福建省福州第四中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期第一學(xué)段考試數(shù)學(xué)試題含答案

2024-2025年福州四中第一學(xué)期第一學(xué)段試卷高三數(shù)學(xué)一．單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)α是第二象限角，P（x，8）為其終邊上的一點，且sinα=45，則A．﹣3 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣102．已知直線ax+2y+6＝0與直線x+（a+1）y+a2+5＝0互相平行，則實數(shù)a的值（）A．﹣2 B．﹣2或1 C．2 D．13．若x，y∈R，則“2x﹣2y＞0”是“l(fā)n（x﹣y）＞0”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．下列四個數(shù)中最大的是（）A．lg20 B．lg（lg20） C．（lg20）2 D．15．將函數(shù)f（x）＝sinωx（ω＞0）的圖象向右平移π4個單位長度，所得圖象關(guān)于點(3π4A．13 B．1 C．53 D6．如圖是一個圓臺的側(cè)面展開圖，若兩個半圓的半徑分別是1和2，則該圓臺的體積是（）A．72π24B．73π24C7.已知雙曲線的焦距與其虛軸長之比為3：2，則的離心率為（）A.B. C. D.8．已知函數(shù)f（x）的定義域為R，且f（2x﹣1）為奇函數(shù)，f（x+1）為偶函數(shù)，當(dāng)x∈[﹣1，1]時，f（x）＝ax+1，則f（2025）＝（）A．0 B．1 C．2 D．2025二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9.下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（）A. B.C. D.10．已知圓C：x2+y2﹣4x﹣14y+45＝0及點Q（﹣2，3），則下列說法正確的是（）A．點C的坐標(biāo)為（2，7） B．點Q在圓C外 C．若點P（m，m+1）在圓C上，則直線PQ的斜率為14D．若M是圓C上任一點，則|MQ|的取值范圍為[22，62]11.已知函數(shù)，則（）A.的圖象關(guān)于點對稱B.為奇函數(shù)C.是的極小值點D.在上有極值三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知命題“，”是假命題，則的取值范圍是________．13．已知f(x)=4x-1，x≥0log2(1-x)，x＜014．與圓柱底面成45°角的平面截圓柱得到如圖所示的幾何體．截面上的點到圓柱底面距離的最大值為4，最小值為2，則該幾何體的體積為．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15.（13分）已知為數(shù)列前項和，若.（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）令，若，求滿足條件的最大整數(shù).16．（15分）已知直線l1：mx﹣y+m＝0，l2：x+my﹣m（m+1）＝0，l3：（m+1）x﹣y+（m+1）＝0，記l1∩l2＝C，l2∩l3＝B，l3∩l1＝A．（1）當(dāng)m＝2時，求原點關(guān)于直線l1的對稱點坐標(biāo)；（2）求證：不論m為何值，△ABC總有一個頂點為定點；（3）求△ABC面積的取值范圍．（可直接利用對勾函數(shù)的單調(diào)性）．17.（15分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AB⊥BC，AD∥BC，AD＝3，PA＝BC＝2AB＝2，PB=3（1）求證：BC⊥PB；（2）若點E為棱PA上不與端點重合的動點，且CE與平面PAB所成角正弦值為255，求E點到平面PCD18.（17分）在中，角的對邊分別為.（1）求；（2）已知為的平分線，交于點，且為線段上一點，且，求的周長.19.（17分）如圖，我們把由平面內(nèi)夾角成的兩條數(shù)軸Ox，Oy構(gòu)成的坐標(biāo)系，稱為“完美坐標(biāo)系”.設(shè)，分別為Ox，Oy正方向上的單位向量，若向量，則把實數(shù)對叫做向量的“完美坐標(biāo)”.（1）若向量的“完美坐標(biāo)”為，求；（2）已知，分別為向量，的“完美坐標(biāo)”，證明：；（3）若向量，的“完美坐標(biāo)”分別為，，設(shè)函數(shù)，x∈R，求的值域.

2024-2025年福州四中第一學(xué)期第一學(xué)段試卷高三數(shù)學(xué)參考答案與試題解析一．單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)α是第二象限角，P（x，8）為其終邊上的一點，且sinα=45，則A．﹣3 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣10【考點】任意角的三角函數(shù)的定義．【分析】由任意角的三角函數(shù)定義即可求解．【解答】解：因為P（x，8）為其終邊上的一點，且sinα=4所以sinα=8x2+8因為α是第二象限角，所以x＝﹣6．故選：C．【點評】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．2．已知直線ax+2y+6＝0與直線x+（a+1）y+a2+5＝0互相平行，則實數(shù)a的值（）A．﹣2 B．﹣2或1 C．2 D．1【考點】兩條直線平行與傾斜角、斜率的關(guān)系．【分析】根據(jù)平行的充要條件可得a的值．【解答】解：因為直線ax+2y+6＝0與直線x+（a+1）y+a2+5＝0互相平行，可得a（a+1）﹣2＝0，且2（a2+5）≠6（a+1），解得a＝﹣2．故選：A．【點評】本題考查兩條直線平行的充要條件的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．3．若x，y∈R，則“2x﹣2y＞0”是“l(fā)n（x﹣y）＞0”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【考點】充分不必要條件的判斷．【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與充分必要條件的定義可解．【解答】解：若x，y∈R，則2x﹣2y＞0，x＞y，則x﹣y＞0，不能推出x﹣y＞1，也就不能推出ln（x﹣y）＞0，則充分性不成立；又ln（x﹣y）＞0，則x﹣y＞1，則x﹣y＞0，即x＞y，能推出2x﹣2y＞0，則必要性成立；則“2x﹣2y＞0”是“l(fā)n（x﹣y）＞0”的必要不充分條件．故選：B．【點評】本題考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與充分必要條件的定義，屬于基礎(chǔ)題．4．下列四個數(shù)中最大的是（）A．lg20 B．lg（lg20） C．（lg20）2 D．1【考點】對數(shù)運算求值．【分析】結(jié)合對數(shù)運算性質(zhì)判斷l(xiāng)g20的范圍，然后檢驗各選項即可判斷．【解答】解：因為lg20＝lg2+1∈（1，2），所以lg（lg20）∈（0，1），lg（lg20）＜lg20，（lg20）2＞lg20＞1，1lg20故最大值為（lg20）2．故選：C．【點評】本題主要考查了對數(shù)運算性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．5．將函數(shù)f（x）＝sinωx（ω＞0）的圖象向右平移π4個單位長度，所得圖象關(guān)于點(3π4A．13 B．1 C．53 D【考點】正弦函數(shù)的圖象．【分析】根據(jù)函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，所得函數(shù)的解析式為y＝sinω（x-π4），再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象的對稱性，求得【解答】解：將函數(shù)f（x）＝sinωx（ω＞0）的圖象向右平移π4個可得y＝sinω（x-π4）＝sin（ωx-ωπ再根據(jù)所得圖象關(guān)于點(3π4，0)對稱，可得ω?3π4?-ωπ4求得ω＝2k，k∈Z，結(jié)合所給的選項，可取ω＝2，故選：D．【點評】本題主要考查函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象的對稱性，屬于基礎(chǔ)題．6．如圖是一個圓臺的側(cè)面展開圖，若兩個半圓的半徑分別是1和2，則該圓臺的體積是（）A．72π24 B．73π24 C【考點】圓臺的體積．【分析】求出圓臺的母線長，利用勾股定理求出圓臺的高，再利用圓臺的體積公式求解即可．【解答】解：如圖所示，圓臺的母線長為AP＝1，設(shè)上底面圓的半徑為r，下底面圓的半徑為R，由題意可得，π×1＝2πr，π×2＝2πR，解得r=12，R＝所以圓臺的高為h=1所以圓臺的體積為V圓臺=13π[(12)2故選：B．【點評】本題考查了圓臺側(cè)面展開圖的理解與應(yīng)用，以及圓臺體積公式運用問題，是基礎(chǔ)題．7.已知雙曲線的焦距與其虛軸長之比為3：2，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)，由已知可得，進(jìn)而可求離心率.【詳解】由題意可知，，則，設(shè)，則，所以，故的離心率為.故選：C.8．已知函數(shù)f（x）的定義域為R，且f（2x﹣1）為奇函數(shù)，f（x+1）為偶函數(shù)，當(dāng)x∈[﹣1，1]時，f（x）＝ax+1，則f（2025）＝（）A．0 B．1 C．2 D．2025【考點】函數(shù)的奇偶性．【分析】由函數(shù)奇偶性，確定f（x）為周期函數(shù)，再結(jié)合f（﹣1）＝0，求得a，即可求解．【解答】解：因為f（2x﹣1）為奇函數(shù)，所以f（x）關(guān)于點（﹣1，0）中心對稱，又f（x+1）為偶函數(shù)，所以f（x）關(guān)于直線x＝1對稱，所以f（x）為周期函數(shù)且周期T＝4×|1﹣（﹣1）|＝8，∴f（2025）＝f（8×253+1）＝f（1）＝a+1，∵f（﹣1）＝﹣a+1＝0，∴a＝1，∴f（2025）＝a+1＝2．故選：C．【點評】本題考查函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9.下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)規(guī)律：同增異減，即可判斷BCD；去掉絕對值符號后可判斷A的正誤.【詳解】對于A，函數(shù)所以在上單調(diào)遞減，故A正確；對于B，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故B錯誤；對于C，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故C錯誤；對于D，函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故D正確.故選：AD.10．已知圓C：x2+y2﹣4x﹣14y+45＝0及點Q（﹣2，3），則下列說法正確的是（）A．點C的坐標(biāo)為（2，7） B．點Q在圓C外 C．若點P（m，m+1）在圓C上，則直線PQ的斜率為14D．若M是圓C上任一點，則|MQ|的取值范圍為[22，62]【考點】直線與圓的位置關(guān)系；圓的一般方程．【分析】把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得圓心C的坐標(biāo)可判斷A，求出CQ兩點的距離可判斷B，利用點P在圓上求出m得點P的坐標(biāo)，可求PQ的斜率可判斷C，求出|CQ|的長，利用數(shù)形結(jié)合可求|MQ|的范圍可判斷D．【解答】解：把圓C：x2+y2﹣4x﹣14y+45＝0化為（x﹣2）2+（y﹣7）2＝8，所以圓心C的坐標(biāo)為（2，7），故A正確；因為C（2，7），Q（﹣2，3）兩點之間的距離為(-2-2)2+(3-7)2因為點P（m，m+1）在圓C上，所以（m﹣2）2+（m+1﹣7）2＝8，解得m＝4，即P（4，5），所以直線PQ的斜率為3-5-2-4=1因為圓心C（2，7），半徑r＝22，CQ=42，所以CQ-r≤即22≤MQ≤62故選：ABD．【點評】本題考查圓的相關(guān)知識，以及求圓上一點到一定點的距離的最大值與最小值，屬基礎(chǔ)題．11.已知函數(shù)，則（）A.的圖象關(guān)于點對稱B.為奇函數(shù)C.是的極小值點D.在上有極值【答案】ABC【解析】【分析】由對稱中心的定義代入驗證可得滿足，即可知A正確；利用奇函數(shù)定義化簡可得B正確，對函數(shù)求導(dǎo)并判斷出函數(shù)在上的單調(diào)性，即可判斷C正確，利用輔助角公式化簡并根據(jù)正弦函數(shù)圖象性質(zhì)可判斷D錯誤.【詳解】對于A，由易知,即滿足，所以的圖象關(guān)于點對稱，可得A正確；對于B，易知，滿足奇函數(shù)定義，即可得為奇函數(shù)，即B正確；對于C，求導(dǎo)可得，不妨只研究當(dāng)時的單調(diào)性，當(dāng)時，，當(dāng)時，，可知函數(shù)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此在處取得極小值，所以是的極小值點，即C正確.對于D，由可知，當(dāng)時，，此時函數(shù)在上是單調(diào)遞減的，因此在上沒有極值，即D錯誤.故選：ABC【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于利用中心對稱函數(shù)性質(zhì)驗證選項中的對稱中心是否滿足中心對稱表達(dá)式，并充分利用三角函數(shù)性質(zhì)解決極值點問題.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知命題“，”是假命題，則的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】先寫出命題“，”的否定，由題可知其為真命題，然后利用的范圍求得的范圍即可.【詳解】由題意得“，”是真命題，故，因為，所以m的取值范圍是．故答案為：13．已知f(x)=4x-1，x≥0log2(1-x)，x＜0【考點】函數(shù)的值．【分析】首先根據(jù)分段函數(shù)求出f（﹣4），然后根據(jù)f（﹣4）的值求出f（f（﹣4））的值即可．【解答】解：因為f(x)=4由題意，可得f（﹣4）＝log25，又log25＞1，故f(f(-故答案為：254【點評】本題主要考查了函數(shù)值的求解，屬于基礎(chǔ)題．14．與圓柱底面成45°角的平面截圓柱得到如圖所示的幾何體．截面上的點到圓柱底面距離的最大值為4，最小值為2，則該幾何體的體積為3π．【考點】圓柱的體積．【分析】該幾何體的體積是底面半徑為1，高為2的圓柱的體積的32倍【解答】解：與圓柱底面成45°角的平面截圓柱得到如圖所示的幾何體．截面上的點到圓柱底面距離的最大值為4，最小值為2，則該幾何體的體積是底面半徑為1，高為2的圓柱的體積的32倍則該幾何體的體積為32×π×1故答案為：3π．【點評】本題考查了空間幾何體的體積，重點考查了圓柱的體積公式，屬基礎(chǔ)題．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15.（13分）已知為數(shù)列的前項和，若.（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）令，若，求滿足條件的最大整數(shù).【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用與的關(guān)系式可得，即，即可得證.（2）由（1）可得，則，設(shè)，根據(jù)等比數(shù)列的前項和公式可得，令，結(jié)合，即可求解.【小問1詳解】證明：由可得，當(dāng)時，，解得，……2分當(dāng)時，，即，則，即，……4分即，即，……5分又，所以數(shù)列是首項為6，公比為2的等比數(shù)列.……7分【小問2詳解】由（1）得，則，……8分設(shè)，則……10分令，得，即，即，……12分又，，，所以滿足條件的最大整數(shù)為為5.……13分16．（15分）已知直線l1：mx﹣y+m＝0，l2：x+my﹣m（m+1）＝0，l3：（m+1）x﹣y+（m+1）＝0，記l1∩l2＝C，l2∩l3＝B，l3∩l1＝A．（1）當(dāng)m＝2時，求原點關(guān)于直線l1的對稱點坐標(biāo)；（2）求證：不論m為何值，△ABC總有一個頂點為定點；（3）求△ABC面積的取值范圍．（可直接利用對勾函數(shù)的單調(diào)性）．【考點】與直線關(guān)于點、直線對稱的直線方程；恒過定點的直線．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；邏輯思維；運算求解．【答案】（1）（-8（2）證明見解答．（3）14【分析】（1）當(dāng)m＝2時，直線l1的方程為：l12x﹣y+2＝0，設(shè)原點關(guān)于直線l1的對稱點為（x0，y0），利用斜率與中點坐標(biāo)公式列方程求解即可；（2）聯(lián)立方程得出l1，l3交于A（﹣1，0），l2，l3交于B（0，m+1）從而可以證明結(jié)論．（3）求得l1與l2的交點的坐標(biāo)，可得AB長，再求得點C（﹣1，0）到l2的距離d，求△ABC的面積的取值范圍．推出三角形面積的表達(dá)式，分類討論，利用基本不等式可得結(jié)果．【解答】解：（1）當(dāng)m＝2時，直線l1的方程為：2x﹣y+2＝0，且斜率k1＝2，設(shè)原點關(guān)于直線l1的對稱點為（x0，y0），則由斜率與中點坐標(biāo)公式列方程得：y0x0=-解得：x0=-85y0（2）證明：根據(jù)題意得l1，l3交于A（﹣1，0），l2，l3交于B（0，m+1），∴不論m取何值時，△ABC中總有一個頂點為定點（﹣1，0）．……8分（3）由mx-y+m=0x+my-m(m+1)=0，得l1與l2的交點為：A……10分由兩點間距離公式得AB=11+m2點C（﹣1，0）到l2的距離為：d=|-1-m-m2|三角形面積S=12|AB|?d=12?11+當(dāng)m＝0時，有m1+m當(dāng)m＞0時，有m1+m2=1m+1當(dāng)m＜0時，m1+m2=1m+所以，-12≤m1+m【點評】本題主要考查直線的交點、點到直線距離公式與三角形面積公式的應(yīng)用，考查了對稱問題以及分類討論思想的應(yīng)用，屬于綜合題．17.（15分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AB⊥BC，AD∥BC，AD＝3，PA＝BC＝2AB＝2，PB=3（1）求證：BC⊥PB；（2）若點E為棱PA上不與端點重合的動點，且CE與平面PAB所成角正弦值為255，求E點到平面【考點】直線與平面所成的角；點、線、面間的距離計算．【專題】計算題；整體思想；綜合法；立體幾何；運算求解．【答案】（1）證明見解析；（2）330【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)定理得到BC⊥平面PAB，即可得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，由CE與平面PAB所成角正弦值為255，得到【解答】證明：（1）∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，BC⊥AB，BC?平面ABCD，∴BC⊥平面PAB……2分∵PB?平面PAB，故BC⊥PB；……4分解：（2）∵△PAB中PA2＝AB2+PB2，∴PB⊥AB，……6分以B為原點如圖所示建系：……7分B(0，AE→=λAP→=(λ，0，取平面PAB法向量n1sinθ=n1→?CE→|n1→則E(-取平面PCD法向量n2→=（x，y則n2→?CD→=0n2故d=|CE→?【點評】本題考查了線線垂直的證明和點到平面的距離計算，屬于中檔題．18.（17分）在中，角的對邊分別為.（1）求；（2）已知為的平分線，交于點，且為線段上一點，且，求的周長.【答案】（1）