概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二章課后習(xí)題答案

概率論與數(shù)理統(tǒng)計課后習(xí)題答案

第二章

I.一袋中有5只乒乓球，編號為1,2,3,4,5,在其中同時取3只，以X表示取出的3只

球中的最大號碼，寫出隨機變量X的分布律.

【解】

X=3,4,51

c3=0.1

5

35

-

c-3=0.3

3

c2

4

=0.6

故所求分布律為

X345

P0.10.30.6

2.設(shè)在15只同類型零件中有2只為次品，在其中取3次，每次任取I只，作不放回抽樣,

以X表示取出的次品個數(shù)，求：

（1）X的分布律；

（2）X的分布函數(shù)并作圖；

（3）

133

P{XX<-},P{\<X<-},P{\<X<2}.

222

【解】

X=0,1,2.

C22

p(X=0)=8=

35

=C；C；3J2

P(X=1)

Cl35

尸(X=2)=

*35

故X的分布律為

X012

p22121

353535

(2)當工＜0時，F(xiàn)(x)=P(XWx)=0

22

當OWx<l時，F(xiàn)(x)=P(XWx)=P(X=O)=—

35

34

當lW/<2時，F(xiàn)(x)=P(XWx)=P(X=O)+P(X=1)=——

35

當x22時，F(xiàn)(x)=P(XWx)=1

故X的分布函數(shù)

0,x<0

F(x)=?

x>2

(3)

3.射手向目標獨立地進行了3次射擊，每次擊中率為03,求3次射擊中擊中目標的次數(shù)的

分布律及分布函數(shù)，并求3次射擊中至少擊中2次的概率.

【解】

設(shè)X表示擊中目標的次數(shù)廁X=0,1,2,3.

P(X=0)=(0.2)3=0.008

p(X=l)=C；0.8(0.2)2=0.096

P(X=2)=C；(0.8)20.2=0.384

p(X=3)=(0.8)3=0.512

故X的分布律為

X0123

P0.0080.09603840.512

分布函數(shù)

0,x<0

0.008,0<x<l

尸(一=,0.104,l<x<2

0.488,2<A<3

J,x>3

P(X>2)=P(X=2)+-(X=3)=0.896

4.(1)設(shè)隨機變量X的分布律為

無

P{X=k}=a—,

其中A=0,I,2,…，4>0為常數(shù)，試確定常數(shù)a

(2)設(shè)隨機變量X的分布律為

P{X=k}=a/N,^=1,2,…，N,

試確定常數(shù)口

【解】(1)由分布律的性質(zhì)知

0082k

\=^P(X=k)=a^—=

i=o&=oK-

故a=e-z

(2)由分布律的性質(zhì)知

NN

l=￡p(X=Q=2行n=4

k=\Jt=lN

即a=\.

5.甲、乙兩人投籃，投中的概率分別為0.607,今各投3次，求：

(1)兩人投中次數(shù)相等的概率；

(2)甲比乙投中次數(shù)多的概率.

【解】分別令X、y表示甲、乙投中次數(shù)，則X"(3,0.6),y~b(3,0.7)

(1)

p(X=3,y=3)

=(O.4)3(O.3)3+C；O.6(O,4)2C；O.7(O.3)2+

(0.6)20.4C^(0.7)20.3+(0.6)3(0.7)3

=0.32076

(2)

=0.243

6.設(shè)某機場每天有200架飛機在此降落，任一飛機在某一時刻降落的概率設(shè)為0.02,且設(shè)各

飛機降落是相互獨立的.試問該機場需配備多少條跑道，才能保證某?時刻飛機需立即降

落而沒有空閑跑道的概率小于0.01(每條跑道只能允許一架飛機降落)？

［解】設(shè)X為某--時刻需立即降落的飛機數(shù)，則X4(200002),設(shè)機場需配備N條跑道,

則有

P(X>N)<0.0\

200

A200

即￡C^)(O.O2)(O.98)^<0.01

Jt=N+l

利用泊松近似

%=〃〃=200x0.02=4.

故得。-P)2=］，

1

即

從而p(r>i)=i-p(y=o)=i-(i-p)4=0.80247

81

12.某教科書出版了2000班，因裝訂等原因造成錯誤的概率為0.001,試求在這2000冊書中

恰有5冊錯誤的概率.

【解】令X為2000冊書中錯誤的冊數(shù)，則XMQOOO.O.COl).利用泊松近似計算，

%=叩=2000x0.001=2

e-22;

得P(X=5)?——=0.0018

5!

31

13.進行某種試驗，成功的概率為二，失敗的概率為一.以X表示試驗首次成功所需試驗的次

44

數(shù)，試寫出X的分布律，并計算X取偶數(shù)的概率.

【解】X=l,2,,k「

P(X=k)=(；廣弓

P(X=2)+P(X=4)+,,+P(X=2Q+

13J”.13

44444

1

34_1

北有寧

4

14.有2500名同一年齡和同社會階層的人參加了保險公司的人壽保險.在一年中每個人死亡

的概率為0.002,每個參加保險的人在1月1口須交12元保險費，而在死亡時家屬可從

保險公司領(lǐng)取2000元賠償金.求：

(1)保險公司虧本的概率；

(2)保險公司獲利分別不少于10000元、20000元的概率.

【解】以“年”為單位來考慮.

(1)在1月1日，保險公司總收入為25(X)X12=30000元.

設(shè)1年中死亡人數(shù)為X,則X~%(25OO0.OO2),則所求概率為

P(2000X>30000)=P(X>15)=1-P(X<14)

由于〃很大，〃很小，4二叩=5,故用泊松近似，有

14e-54r*

P(X>15)al-Z-------?0.000069

hOk\

⑵P(保險公司獲利不少于10000)

=尸(30000—2000X>10000)=P(X<10)

10e-5ck

0.986305

hk!

即保險公司獲利不少戶10000元的概率在98%以上

P(保險公司獲利不少于20000)=P(30000-2000X>20000)=P(X<5)

,e-35*

——?0.615961

總k!

即保險公司獲利不少于20000元的概率約為62%

15.已知隨機變量X的密度函數(shù)為

fix)=Ae~M,-8<e+8,

求：⑴4值;(2)P{0<X<l);(3)F(x).

【解】⑴由匚/。)心=1得

1=]：AeMdx=2[Ae-&=2A

故A=—.

2

(2)〃(0<X<l)T/&=；(l_eT)

(3)當x<0時，F(xiàn)(x)=f—evdx=—e'

Jy22

當Q()時，F(xiàn)(x)=￡，”心=j：^evdx+￡r-ie-J:dx

—ev,x<0

2

故F(x)=

l--e-rx>0

2

16.設(shè)某種儀器內(nèi)裝有三只同樣的電子管，電子管使用壽命X的密度函數(shù)為

粵，x>100,

x

[0,x<100.

求：(1)在開始150小時內(nèi)沒有電子管損壞的概率;

(2)在這段時間內(nèi)有?只電子管損壞的概率；

(3)F(%).

【解】

fl501001

(1)P(X<150)=[斗dx=—.

JiooY3

p,=[P(X>150)]3=

⑵P2=C*|Y

(3)當rUOO時>(x)=0

當x2100時F(x)=J：/(/XI/

f100rx

=LJ(即L/。2

10()

1x>100

故F(x)=?x

0,x<0

17.在區(qū)間［0,al上任意投擲一個質(zhì)點，以X表示這質(zhì)點的坐標，設(shè)這質(zhì)點落在［0,?］

中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這小區(qū)間長度成正比例，試求X的分布函數(shù).

【解】由題意知乂~口［0,用，密度函數(shù)為

0<x<a

fM=?a'

0,其他

故當x<0時F(x)=0

=匚/(辿=「/(/業(yè)=］。口=:

當時Fix)

當x>a時，F(xiàn)(x)=1

即分布函數(shù)

0,x<0

X

F(x)=<0<x<

a

1,x>a

18.設(shè)隨機變量X在［2,5］上服從均勻分布.現(xiàn)對X進行三次獨立觀測，求至少有兩次的觀測

值大于3的概率.

【解】X~U［Z5］,即

,2<x<5

/?=3

0,其他

:512

P(X>3)=[-dv=-

故所求概率為

19.設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時間X(以分鐘計)服從指數(shù)分布E(《).某顧客在窗口

等待服務(wù)，若超過1()分鐘他就離開.他一個月要到銀行5次，以丫表示一個月內(nèi)他未等

到服務(wù)而離開窗口的次數(shù)，試寫出y的分布律，并求P{Y2I}.

【解】依題意如X~E(g),即其密度函數(shù)為

1--

〃\-e5,x>0

0,x<0

該顧客未等到服務(wù)而離開的概率為

P(X>10)=["-e^dA-=e-2

J105

y~"5,e-2),即其分布律為

P(Y=k)=C^e2)A(l-e-2產(chǎn)次=0,1,2,3,4,5

P(y>l)=l-P(r=0)=l-(l-e-2)5=0.5167

20.某人乘汽車去火車站乘火車，有兩條路可走.第一條路程較短但交通擁擠，所需時間X服

從N(40,IO?)：第二條路程較長，但阻塞少，所需時間X服從N(50,42).

(1)若動身時離火車開車只有1小時，問應(yīng)走哪條路能乘上火車的把握大些？

(2)又若禽火車開車時間只有45分鐘，問應(yīng)走哪條路趕上火車把握大些？

【解】⑴若走第一條路,X-N(40,102),則

(r-4060-40^

P(X<60)=Py—<]()卜。(2)=0.97727

若走第二條路，X~N(50,42),則

P(X<60)=P[<60-501=G(2.5)=0.9938++

I44；

故走第二條路乘上火車的把握大些.

(2)若X~N(40,102),則

<X-4045—40、

P(X<45)=PyJ=0(0.5)=0.6915

若X~N(50,42),則

P(X<45)=P[<45-50>|=0(-1.25)

I44)

=1-^(1.25)=0.1056

故走第一條路乘上火車的把握大些.

21.設(shè)X~N(3,22),

(1)求口2<X55},P{-4<X<I0},P{\X\>2},P{X>3};

(2)確定c?使尸{X>c}二P{XWc}.

【解】(1)P(2<X<5)=pf—

I222

\\f11

=0(l)-0——=0(1)-1-F0-

I2)[2)

=0.8413-1+0.6915=0.5328

X-310-3>

P(-4<X<10)=Pl/^-4-—3<<

=0.9996

P(\X\>2)=P(X>2)+P(X<-2)

=0.6915+1-0.9938=0.6977

P(X>3)=P(^~^>—)=1-0(0)=0.5

22

(2)c=3

22.由某機器生產(chǎn)的螺栓長度(cm)X~N(10.05,0.062)，規(guī)定長度在10.05±0.12內(nèi)為合格品,

求一螺栓為不合格品的概率.

X-10.050.12)

【解】P(|X-10.051>0,12)=P>----

0.060.06J

=1-⑦⑵+0(—2)=211-S(2)]

=0.0456

23.一工廠生產(chǎn)的電子管壽命X(小時)服從正態(tài)分布N(160,『)，若要求P{120VXW200}

20.8,允許。最大不超過多少？

120-160X-160200-160

【解】P(120<X<200i=P---------<<

(7<y<y

故o-<—=31.25

1.29

24.設(shè)隨機變量X分布函數(shù)為

A+Bex,,x>0,

F(x)=-a＞（））,

0,x<0.

(1)求常數(shù)A,B；

(2)求P[XW2),P{.￥>3}；

(3)求分布密度f(x).

limF(x)=1A=1

【解】3）由4得4

limF(x)=limF(x)B=-\

kx->0+x->0-

(2)P(X<2)=F(2)=l-e-2/l

P(X>3)=1-F(3)=l-(l-e-^)=e⑹

⑶/(x)=F")=F;

0,x<()

25.設(shè)隨機變量X的概率'密度為

x,0<x<1,

f(x)=?2-尤，1<A<2,

0,其他

求X的分布函數(shù)/(x),并畫出了(X)及尸(X).

【解】當工<0時F(x)=0

當OWxvl時F(x)=J：/⑴山=J：f(t)dt+￡'f(t)dt

當lWx<2時尸。)=匚/(。曲

=J：/⑺由=￡/⑺山+

=￡rdr+j|(2-r)dr

1rJ3

222

7

X"c,

=------\-2x-\

2

當時/（元）==l

0,x<()

廠

()<X<1

2

故R(x)=

l<x<2

x>2

26.設(shè)隨機變最X的密度函數(shù)為

（1）M=ae-W,X>0;

bx,0<x<1,

（2）府尸二，l<x<2,

廠

0,其他

試確定常數(shù)“力，并求其分布函數(shù)/（》）.

【解】（I）由「f（x）dx=1知1=J：惚一如出=2a^eAx（ix=烏

故a=—

2

-e-A\x>0

即密度函數(shù)為/*)=｛；2

-e^x<0

12

當xWO時F(x)=J：/(x)dx=J：也=gV"

當A>0時F(x)=J：/(x)dx=J：|eXvdA+￡|e'&

故其分布函數(shù)

x>0

x<0

=「/"）曲0出+導(dǎo)

(2)由1

22

得b=\

即X的密度函數(shù)為

x,0cx<1

f(x)=-―—,1Wx<2

廠

0,其他

當D時F(x)=0

當Ooy1時F(x)=j]/(x)cLr=工/(x)dA+￡/(x)dx

=fxdx=^

Jo2

當1Wxv2時F(x)=J'/(x)dr=J°Odr+￡xdx+J；—d.v

31

=———

2x

當x22時尸(x)=1

故其分布函數(shù)為

0,x<0

2

F(x}=\—2,0<x<l

1,x>2

27.求標準正態(tài)分布的上a分位點，

(1)a=0.01,求z〃；

(2)a=0.003,求z°,zafl.

【解】(I)P(X>za)=0.01

即l-0(zj=O.Ol

即0&)=0.09

故Za=2.33

(2)由P(X>Za)=0.003得

1-=0.003

即0(za)=0.997

查表得Za=2.75

由P(X>Z。2)=0?0015得

l-0(zo/2)=0.0015

即G(Za/2)=09985

查表得Za/2=2.96

28.設(shè)隨機變量X的分布律為

X-2-1013

Pk1/51/61/51/1511/30

求y=x2的分布律.

【解】y可取的值為0,1,4,9

p(y=0)=P(X=0)=1

117

p(y=l)=p(X=-1)+p(X=l)=-+—=—

61530

尸(y=4)=尸(X=-2)=-

p(y=9)=p(x=3)q

故y的分布律為

Y0149

Pk1/57/301/511/30

29.設(shè)P[X=4}=(-y,k=12…，令

2

v1,當X取偶數(shù)時

-1,當X取奇數(shù)時.

求隨機變量X的函數(shù)y的分布律.

【解】P(y=l)=P(X=2)+P(X=4)++P(X=2k)+

=g)2+(；)"++(；產(chǎn)+-

=4)/(1-7)=7

443

POZ=1)=|

=-1)=1-4

30.設(shè)X~N(0,1).

(1)求丫=爐的概率密度；

(2)求Y=2X2+1的概率密度；

(3)求y=ixi的概率密度.

【解】⑴當yWO時，4(y)=P(YMy)=0

x

當y>0時,Fr(y)=P(Y<y)=P(e<y)=P(X<Iny)

=C/x*)S

-,n22

故fy(y)=叫⑴=-/v(lny)=--^=e',y>0

dyyy\2式

⑵P(r=2X2+l>l)=l

當）wi時以（），）=p（y4），）=o

當y>l時K(y)=P(Y<y)=P(2X2+1<y)

故

(3)P(Y>0)=1

當），W0時耳（y）=尸（丫4），）=0

當)>0時FY(y)=P(\X\<y)=P(-y<X<y)

=「/x(x)ck

故人(y)=；6⑶)=fx(y)+fx(-30

dy

2/2

Fe,y>0

31.設(shè)隨機變量X~U（0,1）,試求:

（1）hex的分布函數(shù)及密度函數(shù)；

（2）Z=-21nX的分布函數(shù)及密度函數(shù).

【解】(1)P(O<X<1)=1

故P(l<r=eA<e)=l

當,，VI時4(y)-0(yVy)-0

x

當l<y<e時FY(y)=P(e<y)=P(X<Inj)

rlny

=]()dr=Iny

當)，2e時4()，)二。(/W)，)=l

即分布函數(shù)

0,y<\

鳥(y)={lny,1<y<e

1,y?e

故y的密度函數(shù)為

—1<y<e

人(y)Ty，

o,其他

(2)由P(O<X<1)=1知

P(Z>0)=1

當zWO時，F(xiàn)z(z)=P(Z<z)=O

當z>0時，F(xiàn)z(z)=P(Z<z)=P(-21nX<z)

=P[\nX<--)=P(X>QZ,2)

2

=工“盧=1—e±2

即分布函數(shù)

[0,z<0

%(z)=

l-ez/2,z>0

故z的密度函數(shù)為

e-z/2,z>0

/z(z)=5

0,z<0

32.設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為

2x

0<X<71,

7T

0,其他.

試求hsinX的密度函數(shù).

【解】p（o<y<i）=i

當)WO時，F(xiàn)Y(y)=P(Y<y)=O

當0<><1時,K(y)=P(Y<y)=尸(sinX<y)

=P(O<X<arcsiny)+P(K-arcsiny<X<71)

farcsiny2x,

—d.r+

Jo兀2J^-arcsiny兀~

=-y(arcsiny)2+1-arcsin

TC7T71

2

=-arcsiny

Tt

當時,Zy(y)=l

故丫的密度函數(shù)為

21

,0<y<1

=<

fY(y)兀

0,其他

33.設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)如下:

1

。(⑴，

1+x29

⑵，x>(3).

試填上⑴，⑵,⑶項.

【解】由lim/3=1知②填lo

Kfg

由右連續(xù)性limFix）=b（無）=1知/=0,故①為0。

KT君

從而③亦為0。即

1

x<0

\+x2

1,x>()

34.同時擲兩枚骰子，直到一枚骰子出現(xiàn)6點為止,求拋擲次數(shù)X的分布律.

【解】設(shè)4尸｛第i枚骰子出現(xiàn)6點｝。（i=l,2）,尸入）=’.且4與A2相互獨立。再設(shè)G｛每次

6

拋擲出現(xiàn)6點｝。則

P（C）=P（AUA2）=P（A）+P（4）—P（4）P（4）

111111

=—|---------x-=—

666636

故拋擲次數(shù)X服從參數(shù)為"的幾何分布。

36

35.隨機數(shù)字序列要多長才能使數(shù)字0至少出現(xiàn)一次的概率不小于().9?

【解】令X為0出現(xiàn)的次數(shù)，設(shè)數(shù)字序列中要包含〃個數(shù)字，則

P［X>\)=\-P(X=0)=l—C，(0.1)°(0.9)“N0.9

即(0.9f<0.1

得“222

即隨機數(shù)字序列至少要有22個數(shù)字。

36.己知

0,x<0,

F(x)=?x+—,()?X<—,

22

口

2

則尸(外是()隨機變量的分布函數(shù).

(A)連續(xù)型；(。)離散型;

(C)非連續(xù)亦非離散型.

【解】因為尸(x)在(-8,+8)上單調(diào)不減右連續(xù)，且limFW=0

limF(x)=1,所以F(x)是一個分布函數(shù)。

X—>-KC

但是尸(x)在尸0處不連續(xù)，也不是階梯狀曲線,故FG)是非連續(xù)亦非離散型隨

機變量的分布函數(shù)，選(C)

37.設(shè)在區(qū)間⑼上，隨機變量X的密度困數(shù)為於尸sinx,而在陵,句外,/(x)=O,則區(qū)間［a,b］

等于()

(A)［0,n/2J;(B)。"1；

(C)［-n/2,0］;(D)

7Trn/2

【解】在［0,一］上sinx20,且Isinxdx=l.故段)是密度函數(shù)。

2Jo

在［0,兀］上，sin.uix=2。1.故7U)不是密度函數(shù)。

在［―17T,0］上sinxWO,故Kr)不是密度函數(shù)。

33

在［0,—兀］上，當71cxW—兀時，siru<(),人工)也不是密度函數(shù)。

22

故選(A)。

38.設(shè)隨機變量X~N(0,)2),問：當。取何值時，X落入?yún)^(qū)間(1,3)的概率最大？

1VQ

【解】因為X~N(0面),P(l<X<3)=P(-<—<-)

aaa

3|

=①(一)-①(一)令g(b)

oo=

利用微枳分中求極值的方法，有

3311

g's)=(--m-)+—ox-)

b7a<y~a

_310-9/2」1107/2」

一戶厲/歷

-」、e7/2叫1_3e⑻2/J-0

而6

42

得'則0。=不Q

In3Jin3

又g〃(bo)<O

2

故/<-=為極大值點且惟一。

x/ln3

2

故當b=-時X落入?yún)^(qū)間(1,3)的概率最大。

Vln3

39.設(shè)在一段時間內(nèi)進入某一商店的顧客人數(shù)X服從泊松分布P(X),每個顧客購買某種物

品的概率為〃，并且各個顧客是否購買該種物品相互獨立，求進入商店的顧客購買這種

物品的人數(shù)y的分布律.

【解】P(X=〃1)=^^,〃2=O,1,2,…

/W!

設(shè)購買某種物品的人數(shù)為匕在進入商店的人數(shù)M=陽的條件下，卜伙〃*),即

P(Y=k\X=m)=C；”pA(1—p尸,k=0,1,,m

由全概率公式有

P(Y=k)=￡p(X=m)P(Y=k\X=m)

nt=k

m

=Z8a"/2-?c?(”pL

m=k，〃！

g】m

=e-2y—-——d(l-〃尸

￡女!(〃2-4)！

-A(Wyw-p)rA

=Ck!幺(m-ky.

A

_(Ap)AM_py

—cc

k\

二^^e叫Z=Q1,2,…

k\

此題說明：進入商店的人數(shù)服從參數(shù)為人的泊松分布，購買這種物品的人數(shù)仍服從泊

松分布，但參數(shù)改變?yōu)橛?

4().設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布.證明：丫=1丑4在區(qū)間(()，I)上服從均勻分布.

【證】X的密度函數(shù)為

2e2xx>()

x<0

由于P(X>0)=1,故0<l-e-2x<],即P(0<y<l)=1

當yWO時,Fy(y)=0

當1時，F(xiàn)y(y)=1

-2r

當0<)<l時，F(xiàn)Y(y)=P(Y<y)=P(e>1-y)

=P(X<-1ln(l-y))

p--ln(l-y)

2e=y

Jo

即丫的密度函數(shù)為

1,0<J<1

人()')=,

0,其他

即y?u(o,i)

41.設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為

1

-

3

2