《叉樹與樹》課件

叉樹與樹叉樹和一般性樹結(jié)構(gòu)在計(jì)算機(jī)科學(xué)中都有廣泛的應(yīng)用。了解它們的特點(diǎn)和應(yīng)用場景,有助于更好地設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)復(fù)雜的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和算法。課程目標(biāo)明確學(xué)習(xí)目標(biāo)通過學(xué)習(xí)本課程,掌握樹和叉樹的基本知識,包括概念、表示方法和遍歷方式。分析問題結(jié)構(gòu)學(xué)會將復(fù)雜問題分解成樹狀結(jié)構(gòu),運(yùn)用樹和叉樹的思維模式解決問題。應(yīng)用樹和叉樹掌握樹和叉樹在實(shí)際應(yīng)用中的各種算法和數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu),如二叉樹、堆和并查集。為什么要學(xué)習(xí)叉樹和樹掌握基礎(chǔ)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)樹是計(jì)算機(jī)科學(xué)中最基本和重要的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)之一,學(xué)習(xí)樹可以幫助我們更好地理解數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的基本原理及其在實(shí)際應(yīng)用中的廣泛應(yīng)用。應(yīng)用于算法設(shè)計(jì)樹結(jié)構(gòu)在各種算法的設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)中都有廣泛應(yīng)用,如排序、搜索、遍歷等,學(xué)習(xí)樹有助于我們掌握這些常見算法的工作原理。提高抽象思維能力樹是一種抽象的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu),需要我們從整體上把握其特性和規(guī)律,這有助于提高我們的抽象思維能力。樹的基本概念樹的定義樹是一種層次化的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu),由一個(gè)根節(jié)點(diǎn)及其子樹組成。它具有明確的父子關(guān)系,每個(gè)節(jié)點(diǎn)最多只有一個(gè)父節(jié)點(diǎn)。樹的組成元素樹的基本組成元素包括根節(jié)點(diǎn)、子節(jié)點(diǎn)、兄弟節(jié)點(diǎn)、葉子節(jié)點(diǎn)等。每個(gè)節(jié)點(diǎn)都有自己的值和指向子節(jié)點(diǎn)的引用。樹的特點(diǎn)樹具有層次結(jié)構(gòu)、唯一的根節(jié)點(diǎn)、每個(gè)節(jié)點(diǎn)最多有多個(gè)子節(jié)點(diǎn)等特點(diǎn),為存儲和表示層次化數(shù)據(jù)提供了便利。樹的應(yīng)用場景樹結(jié)構(gòu)廣泛應(yīng)用于文件系統(tǒng)、網(wǎng)絡(luò)拓?fù)?、家族關(guān)系等領(lǐng)域,為復(fù)雜數(shù)據(jù)的存儲和查詢提供了高效的解決方案。樹的表示方法1鄰接矩陣使用二維數(shù)組表示節(jié)點(diǎn)之間的關(guān)系，便于計(jì)算節(jié)點(diǎn)間的距離和權(quán)重。2鄰接表以鏈表形式存儲每個(gè)節(jié)點(diǎn)的鄰居信息，更適合于表示稀疏圖。3樹的鏈?zhǔn)酱鎯γ總€(gè)節(jié)點(diǎn)包含指向左右子樹的指針，體現(xiàn)了樹的遞歸定義。樹的遍歷方式1先序遍歷首先訪問根節(jié)點(diǎn)，然后遞歸遍歷左子樹和右子樹。用于構(gòu)建表達(dá)式樹和完成某些算法。2中序遍歷先遍歷左子樹，然后訪問根節(jié)點(diǎn)，最后遍歷右子樹?？捎糜谝哉_的順序顯示表達(dá)式。3后序遍歷先遍歷左子樹和右子樹，最后訪問根節(jié)點(diǎn)。適用于計(jì)算表達(dá)式樹和釋放內(nèi)存。4層序遍歷按層級順序從上到下逐層訪問節(jié)點(diǎn)?？捎糜陲@示樹的結(jié)構(gòu)或計(jì)算樹的高度。先序遍歷1根節(jié)點(diǎn)首先訪問根節(jié)點(diǎn)2左子樹再訪問左子樹3右子樹最后訪問右子樹先序遍歷的訪問順序是根-左-右，也就是先訪問根節(jié)點(diǎn),然后才訪問左子樹和右子樹。這種遍歷方式可以用于構(gòu)建表達(dá)式樹或文件系統(tǒng)目錄,因?yàn)樗鼙Ａ艄?jié)點(diǎn)的層次關(guān)系。中序遍歷1訪問左子樹先訪問左子樹上的所有節(jié)點(diǎn)2訪問根節(jié)點(diǎn)然后訪問根節(jié)點(diǎn)3訪問右子樹最后訪問右子樹上的所有節(jié)點(diǎn)中序遍歷是一種廣泛應(yīng)用的二叉樹遍歷方式。它可以按照從小到大的順序訪問二叉搜索樹上的所有節(jié)點(diǎn)，并且可以用于建立二叉搜索樹。相比前序和后序遍歷，中序遍歷可以更好地反映出節(jié)點(diǎn)之間的邏輯關(guān)系。后序遍歷首節(jié)點(diǎn)最后訪問在后序遍歷中，根節(jié)點(diǎn)在左右子樹訪問完之后最后被訪問。先訪問子樹遍歷序列是：左子樹-右子樹-根節(jié)點(diǎn)。深度優(yōu)先搜索后序遍歷屬于深度優(yōu)先搜索的一種，沿著樹的深度盡可能深入搜索。層序遍歷1根節(jié)點(diǎn)從樹的根節(jié)點(diǎn)開始2逐層訪問按照從上到下、從左到右的順序訪問每一層的節(jié)點(diǎn)3隊(duì)列實(shí)現(xiàn)使用隊(duì)列的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)層序遍歷層序遍歷是一種按照樹的層級順序訪問節(jié)點(diǎn)的方式。它從樹的根節(jié)點(diǎn)開始,然后依次訪問每一層的節(jié)點(diǎn),直到遍歷完所有節(jié)點(diǎn)。這種遍歷方式使用隊(duì)列作為數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)來實(shí)現(xiàn),能夠有效地保持節(jié)點(diǎn)的訪問順序。遞歸和非遞歸遍歷遞歸遍歷使用遞歸算法實(shí)現(xiàn)樹的遍歷。通過自我調(diào)用來處理每個(gè)子樹，能夠簡潔高效地遍歷整個(gè)樹。非遞歸遍歷通過使用輔助?；蜿?duì)列等數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)來模擬遞歸過程，實(shí)現(xiàn)非遞歸的樹遍歷。這種方法更適合于大規(guī)模數(shù)據(jù)處理。比較分析遞歸遍歷簡單易懂，但可能會消耗較多系統(tǒng)?？臻g。非遞歸遍歷更加靈活高效，但實(shí)現(xiàn)略顯復(fù)雜。樹的應(yīng)用數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)樹可以高效地存儲和組織數(shù)據(jù),廣泛應(yīng)用于計(jì)算機(jī)科學(xué)中的各種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu),如文件系統(tǒng)、語法分析樹等。算法設(shè)計(jì)樹的遍歷算法是很多經(jīng)典算法的基礎(chǔ),如廣度優(yōu)先搜索、深度優(yōu)先搜索等,應(yīng)用廣泛。模型表示樹可以用于表示層級結(jié)構(gòu),如組織架構(gòu)、文件目錄等,是很多問題的自然模型。決策支持決策樹是一種常用的機(jī)器學(xué)習(xí)算法,可以幫助做出復(fù)雜決策。二叉樹1基本結(jié)構(gòu)二叉樹是一種樹狀數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu),每個(gè)節(jié)點(diǎn)最多有兩個(gè)子節(jié)點(diǎn),分別稱為左子樹和右子樹。2遞歸特性二叉樹的子樹也是二叉樹,這種樹狀遞歸結(jié)構(gòu)使其具有許多優(yōu)秀的性質(zhì)和算法。3廣泛應(yīng)用二叉樹廣泛應(yīng)用于計(jì)算機(jī)科學(xué)中的各種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和算法,如二叉搜索樹、平衡二叉樹等。二叉樹的性質(zhì)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)二叉樹是一種特殊的樹形數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu),每個(gè)節(jié)點(diǎn)最多擁有兩個(gè)子節(jié)點(diǎn),分為左子樹和右子樹。這種獨(dú)特的結(jié)構(gòu)為二叉樹帶來了許多有利的性質(zhì)。遞歸性二叉樹的許多操作,如遍歷、查找、插入和刪除等,都可以用遞歸的方式來實(shí)現(xiàn),這使得二叉樹易于編碼和實(shí)現(xiàn)。空間優(yōu)化相比于一般的樹形結(jié)構(gòu),二叉樹的空間占用更加高效,因?yàn)槊總€(gè)節(jié)點(diǎn)最多只需要存儲兩個(gè)子節(jié)點(diǎn)的信息。這為內(nèi)存管理帶來了優(yōu)勢。滿二叉樹和完全二叉樹滿二叉樹滿二叉樹是一種特殊的二叉樹,所有的內(nèi)部節(jié)點(diǎn)都有左右兩個(gè)子節(jié)點(diǎn),所有的葉子節(jié)點(diǎn)都在同一層。這種結(jié)構(gòu)非常緊湊,有利于存儲和計(jì)算。完全二叉樹完全二叉樹是一種更加一般的二叉樹形式,除了最底層外,其他層的節(jié)點(diǎn)都被完全填滿,最底層的葉子節(jié)點(diǎn)都集中在靠左的若干位置上。二叉樹的遍歷先序遍歷根節(jié)點(diǎn)->左子樹->右子樹。先訪問根結(jié)點(diǎn)，然后遞歸地訪問左子樹和右子樹。中序遍歷左子樹->根節(jié)點(diǎn)->右子樹。先遞歸地訪問左子樹，然后訪問根結(jié)點(diǎn)，最后遞歸地訪問右子樹。后序遍歷左子樹->右子樹->根節(jié)點(diǎn)。先遞歸地訪問左子樹和右子樹，然后訪問根結(jié)點(diǎn)。層序遍歷從上到下逐層訪問節(jié)點(diǎn)，從左到右訪問同一層的節(jié)點(diǎn)。二叉搜索樹結(jié)點(diǎn)排序二叉搜索樹的每個(gè)結(jié)點(diǎn)都有一個(gè)鍵值，左子樹上所有結(jié)點(diǎn)的鍵值都小于根結(jié)點(diǎn)，右子樹上所有結(jié)點(diǎn)的鍵值都大于根結(jié)點(diǎn)。高效查找由于結(jié)點(diǎn)有序排列，可以采用類似于二分查找的方式快速找到目標(biāo)鍵值。支持插入刪除可以高效地對結(jié)點(diǎn)進(jìn)行插入和刪除操作，同時(shí)保持樹的有序特性。二叉搜索樹的查找、插入和刪除1搜索二叉搜索樹根據(jù)鍵值有序存儲,可以高效地進(jìn)行查找。2插入根據(jù)鍵值找到合適的位置將新節(jié)點(diǎn)插入。3刪除刪除節(jié)點(diǎn)時(shí)需要維護(hù)二叉搜索樹的性質(zhì)。二叉搜索樹是一種重要的樹型數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu),其特點(diǎn)是節(jié)點(diǎn)的左子樹均小于根節(jié)點(diǎn),右子樹均大于根節(jié)點(diǎn)。這一性質(zhì)使得二叉搜索樹能夠高效地進(jìn)行查找、插入和刪除操作。平衡二叉樹自平衡特性平衡二叉樹能自動調(diào)整樹的高度,確保每個(gè)節(jié)點(diǎn)到根節(jié)點(diǎn)的路徑長度相差不超過1,提高查找效率。旋轉(zhuǎn)操作通過左旋和右旋等操作,平衡二叉樹能動態(tài)地維護(hù)樹的平衡狀態(tài)。常見算法AVL樹和紅黑樹是兩種常見的平衡二叉樹實(shí)現(xiàn),在各種場景下有不同的優(yōu)缺點(diǎn)。AVL樹AVL樹的特性AVL樹是一種自平衡二叉查找樹，每個(gè)節(jié)點(diǎn)的左右子樹高度差至多為1。這確保了AVL樹的查找、插入和刪除操作時(shí)間復(fù)雜度為O(logn)。AVL樹的平衡機(jī)制當(dāng)插入或刪除節(jié)點(diǎn)時(shí),AVL樹會通過旋轉(zhuǎn)來維持平衡。包括左旋、右旋、左右旋和右左旋等操作。AVL樹的應(yīng)用用作高效的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu),支持快速的查找、插入和刪除操作廣泛應(yīng)用于編譯器、數(shù)據(jù)庫和文件系統(tǒng)等領(lǐng)域紅黑樹1自平衡二叉搜索樹紅黑樹是一種特殊的自平衡二叉搜索樹,能保證查找、插入和刪除在平均和最壞情況下都是對數(shù)時(shí)間復(fù)雜度。2顏色屬性每個(gè)節(jié)點(diǎn)要么是紅色,要么是黑色。根節(jié)點(diǎn)和葉子節(jié)點(diǎn)(NIL節(jié)點(diǎn))必須是黑色。3平衡性質(zhì)從根到葉子的所有路徑上,黑色節(jié)點(diǎn)的數(shù)量相同。這確保了樹的高度不會太高。4適用場景紅黑樹廣泛應(yīng)用于數(shù)據(jù)庫索引、虛擬內(nèi)存管理和其他需要高效查找的場景。堆什么是堆堆是一種特殊的樹型數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，它滿足二叉樹的性質(zhì)，同時(shí)又附加了一些特殊的性質(zhì)。堆通常用數(shù)組來實(shí)現(xiàn)，能夠高效地進(jìn)行插入、刪除和查找最大或最小元素的操作。堆的特性堆分為大根堆和小根堆兩種。大根堆要求父節(jié)點(diǎn)的值大于或等于其子節(jié)點(diǎn)的值,小根堆要求父節(jié)點(diǎn)的值小于或等于其子節(jié)點(diǎn)的值。堆的這些特性確保了高效的查找最大值或最小值操作。堆的操作1建立堆從一個(gè)無序的數(shù)組或者二叉樹構(gòu)建一個(gè)滿足堆定義的二叉樹。通常采用自下而上的方法。2堆的調(diào)整當(dāng)某個(gè)節(jié)點(diǎn)的值發(fā)生變化時(shí),需要對該節(jié)點(diǎn)及其子樹進(jìn)行調(diào)整,以滿足堆的定義。3堆的插入將一個(gè)新元素插入到堆中,并調(diào)整堆使其保持定義。通常采用自下而上的方法。4堆的刪除從堆中刪除一個(gè)元素,并調(diào)整堆使其滿足定義。通常采用先刪除根節(jié)點(diǎn),再調(diào)整的方法。并查集聯(lián)通性檢查并查集能快速判斷兩個(gè)元素是否屬于同一連通分量。動態(tài)合并并查集支持動態(tài)地合并兩個(gè)不同的集合，應(yīng)用廣泛。時(shí)間復(fù)雜度并查集的查找和合并操作可達(dá)到接近常數(shù)時(shí)間的復(fù)雜度。樹狀數(shù)組樹狀數(shù)組結(jié)構(gòu)樹狀數(shù)組是一種特殊的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu),利用二進(jìn)制的特性來實(shí)現(xiàn)高效的區(qū)間查詢和修改操作。它由一系列的節(jié)點(diǎn)組成,每個(gè)節(jié)點(diǎn)代表一個(gè)區(qū)間。應(yīng)用場景樹狀數(shù)組常用于解決區(qū)間求和、區(qū)間最大/最小值等問題,在多種算法中都有應(yīng)用,如離散傅里葉變換、動態(tài)規(guī)劃等。操作過程對于樹狀數(shù)組的查詢和修改操作,都可以通過O(logn)的時(shí)間復(fù)雜度完成,非常高效。廣度優(yōu)先搜索隊(duì)列數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)廣度優(yōu)先搜索(BFS)利用隊(duì)列數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)保存待訪問的節(jié)點(diǎn)。隊(duì)列的先進(jìn)先出特性確保了以層級順序遍歷圖或樹結(jié)構(gòu)。逐層訪問BFS從起始節(jié)點(diǎn)開始,首先訪問其相鄰節(jié)點(diǎn),然后再訪問這些相鄰節(jié)點(diǎn)的相鄰節(jié)點(diǎn),以此類推,直到所有節(jié)點(diǎn)都被訪問。時(shí)間復(fù)雜度BFS的時(shí)間復(fù)雜度為O(V+E),其中V是節(jié)點(diǎn)數(shù),E是邊數(shù)。這使得它非常適用于求解最短路徑問題。廣泛應(yīng)用BFS廣泛應(yīng)用于圖搜索、迷宮求解、社交網(wǎng)絡(luò)分析等領(lǐng)域,是一種重要的圖遍歷算法。深度優(yōu)先搜索1探索到底盡可能深入地搜索每個(gè)分支2遍歷整棵樹確保所有節(jié)點(diǎn)都被訪問過一遍3時(shí)間效率高最大限度地減少重復(fù)訪問節(jié)點(diǎn)深度優(yōu)先搜索(Depth-FirstSearch,DFS)是一種常見的樹和圖遍歷算法。它通過盡可能深入地探索每個(gè)分支,確保整棵樹或圖被完全遍歷。與廣度優(yōu)先搜索相比,DFS具有時(shí)間效率高的優(yōu)點(diǎn),因?yàn)樗畲笙薅鹊販p少了重復(fù)訪問節(jié)點(diǎn)的情況。這種算法廣泛應(yīng)用于各種計(jì)算機(jī)科學(xué)領(lǐng)域,如路徑搜索、拓?fù)渑判虻?。遞歸樹1定義遞歸樹是一種特殊的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu),它可以遞歸地定義自身的子樹。每個(gè)節(jié)點(diǎn)可以有任意數(shù)量的子節(jié)點(diǎn)。2應(yīng)用場景遞歸樹常用于表示遞歸算法的執(zhí)行過程,可以幫助理解和分析算法的時(shí)間復(fù)雜度。3構(gòu)建方法通過分析算法的遞歸調(diào)用情況,可以逐步構(gòu)建出相應(yīng)的遞歸樹模型。4分析應(yīng)用在遞歸樹上分析算法的時(shí)間復(fù)雜度,有助于更好地理解算法的性能特點(diǎn)?？偨Y(jié)與思考知識