專題08排列與組合（重難點突破）（原卷版）-2022年春季高二數(shù)學(xué)下學(xué)期講義（人教A版2019）

專題08排列與組合一、考情分析二、考點梳理【排列】1．排列的概念：從SKIPIF1<0個不同元素中，任取SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）個元素（這里的被取元素各不相同）按照一定的順序排成一列，叫做從SKIPIF1<0個不同元素中取出SKIPIF1<0個元素的一個排列說明：（1）排列的定義包括兩個方面：①取出元素，②按一定的順序排列；（2）兩個排列相同的條件：①元素完全相同，②元素的排列順序也相同2．排列數(shù)的定義：從SKIPIF1<0個不同元素中，任取SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）個元素的所有排列的個數(shù)叫做從SKIPIF1<0個元素中取出SKIPIF1<0元素的排列數(shù)，用符號SKIPIF1<0表示注意區(qū)別排列和排列數(shù)的不同：“一個排列”是指：從SKIPIF1<0個不同元素中，任取SKIPIF1<0個元素按照一定的順序排成一列，不是數(shù)；“排列數(shù)”是指從SKIPIF1<0個不同元素中，任取SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）個元素的所有排列的個數(shù)，是一個數(shù)所以符號SKIPIF1<0只表示排列數(shù)，而不表示具體的排列3．排列數(shù)公式及其推導(dǎo)：由SKIPIF1<0的意義：假定有排好順序的2個空位，從SKIPIF1<0個元素SKIPIF1<0中任取2個元素去填空，一個空位填一個元素，每一種填法就得到一個排列，反過來，任一個排列總可以由這樣的一種填法得到，因此，所有不同的填法的種數(shù)就是排列數(shù)SKIPIF1<0．由分步計數(shù)原理完成上述填空共有SKIPIF1<0種填法，∴SKIPIF1<0=SKIPIF1<0由此，求SKIPIF1<0可以按依次填3個空位來考慮，∴SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0以按依次填SKIPIF1<0個空位來考慮SKIPIF1<0，排列數(shù)公式：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）說明：（1）公式特征：第一個因數(shù)是SKIPIF1<0，后面每一個因數(shù)比它前面一個少1，最后一個因數(shù)是SKIPIF1<0，共有SKIPIF1<0個因數(shù)；（2）全排列：當(dāng)SKIPIF1<0時即SKIPIF1<0個不同元素全部取出的一個排列全排列數(shù)：SKIPIF1<0（叫做n的階乘） 另外，我們規(guī)定0!=1.1組合的概念：一般地，從SKIPIF1<0個不同元素中取出SKIPIF1<0SKIPIF1<0個元素并成一組，叫做從SKIPIF1<0個不同元素中取出SKIPIF1<0個元素的一個組合說明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——無序性；⑶相同組合：元素相同【組合】1．組合數(shù)公式的推導(dǎo)：（1）從4個不同元素SKIPIF1<0中取出3個元素的組合數(shù)SKIPIF1<0是多少呢？啟發(fā)：由于排列是先組合再排列，而從4個不同元素中取出3個元素的排列數(shù)SKIPIF1<0可以求得，故我們可以考察一下SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的關(guān)系，如下：組合排列SKIPIF1<0由此可知,每一個組合都對應(yīng)著6個不同的排列，因此，求從4個不同元素中取出3個元素的排列數(shù)SKIPIF1<0，可以分如下兩步：①考慮從4個不同元素中取出3個元素的組合，共有SKIPIF1<0個；②對每一個組合的3個不同元素進行全排列，各有SKIPIF1<0種方法．由分步計數(shù)原理得：SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0．2.推廣：一般地，求從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)SKIPIF1<0，可以分如下兩步：①先求從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)SKIPIF1<0；②求每一個組合中m個元素全排列數(shù)SKIPIF1<0，根據(jù)分步計數(shù)原理得：SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0SKIPIF1<0．3.組合數(shù)的公式：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0SKIPIF1<0規(guī)定:SKIPIF1<0.

三、題型突破重難點題型突破1簡單的排列問題例1．（2022·全國·高二）某會議結(jié)束后，21個會議人員合影留念，他們站成兩排，前排11人，后排10人，A站在前排正中間位置，B，C兩人也站在前排并與A相鄰，如果對其他人所站位置不做要求，那么不同的站法共有（

）A．種 B．種 C．種 D．種【變式訓(xùn)練11】、（2021·全國·高二課時練習(xí)）甲、乙、丙人站到共有級的臺階上，若每級臺階最多站人，同一級臺階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法種數(shù)是________.（用數(shù)字作答）重難點題型突破2簡單的組合問題例2．（2021·上海師大附中高二期中）從8名女生和4名男生中選出6名學(xué)生組成課外活動小組，則按性別分層抽樣組成課外活動小組的概率為（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練21】、8．（2021·廣東·深圳市第七高級中學(xué)高三階段練習(xí)）甲?乙?丙三人計劃參加學(xué)校趣味運動會中的千人迎面接力?五人踏板?足球射門?籃球投籃四個比賽項目，由于時間關(guān)系，每個人只能隨機選擇參加一個項目，則甲?乙?丙三人中恰好兩人參加同一個比賽項目的概率為（

）A． B． C． D．

重難點題型突破3注意缺少“至多”或“最少”例3．（2021·福建省龍巖第一中學(xué)高二階段練習(xí)）現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色，黃色，藍色，綠色卡片各4張，從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一顏色，且綠色卡片至多1張，則不同的取法種數(shù)為（

）A．484 B．472C．252 D．232【變式訓(xùn)練31】、（2022·重慶·模擬預(yù)測）將5名實習(xí)老師安排到高一年級的3個班實習(xí)，每班至少1人、至多2人，則不同的安排方法有（

）A．90種 B．120種 C．150種 D．180種重難點題型突破4特殊元素優(yōu)先處理例4．（2021·天津市紅橋區(qū)教師發(fā)展中心高二期末）共五人站成一排，如果必須站在的右邊，那么不同的排法有___________種.【變式訓(xùn)練41】、（2022·江蘇省天一中學(xué)高二期末）某班上午有五節(jié)課，分別安排語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)各一節(jié)課，要求語文與化學(xué)相鄰，數(shù)學(xué)與物理不相鄰，且數(shù)學(xué)課不排第一節(jié)，則不同排課法的種數(shù)是___________．

【變式訓(xùn)練42】、（2021·全國·高二專題練習(xí)）用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字且大于201345的正整數(shù)有（

）個.A．478 B．479 C．480 D．481重難點題型突破5相鄰問題用捆綁與不相鄰問題用插空例5．（2021·湖南師大附中高三階段練習(xí)）某學(xué)校為高一年級排周一上午的課表，共5節(jié)課，需排語文?數(shù)學(xué)?英語?生物?地理各一節(jié)，要求語文?英語之間恰排1門其它學(xué)科，則不同的排法數(shù)是（

）A．18 B．26 C．36 D．48【變式訓(xùn)練51】、（2021·河南·南陽中學(xué)高三階段練習(xí)（文））甲、乙、丙三人站成一排，則甲、乙不相鄰的概率是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練52】、（2021·黑龍江·哈爾濱三中模擬預(yù)測（理）），，，，五個人站成一排，則和分別站在的兩邊（可以相鄰也可以不相鄰）的概率為（

）A． B． C． D．

重難點題型突破6排列與組合中平均分問題例6．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））將4本不同的書本全部分給甲、乙、丙三位同學(xué)，每位同學(xué)都分到書的分法有（

）A．12種 B．24種 C．32種 D．36種【變式訓(xùn)練61】、（2021·浙江·高三開學(xué)考試）為慶祝中國共產(chǎn)黨成立100周年，某志愿者協(xié)會開展“黨史下鄉(xiāng)”宣講活動，準(zhǔn)備派遣10名志愿者去三個鄉(xiāng)村開展宣講，每名志愿者只去一個鄉(xiāng)村，每個鄉(xiāng)村至少安排3個志愿者，則不同的安排方法共有________種．（用數(shù)字作答）重難點題型突破8涂色問題例7．（2019·浙江·）用四種顏色給下圖的6個區(qū)域涂色，每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰區(qū)域不同色，若四種顏色全用上，則共有多少種不同的涂法（

）A．72 B．96 C．108 D．144

【變式訓(xùn)練71】、（2020·全國·（