531單調(diào)性（原卷版）

5．3．1單調(diào)性【題型歸納目錄】題型一：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間題型二：函數(shù)圖象與導(dǎo)函數(shù)圖象的關(guān)系題型三：已知單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍題型四：判斷、證明函數(shù)的單調(diào)性題型五：含參數(shù)單調(diào)性討論情形一：函數(shù)為一次函數(shù)情形二：函數(shù)為準(zhǔn)一次函數(shù)情形三：函數(shù)為二次函數(shù)型1、可因式分解2、不可因式分解型情形四：函數(shù)為準(zhǔn)二次函數(shù)型【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系導(dǎo)數(shù)的符號(hào)與函數(shù)的單調(diào)性：一般地，設(shè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，則在這個(gè)區(qū)間上，①若，則在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增；②若，則在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞減；③若恒有，則在這一區(qū)間上為常函數(shù)．反之，若在某區(qū)間上單調(diào)遞增，則在該區(qū)間上有恒成立（但不恒等于0）；若在某區(qū)間上單調(diào)遞減，則在該區(qū)間上有恒成立（但不恒等于0）．知識(shí)點(diǎn)詮釋：1、因?yàn)閷?dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線切線的斜率，故當(dāng)在某區(qū)間上，即切線斜率為正時(shí)，函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)在某區(qū)間上，即切線斜率為負(fù)時(shí)，函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞減；即導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)決定了原函數(shù)的增減．2、若在某區(qū)間上有有限個(gè)點(diǎn)使，在其余點(diǎn)恒有，則仍單調(diào)遞增（減函數(shù)的情形完全類似）．即在某區(qū)間上，在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增；在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞減，但反之不成立．3、在某區(qū)間上單調(diào)遞增在該區(qū)間；在某區(qū)間上單調(diào)遞減在該區(qū)間．在區(qū)間內(nèi)，．．（或）是在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增（或減）的充分不必要條件！例如：，，，而在R上遞增．4、只有在某區(qū)間內(nèi)恒有，這個(gè)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上才為常數(shù)函數(shù)．5、注意導(dǎo)函數(shù)圖象與原函數(shù)圖象間關(guān)系．知識(shí)點(diǎn)二、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的基本方法設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，（1）如果恒有，則函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增；（2）如果恒有，則函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減；（3）如果恒有，則函數(shù)在內(nèi)為常數(shù)函數(shù)．知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則，若函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，則．（2）或恒成立，求參數(shù)值的范圍的方法——分離參數(shù)法：或．知識(shí)點(diǎn)三、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的基本步驟（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)；（3）在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式或；（4）確定的單調(diào)區(qū)間．或者：令，求出它在定義域內(nèi)的一切實(shí)數(shù)根．把這些實(shí)數(shù)根和函數(shù)的間斷點(diǎn)（即的無(wú)定義點(diǎn)）的橫坐標(biāo)按從小到大的順序排列起來(lái)，然后用這些點(diǎn)把函數(shù)的定義區(qū)間分成若干個(gè)小區(qū)間，判斷在各個(gè)小區(qū)間內(nèi)的符號(hào)．知識(shí)點(diǎn)詮釋：1、求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時(shí)，要注意單調(diào)區(qū)間一定是函數(shù)定義域的子集．2、求單調(diào)區(qū)間常常通過(guò)列表的方法進(jìn)行求解，使解題思路步驟更加清晰、明確．知識(shí)點(diǎn)四：討論單調(diào)區(qū)間問題類型一：不含參數(shù)單調(diào)性討論（1）求導(dǎo)化簡(jiǎn)定義域（化簡(jiǎn)應(yīng)先通分，盡可能因式分解；定義域需要注意是否是連續(xù)的區(qū)間）；（2）變號(hào)保留定號(hào)去（變號(hào)部分：導(dǎo)函數(shù)中未知正負(fù)，需要單獨(dú)討論的部分．定號(hào)部分：已知恒正或恒負(fù)，無(wú)需單獨(dú)討論的部分）；（3）求根做圖得結(jié)論（如能直接求出導(dǎo)函數(shù)等于0的根，并能做出導(dǎo)函數(shù)與x軸位置關(guān)系圖，則導(dǎo)函數(shù)正負(fù)區(qū)間段已知，可直接得出結(jié)論）；（4）未得結(jié)論斷正負(fù)（若不能通過(guò)第三步直接得出結(jié)論，則先觀察導(dǎo)函數(shù)整體的正負(fù)）；（5）正負(fù)未知看零點(diǎn)（若導(dǎo)函數(shù)正負(fù)難判斷，則觀察導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)）；（6）一階復(fù)雜求二階（找到零點(diǎn)后仍難確定正負(fù)區(qū)間段，或一階導(dǎo)函數(shù)無(wú)法觀察出零點(diǎn)，則求二階導(dǎo)）；求二階導(dǎo)往往需要構(gòu)造新函數(shù)，令一階導(dǎo)函數(shù)或一階導(dǎo)函數(shù)中變號(hào)部分為新函數(shù)，對(duì)新函數(shù)再求導(dǎo)．（7）借助二階定區(qū)間（通過(guò)二階導(dǎo)正負(fù)判斷一階導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而判斷一階導(dǎo)函數(shù)正負(fù)區(qū)間段）；類型二：含參數(shù)單調(diào)性討論（1）求導(dǎo)化簡(jiǎn)定義域（化簡(jiǎn)應(yīng)先通分，然后能因式分解要進(jìn)行因式分解，定義域需要注意是否是一個(gè)連續(xù)的區(qū)間）；（2）變號(hào)保留定號(hào)去（變號(hào)部分：導(dǎo)函數(shù)中未知正負(fù)，需要單獨(dú)討論的部分．定號(hào)部分：已知恒正或恒負(fù)，無(wú)需單獨(dú)討論的部分）；（3）恒正恒負(fù)先討論（變號(hào)部分因?yàn)閰?shù)的取值恒正恒負(fù)）；然后再求有效根；（4）根的分布來(lái)定參（此處需要從兩方面考慮：根是否在定義域內(nèi)和多根之間的大小關(guān)系）；（5）導(dǎo)數(shù)圖像定區(qū)間；【典型例題】題型一：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例1．（2022·全國(guó)·高二單元測(cè)試）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為__________．例2．（2022·四川·閬中中學(xué)高二階段練習(xí)（理））設(shè)函數(shù)，若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為__________．例3．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為__________.變式1．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是______________.變式2．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為_________.變式3．（2022·吉林省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二階段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是______．【方法技巧與總結(jié)】（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間常用解不等式，函數(shù)在解集與定義域的交集上單調(diào)遞減．解不等式，函數(shù)在解集與定義域的交集上為單調(diào)遞增．（2）注意寫單調(diào)區(qū)間時(shí)，不是連續(xù)的區(qū)間一般不能用并集符號(hào)“”．題型二：函數(shù)圖象與導(dǎo)函數(shù)圖象的關(guān)系例4．（2022·北京·牛欄山一中高二階段練習(xí)）設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中，和的圖象不可能是（

）A． B．C． D．例5．（2022·廣東·廣州南洋英文學(xué)校高二期中）已知函數(shù)的圖象如圖所示，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則下列數(shù)值排序正確的是（

）A． B．C． D．例6．（2022·重慶·萬(wàn)州純陽(yáng)中學(xué)校高二期中）已知函數(shù)在上可導(dǎo)，的圖象如圖所示，其中為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集為（

）A． B．C． D．變式4．（2022·福建泉州·高二期中）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象可能為（

）A． B．C． D．變式5．（2022·四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)高二期中（文））函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象（

）A． B．C． D．變式6．（2022·四川成都·高二期中（理））函數(shù)f（x）的圖象如圖所示，則的解集為（

）A． B．C． D．變式7．（2022·陜西西安·高二期中（理））設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，將和的圖象畫在同一直角坐標(biāo)系中，下列不可能正確的是（

）A． B．C． D．【方法技巧與總結(jié)】（1）函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系：在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，若，則在上單調(diào)遞增；如果，則在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞減；若恒有，則是常數(shù)函數(shù)，不具有單調(diào)性．（2）函數(shù)圖象變化得越快，的絕對(duì)值越大，不是的值越大．題型三：已知單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍例7．（2022·全國(guó)·高二單元測(cè)試）已知函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，若，則的最大值為______．例8．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，則的值為________．例9．（2022·北京海淀·高二期末）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是_____________．變式8．（2022·重慶·高二階段練習(xí)）已知函數(shù)上，單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.變式9．（2022·湖南·邵陽(yáng)市第二中學(xué)高二期中）若函數(shù)在區(qū)間(1，4)上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.變式10．（2022·廣東·北京師范大學(xué)珠海分校附屬外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高二期中）若在上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________.變式11．（2022·全國(guó)·高二）已知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，則的值為______.變式12．（2022·廣東·肇慶市高要區(qū)第二中學(xué)高二階段練習(xí)）若函數(shù)在其定義域上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___.變式13．（2022·江蘇·高二單元測(cè)試）若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.變式14．（2022·北京市豐臺(tái)第八中學(xué)高二期中）“當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)”為真命題的的一個(gè)取值是__________．變式15．（2022·四川·攀枝花七中高二階段練習(xí)（理））已知函數(shù).若函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為__________．變式16．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．變式17．（2022·天津·耀華中學(xué)高二階段練習(xí)）若函數(shù)f（x）＝x2+x﹣lnx+1在其定義域的一個(gè)子區(qū)間（2k﹣1，k+2）內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是___．【方法技巧與總結(jié)】（1）利用導(dǎo)數(shù)法解決取值范圍問題的兩個(gè)基本思路①將問題轉(zhuǎn)化為不等式在某區(qū)間上的恒成立問題，即（或）恒成立，利用分離參數(shù)或函數(shù)性質(zhì)求解參數(shù)范圍，然后檢驗(yàn)參數(shù)取“＝”時(shí)是否滿足題意．②先令（或），求出參數(shù)的取值范圍后，再驗(yàn)證參數(shù)取“＝”時(shí)是否滿足題意．（2）理清運(yùn)算對(duì)象，選擇運(yùn)算方法，求得運(yùn)算結(jié)果，充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．題型四：判斷、證明函數(shù)的單調(diào)性例10．（2022·江蘇·高二單元測(cè)試）證明函數(shù)f(x)＝x＋sinx在R上是增函數(shù).例11．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）用導(dǎo)數(shù)證明：(1)在區(qū)間上是增函數(shù)；(2)在區(qū)間上是減函數(shù)．例12．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）證明：(1)函數(shù)在定義域上是減函數(shù)；(2)函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)．變式18．（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）證明函數(shù)是R上的增函數(shù)．變式19．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）證明函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減．【方法技巧與總結(jié)】判斷、證明函數(shù)的單調(diào)性的步驟：1、求導(dǎo)；2、變形（分解或配方）；3、判斷導(dǎo)數(shù)式的符號(hào)，下結(jié)論．題型五：含參數(shù)單調(diào)性討論情形一：函數(shù)為一次函數(shù)例13．（2022·貴州六盤水·高二期末（文））已知函數(shù).討論的單調(diào)性；例14．（2022·浙江·鎮(zhèn)海中學(xué)高二期中）已知函數(shù)，其中.討論函數(shù)的單調(diào)性；例15．（2022·江蘇·蘇州市蘇州高新區(qū)第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知函數(shù)．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；情形二：函數(shù)為準(zhǔn)一次函數(shù)變式20．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（文））設(shè)函數(shù)，其中．當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；變式21．（2022·江蘇·華羅庚中學(xué)三模）已知函數(shù)，（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；變式22．（2022·云南師大附中模擬預(yù)測(cè)（理））已知函數(shù)，其中．討論的單調(diào)性；變式23．（2022·云南師大附中高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)．討論的單調(diào)性；情形三：函數(shù)為二次函數(shù)型1、可因式分解變式24．（2022·河南·睢縣高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)的切線方程；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性.變式25．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.變式26．（2022·重慶市璧山來(lái)鳳中學(xué)校高二階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；變式27．（2022·浙江省江山中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)．討論函數(shù)的單調(diào)性；變式28．（2022·廣東·潮州市瓷都中學(xué)三模）已知函數(shù)．討論函數(shù)的單調(diào)性；變式29．（2022·湖南·長(zhǎng)沙縣第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；變式30．（2022·內(nèi)蒙古·滿洲里市第一中學(xué)高二期末（理））已知函數(shù)（）.(1)，求函數(shù)在處的切線方程；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性.2、不可因式分解型變式31．（2022·江蘇徐州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為．討論函數(shù)的單調(diào)性；變式32．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，試討論的單調(diào)區(qū)間.【方法技巧與總結(jié)】1、關(guān)于含參函數(shù)單調(diào)性的討論問題，要根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的情況來(lái)作出選擇，通過(guò)對(duì)新函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的討論，從而得到原函數(shù)對(duì)應(yīng)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，最終判斷原函數(shù)的增減．（注意定義域的間斷情況）．2、需要求二階導(dǎo)的題目，往往通過(guò)二階導(dǎo)的正負(fù)來(lái)判斷一階導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合一階導(dǎo)函數(shù)端點(diǎn)處的函數(shù)值或零點(diǎn)可判斷一階導(dǎo)函數(shù)正負(fù)區(qū)間段．3、利用草稿圖像輔助說(shuō)明．情形四：函數(shù)為準(zhǔn)二次函數(shù)型變式33．（2022·安徽·合肥市第八中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））設(shè)函數(shù)．討論的單調(diào)性；變式34．（2022·全國(guó)·二模（理））已知函數(shù)．討論的單調(diào)性；變式35．（2022·北京·高二期末）若函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線的方程；(2)判斷方程解的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；(3)當(dāng)，設(shè)，求的單調(diào)區(qū)間.變式36．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．討論的單調(diào)性；【方法技巧與總結(jié)】（1）求導(dǎo)化簡(jiǎn)定義域（化簡(jiǎn)應(yīng)先通分，然后能因式分解要進(jìn)行因式分解，定義域需要注意是否是一個(gè)連續(xù)的區(qū)間）；（2）變號(hào)保留定號(hào)去（變號(hào)部分：導(dǎo)函數(shù)中未知正負(fù)，需要單獨(dú)討論的部分．定號(hào)部分：已知恒正或恒負(fù)，無(wú)需單獨(dú)討論的部分）；（3）恒正恒負(fù)先討論（變號(hào)部分因?yàn)閰?shù)的取值恒正恒負(fù)）；然后再求有效根；（4）根的分布來(lái)定參（此處需要從兩方面考慮：根是否在定義域內(nèi)和多根之間的大小關(guān)系）；（5）導(dǎo)數(shù)圖像定區(qū)間；【同步練習(xí)】一、單選題1．（2022·四川省蘆山中學(xué)高二期中（理））函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（

）A． B． C． D．以上都不對(duì)2．（2022·福建·莆田一中高二期中）定義在上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)記為，若為奇函數(shù)且，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．3．（2022·河北·灤南縣第四中學(xué)高二期末）已知函數(shù)是R上的單調(diào)增函數(shù)，則t的值可能是（

）A．t＝1 B．t＝0 C．t＝－1 D．不存在4．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．（2022·陜西·寶雞市渭濱區(qū)教研室高二期末（理））已知是定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且不等式恒成立，則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．6．（2022·黑龍江齊齊哈爾·高二期末）華羅庚先生曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事休.”現(xiàn)有函數(shù)，則它的圖象大致是（

）A． B．C． D．7．（2022·江西·上高二中高二階段練習(xí)（文））已知定義在上的函數(shù)滿足，，則關(guān)于的不等式的解集為（

）A． B． C． D．8．（2022·江西·高二開學(xué)考試）已知函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2022·廣東·雷州市白沙中學(xué)高二階段練習(xí)）下列選項(xiàng)中，在上單調(diào)遞增的函數(shù)有（

）A． B． C． D．10．（2022·廣東潮州·高二期末）已知函數(shù)與的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的為（

）A．曲線是的圖象，曲線是的圖象B．曲線是的圖象，曲線是的圖象C．不等式組的解集為D．不等式組的解集為11．（2022·廣東云浮·高二期末）已知定義在R上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，，則下列結(jié)論正確的有（

）A．若，