專(zhuān)題01相交線(xiàn)與平行線(xiàn)教材講練-2021-2022學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)高頻考點(diǎn)專(zhuān)題突破（北師大版）（原卷版）

專(zhuān)題01相交線(xiàn)與平行線(xiàn)教材同步講練知識(shí)點(diǎn)11余角、補(bǔ)角、對(duì)頂角的概念和性質(zhì)1）余角：∠1＋∠2＝90°?∠1與∠2互為余角；2）補(bǔ)角：∠1＋∠2＝180°?∠1與∠2互為補(bǔ)角．3）性質(zhì)：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的補(bǔ)角相等．4）鄰補(bǔ)角的概念：兩個(gè)角有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長(zhǎng)線(xiàn)的兩個(gè)角互為鄰補(bǔ)角。（兩條相交線(xiàn)可組成4對(duì)鄰補(bǔ)角）5）對(duì)頂角的概念：兩個(gè)角只有一個(gè)公共頂點(diǎn)，一個(gè)角的兩條邊是另一個(gè)角兩條邊的反向延長(zhǎng)線(xiàn)。（兩條相交線(xiàn)組成2對(duì)對(duì)頂角）6）對(duì)頂角的性質(zhì)：對(duì)頂角相等（利用鄰補(bǔ)角的性質(zhì)可證明）例1．（2021·黑龍江·哈爾濱市第四十七中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）如圖中，∠1和∠2是對(duì)頂角的是（）A．B．C．D．變式1．（2021·廣東揭陽(yáng)市·七年級(jí)期中）下面各圖中，∠1與∠2是對(duì)頂角的是（）A．B．C．D．變式2．（2021·成都·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖所示，有一個(gè)破損的扇形零件，利用圖中的量角器可以量出這個(gè)扇形零件的圓心角的度數(shù)，你能說(shuō)出所量的角是____度，你的根據(jù)是____________．例2．（2021·山東臨沂市·七年級(jí)期末）已知，，則與的關(guān)系為（）A．相等 B．互余 C．互補(bǔ) D．以上都不對(duì)5．（2021·浙江寧波市·七年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)在直線(xiàn)上，，那么下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．與相等B．與互余C．與互補(bǔ)D．與互余例2．（2021·吉林·長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，直線(xiàn)AB、CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠BOC，若∠BOD：∠BOE=1：2，則∠AOE的大小為（）A．72°B．98°C．100°D．108°變式3．（2021·安徽合肥市·七年級(jí)期末）如果和互余，則下列式子中表示補(bǔ)角是（）①180°－；②＋2；③2＋；④＋90°A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④例3．（2021·北京海淀區(qū)·北大附中七年級(jí)期末）將一副三角板按如圖所示位置擺放，其中與一定互補(bǔ)的是（）A．B．C． D．變式4．（2021·湖北隨州市·七年級(jí)期末）如圖，直線(xiàn)，交于點(diǎn)，射線(xiàn)平分，如果，那么等于（）A．38° B．37° C．36° D．52°變式5.（2021·浙江嘉興市·七年級(jí)期末）將一把直尺和一塊三角板如圖疊放，直尺的一邊剛好經(jīng)過(guò)直角三角板的直角頂點(diǎn)且與斜邊相交，則與一定滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系是（）A． B． C． D．例4．（2021·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)期末）如圖，直線(xiàn)AB、CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠BOD，OF⊥CD，垂足為O，若∠BOF=38°．（1）求∠AOC的度數(shù)；（2）過(guò)點(diǎn)O作射線(xiàn)OG，使∠GOE=∠BOF，求∠FOG的度數(shù)．變式6．（2021·浙江溫州市·七年級(jí)期末）如圖，直線(xiàn)AB與直線(xiàn)CD相交于點(diǎn)O，射線(xiàn)OE在內(nèi)部，OA平分．（1）當(dāng)時(shí)，寫(xiě)出圖中所有與互補(bǔ)的角．（2）當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)．知識(shí)點(diǎn)12垂線(xiàn)的概念和性質(zhì)1）垂線(xiàn)的概念：當(dāng)兩條直線(xiàn)相交所形成的四個(gè)角中，有一個(gè)角為直角時(shí)，就稱(chēng)這兩條直線(xiàn)相互垂直。（實(shí)際上，四個(gè)角都為直角）2）如下圖，兩條垂線(xiàn)的交點(diǎn)M叫作“垂足”，兩條直線(xiàn)用“⊥”符號(hào)表示，讀作“垂直”，表示為：AB⊥CD，讀作：AB垂直于CD3）垂線(xiàn)的性質(zhì)：在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)（直線(xiàn)內(nèi)或直線(xiàn)外）有且只有一條直線(xiàn)與已知直線(xiàn)垂直注：（1）垂線(xiàn)的性質(zhì)中，有2點(diǎn)需要格外：=1\*GB3①必須強(qiáng)調(diào)在同一平面內(nèi)；=2\*GB3②點(diǎn)可在直線(xiàn)外，也可在直線(xiàn)上。（2）同一平面內(nèi)，兩條直線(xiàn)只有相交和平行兩種關(guān)系，其中垂直是特殊的相交。4）垂線(xiàn)段的性質(zhì)：連接直線(xiàn)外一點(diǎn)與直線(xiàn)上各點(diǎn)的所有線(xiàn)段中，垂線(xiàn)段最短（簡(jiǎn)稱(chēng)為：垂線(xiàn)段最短）5）點(diǎn)到直線(xiàn)的距離：直線(xiàn)外一點(diǎn)到這條直線(xiàn)的垂線(xiàn)段的長(zhǎng)度例1．（2021·河南鄭州·七年級(jí)期末）小紅在學(xué)習(xí)垂線(xiàn)時(shí)遇到了這樣一個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)你幫她解決：如圖，線(xiàn)段AB和CD相交于點(diǎn)O，則下列條件中能說(shuō)明AB⊥CD的是（）A．AO＝OB B．CO＝OD C．∠AOC＝∠BOD D．∠AOC＝∠BOC變式1．（2021·全國(guó)·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）下面四種判斷兩條直線(xiàn)垂直的方法正確的有（）個(gè)．（1）兩條直線(xiàn)相交所成的四個(gè)角中有一個(gè)角是直角，則這兩條直線(xiàn)互相垂直．（2）兩條直線(xiàn)相交，有一組鄰補(bǔ)角相等，則這兩條直線(xiàn)互相垂直．（3）兩條直線(xiàn)相交，所成的四個(gè)角相等，這兩條直線(xiàn)互相垂直．（4）兩條直線(xiàn)相交，有一組對(duì)頂角互補(bǔ)，則這兩條直線(xiàn)互相垂直．A．4 B．3 C．2 D．1變式2．（2021·全國(guó)·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）兩條直線(xiàn)相交所成的四個(gè)角中，下列條件中能判定兩條直線(xiàn)垂直的是（）．A．有兩個(gè)角相等 B．有兩對(duì)角相等 C．有三個(gè)角相等 D．有四對(duì)鄰補(bǔ)角例2．（2021·黑龍江·哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校七年級(jí)期中）已知直線(xiàn)AB、CD相交于點(diǎn)O，且A、B和C、D分別位于點(diǎn)O兩側(cè)，OE⊥AB，，則____________．變式3．（2021·安徽·銅陵市第十五中學(xué)七年級(jí)期中）如果兩個(gè)角的兩邊分別垂直，其中一個(gè)角比另一個(gè)角的2倍少，那么這兩個(gè)角的和是__________．例3．（2021·遼寧·營(yíng)口市老邊區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校七年級(jí)期中）平面內(nèi)兩條直線(xiàn)、相交于點(diǎn)，，恰好平分．（1）如圖1，若，求數(shù)；（2）在圖1中，若，請(qǐng)求出的度數(shù)（用含有的式子表示），并寫(xiě)出和的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖2，當(dāng)，在直線(xiàn)的同側(cè)時(shí)，和的數(shù)量關(guān)系是否會(huì)發(fā)生改變？若不變，請(qǐng)直接寫(xiě)出它們之間的數(shù)量關(guān)系；若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．變式4．（2021·江蘇盱眙·七年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)O在直線(xiàn)AB上，OC．OD是兩條射線(xiàn)，OC⊥OD，射線(xiàn)OE平分∠BOC．（1）若∠DOE＝140°，求∠AOC的度數(shù)．（2）若∠DOE＝α，則∠AOC＝.（請(qǐng)用含α的代數(shù)式表示）；變式5．（2021·浙江湖州市·七年級(jí)期末）如圖，已知直線(xiàn)與相交于點(diǎn)為的角平分線(xiàn)．（1）求的度數(shù)；（2）求的度數(shù)．例4．（2021·全國(guó)·七年級(jí)單元測(cè)試）幾何知識(shí)可以解決生活中許多距離最短的問(wèn)題.讓我們從書(shū)本一道習(xí)題入手進(jìn)行探索（回顧）（1）如圖①，、是公路兩側(cè)的兩個(gè)村莊.現(xiàn)要在公路上修建一個(gè)垃圾站，使它到、兩村莊的路程之和最小，請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出點(diǎn)的位置，并說(shuō)明理由（探索）（2）如圖②，在村莊附件有一個(gè)生態(tài)保護(hù)區(qū)，現(xiàn)要在公路上修建一個(gè)垃圾站，使它到、兩村莊的路程之和最小，從村莊到公路不能穿過(guò)生態(tài)保護(hù)區(qū)，請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出點(diǎn)的位置（3）如圖③，、是河兩側(cè)的兩個(gè)村莊，現(xiàn)要在河上修建一座橋，使得橋與河岸垂直，且村到村的總路程最短，請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出橋的位置（保留畫(huà)圖痕跡）變式6．（2021·浙江湖州市·七年級(jí)期末）如圖，汽車(chē)站、碼頭分別位于兩點(diǎn)，直線(xiàn)b和波浪線(xiàn)分別表示公路與河流．（1）從汽車(chē)站A到碼頭B怎樣走最近？畫(huà)出最近路線(xiàn)，并說(shuō)明理由；（2）從碼頭B到公路b怎樣走最近？畫(huà)出最近路線(xiàn)，并說(shuō)明理由．（請(qǐng)畫(huà)在答題卷相對(duì)應(yīng)的圖上）變式7．（2021·浙江寧波市·七年級(jí)期末）（1）如圖，過(guò)點(diǎn)A畫(huà)直線(xiàn)BC的垂線(xiàn)，并注明垂足為G；過(guò)點(diǎn)A畫(huà)直線(xiàn)AB的垂線(xiàn)，交BC于點(diǎn)H．（2）線(xiàn)段的長(zhǎng)度是點(diǎn)A到直線(xiàn)BC的距離．（3）線(xiàn)段AG、AH的大小關(guān)系為AGAH．（用符號(hào)>，<，=，表示）．理由是．知識(shí)點(diǎn)13同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角的概念1）同位角概念：兩條直線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截，位置相同的一對(duì)角。注：如下圖，位置相同指：=1\*GB3①兩個(gè)角都在第三條直線(xiàn)c的同一側(cè)；=2\*GB3②且兩個(gè)角都在兩條直線(xiàn)a、b的上方（或下方）。例：∠1與∠5都在c的右側(cè)，且都在a、b的上方，則∠1與∠5為同位角2）內(nèi)錯(cuò)角的概念：兩直線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截，在兩條直線(xiàn)之內(nèi)，并且分別在第三條直線(xiàn)兩側(cè)的一對(duì)角（位置完全錯(cuò)開(kāi)的角）注：如下圖，位置完全錯(cuò)開(kāi)指：=1\*GB3①兩個(gè)角在第三條直線(xiàn)c的不同側(cè)；=2\*GB3②且兩個(gè)角在兩條直線(xiàn)a、b的上下不同位置（即都在兩條直線(xiàn)的內(nèi)側(cè)）。例：∠2與∠8分別在c的左右兩側(cè)，且∠2在a的下方，∠8在b的上方（即∠2、∠8在a、b內(nèi)側(cè)），則∠2與∠8為內(nèi)錯(cuò)角3）同旁?xún)?nèi)角：兩直線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截，在第三條直線(xiàn)同側(cè)，并且在兩條直線(xiàn)之內(nèi)的一對(duì)角。注：如下圖，同旁?xún)?nèi)角指：=1\*GB3①兩個(gè)角在第三條直線(xiàn)c的同一側(cè)；=2\*GB3②且兩個(gè)角在a、b兩條直線(xiàn)的內(nèi)側(cè)例：∠2與∠5，兩個(gè)角都在直線(xiàn)c的右側(cè)，且都在a、b兩條直線(xiàn)的內(nèi)側(cè)，則∠2與∠5為同旁?xún)?nèi)角。注：同位角、內(nèi)錯(cuò)角和同旁?xún)?nèi)角是3條直線(xiàn)直角的位置關(guān)系，且無(wú)角度間大小關(guān)系。例1．（2021·廣西欽州·七年級(jí)期末）如圖，下列各組角中是同位角的是（）A．∠1和∠2 B．∠3和∠4 C．∠2和∠4 D．∠1和∠4變式1．（2021·廣東·深圳市高級(jí)中學(xué)八年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）下列四幅圖中，∠1和∠2是同位角的是（）A．（1）（2） B．（3）（4） C．（1）（2）（3） D．（2）（3）（4）例2．（2021·黑龍江·哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校八年級(jí)期中）如圖，直線(xiàn)AB與CD被直線(xiàn)AC所截得的內(nèi)錯(cuò)角是___．變式2．（2021·遼寧沈河·七年級(jí)期末）下列四個(gè)圖形中，和是內(nèi)錯(cuò)角的是（）A． B．C．D．例3．（2021·浙江嘉興·七年級(jí)期末）如圖，直線(xiàn)a，b被直線(xiàn)c所截，∠1的同旁?xún)?nèi)角是（）A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5變式3．（2021·江蘇·七年級(jí)期中）如圖所示，直線(xiàn)a,b被直線(xiàn)c所截，則與是（）A．同位角 B．內(nèi)錯(cuò)角 C．同旁?xún)?nèi)角 D．對(duì)頂角例4.（2021·鹽城市·七年級(jí)月考）如圖，下列說(shuō)法正確的是（）A．∠2和∠4是同位角B．∠2和∠4是內(nèi)錯(cuò)角C．∠1和∠A是內(nèi)錯(cuò)角D．∠3和∠4是同旁?xún)?nèi)角變式4．（2021·四川渠縣·七年級(jí)期末）如圖，下列結(jié)論：①∠2與∠3是內(nèi)錯(cuò)角；②∠1與∠A是同位角；③∠A與∠B是同旁?xún)?nèi)角；④∠B與∠ACB不是同旁?xún)?nèi)角，其中正確的是______．（只填序號(hào)）例5.（2021·黑龍江·哈爾濱市蕭紅中學(xué)七年級(jí)期中）如圖所示，用數(shù)字表示的8個(gè)角中，若同位角有a對(duì)，內(nèi)錯(cuò)角有b對(duì)，同旁?xún)?nèi)角有c對(duì)，則ab﹣c＝___．變式5．（2020·南通市啟秀中學(xué)七年級(jí)期末）復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題我們常會(huì)把它分解為基本問(wèn)題來(lái)研究，化繁為簡(jiǎn)，化整為零這是一種常見(jiàn)的數(shù)學(xué)解題思想．（1）如圖1，直線(xiàn)，被直線(xiàn)所截，在這個(gè)基本圖形中，形成了______對(duì)同旁?xún)?nèi)角．（2）如圖2，平面內(nèi)三條直線(xiàn)，，兩兩相交，交點(diǎn)分別為、、，圖中一共有______對(duì)同旁?xún)?nèi)角．（3）平面內(nèi)四條直線(xiàn)兩兩相交，最多可以形成______對(duì)同旁?xún)?nèi)角．（4）平面內(nèi)條直線(xiàn)兩兩相交，最多可以形成______對(duì)同旁?xún)?nèi)角．知識(shí)點(diǎn)14平行線(xiàn)的概念1）同一平面兩條直線(xiàn)間的關(guān)系：=1\*GB3①平行；=2\*GB3②相交2）平行線(xiàn)概念：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線(xiàn)注：=1\*GB3①平行的概念，必須加前提條件“在同一平面內(nèi)”；=2\*GB3②必須是兩條直線(xiàn)間的關(guān)系（非“射線(xiàn)”、“線(xiàn)段”）3）平行公理：經(jīng)過(guò)線(xiàn)外一點(diǎn)，有且僅有一條直線(xiàn)與這條直線(xiàn)平行注：與垂線(xiàn)性質(zhì)比較相似，但也存在不同的地方。相同點(diǎn)：過(guò)一點(diǎn)都有且僅能作一條線(xiàn)與已知直線(xiàn)平行（垂直）；不同點(diǎn)：垂直性質(zhì)中，這個(gè)點(diǎn)可以在直線(xiàn)外，也可以在直線(xiàn)上，但在平行公理中，這個(gè)點(diǎn)必須在直線(xiàn)外。例1．（2021·河北滄縣·七年級(jí)期中）在同一平面內(nèi)，兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系可能是（）A．相交或垂直B．垂直或平行C．平行或相交D．相交或垂直或平行變式1．（2021·陜西寶雞期末）下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)為（）①不相交的兩條直線(xiàn)叫做平行線(xiàn)；②平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)與已知直線(xiàn)垂直；③平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)互相平行；④在同一平面內(nèi)，兩條直線(xiàn)不是平行就是相交．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)例2．（2021·河北平泉·一模）如圖，在平面內(nèi)作已知直線(xiàn)的平行線(xiàn)，可作平行線(xiàn)的條數(shù)有（）A．0條 B．1條 C．2條 D．無(wú)數(shù)條變式2．（2021·河北興隆·九年級(jí)期中）已知直線(xiàn)，在同一平面內(nèi)，給定一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)的平行線(xiàn)，可作平行線(xiàn)的條數(shù)有（）A．0條 B．1條 C．0條或1條 D．無(wú)數(shù)條例3．（2021·牡丹江市田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué)初一期中）給出下列說(shuō)法：（1）兩條直線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截，同位角相等；（2）平面內(nèi)的一條直線(xiàn)和兩條平行線(xiàn)中的一條相交，則它與另一條也相交；（3）相等的兩個(gè)角是對(duì)頂角；（4）三條直線(xiàn)兩兩相交，有三個(gè)交點(diǎn)；（5）若a⊥b，b⊥c，則a⊥c．其中正確的有________個(gè)變式3．（2021·遼寧·初一期中）若直線(xiàn)，，則直線(xiàn)與的位置關(guān)系是__________．變式4．（2021·云南鎮(zhèn)康·初一期中）已知：如圖，梯形ABCD．（1）過(guò)點(diǎn)A畫(huà)直線(xiàn)AE∥CD交BC于E；（2）過(guò)點(diǎn)A畫(huà)線(xiàn)段AF⊥BC于F；比較線(xiàn)段AE與AF的大?。篈EAF（直接用“＞”“＝”或“＜”填空）．知識(shí)點(diǎn)15平行線(xiàn)的判定1）判定方法一：同位角相等，兩直線(xiàn)平行2）判定方法二：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行3）判定方法三：同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線(xiàn)平行4）在同一平面內(nèi)，若兩條直線(xiàn)都垂直于同一條直線(xiàn)，則這兩條直線(xiàn)平行。即：若a⊥c，且b⊥c，則a∥b5）平行線(xiàn)的傳遞性：若l1∥l3，l2∥l3，則l1∥l2（用共面知識(shí)可證明，此處不證）。例1．（2021·漢中市南鄭區(qū)初一期中）已知平面上五條直線(xiàn)，，，和相交的情形如圖所示，根據(jù)圖中標(biāo)出的角度，下列敘述正確的是()A．和不平行，和平行，和平行B．和不平行，和不平行，和不平行C．和平行，和平行，和平行D．和平行，和不平行，和不平行變式1．（2021·山西期末）如圖，點(diǎn)，，分別在的邊，，上，連接，，在下列給出的條件中，不能判定的是（）A．°B．C．D．例2．（2021·上海市市西初級(jí)中學(xué)初一期中）如圖，是我們學(xué)過(guò)的用直尺和三角板畫(huà)平行線(xiàn)的方法示意圖，畫(huà)圖的原理是（）A．兩直線(xiàn)平行，同位角相等 B．同位角相等，兩直線(xiàn)平行C．內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行 D．同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線(xiàn)平行變式2．（2021·山西初一月考）工人師傅在工程施工時(shí)，在圖紙上畫(huà)了一條管道的示意圖（如圖所示），經(jīng)測(cè)量得到，，那么（）A． B． C． D．與相交例3．（2021·山西模擬）下列圖形中，根據(jù)，能得到的是（）A．B．C．D．變式3．（2021·洛陽(yáng)市第四職業(yè)高中期中）如圖，下列條件中，不能判斷直線(xiàn)a∥b的是（）A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠3 C．∠4＝∠5 D．∠2+∠4＝180°變式4．（2021·沈陽(yáng)市第一二七中學(xué)初一期中）如圖，下列條件：①；②；③；;⑤；其中能判斷直線(xiàn)的有（）A．②③④ B．②③⑤ C．②④⑤ D．②④變式5．（2020·江蘇徐州市·七年級(jí)期末）如圖，給出下列條件：①∠3=∠4；②∠1=∠2；③∠5=∠B；④AD∥BE，且∠D=∠B．其中能說(shuō)明AB∥DC的條件有（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)知識(shí)點(diǎn)16平行線(xiàn)的性質(zhì)1）兩直線(xiàn)平行，同位角相等;2）兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等;3）兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)注：=1\*GB3①僅當(dāng)兩直線(xiàn)平行式，3類(lèi)角才有數(shù)量關(guān)系；當(dāng)兩直線(xiàn)不平行是，3類(lèi)角只有位置關(guān)系，沒(méi)有大小關(guān)系。=2\*GB3②3類(lèi)角若有大小關(guān)系，也可用于證明兩條直線(xiàn)平行。4）同時(shí)垂直于兩條平行線(xiàn)，并且?jiàn)A在這兩條平行線(xiàn)間的線(xiàn)段長(zhǎng)度，叫作這兩條平行線(xiàn)間的距離。注：a.只有平行線(xiàn)間才存在距離這一說(shuō)法。（重疊，距離為0）；b.平行線(xiàn)間的距離，處處相等；c.垂直于一條直線(xiàn)，一定垂直于另一條平行線(xiàn)（易證）例1．（2021·山東濟(jì)南市·八年級(jí)期末）如圖，如果∠1=∠3，∠2=60°，那么∠4的度數(shù)為（）A．120° B．130° C．140° D．150°變式1．（2021·山東濰坊市·八年級(jí)期末）一把直尺與30°的直角三角板如圖所示，，則（）A．50° B．60° C．70° D．80°例2．（2021·河北張家口·初三二模）如圖，直線(xiàn)，以直線(xiàn)上的點(diǎn)A為圓心、適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交直線(xiàn)、于點(diǎn)B、C，連接AC、若，則A． B． C． D．變式2．（2021·陜西初三其他）如圖，直尺一邊AB與量角器的零刻度線(xiàn)CD平行，若量角器的一條刻度線(xiàn)OF的讀數(shù)為70°，OF與AB交于點(diǎn)E，那么∠AEF＝（）A．70° B．110° C．20° D．120°例3．（2021·河北初三其他）光線(xiàn)在不同介質(zhì)中的傳播速度不同，因此當(dāng)光線(xiàn)從空氣射向水中時(shí)，會(huì)發(fā)生折射．如圖，在空氣中平行的兩條入射光線(xiàn)，在水中的兩條折射光線(xiàn)也是平行的．若水面和杯底互相平行，且∠1＝122°，則∠2＝（）A．61° B．58° C．48° D．41°變式3．（2021·山西初一月考）小林乘車(chē)進(jìn)入車(chē)庫(kù)時(shí)仔細(xì)觀(guān)察了車(chē)庫(kù)門(mén)口的“曲臂直桿道閘”，并抽象出如圖所示的模型，已知垂直于水平地面．當(dāng)車(chē)牌被自動(dòng)識(shí)別后，曲臂直桿道閘的段繞點(diǎn)緩慢向上旋轉(zhuǎn)，段則一直保持水平狀態(tài)上升（即與始終平行），在該過(guò)程中始終等于（）A． B． C． D．例4．（2021·深圳市高級(jí)中學(xué)初二月考）已知：如圖，，則，，之間的關(guān)系是A．B．C．D．變式4．（2021·海安市白甸鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)七年級(jí)月考）如圖，若AB∥CD，CD∥EF，那么∠BCE＝()A．∠1＋∠2B．∠2－∠1C．180°－∠1＋∠2D．180°－∠2＋∠1例5．（2020·四川郫都·期末）如圖，五邊形ABCDE中，AE∥BC，則∠C+∠D+∠E的度數(shù)為（）A．180° B．270° C．360° D．450°變式5．（2021·河南沁陽(yáng)·初一期末）已知，∠EAF=∠EAB，∠ECF=∠ECD，若∠E=66°，則∠F為（）A．23° B．33° C．44° D．46°例6．（2021·山東新泰·七年級(jí)期末）（1）已知：如圖1，．求證：（2）如圖2，已知，在的平分線(xiàn)上取兩個(gè)點(diǎn)M、N，使得，求證：．變式6．（2021·湖北十堰·七年級(jí)期末）已知ABCD，點(diǎn)E、F分別在A(yíng)B、CD上，點(diǎn)G為平面內(nèi)一點(diǎn)，連接EG、FG．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)G在A(yíng)B、CD之間時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠AEG、∠CFG與∠G之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)G在A(yíng)B上方時(shí)，且∠EGF＝90°，求證：