湖南省湖湘教育三新探索協(xié)作體2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 含解析

高二期中聯(lián)考數(shù)學(xué)班級(jí)：__________姓名：__________準(zhǔn)考證號(hào)：__________（本試卷共4頁(yè)，19題，考試用時(shí)120分鐘，全卷滿分150分）注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的班級(jí)、姓名、準(zhǔn)考證號(hào)寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上相應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.3.非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.4.考試結(jié)束后，將答題卡上交.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出集合，再根據(jù)交集的定義求解即可.【詳解】因?yàn)?，，所?故選：B.2.“”是“直線與直線垂直”的（）A.充要條件 B.必要不充分條件C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)直線垂直可得，結(jié)合充分、必要條件分析判斷.【詳解】因?yàn)橹本€與直線垂直，等價(jià)于，即，所以“”是“直線與直線垂直”的充要條件.故選：A.3.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.若空間中點(diǎn)，，，滿足，則A，，三點(diǎn)共線B.對(duì)空間任意一點(diǎn)和不共線三點(diǎn)，，，若，則，，，共面C.空間中的三個(gè)向量，若有兩個(gè)向量共線，則這三個(gè)向量一定共面D.，，若，則與的夾角為銳角【答案】D【解析】【分析】對(duì)于A：根據(jù)三點(diǎn)共線的結(jié)論分析判斷；對(duì)于B：根據(jù)四點(diǎn)共面的結(jié)論分析判斷；對(duì)于C：根據(jù)共面向量的定義分析判斷；對(duì)于D：舉反例說(shuō)明即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，且，所以，，三點(diǎn)共線，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，可得，且，所以，，，共面，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：若共線，則對(duì)任意，均有共面，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：例如，則，，可知，即同向，所以與的夾角為，故D錯(cuò)誤；故選：D.4.在長(zhǎng)方體中，已知，，為的中點(diǎn)，則直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用線線角公式即可求解．【詳解】在長(zhǎng)方體中,以點(diǎn)為原點(diǎn),分別為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，，則，，，，可得,則，則直線與所成角的余弦值為.故選：C.5.拋物線y2=2pxp>0的焦點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為拋物線上一點(diǎn)，且，的面積為，則拋物線方程為（）A. B.C D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)，結(jié)合拋物線的定義可得，，再根據(jù)面積關(guān)系運(yùn)算求解即可.【詳解】由題意可知：，設(shè)，則，因?yàn)?，即，解得，則，即，又因?yàn)榈拿娣e為，且，解得，所以拋物線方程為.故選：A.6.已知圓與圓，過(guò)動(dòng)點(diǎn)分別作圓、圓的切線，（，分別為切點(diǎn)），若，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出點(diǎn)的軌跡為直線，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可得到最值.【詳解】由題意得，，因?yàn)?，又，即，即，化?jiǎn)得點(diǎn)的軌跡為，即在直線上，表示的幾何意義為點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，故只需計(jì)算原點(diǎn)到直線的距離再平方就可得最小值，即最小值為.故選：B.7.如圖所示，在直四棱柱中，底面為菱形，，，動(dòng)點(diǎn)在體對(duì)角線上，直線與平面所成角的最小值為，則直四棱柱的體積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)，可證平面，可知直線與平面所成角為，分析可知當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，取到最大值，即可得，即可得體積.【詳解】設(shè)，因?yàn)榈酌鏋榱庑危瑒t，又因?yàn)榈酌妫酌?，則，且，平面，則平面，可知直線與平面所成角為，則，可得，因?yàn)?，可知?dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，取到最大值，則，所以直四棱柱的體積為.故選：D.8.已知，分別為雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點(diǎn)，為第一象限內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，，線段與雙曲線交于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意可得，，，利用余弦定理列式求解即可.【詳解】由題意可知：，，且，在中，由余弦定理可得，在中，由余弦定理可得，即，可得，所以雙曲線的離心率為.故選：C.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.B.C.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)圖象結(jié)合周期性和最值求，即可判斷AB；可得、的解析式，直接代入運(yùn)算判斷對(duì)稱性，即可判斷CD.【詳解】設(shè)的最小正周期為，則，即，且，則，解得，故B正確；則，因?yàn)?，可得，又因?yàn)?，則，可得，解得，故A錯(cuò)誤；所以，對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：令，因?yàn)椋樽钚≈担?，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故D正確；故選：BD.10.如圖、在正四棱柱中，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.直線平面B.三棱錐的體積為C.三棱錐外接球的表面積為D.存在點(diǎn)使直線與平面所成角為【答案】BC【解析】【分析】對(duì)A，判斷不垂直即可；對(duì)B，先判斷平面平面，再根據(jù)等體積計(jì)算判斷；對(duì)C，根據(jù)三棱錐外接球即長(zhǎng)方體的外接球，再求得表面積即可；對(duì)D，先根據(jù)等體積法求得到平面的距離，進(jìn)而可得直線與平面所成角的正弦值判斷即可.【詳解】對(duì)A，若直線平面，則因?yàn)槠矫妫瑒t，矛盾，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，作輔助線如圖，因?yàn)?，所以四邊形為平行四邊形，所以，面，面，故面，同理得，面，面，故面，又因?yàn)槊?，面，，所以平面平面，又因?yàn)镻點(diǎn)在平面內(nèi)，所以，故B正確；對(duì)于C，三棱錐外接球的半徑，所以三棱錐外接球的表面積為，故C正確；對(duì)D，設(shè)到平面的距離為，又，故，又三棱錐的體積為，則，解得，設(shè)直線與平面所成角為，則，又，即，故，即，故不存在使得，即不存在點(diǎn)使直線與平面所成角，故D錯(cuò)誤.故選：BC11.曲線是平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離的積等于的點(diǎn)的軌跡，則下列結(jié)論正確的是（）A.點(diǎn)到軸距離的最大值為 B.點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大值為C.周長(zhǎng)最大值為 D.最大值為【答案】BD【解析】【分析】對(duì)于A：根據(jù)題意結(jié)合面積關(guān)系可得，即可得結(jié)果；對(duì)于B：根據(jù)向量可得，即可得結(jié)果；對(duì)于C：利用基本不等式分析判斷；對(duì)于D：利用余弦定理結(jié)合基本不等式分析判斷.【詳解】由題意可知：，，設(shè)Px,y，對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，即，解得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以點(diǎn)到軸距離的最大值為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，且，則且，可得，則，即，當(dāng)且僅當(dāng)同向時(shí)，等號(hào)成立，所以點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大值為，故B正確，對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以周長(zhǎng)的最小值為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，可得，所以最大值為，故D正確；故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設(shè)，為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線上的一點(diǎn)，且，則的面積為______.【答案】1【解析】分析】根據(jù)題意結(jié)合雙曲線對(duì)于可得，，結(jié)合勾股定理可得，即可得面積.【詳解】由雙曲線方程可得，不妨設(shè)，則，，若，則，可得，即，則，所以的面積為.故答案為：1.13.在中，，點(diǎn)在上，滿足，，.則的面積為__________【答案】【解析】【分析】設(shè)，在中和中，分別用余弦定理表示出，由等式解出，面積公式求面積.【詳解】設(shè)，則，．在中，．在中，，解得，故，所以．故答案為：.14.已知為拋物線上的任意一點(diǎn)，為其焦點(diǎn)，為圓上的一點(diǎn)，則的最小值為__________、【答案】【解析】【分析】取點(diǎn)，根據(jù)相似三角形得，則，再通過(guò)設(shè)點(diǎn)，結(jié)合兩點(diǎn)距離公式和二次函數(shù)性質(zhì)即可求出最小值.【詳解】由題意得，取點(diǎn)，設(shè)圓的圓心為，則，所以，又因?yàn)椋?，則，.，即求得最小值，設(shè)，則，令.當(dāng)時(shí)，，即的最小值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答過(guò)程應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.已知直線，，其中、.（1）若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，求的值；（2）若直線，當(dāng)直線與直線的距離最大時(shí)，求直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)兩直線平行得到方程，解出即可；（2）首先求出兩直線所過(guò)定點(diǎn)，再得到距離最大時(shí)的狀態(tài)，最后根據(jù)兩直線垂直得到斜率關(guān)系即可.【小問(wèn)1詳解】由直線過(guò)，則，此時(shí)當(dāng)時(shí)，，解得，經(jīng)驗(yàn)證此時(shí)兩直線平行.【小問(wèn)2詳解】，即，當(dāng)，，則直線恒過(guò)定點(diǎn)，，令，則，則直線恒過(guò)定點(diǎn)，故當(dāng)且與和的連線垂直時(shí)，與的距離最大，因?yàn)閮啥c(diǎn)連線斜率為，則此時(shí)的斜率為，故，直線的方程為:.16.某公司的入職面試中有4道難度相當(dāng)?shù)念}目，王陽(yáng)答對(duì)每道題的概率都是0.7，若每位面試者共有4次機(jī)會(huì)，一旦某次答對(duì)抽到的題目、則面試通過(guò)，否則就一直抽題到第4次為止，假設(shè)對(duì)抽到的不同題目能否答對(duì)是獨(dú)立的.（1）求王陽(yáng)第三次答題通過(guò)面試的概率；（2）求王陽(yáng)最終通過(guò)面試的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分析可知：若王陽(yáng)第三次答題通過(guò)面試，則前次均不通過(guò)，結(jié)合獨(dú)立事件概率求法運(yùn)算求解；（2）先求王陽(yáng)未通過(guò)面試的概率，結(jié)合對(duì)立事件概率求法運(yùn)算求解.【小問(wèn)1詳解】記“王陽(yáng)第三次答題通過(guò)面試”為事件，若王陽(yáng)第三次答題通過(guò)面試，則前次均不通過(guò)，所以王陽(yáng)第三次答題通過(guò)面試的概率為.【小問(wèn)2詳解】記“王陽(yáng)最終通過(guò)面試”為事件，王陽(yáng)未通過(guò)面試的概率為，所以王陽(yáng)最終通過(guò)面試的概率.17.如圖，在梯形中，，，，將沿邊翻折，使點(diǎn)翻折到點(diǎn)，且，點(diǎn)為線段靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn).（1）證明：；（2）求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)詳解（2）【解析】【分析】（1）利用線面垂直判定定理去證明平面，即可得結(jié)果；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法去求平面與平面夾角的余弦值．【小問(wèn)1詳解】過(guò)作，垂足為，在等腰梯形中，，，，可知，所以，故，可得，則，即，又因?yàn)椋瑒t，且，平面，平面，可得平面，由平面，所以.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)槠矫?，平面，則平面平面，過(guò)點(diǎn)作平面，則平面，以為原點(diǎn)，分別以、、所在直線為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，則，，，設(shè)平面法向量為，則，令，則，，可得為平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面法向量為，則，令，則，，可得為平面的一個(gè)法向量，所以，故平面與平面夾角的余弦值為.18.已知圓與圓，，.（1）當(dāng)時(shí)，直線與圓交于，兩點(diǎn)，若，求MN；（2）若，圓與圓只有一條公切線，求的最小值.【答案】（1）（2）9【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可知：圓的圓心為O0,0，半徑，結(jié)合向量可得，即可得結(jié)果；（2）分析可知圓與圓內(nèi)切，可得，利用乘“1”法結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解.【小問(wèn)1詳解】若，則圓的圓心為O0,0，半徑，因?yàn)?，所?【小問(wèn)2詳解】因?yàn)閳A的圓心為，半徑；圓的圓心為，半徑，若圓與圓只有一條公切線，則圓與圓內(nèi)切，則，則，即，且，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值9.19.如圖，軸垂足為點(diǎn)，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且.當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡方程為.（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡方程記為.（i）若動(dòng)點(diǎn)為軌跡外一點(diǎn)，且點(diǎn)到軌跡的兩條切線互相垂直，記點(diǎn)的軌跡方程記為，試判斷與圓是否存在交點(diǎn)？若存在，求出交點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（ii）軌跡的左右頂點(diǎn)分別記為，圓上有一動(dòng)點(diǎn)，在軸上方，，直線交軌跡于點(diǎn)，連接，，設(shè)直線，的斜率存在且分別為，，若，求的取值范圍.【答案】（1）（2）（i）沒(méi)有交點(diǎn)，理由見(jiàn)詳解；（ii）【解析】【分析】（1）設(shè)Mx,y，可得，代入圓即可得結(jié)果；（2）根據(jù)題意可得的方程為.（i）可知圓在橢圓內(nèi)，即可得結(jié)果；（ⅱ）設(shè)，聯(lián)立方程求得，可得，即可得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】設(shè)Mx,y因?yàn)椋瑒t，又因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，則，所以點(diǎn)的軌跡的方程為.【小問(wèn)2詳解】若，則的方程為，即，（i）與圓沒(méi)有交點(diǎn)，