安徽省蚌埠市五河第一中學(xué)2024−2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題含答案

安徽省蚌埠市五河第一中學(xué)2024?2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．設(shè)點(diǎn)，，直線過點(diǎn)且與線段相交，則的斜率的取值范圍是（

）A．或 B．或C． D．2．拋物線的準(zhǔn)線與直線的距離為3，則此拋物線的方程為（

）A． B．C．或 D．或3．設(shè)、，向量，，且，，則（

）A． B． C． D．4．已知兩點(diǎn)到直線的距離相等，則（

）A．2 B． C．2或 D．2或5．直線分別與軸，軸交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則面積的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．如圖在底圓半徑和高均為的圓錐中，、是過底圓圓的兩條互相垂直的直徑，是母線的中點(diǎn)，已知過與的平面與圓錐側(cè)面的交線是以為頂點(diǎn)的拋物線的一部分，則該拋物線的焦點(diǎn)到圓錐頂點(diǎn)的距離等于（

）．A． B．1 C． D．7．過圓內(nèi)一點(diǎn)作直線交圓O于A，B兩點(diǎn)，過A，B分別作圓的切線交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足方程（

）A． B． C． D．8．已知橢圓的左,右焦點(diǎn)分別為,，經(jīng)過的直線交橢圓于，的內(nèi)切圓的圓心為，若，則該橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列利用方向向量、法向量判斷線、面位置關(guān)系的結(jié)論中，正確的是（

）A．兩條不重合直線，的方向向量分別是，，則B．兩個(gè)不同的平面，的法向量分別是，，則C．直線的方向向量，平面的法向量是，則D．直線的方向向量，平面的法向量是，則10．已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為，右焦點(diǎn)為，為上異于頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的有（

）A．雙曲線的離心率為B．雙曲線的漸近線方程為C．點(diǎn)到漸近線的距離為4D．直線與直線的斜率乘積為11．平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡稱為卡西尼卵形線，它是1675年卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運(yùn)行規(guī)律時(shí)發(fā)現(xiàn)的，已知在平面直角坐標(biāo)系中，，，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A．點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是B．的取值范圍是C．面積的最大值為D．的取值范圍是三、填空題（本大題共3小題）12．以點(diǎn)為圓心，且與軸相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.13．在四面體中，空間的一點(diǎn)滿足，若，，共面，則．14．已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，離心率為，點(diǎn)在橢圓上，連接并延長交于點(diǎn)，連接，若存在點(diǎn)使成立，則的取值范圍為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知平面內(nèi)三點(diǎn)，，.(1)若直線經(jīng)過點(diǎn)且與線段有交點(diǎn)，求直線的傾斜角的取值范圍；(2)若直線經(jīng)過點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸的正半軸所圍成的三角形的面積為2，求直線的方程.16．如圖，四棱錐的底面是矩形，底面ABCD，，M為BC的中點(diǎn).(1)求證：平面PBD；(2)求平面ABCD與平面APM所成角的余弦值；(3)求D到平面APM的距離.17．已知拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，且．(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)直線：與拋物線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），直線是否恒過點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由．18．在圖甲所示的四邊形中，，，，，沿將進(jìn)行翻折，使得，得到如圖乙所示的四棱錐.四棱錐的體積為，為邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)，重合）.(1)若為的中點(diǎn)，求證：；(2)設(shè)，試問：是否存在實(shí)數(shù)，使得銳二面角的余弦值為？若存在，求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.19．已知雙曲線的實(shí)軸長為2，頂點(diǎn)到漸近線的距離為.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線與的右支及漸近線的交點(diǎn)自上而下依次為，證明：；(3)求二元二次方程的正整數(shù)解，可先找到初始解，其中為所有解中的最小值，因?yàn)?，所以；因?yàn)?，所以；重?fù)上述過程，因?yàn)榕c的展開式中，不含的部分相等，含的部分互為相反數(shù)，故可設(shè)，所以.若方程的正整數(shù)解為，則的面積是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值，并說明理由.

參考答案1．【答案】B【分析】作出圖形，結(jié)合直線相交關(guān)系及斜率公式可求答案.【詳解】如圖，直線的斜率為；直線的斜率為；當(dāng)直線與線段相交時(shí)，則的斜率的取值范圍是或.故選B.

2．【答案】D【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為，則，或-16．故所求拋物線方程為或．故選：D3．【答案】D【詳解】因?yàn)?，則，解得，則，因?yàn)?，則，解得，即，所以，，因此，.故選D.4．【答案】D【分析】利用點(diǎn)到直線距離公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)閮牲c(diǎn)到直線的距離相等，所以有，或，故選：D5．【答案】A【詳解】因?yàn)榫€分別與軸，軸交于兩點(diǎn)，所以，所以，由，可得圓的圓心為，半徑為，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以圓心到直線的距離為，故到直線的距離的范圍為，則.故選：A.6．【答案】A【分析】如圖所示，過點(diǎn)做，垂足為．求出，在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系如圖，求出，，，即得解.【詳解】如圖所示，過點(diǎn)做，垂足為．∵是母線的中點(diǎn)，圓錐的底面半徑和高均為，∴．∴．在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系如圖．設(shè)拋物線的方程為，為拋物線的焦點(diǎn)．，所以，解得，即，，，該拋物線的焦點(diǎn)到圓錐頂點(diǎn)的距離為，故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是建立直角坐標(biāo)系，求出，，.7．【答案】A【分析】設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，求解出以為直徑的圓的方程，將圓的方程與圓的方程作差可得公共弦的方程，結(jié)合點(diǎn)在上可得點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足的方程.【詳解】設(shè)，則以為直徑的圓，即①因?yàn)槭菆AO的切線，所以，所以A，B在圓M上，所以是圓O與圓M的公共弦，又因?yàn)閳A②，所以由①②得直線的方程為：，又點(diǎn)滿足直線方程，所以，即.故選：A.8．【答案】A【詳解】因?yàn)?，所以，如圖，在上取一點(diǎn)M，使得，連接，則，則點(diǎn)I為AM上靠近點(diǎn)M的三等分點(diǎn)，所以，所以，設(shè)，則，由橢圓定義可知：，即，所以，所以，，，故點(diǎn)A與上頂點(diǎn)重合，在中，由余弦定理得：，在中，，解得，所以橢圓離心率為.

故選A.9．【答案】AB【詳解】兩條不重合直線，的方向向量分別是，，則，所以，A正確；兩個(gè)不同的平面，的法向量分別是，，則，所以，B正確；直線的方向向量，平面的法向量是，則，所以或，C錯(cuò)誤；直線的方向向量，平面的法向量是，則，所以，D錯(cuò)誤．故選：AB10．【答案】BD【分析】綜合運(yùn)用雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)及點(diǎn)到直線距離公式、直線的斜率公式求解即可.【詳解】由雙曲線知，，，對(duì)于A，雙曲線的離心率為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，雙曲線的漸近線方程為，即，故B正確；對(duì)于C，點(diǎn)到漸近線的距離為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)，則，即，所以，即直線與直線的斜率乘積為，故D正確；故選：BD.11．【答案】BC【詳解】設(shè)點(diǎn)，依題意，，對(duì)于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，解不等式得：，即點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，則，顯然，因此，B正確；對(duì)于C，的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在以線段MN為直徑的圓上，由解得，所以面積的最大值為，C正確；對(duì)于D，因?yàn)辄c(diǎn)在動(dòng)點(diǎn)P的軌跡上，當(dāng)點(diǎn)P為此點(diǎn)時(shí)，，D錯(cuò)誤.故選：BC12．【答案】【分析】根據(jù)題意得出半徑，即可得出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】以點(diǎn)為圓心，且與軸相切的圓的半徑為1，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.故答案為：13．【答案】【詳解】法一：由題意，，，因?yàn)?，，共面，所以存在?shí)數(shù)唯一實(shí)數(shù)對(duì)，使得，即，所以，解得．法二：由，，共面得四點(diǎn)共面，則根據(jù)四點(diǎn)共面的充要條件可得，，即．故答案為：.14．【答案】【分析】設(shè)，所以存在點(diǎn)使等價(jià)于由可求的最小值，求得的范圍，從而得到的取值范圍.【詳解】設(shè)，則.顯然當(dāng)靠近右頂點(diǎn)時(shí)，，所以存在點(diǎn)使等價(jià)于，在中由余弦定理得，即，解得，同理可得，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.由得，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求離心率范圍關(guān)鍵是建立的不等式，此時(shí)將問題轉(zhuǎn)化為，從而只需求的最小值，求最小值的方法是結(jié)合焦半徑性質(zhì)使用基本不等式求解.15．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)橹本€的斜率為，直線的斜率為，所以，對(duì)應(yīng)的傾斜角分別為，，結(jié)合圖形，當(dāng)直線過點(diǎn)且與線段有交點(diǎn)時(shí)，的傾斜角范圍為；（2）設(shè)直線在x軸，軸上的截距分別為a，，由題意知，，則直線的方程為，由直線經(jīng)過點(diǎn)，且與x軸，軸圍成的三角形的面積為2，得，解得或（舍）.所以直線的方程為，即.16．【答案】(1)證明過程見解析(2)(3)【分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，結(jié)合相似三角形的判定定理和性質(zhì)、線面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可；（3）利用空間點(diǎn)到直線距離公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?，M為BC的中點(diǎn)，所以，因?yàn)樗睦忮F的底面是矩形，所以，所以，所以，而，即，因?yàn)榈酌鍭BCD，底面ABCD，所以，而平面PBD，所以平面PBD；（2）因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，所以，因?yàn)樗睦忮F的底面是矩形，所以，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，因?yàn)槠矫鍭BCD，所以平面ABCD的法向量為，設(shè)平面APM的法向量為，，，于是有，平面ABCD與平面APM所成角的余弦值為；（3）由（2）可知平面APM的法向量為，，所以D到平面APM的距離為.【方法總結(jié)】1.向量法求兩個(gè)平面的夾角：首先求出兩個(gè)平面的法向量m，n，再代入公式cosα＝±(其中m，n分別是兩個(gè)平面的法向量，α是兩個(gè)平面的夾角)求解.2.求點(diǎn)到平面距離的常用方法：(1)直接法，利用線線垂直、線面垂直、面面垂直等性質(zhì)定理與判定定理，作出垂線段，再通過解三角形求出距離．(2)間接法，利用等體積法、特殊值法等轉(zhuǎn)化求解．(3)向量法，求點(diǎn)P到平面α的距離的步驟：①在平面α內(nèi)取一點(diǎn)A，確定向量eq\o(PA,\s\up6(→))的坐標(biāo)；②確定平面α的法向量n；③代入公式d＝eq\f(|\o(PA,\s\up6(→))·n|,|n|)求解．17．【答案】(1)；(2)直線過定點(diǎn).【分析】（1）利用代入法，結(jié)合拋物線定義進(jìn)行求解即可；（2）直線方程與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)角相等的性質(zhì)、斜率公式、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，且，所以有，因此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)，，直線方程與拋物線方程聯(lián)立，得，因?yàn)椋驗(yàn)?，所以，所以．則，即．當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，符合題意，即．綜上，直線過定點(diǎn)．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：通過角相等得到兩條直線的斜率關(guān)系是解題的關(guān)鍵.18．【答案】(1)證明見解析；(2)存在實(shí)數(shù).【分析】（1）根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法證明線線垂直即可；（2）利用空間向量法表示出銳二面角的余弦值，求解實(shí)數(shù)即可.【詳解】（1）因?yàn)樵谒倪呅沃校?，，，所以，在四棱錐中，，即，，.又平面，平面，，所以平面，即是四棱錐的高，因此，所以.以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，.又為的中點(diǎn)，所以，因此，，所以，所以，即.（2）由（1）知，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則即令，則，所以是平面的一個(gè)法向量.因?yàn)?，所以，，所以，所?設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則即令，則，，所以是平面的一個(gè)法向量，所以，可得，解得或.又，所以，即存在實(shí)數(shù)，使得銳二面角的余弦值為.19．【答案】(1)；(2)證明見解析；(3)1.【分析】（1）根據(jù)雙曲線關(guān)系和漸近線、實(shí)軸相關(guān)概念進(jìn)行列式計(jì)算即可求解.（2）分別聯(lián)立直線與及其漸近線方程求出、、、的坐標(biāo)或坐標(biāo)的關(guān)系，進(jìn)而得出線段的中點(diǎn)重合，即可得證.（3）結(jié)合題目所給