2024年新高一數(shù)學(xué)初升高銜接《誘導(dǎo)公式》含答案解析

數(shù)學(xué)PAGE1數(shù)學(xué)第25講誘導(dǎo)公式模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測1．了解誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)方法；2．掌握誘導(dǎo)公式，并能靈活應(yīng)用；3．借助公式進(jìn)行運(yùn)算，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)；通過公式的變形進(jìn)行化簡和證明，提升邏輯推理素養(yǎng).知識(shí)點(diǎn)1誘導(dǎo)公式1、誘導(dǎo)公式二：角與角的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，，其中【記憶規(guī)律】把看作銳角時(shí)不會(huì)影響誘導(dǎo)公式中右邊式子前面的符號(hào)，因此記憶公式符號(hào)時(shí)通常把看作是銳角，則是第三象限角，函數(shù)名不變，符號(hào)為的終邊在第三象限時(shí)的三角函數(shù)值的符號(hào).2、誘導(dǎo)公式三：角與角的終邊關(guān)于軸對(duì)稱，，，其中【記憶規(guī)律】把看作銳角，則是第四象限角，函數(shù)名不變，符號(hào)為的終邊在第四象限時(shí)的三角函數(shù)值的符號(hào).3、誘導(dǎo)公式四：角與角的終邊關(guān)于軸對(duì)稱，，，其中【記憶規(guī)律】把看作銳角，則是第二象限角，三角函數(shù)名不變，符號(hào)為的終邊在第二象限時(shí)的三角函數(shù)值的符號(hào)/4、誘導(dǎo)公式五：，，其中誘導(dǎo)公式六：，，其中【記憶規(guī)律】（1）把看作銳角，則是第一象限角，的正弦函數(shù)值等于的余弦函數(shù)值；的余弦函數(shù)值等于的正弦函數(shù)值，函數(shù)值均不變號(hào)；（2）把看作銳角，則是第二象限角，的正弦函數(shù)值等于的余弦函數(shù)值；的余弦函數(shù)值等于的正弦函數(shù)值的相反數(shù).知識(shí)點(diǎn)2所有誘導(dǎo)公式記憶口訣與作用1、記憶口訣：奇變偶不變，符號(hào)看象限2、誘導(dǎo)公式的作用誘導(dǎo)公式作用公式一將任意角轉(zhuǎn)化為的角求值公式二將的角轉(zhuǎn)化為的角求值公式三將負(fù)角轉(zhuǎn)化為正角求值公式四將的角轉(zhuǎn)化為的角求值公式五實(shí)現(xiàn)正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的互相轉(zhuǎn)化公式六知識(shí)點(diǎn)3誘導(dǎo)公式常用方法1、用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡時(shí)的注意點(diǎn)（1）化簡后項(xiàng)數(shù)盡可能的少；（2）函數(shù)的種類盡可能的少；（3）分母不含三角函數(shù)的符號(hào)；（4）能求值的一定要求值；（5）含有較高次數(shù)的三角函數(shù)式，多用因式分解、約分等．2、利用誘導(dǎo)公式求任意角三角函數(shù)值的步驟（1）“負(fù)化正”：用公式一或三來轉(zhuǎn)化．（2）“大化小”：用公式一將角化為0°到360°間的角．（3）“角化銳”：用公式二或四將大于90°的角轉(zhuǎn)化為銳角．（4）“銳求值”：得到銳角的三角函數(shù)后求值．3、利用誘導(dǎo)公式求值與求角解題策略（1）條件求值問題的策略=1\*GB3①條件求值問題，首先要仔細(xì)觀察條件與所求式之間的角、函數(shù)名稱及有關(guān)運(yùn)算之間的差異及聯(lián)系．=2\*GB3②將已知式進(jìn)行變形向所求式轉(zhuǎn)化，或?qū)⑺笫竭M(jìn)行變形向已知式轉(zhuǎn)化．（2）給值求角問題，先通過化簡已給的式子得出某個(gè)角的某種三角函數(shù)值，再結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值逆向求角．4、觀察互余、互補(bǔ)關(guān)系：如eq\f(π,3)－α與eq\f(π,6)＋α，eq\f(π,3)＋α與eq\f(π,6)－α，eq\f(π,4)－α與eq\f(π,4)＋α等互余，eq\f(π,3)＋θ與eq\f(2π,3)－θ，eq\f(π,4)＋θ與eq\f(3π,4)－θ等互補(bǔ)，遇到此類問題，不妨考慮兩個(gè)角的和，要善于利用角的變換來解決問題．考點(diǎn)一：利用誘導(dǎo)公式給角求值例1．（23-24高一上·河北石家莊·期末）計(jì)算（

）A． B． C． D．【變式1-1】（23-24高一上·安徽合肥·月考）（

）A． B． C． D．【變式1-2】（23-24高一下·廣西桂林·月考）（

）A． B．0 C． D．【變式1-3】（23-24高一下·陜西渭南·月考）.考點(diǎn)二：利用誘導(dǎo)公式給值求值例2.（23-24高一下·江西南昌·期末）已知，則（

）A． B． C． D．【變式2-1】（23-24高一上·山東菏澤·月考）若，則（

）A． B． C． D．【變式2-2】（23-24高一上·廣東廣州·月考）已知為鈍角，且，則（）A． B． C． D．【變式2-3】（23-24高一上·陜西西安·月考）已知為第二象限角，若則（

）A． B． C． D．考點(diǎn)三：利用互余互補(bǔ)關(guān)系求值例3.（23-24高一上·福建福州·月考）如果，滿足，那么下列式子中正確的個(gè)數(shù)是（

）①；②；③；④；⑤．A．1 B．2 C．3 D．4【變式3-1】（23-24高一下·湖南岳陽·開學(xué)考試）已知，則（

）A． B． C． D．【變式3-2】（23-24高一下·江西景德鎮(zhèn)·期中）等于（

）A． B． C． D．【變式3-3】（23-24高一下·廣東茂名·月考）若，且，則.考點(diǎn)四：誘導(dǎo)公式綜合化簡求值例4.（23-24高一下·廣西梧州·月考）化簡求值：(1)；(2)【變式4-1】（23-24高一下·廣西桂林·月考）在平面直角坐標(biāo)系中，角的終邊經(jīng)過點(diǎn)．(1)求，的值；(2)求的值．【變式4-2】（23-24高一下·遼寧沈陽·月考）已知是第三象限角，且.(1)求的值；(2)求的值；(3)角的終邊與角關(guān)于x軸對(duì)稱，求的值.【變式4-3】（23-24高一上·湖北武漢·期末）已知.(1)若，求的值；(2)若，求的值.考點(diǎn)五：利用誘導(dǎo)公式證明恒等式例5.（2024高一上·全國·專題練習(xí)）求證：.【變式5-1】（23-24高一上·全國·專題練習(xí)）求證：.【變式5-2】（23-24高一上·全國·課后作業(yè)）求證：＝.【變式5-3】（22-23高一下·江西吉安·期末）求證：當(dāng)或3時(shí)，.考點(diǎn)六：三角形中的誘導(dǎo)公式應(yīng)用例6.（23-24高一下·河南安陽·月考）在中，給出下列四個(gè)式子：①；②；③；④.其中為常數(shù)的是（

）A．①③ B．②③ C．①④ D．②④【變式6-1】（23-24高一上·安徽馬鞍山·期末）（多選）若角是的三個(gè)內(nèi)角，則下列結(jié)論中一定成立的是（

）A． B．C． D．【變式6-2】（22-23高一上·江蘇揚(yáng)州·月考）已知A，B，C是的內(nèi)角，下列等式中錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．【變式6-3】（23-24高一下·遼寧大連·月考）在中，已知，則.一、單選題1．（23-24高一下·四川遂寧·月考）（

）A． B． C． D．2．（23-24高一上·浙江嘉興·期末）已知，則（

）A． B． C． D．3．（23-24高一上·湖北武漢·期末）已知，則（

）A． B． C． D．4．（23-24高一上·北京東城·期末）若，，則的值為（

）A． B． C． D．5．（23-24高一下·江西南昌·月考）若，則（

）A． B． C． D．6．（23-24高一上·重慶·期末）已知，則（

）A． B． C． D．二、多選題7．（23-24高一下·廣東湛江·開學(xué)考試）（多選題）下列誘導(dǎo)公式正確的是（

）A． B．C． D．8．（23-24高一上·新疆伊犁·月考）在中，下列關(guān)系不成立的是（

）A． B．C． D．三、填空題9．（23-24高一下·北京·月考）計(jì)算.10．（23-24高一上·湖南·期末）化簡：.11．（23-24高一下·廣西梧州·月考）已知，則．四、解答題12．（23-24高一下·陜西渭南·月考）已知，且是第三象限角.(1)求cos，tan的值；(2)求.13．（23-24高一下·貴州遵義·月考）已知，．(1)求，，的值；(2)求的值．第25講誘導(dǎo)公式模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測1．了解誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)方法；2．掌握誘導(dǎo)公式，并能靈活應(yīng)用；3．借助公式進(jìn)行運(yùn)算，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)；通過公式的變形進(jìn)行化簡和證明，提升邏輯推理素養(yǎng).知識(shí)點(diǎn)1誘導(dǎo)公式1、誘導(dǎo)公式二：角與角的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，，其中【記憶規(guī)律】把看作銳角時(shí)不會(huì)影響誘導(dǎo)公式中右邊式子前面的符號(hào)，因此記憶公式符號(hào)時(shí)通常把看作是銳角，則是第三象限角，函數(shù)名不變，符號(hào)為的終邊在第三象限時(shí)的三角函數(shù)值的符號(hào).2、誘導(dǎo)公式三：角與角的終邊關(guān)于軸對(duì)稱，，，其中【記憶規(guī)律】把看作銳角，則是第四象限角，函數(shù)名不變，符號(hào)為的終邊在第四象限時(shí)的三角函數(shù)值的符號(hào).3、誘導(dǎo)公式四：角與角的終邊關(guān)于軸對(duì)稱，，，其中【記憶規(guī)律】把看作銳角，則是第二象限角，三角函數(shù)名不變，符號(hào)為的終邊在第二象限時(shí)的三角函數(shù)值的符號(hào)/4、誘導(dǎo)公式五：，，其中誘導(dǎo)公式六：，，其中【記憶規(guī)律】（1）把看作銳角，則是第一象限角，的正弦函數(shù)值等于的余弦函數(shù)值；的余弦函數(shù)值等于的正弦函數(shù)值，函數(shù)值均不變號(hào)；（2）把看作銳角，則是第二象限角，的正弦函數(shù)值等于的余弦函數(shù)值；的余弦函數(shù)值等于的正弦函數(shù)值的相反數(shù).知識(shí)點(diǎn)2所有誘導(dǎo)公式記憶口訣與作用1、記憶口訣：奇變偶不變，符號(hào)看象限2、誘導(dǎo)公式的作用誘導(dǎo)公式作用公式一將任意角轉(zhuǎn)化為的角求值公式二將的角轉(zhuǎn)化為的角求值公式三將負(fù)角轉(zhuǎn)化為正角求值公式四將的角轉(zhuǎn)化為的角求值公式五實(shí)現(xiàn)正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的互相轉(zhuǎn)化公式六知識(shí)點(diǎn)3誘導(dǎo)公式常用方法1、用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡時(shí)的注意點(diǎn)（1）化簡后項(xiàng)數(shù)盡可能的少；（2）函數(shù)的種類盡可能的少；（3）分母不含三角函數(shù)的符號(hào)；（4）能求值的一定要求值；（5）含有較高次數(shù)的三角函數(shù)式，多用因式分解、約分等．2、利用誘導(dǎo)公式求任意角三角函數(shù)值的步驟（1）“負(fù)化正”：用公式一或三來轉(zhuǎn)化．（2）“大化小”：用公式一將角化為0°到360°間的角．（3）“角化銳”：用公式二或四將大于90°的角轉(zhuǎn)化為銳角．（4）“銳求值”：得到銳角的三角函數(shù)后求值．3、利用誘導(dǎo)公式求值與求角解題策略（1）條件求值問題的策略=1\*GB3①條件求值問題，首先要仔細(xì)觀察條件與所求式之間的角、函數(shù)名稱及有關(guān)運(yùn)算之間的差異及聯(lián)系．=2\*GB3②將已知式進(jìn)行變形向所求式轉(zhuǎn)化，或?qū)⑺笫竭M(jìn)行變形向已知式轉(zhuǎn)化．（2）給值求角問題，先通過化簡已給的式子得出某個(gè)角的某種三角函數(shù)值，再結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值逆向求角．4、觀察互余、互補(bǔ)關(guān)系：如eq\f(π,3)－α與eq\f(π,6)＋α，eq\f(π,3)＋α與eq\f(π,6)－α，eq\f(π,4)－α與eq\f(π,4)＋α等互余，eq\f(π,3)＋θ與eq\f(2π,3)－θ，eq\f(π,4)＋θ與eq\f(3π,4)－θ等互補(bǔ)，遇到此類問題，不妨考慮兩個(gè)角的和，要善于利用角的變換來解決問題．考點(diǎn)一：利用誘導(dǎo)公式給角求值例1．（23-24高一上·河北石家莊·期末）計(jì)算（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由誘導(dǎo)公式可得，．故選：A．【變式1-1】（23-24高一上·安徽合肥·月考）（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，故選:B.【變式1-2】（23-24高一下·廣西桂林·月考）（

）A． B．0 C． D．【答案】A【解析】，故選：A.【變式1-3】（23-24高一下·陜西渭南·月考）.【答案】【解析】.故答案為：.考點(diǎn)二：利用誘導(dǎo)公式給值求值例2.（23-24高一下·江西南昌·期末）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由誘導(dǎo)公式可得，又，故選：A.【變式2-1】（23-24高一上·山東菏澤·月考）若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，則，所以.故選：B【變式2-2】（23-24高一上·廣東廣州·月考）已知為鈍角，且，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)椋?，所以，因?yàn)闉殁g角，所以，所以.故選：C.【變式2-3】（23-24高一上·陜西西安·月考）已知為第二象限角，若則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，則，由為第二象限角，則，所以.故選：A.考點(diǎn)三：利用互余互補(bǔ)關(guān)系求值例3.（23-24高一上·福建福州·月考）如果，滿足，那么下列式子中正確的個(gè)數(shù)是（

）①；②；③；④；⑤．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，故①正確，②錯(cuò)誤；，故③正確，④錯(cuò)誤；，⑤正確．故選：C【變式3-1】（23-24高一下·湖南岳陽·開學(xué)考試）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，所?故選：C【變式3-2】（23-24高一下·江西景德鎮(zhèn)·期中）等于（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵則且，∴.故選：D【變式3-3】（23-24高一下·廣東茂名·月考）若，且，則.【答案】【解析】因?yàn)樗?，故答案為?考點(diǎn)四：誘導(dǎo)公式綜合化簡求值例4.（23-24高一下·廣西梧州·月考）化簡求值：(1)；(2)【答案】(1)；(2)【解析】（1）.（2）.【變式4-1】（23-24高一下·廣西桂林·月考）在平面直角坐標(biāo)系中，角的終邊經(jīng)過點(diǎn)．(1)求，的值；(2)求的值．【答案】(1)，；(2)【解析】（1）角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，，，；（2）．【變式4-2】（23-24高一下·遼寧沈陽·月考）已知是第三象限角，且.(1)求的值；(2)求的值；(3)角的終邊與角關(guān)于x軸對(duì)稱，求的值.【答案】(1)；(2)；(3)【解析】（1）,因?yàn)槭堑谌笙藿牵?，所?（2）.（3）因?yàn)槭堑谌笙藿?，且，角的終邊與角關(guān)于x軸對(duì)稱，則，所以.【變式4-3】（23-24高一上·湖北武漢·期末）已知.(1)若，求的值；(2)若，求的值.【答案】(1)答案見解析；(2)【解析】（1），又因?yàn)?，所以，即，所以為第二或第三象限角，?dāng)為第二象限角時(shí)，，，當(dāng)為第三象限角時(shí)，，；（2），即，，由，得.考點(diǎn)五：利用誘導(dǎo)公式證明恒等式例5.（2024高一上·全國·專題練習(xí)）求證：.【答案】證明見解析【解析】左邊右邊，故原式成立.【變式5-1】（23-24高一上·全國·專題練習(xí)）求證：.【答案】證明見解析【解析】左邊右邊，故原式得證.【變式5-2】（23-24高一上·全國·課后作業(yè)）求證：＝.【答案】證明見解析【解析】∵左邊＝＝右邊．∴原式成立．【變式5-3】（22-23高一下·江西吉安·期末）求證：當(dāng)或3時(shí)，.【答案】證明見解析【解析】當(dāng)時(shí)，左邊=；當(dāng)時(shí)，左邊=；綜上，或有原等式恒成立.考點(diǎn)六：三角形中的誘導(dǎo)公式應(yīng)用例6.（23-24高一下·河南安陽·月考）在中，給出下列四個(gè)式子：①；②；③；④.其中為常數(shù)的是（

）A．①③ B．②③ C．①④ D．②④【答案】B【解析】①因?yàn)樵谥?，，所以；②因?yàn)樵谥?，，；③；?故選：B.【變式6-1】（23-24高一上·安徽馬鞍山·期末）（多選）若角是的三個(gè)內(nèi)角，則下列結(jié)論中一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】對(duì)于A：，故A正確；對(duì)于B：，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，故D正確.故選：AD.【變式6-2】（22-23高一上·江蘇揚(yáng)州·月考）已知A，B，C是的內(nèi)角，下列等式中錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】在中，.對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，，，B正確；對(duì)于C，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，D正確.故選：C.【變式6-3】（23-24高一下·遼寧大連·月考）在中，已知，則.【答案】【解析】因?yàn)椋?，解得，又，所以，所?故答案為：一、單選題1．（23-24高一下·四川遂寧·月考）（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】.故選：B2．（23-24高一上·浙江嘉興·期末）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由誘導(dǎo)公式，且，可得，即.故選：D.3．（23-24高一上·湖北武漢·期末）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由誘導(dǎo)公式可得，故.故選：D.4．（23-24高一上·北京東城·