(shù)估計我們把統(tǒng)計量的概率分布稱為抽樣分布.除了我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過的(0-1)分布、正態(tài)分布外，常用的抽樣分布還有:分布、t分布.1)U統(tǒng)計量及其分布定理4.1設(shè)X1X2,X3,···,Xn,是相互獨立，且X～N(μ,σ2)，則統(tǒng)計量服從均值為μ，方差為

U統(tǒng)計量常用于估計總體均值μ，有興趣的同學(xué)可以自行證明上述結(jié)論.上一頁下一頁返回4.4統(tǒng)計量與參數(shù)估計定義4.9對給定的a(0＜a＜1)，若存在一個實數(shù)λ，使P{|U|>λ}=a，

則稱幾λ為U分布的水平分位點或分位數(shù)，記作:.即

(圖4.15).上一頁下一頁返回4.4統(tǒng)計量與參數(shù)估計

的均值和樣本方差，則分布常用于估計總體方差σ2.上一頁下一頁返回4.4統(tǒng)計量與參數(shù)估計定義4.11存對給定的a(0＜a＜1)，若在一個實數(shù)λ，使P{(n)>λ}=a，則λ為分布的a水平分位點或分位數(shù)，記作:即

(圖4.16).

上一頁下一頁返回4.4統(tǒng)計量與參數(shù)估計

(圖4.1