通信數(shù)學(xué)教程 第六章 定積分及其應(yīng)用

微積分基本公式

定積分的基本積分法則

廣義積分

定積分的應(yīng)用定積分的概念與性質(zhì)第6章定積分及其應(yīng)用§6·1§6·2§6·3§6·4§6·5§6·1定積分的概念與性質(zhì)何謂曲邊梯形？請(qǐng)看下列兩圖形。6.1.1曲邊梯形的面積問題平面封閉圖形均可理解成數(shù)個(gè)曲邊梯形的集合。曲邊梯形：三條直邊和一條曲邊圍成的幾何圖形

abxyo求曲邊梯形的面積A的思路如下：用矩形面積近似取代曲邊梯形面積：abxyo（四個(gè)小矩形）abxyo（九個(gè)小矩形）顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積．觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．播放6.1.1曲邊梯形的面積問題曲邊梯形：三條直邊和一條曲邊圍成的幾何圖形問題：它的面積又是怎么樣的呢？

6.1.2定積分的定義

積分下限積分上限被積函數(shù)被積表達(dá)式積分和

積分存在定理：6.1.3定積分的幾何意義

(a)(b)(c)6.1.4定積分的簡單性質(zhì)

解（1）真；（2）真；（3）假.

§6·2微積分學(xué)基本公式變速直線運(yùn)動(dòng)中位置函數(shù)與速度函數(shù)的聯(lián)系6.2.1變上限函數(shù)（積分上限函數(shù)）及其導(dǎo)數(shù)

2.變上限函數(shù)的基本性質(zhì)

1.變上限函數(shù)的定義

說明：

例2.計(jì)算下列各函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

定理2（原函數(shù)存在定理）（1）肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的.（2）初步揭示了積分學(xué)中的定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系.

定理的重要意義：6.2.2微積分基本公式

猜想：

§6·3定積分的基本積分法則

牛頓-萊布尼茨公式把定積分的計(jì)算轉(zhuǎn)化為不定積分的計(jì)算，因而求不定積分的方法都可以用于求定積分。由于定積分上下限的存在，那么在變量代換時(shí)和定積分有什么區(qū)別呢？

6.3.1定積分的換元積分法

注意：

6.3.2定積分的分部積分法

§6·4

廣義積分1）被積函數(shù)必須是有2）積分區(qū)間必須是有限區(qū)間不滿足（1），稱為有限區(qū)間上無界函數(shù)的積分，通常稱為無界函數(shù)的廣義積分，簡稱瑕積分不滿足（2），稱為無限區(qū)間上的積分，通常稱無窮區(qū)間上的廣義積分，簡稱無窮積分。廣義積分：不滿足定積分兩個(gè)條件之一定積分（常義積分）滿足的條件：

6.4.1無窮區(qū)間上的廣義積分【例6.18】如圖6-9所示，求區(qū)間上，曲線下方和軸上方之間的開口曲邊梯形面積

§6·5

定積分的應(yīng)用

6.5.1平面圖形的面積

X—型平面圖形,如圖6–11a特點(diǎn)：“上下是曲邊、左右為直邊”Y—型