初三-圓教學(xué)課件

圓

一、上節(jié)回顧

二、本節(jié)內(nèi)容

知識點一：圓的有關(guān)性質(zhì)

題型一：圓的基礎(chǔ)概念

圓的概念：在一個平面內(nèi)，線段04繞它固定的一個端點。旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點4所形成的圖形叫圓.這

個固定的端點。叫做圓心，線段04叫做半徑.以。點為圓心的圓記作。0,讀作圓O.

特點：圓是在一個平面內(nèi)，所有到一個定點的距離等于定長的點組成的圖形.

確定圓的條件：

⑴圓心；

⑵半徑，

⑶其中圓心確定圓的位置，半徑長確定圓的大小.

補充知識：

1）圓心相同且半徑相等的圓叫做同圓；

2）圓心相同，半徑不相等的兩個圓叫做同心圓；

3）半徑相等的圓叫做等圓.

弦的概念：連結(jié)圓上任意兩點的線段叫做弦。經(jīng)過圓心的弦叫做直徑，并且直徑是同一圓中最長的弦.

弧的概念：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧.以力、B為端點的弧記作?，讀作弧A8.在同圓或

等圓中，能夠重合的弧叫做等弧.

圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓.

在一個圓中大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，

小于半圓的弧叫做劣弧.

弦心距概念：從圓心到弦的距離叫做弦心距.

弦心距、半徑、弦長的關(guān)系：（考點）

半徑2二弦心距2+《弦長）2

1

【例1-1】（2017費縣期末）下列命題中正確的有（）

①弦是圓上任意兩點之間的部分；②半徑是弦；③直徑是最長的弦；④弧是半圓，半圓是弧.

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】A

【解析】①弦是圓上任意兩點之間的連線段，所以①錯誤；

②半徑不是弦，所以②錯誤；

③直徑是最長的弦，正確；

④弧是半圓，只有180。的弧才是半圓，所以④錯誤，

故選A.

【例1-2]（2019汕頭市期末）已知。O中最長的弦為8cm，則。O的半徑為（）cm.

A.2B.4C.8D.16

【答案】B

【詳解】：。0中最長的弦為8cm,即直徑為8cm,

OO的半徑為4cm.

故選：B.

【名師點睛】本題考查弦，直徑等知識，記住圓中的最長的弦就是直徑是解題的關(guān)鍵.

【例1-3】（2018大慶市期末）下列說法錯誤的是（）

A.直徑是圓中最長的弦B.長度相等的兩條弧是等弧

C.面積相等的兩個圓是等圓D.半徑相等的兩個半圓是等弧

【答案】B

【解析】試題解析：A、直徑是圓中最長的弦，所以A選項的說法正確；

B、在同圓或等圓中，長度相等的兩條弧是等弧，所以B選項的說法錯誤；

C、面積相等的兩個圓的半徑相等，則它們是等圓，所以C選項的說法正確；

D、半徑相等的兩個半圓是等弧，所以D選項的說法正確.

故選B.

舉一反三：

1.下列命題中正確的是（）

A.過圓心的線段叫做圓的直徑B.面積相等的兩個圓是等圓

C.大于半圓的弧叫劣弧D.平分弦的直徑垂直于這條弦

2

【答案】B

【詳解】A、宜徑是經(jīng)過圓心的弦，兩端點要在圓上，錯誤；

B、圓的面積相等，則它們的半徑相等，是等圓，正確；

C、大于半圓的弧叫優(yōu)弧，錯誤；

D、平分弦（不是直徑）的直徑垂直于這條弦，錯誤；

故選B.

【名師點睛】本題考查了直徑，等圓，優(yōu)弧，劣弧的概念及垂徑定理.

2.（2019余杭區(qū)期末）已知AB是半徑為5的圓的一條弦，貝U4B的長不可能是（）

A.4B.8C.10D.12

【答案】D

【詳解】因為圓中最長的弦為直徑，所以弦長LW10.

故選:D.

【名師點睛】考查圓的性質(zhì)，掌握直徑是圓中最長的弦是解題的關(guān)健.

題型二：垂徑定理

垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.

推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條??；

常見輔助線做法（考點）：

1）過圓心，作垂線，連半徑，造/?丁△,用勾股，求長度；

半徑2二弦心距2+《弦長）2

2）有弧中點，連中點和圓心，得垂直平分.

【例2-1】（2019?廣東鐵一中學(xué)初三期中）將半徑為3c機的圓形紙片沿A3折疊后，圓弧恰好能經(jīng)過圓心

O,則NAOB的度數(shù)為（）

A.90°B.120°C.135°D.150°

【答案】B

3

【詳解】過。點作0CLA8,垂足為。，交。。于點C,

由折疊的性質(zhì)可知，0D=|0C=,

由此可得.在R/AO。中，/。4。=30。，

同理可得NO8Z>30。.

在AAOB中，由內(nèi)角和定理，得：Z,4OB=180o-ZOAD-ZOBD=\20°.

【名師點睛】本題考查了垂徑定理，折疊的性質(zhì)，特殊直角三角形的判斷.關(guān)鍵是由折疊的性質(zhì)得出含30。

的直角三角形.

【例2-2］（2019贛州市期中）下列說法正確的是（）

A.平分弦的直徑垂直于弦

B.圓是軸對稱圖形，任何一條直徑都是圓的對稱軸

C.相等的弧所對弦相等

D.長度相等弧是等弧

【答案】C

【詳解】解：A.錯誤.需要添加此弦非直徑的條件；

8.錯誤.應(yīng)該是圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是圓的對稱軸；

C.正確.

D錯誤.長度相等弧是不一定是等弧，等弧的長度相等；

故選C.

【名師點睛】本題考查垂徑定理，等弧的定義，圓的有關(guān)性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，

屬于中考?？碱}型.

舉一反三：

1.（2018?山東勝利一中初三期末）如圖，圓弧形橋拱的跨度AB=16m,拱高CD=4m,則圓弧形橋拱所在

圓的半徑為（）

4

A.6mB.8mC.10mD.12m

【答案】c

【解析】【詳解】根據(jù)垂徑定理的推論，知此圓的圓心在CD所在的直線上，設(shè)圓心是O,

連接OA.根據(jù)垂徑定理，得AD=8,

設(shè)圓的半徑是r,根據(jù)勾股定理，

得P=82+（r-4）2,

解得r=10m.

故選C.

【名師點睛】本題考查了勾股定理及垂徑定理.解題的關(guān)鍵是構(gòu)造由半徑、半弦、弦心距組成的直角三角

形進行有關(guān)的計算.

2.（2018壽光縣期末）已知：如圖，。0的直徑CD垂直于弦AB,垂足為P,且AP=4cm,PD=2cm,則

?0的半徑為（）

A.4cmB.5cmC.4&cmD.2j5cm

【答案】B

連結(jié)0A,如圖，設(shè)O的半徑為R,YCDLAB,

.,.ZAPO=90°BP，在RsOAP中，；0P=0D-PD=r-2,OA=r,AP=4,

...（1-2）2+42守,解得尸5,即O的半徑為5cm.故選B.

【名師點睛】本題考查了垂徑定理、勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握垂徑定理、勾股定理.

題型三：圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系

5

圓心角概念：頂點在圓心的角叫做圓心角.

定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等。

推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們

所對應(yīng)的其余各組量分別相等。

【例3-1］（2018燕山區(qū)期末）如圖，圓心角乙4。8=25。，將弧旋轉(zhuǎn)〃。得到弧8,則NC。。等于（）

A.250B.25°+n°C.50°D.50°+n°

【答案】A

【解析】試題解析：???將筋旋轉(zhuǎn)n。得到先，

.Z—\/-X

--AB=CD>

.?.NDOC=NAOB=25°

故選A.

【例3-2】如圖，已知是。。的直徑，D、C是劣弧EB的三等分點，zfiOC=40°,那么N40E=（）

A.40°B,60°C.80°D.1200

【答案】B

【詳解】：D、C是劣弧EB的三等分點，ZBOC=40°

二ZEOD=ZCOD=ZBOC=40°

ZAOE=60°.

故選：B.

【名師點睛】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握同弧所對的圓心角相等.

【例3-3］（2018泗陽縣期中）下列命題中，真命題是（）

A.相等的圓心角所對的弧相等

B.面積相等的兩個圓是等圓

C.三角形的內(nèi)心到各頂點的距離相等

6

D.長度相等的弧是等弧

【答案】B

【詳解】A、在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，故錯誤，是假命題：

8、面積相等的兩個圓的半徑相等，是等圓，故正確，是真命題；

C、三角形的內(nèi)心到三角形各邊的距離相等，故錯誤，是假命題；

。、在同圓或等圓中，長度相等的弧是等弧，故錯誤，是假命題，

故選：B.

【名師點睛】本題考查命題與定理的知識，解題關(guān)鍵是圓周角定理，等圓的定義、三角形的內(nèi)心的性質(zhì),

屬于基礎(chǔ)定義，難度不大.

題型四：圓周角定理（考點）

圓周角概念：頂點在圓匕并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角.

圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半.

圓心角=）圓周角

推論1:在同圓或等圓中，如果兩個圓周角相等，它們所對的弧一定相等.

推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90。的圓周角所對的弦是直徑.

（在同圓中，半弧所對的圓心角等于全弧所對的圓周角）

【例4-1]（2018泗陽縣期末）如圖，AB是。O的直徑，BC是。O的弦，已知NAOC=80。，則NABC

的度數(shù)為（）

A.20°B.30°C.40°D.50°

【答案】C

【詳解】-AC=AC，

：.ZABC=-ZAOC=-x80°=40°,

22

故選c.

【名師點睛】本題考查了圓周角定理，熟練掌握“在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等

7

于這條弧所對圓心角的一半”是解題的關(guān)鍵.

【例4-2】（2017安定縣期末）如圖，已知是。0的直徑，Z.D=40°,貝此CAB的大小為（）

C

D

A.20°B.40°C.50°D.70°

【答案】C

【解析】；/D=40°,

.*.ZB=ZD=40°.

：AB是。的直徑，

；.NACB=90。，

ZCAB=90°-40°=50°.

故選：C.

【名師點睛】本題考查的是圓周角定理，熟知在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這

條弧所對的圓心角的一半是解答此題的關(guān)鍵.

【例4-3】（2017余杭區(qū)期中）如圖所示的暗礁區(qū)，兩燈塔A,B之間的距離恰好等于圓的半徑，為了使

航船（S）不進入暗礁區(qū)，那么S對兩燈塔A,B的視角/ASB必須（）

A.大于60。B.小于60。C.大于30。D.小于30。

【答案】D

【解析】試題解析：連接OA,OB,AB,BC,如圖：

VAB=OA=OB,即AAOB為等邊三角形,

:.NAOB=60°,

8

VZACB與NAOB所對的弧都為部,

ZACB=-ZAOB=30°,

2

又/ACB為4SCB的外角，

.,.ZACB>ZASB,BPZASB<30°.

故選D

【例4-4】（2018蘇州市期中）如圖，AB是。。的直徑，C,。是。。上位于A8異側(cè)的兩點.下列四個

角中，一定與互余的角是（）

D

A.ZADCB.ZABDC.NBACD.ZBAD

【答案】D

【解析】；/ACD對的弧是俞，前對的另一個圓周角是NABD,

/.ZABD=ZACD（同圓中，同弧所對的圓周角相等），

故選B.

題型五：圓內(nèi)接四邊形

圓內(nèi)接四邊形概念：如果一個多邊形的所有頂點都在同一個圓上，這個多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形。這個圓

叫做這個多邊形的外接圓。

性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對角互補，一個外角等于其內(nèi)對角.

【例5-1］（（2016蕭山區(qū)期中）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。。，AB為。。的直徑，點C為弧8。的中

點，若/D48=40。，則N43C=.

【答案】70。

【解析】連接4C,：點C為弧8。的中點，.?./。184/048=20。,

;AB為。。的直徑，/4CB=90。，AZABC=70°,

9

故答案為：70°.

【名師點睛】本題主要考查了圓周角定理以及推論，連接AC是解本題的關(guān)鍵.

【例5-2］（2016蕭山區(qū)期中）如圖，正五邊形ABCDE為內(nèi)接于。O的，則/ABD=.

D

O.4^-------

【答案】72°.

【解析】連接AO、DO,根據(jù)正五邊形的性質(zhì)求出NAOD,再根據(jù)同弧所對的圓周角等于圓心角的一半列

式計算即可得解.

解：如圖，連接AO、DO,

1?五邊形ABCDE是正五邊形，

.,.ZAOD=|2x360°=144°,

???ZABD=-ZAOD=ix144°=72°.

22

知識點二：點和圓的位置底

題型一：點和圓的位置關(guān)系

位置關(guān)系哉性質(zhì)及判定

10

點在圓外點在圓的外部d>r0點P在。。的外部.

點在圓上點在圓周上d=ro點P在。。的圓周上.

點在圓內(nèi)點在圓的內(nèi)部d<r0點P在。。的內(nèi)部.

【例1-1】（2018?滿城縣期中）如圖，在△ABC中，ZC=90°,AB=4,以C點為圓心，2為半徑作。C,

則AB的中點O與。C的位置關(guān)系是（）

A.點O在。C外B.點O在OC上C.點。在。C內(nèi)D.不能確定

【答案】B

【詳解】解：連接OC,由直角三角形斜邊上的中線為斜邊的一半，可得：

OC=^AB=2=r,故點O在。C上，

故選B.

【名師點睛】要確定點與圓的位置關(guān)系，主要確定點與圓心的距離與半徑的大小關(guān)系，本題可直角三角形

斜邊上的中線為斜邊的一半算出點與圓心的距離d,則d>r時，點在圓外；當d=r時，點在圓上；當d<r時,

點在圓內(nèi).

【例1-2】（2016?邯鄲市期末）R2ABC中，ZC=90°,AC=2,BC=4,如果以點A為圓心，AC為半徑

作。A,那么斜邊中點D與。A的位置關(guān)系是（）

A.點D在。A外B.點D在。A上C.點D在。A內(nèi)D.無法確定

【答案】A

【解析】根據(jù)勾股定理求得斜邊4B=V4T16=2炳,

則40=V5,

?-?V5>2,

二點在圓外.

故選A.

11

【例1-3］（2019?雨花臺區(qū)期末）已知點A在半徑為r的。O內(nèi)，點A與點O的距離為6,則r的取值范

圍是（）

A.r<6B.r>6C.r>6D.r<6

【答案】B

【詳解】???點4在半徑為r的。。內(nèi)，

:,。4小于r,

而04=6,

r>6.

故選：B.

【名師點睛】本題考查了點與圓的位置關(guān)系：點的位置可以確定該點到圓心距離與半徑的美系，反過來已

知點到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該點與圓的位置關(guān)系.

題型二：三點定圓的方法

1）經(jīng)過點4的圓：以點4以外的任意一點。為圓心，以。4的長為半徑，即可作出過點4的圓，這樣的圓有

無數(shù)個.

2）經(jīng)過兩點4、B的圓：以線段4B中垂線上任意一點。作為圓心，以04的長為半徑，即可作出過點4、B的

圓，這樣的圓也有無數(shù)個.

3）經(jīng)過三點時:

情況一：過三點的圓：若這三點4、B、C共線時，過三點的圓不存在；

情況二：若4、8、C三點不共線時，圓心是線段4B與BC的中垂線的交點，而這個交點。是唯一存在的,

12

這樣的圓有唯一一個.

三點定圓的畫法：

1）連接線段AB,BC。

2）分別作線段AB,BC的垂直平分線。兩條垂直平分線交點為0,此時OA=OB=OC,于是點。為圓心，以

0A為半徑，便可作出經(jīng)過A、B、C的圓，這樣的圓只能是一個。

定理：不在同一直線上的三點確定一個圓.

【例2-1】（2017?天橋區(qū)期末）小明不慎把家里的圓形玻璃打碎了，其中四塊碎片如圖所示，為配到與原

來大小一樣的圓形玻璃，小明帶到商店去的一塊玻璃碎片應(yīng)該是（）

A.第①塊B.第②塊C.第③塊D.第④塊

【答案】B

【詳解】由圖可得小明帶到商店去的一塊玻璃碎片應(yīng)該是第②塊，故選B.

【名師點睛】本題是確定圓的條件的基礎(chǔ)應(yīng)用題，在中考中比較常見，一般以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，

難度一般.

【例2-2］（2019?慈溪市期末）數(shù)學(xué)課上，老師讓學(xué)生尺規(guī)作圖畫RtAABC,使其斜邊AB=c,一條直角

邊BC=a.小明的作法如圖所示，你認為這種作法中判斷NACB是直角的依據(jù)是（）

a

13

A.勾股定理

B.直徑所對的圓周角是直角

C.勾股定理的逆定理

D.90。的圓周角所對的弦是直徑

【答案】B

【解析】由作圖痕跡可以看出0為AB的中點，以。為圓心，AB為直徑作圓，然后以B為圓心BC=a為

半徑花弧與圓0交于一點C,故/ACB是直徑所對的圓周角，所以這種作法中判斷/ACB是直角的依據(jù)

是：直徑所對的圓周角是直角.

故選：B.

【考點】作圖一復(fù)雜作圖；勾股定理的逆定理；圓周角定理.

題型三：三角形的外接圓

1）經(jīng)過三角形三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫

做三角形的外心，這個三角形叫做這個圓的內(nèi)接三角形.

2）三角形外心的性質(zhì)：

①三角形的外心是指外接圓的圓心，它是三角形三邊垂直平分線的交點，它到三角形各頂點的距離相等：

②三角形的外接圓有且只有一個，即對于給定的三角形，其外心是唯一的，但一個圓的內(nèi)接三角形卻有無

數(shù)個，這些三角形的外心重合.

3）外接圓圓心和三角形位置關(guān)系：

1.銳角三角形外接圓的圓心在它的內(nèi)部（如圖1）；

2.直角三角形外接圓的圓心在斜邊中點處（即直角三角形外接圓半徑等于斜邊的一半，如圖2）；

3.鈍角三角形外接圓的圓心在它的外部（如圖3）.

【例3-1】（2018?濱河新區(qū)期末）邊長為1的正三角形的外接圓的半徑為（

14

【答案】c

【詳解】如圖所示，連接OB,OC,過。作ODLBC；

.?.BD、，

???△ABC是正三角形，

.?.ZBOC=^=120°,

3

VOB=OC,

二NBOD=m=60。，

2

.,.ZOBD=30°,0B=-^-=^=v-

COS30°V33

2

故選c.

【名師點睛】解決本題的關(guān)鍵是構(gòu)造與外接圓半徑相關(guān)的宜角三角形.

【例3-2】有下列四個命題：①直徑是弦；②經(jīng)過三個點一定可以作圓：③三角形的外心到三角形各頂點

的距離都相等；④半徑相等的兩個半圓是等弧.其中正確的有（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

【答案】B

【解析】解答：解：①經(jīng)過圓心的弦是直徑，即直徑是弦，弦不一定是直徑，故正確；

②當三點共線的時候，不能作圓，故錯誤；

③三角形的外心是三角形三邊的垂直平分線的交點，所以三角形的外心到三角形各頂點的距離都相等，故

正確；

④在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧是等弧，所以半徑相等的兩個半圓是等弧，故正確.

故選B.

【例3-3】（2019?重慶市期中）如圖，0是△ABC的外心，則41+42+43=（）

15

A.60°B.75°C.90°D.1050

【答案】C

【詳解】如圖，

vOA=OB,

:.z.3=z4,

同理，z.1=45,z.2=z.6>

z.3+z.4+z.1+z.5+z.2+z.6=180°?

Azl+z24-z3=90°,

故選C.

【名師點睛】本題考查的是三角形的外接圓與外心，掌握三角形的外接圓的概念，三角形內(nèi)角和定理是解

題的關(guān)鍵.

知識點三：直線和圓的位置關(guān)系

題型一：直線與圓的位置關(guān)系

設(shè)。。的半徑為r,圓心。到直線/的距離為d,則直線和圓的位置關(guān)系如下表：

位置

圖形定義性質(zhì)及判定

關(guān)系

相離直線與圓沒有公共點d>ro直線，與。。相離

直線與圓有唯一公共點,直線叫

相切d=ro直線/與。。相切

魚做圓的切線，公共點叫做切點

16

17

【例1-3]（2019?中山市期末）在平面直角坐標系中，OP的圓心坐標為（3,4）,半徑為5,那么y軸與（DP

的位置關(guān)系是（）

A.相離B.相切C.相交D.以上都不是

【答案】C

【詳解】解：???OP的圓心坐標為（3,4）,

???0P到y(tǒng)軸的距離d為3

?；d=3<r=5

；.y軸與。P相交

故選：C.

【名師點睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，坐標與圖形性質(zhì)，熟練運用直線與與圓的位置關(guān)系的判定

方法是解決問題的關(guān)鍵.

【例1-4]（2017?貴州中考真題）及△ABC中，ZC=90°,AC=3cm,BC=4cm,以C為圓心，r為半徑作

圓，若圓C與直線AB相切，則r的值為（）

A.2cmB.2.4cmC.3cmD.4cm

【答案】B

【解析】試題分析：RtAABC中，NC=90。，AC=3cm,BC=4cm；

由勾股定理，得:AB2=32+42=25,

AB=5；

又〈AB是。C的切線，

ACD±AB,

???CD=R；

1i

VSAABC弓AC?BC=|AB”；

/.r=2.4cm,

故選B.

題型二：切線的性質(zhì)及判定

性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點的半徑.

判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

切線長定義：在經(jīng)過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長.

18

19

【答案】B

【詳解】解：連接OA,0B,

VPA,PB是。O的切線，

APAXOA,PB1OB,

VZACB=55°,

/.ZAOB=110°,

二/APB=3600-90o-90o-110°=70°.

【名師點睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和定理，切線的性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出NAOB的度

數(shù).

【例2-3】（2018?周口市期末）如圖，PA,PB分別與。O相切于A,B點，C為。O上一點，ZP=66°,

A.57°B.60°C.63°D.66°

【答案】A

【詳解】連接。4,OB.

,：PA,分別與。。相切于4,B點，，4P=90°,ZOBP=90°,：.ZAOB=360°-90°-90°-66°=114°,

由圓周角定理得：ZC=^ZAOB=51°.

20

21

PCD的周長=PC+CA+BD+PD=PA+PB=2PA,

PCD的周長=8,

故選C.

【名師點睛】本題考查了切線的性質(zhì)以及切線長定理的運用.

題型三：三角形內(nèi)切圓

1、概念：和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個三角形

叫做圓的外切三角形.

2,內(nèi)心和外心的區(qū)別：

外接圓圓心：三角形三邊垂直平分線的交點。

作法：做三角形三邊垂直平分線，取交點即為外接圓圓心。

性質(zhì)：外接圓圓心到三角形三個頂點距離相等。

內(nèi)切圓圓心：三角形三個內(nèi)角平分線的交點。

作法：做三角形三角的角平分線，取交點即為內(nèi)接圓圓心。

性質(zhì)：內(nèi)接圓圓心到三角形三邊距離相離。

3、直角三角形三邊和內(nèi)切圓半徑之間的關(guān)系：（具體內(nèi)容見文件夾中ppt）

【例3-1]（2019?寧河區(qū)期末）在RM4BC中，ZC=90°,AB=6,A4BC的內(nèi)切圓半徑為1,則44BC的

周長為（）

A.13B.14C.15D.16

【答案】B

22

【詳解】解：根據(jù)直角三角形的內(nèi)切圓的半徑公式，得與AC+BC-AB）=I，

AC+BC=8-

則三角形的周長=8+6=14.

故選：B.

【名師點睛】本題考查的是三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，熟記直角三角形的內(nèi)切圓的半徑公式：直角三角形的

內(nèi)切圓的半徑等于兩條直角邊的和與斜邊的差的一半是解答此題的關(guān)鍵.

【例3-2】（2019?廣益市期末）如圖,O。內(nèi)切于44BC,切點分別為。㈤已知NED1=55°,〃=60°,

連接。瓦。匕。瓦DF,那么NB等于（）

A.55°B.50°C.60°D.65°

【答案】B

【詳解】解：???E,F是圓的切點，

Z.OE1AB,OF1AC,

???ZAEO=ZAFO=90°,

ZEOF=2ZEDF=2x55°=110°,

.*.Zi4=180°-110o=70°,

，乙B=180°-70°-60°=50°

故選擇：B.

【名師點睛】本題主要考查對三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，三角形的內(nèi)角和定理，多邊形的內(nèi)角和定理，圓周

角定理等知識點的理解和掌握，能求出NB的度數(shù)是解此題的關(guān)鍵.

【例3-3]（2019?云南中考真題）如圖，△ABC的內(nèi)切圓。O與BC、CA、AB分別相切于點D、E、F,

且AB=5,BC=13,CA=12,則陰影部分（即四邊形AEOF）的面積是（）

23

24

>正多邊形的中心角：正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角.

>正多邊形的邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距.

半徑、邊心距，邊長之間的關(guān)系：

半徑2=邊心距2+4邊長）2

畫圓內(nèi)接正多邊形方法（僅保留作圖痕跡）：

1）量角器

（作法操作復(fù)雜，但作圖較準確）

r

方法簡述：等邊一用形的中心％為120-.通

過It角I■（依次htWiar.的圖.（《如遇）

2）量角器+圓規(guī)

（作法操作簡單，但作圖受取值影響誤差較大）

方法簡述：止五邊形的中心他為72-?通過琳仙賽

品取72",通過IMI班依次收取等長短，

（以向器?耀現(xiàn)）

3）圓規(guī)+直尺

（適合做特殊正多邊形，例如正四邊形、正八邊形、正十二邊形…）

依照上述方法，還可以畫出正十六邊形、正三十二邊形

【典型例題】

【例1-1X2019?廈門市期中）如圖，圓。與正五邊形ABCDE的兩邊4E,CD分別相切于4c兩點，則NOCB=

25

__________度.

【答案】18

【分析】根據(jù)NOCB=NBCD-/OCD,求出/BCD,NOCD即可；

【詳解】解：:。。與正五邊形ABCDE的兩邊AE,CD分別相切于A,C兩點，

A0A1AE,OC1CD,

.?.ZOAE=ZOCD=90°,

又?.?NBCD=108°,

.,.ZOCB=108o-90°=18°

故答案為18.

【名師點睛】本題考查正多邊形與圓、切線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)健是熟練掌握基本知識，屬于中考常

考題型.

【例1-2】（2019?曲靖市期中）正三角形ABC內(nèi)接于。。，③。的半徑為6,則這個正三角形的面積為

【答案】27g

【分析】利用等邊三角形的性質(zhì)得出點O既是三角形內(nèi)心也是外心，進而求出NOBD=30。，OD、BD、BC

的值，然后根據(jù)三角形的面積公式求解即可.

【詳解】解：連接AO并延長交BC與點D連接BO,

???正三角形ABC內(nèi)接于（DO,

...點O即是三角形內(nèi)心也是外心,

/.ZOBD=30°,BD=CD」BC,

2

26

.4.OD=-OB=3,

；.AD=9,BD=V62-32=3V3,

.\BC=6V3.

???這個正三角形的面積為：1X6V3X9=2773.

故答案為：27vl

【名師點睛】此題主要考查了正多邊形和圓，含30。角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，利用正多邊形內(nèi)

外心的特殊關(guān)系得出NOBD=30。，BD=CD是解題關(guān)鍵.

【例1-3】（2019?萊蕪市期中）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于。0,若。。的半徑為2,則△ADE的周

長是.

【答案】6+2國

【分析】首先確定三角形的三個角的度數(shù)，從而判斷該三角形是特殊的直角三角形，然后根據(jù)半件求得斜

邊的長，從而求得另外兩條直角邊的長，進而求得周長.

【詳解】連接OE,

,/多邊形ABCDEF是正多邊形，

ZDOE=—=60°,

6

ZDAE=-ZDOE=-X60°=30°,ZAED=90°,

22

VOO的半徑為2,

...AD=2OD=4,

.*.DE=|AD=|x4=2,AE=V5DE=2W，

二AADE的周長為4+2+273=6+273.

27

28

NADE的度數(shù)為一.

AB

【答案】84°.

【分析】據(jù)正多邊形的內(nèi)角，可得NABE、NE、ZCAB,根據(jù)四邊形的內(nèi)角和，可得答案.

【詳解】正五邊形的內(nèi)角是空管則=108。，

■:AB=BC,

???NC48=36。，

（6-2）x180。

正六邊形的內(nèi)角是NABE=/七==120o,

6

,/ZADE+ZE+ZABE+ZCAB=360°,

二ZAD￡=360°-120°-120°-36°=84°,

故答案為84°.

【名師點睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角與外角，利用求多邊形的內(nèi)角得出正五邊形的內(nèi)角、正六邊形的內(nèi)

角是解題關(guān)鍵.

題型二：圓錐相關(guān)知識

設(shè)。。的半徑為R，n。圓心角所對弧長為I,

弧長公式：1=鬻（弧長的長度和圓心角大小和半徑的取值有關(guān)）

180

扇形面積公式：S肩形=白兀/?2=：出

/普/iz3602

母線的概念：連接圓錐頂點和底面圓周任意一點的線段。

圓錐體表面積公式：S=TIR2+TIRI（［為母線）

備注：圓錐的表面積=扇形面積=底面圓面積

【例2-1］（2018?蘇州市期末）.如圖，圓錐側(cè)面展開得到扇形,此扇形半徑CA=6,圓心角NACB=120。,

則此圓錐高OC的長度是.

29

B

【答案】4V2

【分析】先根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖，扇形的弧長等于該圓錐的底面圓的周長，求出0A,最后用勾股定理

即可得出結(jié)論.

【詳解】設(shè)圓錐底面圓的半徑為r,

VAC=6,ZACB=120°,

/.r=2,即：0A=2,

在RtAAOC中，OA=2,AC=6,根據(jù)勾股定理得，0?=/心一0Q4VL

故答案為：4企.

【名師點睛】本題考查了扇形的弧長公式，圓錐的側(cè)面展開圖，勾股定理，求出OA的長是解

本題的關(guān)鍵.

【例2-2】（2018?錦州市期末）己知扇形的弧長為2兀，圓心角為60。，則它的半徑為.

【答案】6.

【解析】分析：設(shè)扇形的半徑為r,根據(jù)扇形的面積公式及扇形的面積列出方程，求解即可.

詳解：設(shè)扇形的半徑為r,

根據(jù)題意得：靄=2乃，

lo（J

解得：r=6

故答案為：6.

【例2-3】（2017?恩施市期末）如圖，用一個圓心角為120。的扇形圍成一個無底的圓錐，如果這個圓錐底

面圓的半徑為1cm,則這個扇形的半徑是cm.

30

31

'-AC=V30C=10V3,

^AB=20V3,

又?/弧AB的長用攀=?兀，

-20V3?7.25米~15步.

故答案為：15.

【點評】考查了弧長的計算，垂徑定理的應(yīng)用，熟記弧長公式是解題的關(guān)鍵.

2.（2019?宿遷市期末）用半徑為10cm,圓心角為120。的扇形紙片圍成一個圓錐的側(cè)面，則這個圓錐的底

面圓半徑為cm.

【答案】7

【解析】分析：圓錐的底面圓半徑為r,根據(jù)圓錐的底面圓周長=扇形的弧長，列方程求解.

詳解：設(shè)圓錐的底面圓半徑為r,依題意，得

解得r=ycm.

故答案為：Y-

題型三：常見組合圖形的周長、面積的幾種常見方法：（考點）

①公式法；②割補法；③拼湊法；④等積變換法

【例3-1】（2018?西寧市期末）如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,AC=BC=2,將RtAABC繞點A逆

時針旋轉(zhuǎn)30。后得到RtZ\ADE,點B經(jīng)過的路徑為弧BD,則圖中陰影部分的面積為.

【分析】先根據(jù)勾股定理得到AB=2&,再根據(jù)扇形的面積公式計算出S承彩ABD,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到

RsADE=RtAACB,于是S陰影部分=SAADE+S施形ABD-SAABC=S崩形ABD.

【詳解】VZACB=90°,AC=BC=2,

AAB=2V2，

32

?Q一307rx（2&）“2n

??、扇形ABD-----------------=—，

3603

又：RSABC繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)30。后得到RtAADE,

ARtAADEgRSACB,

S用步部，＞=SAADE+S1彩ABD-SAABC=S4彩ABD=g，

故答案為：拳

【名師點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、扇形面積的計算，得到Sw-=S/ABD是解題的關(guān)鍵.

【例3-2]（2019?咸陽市期中）如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為1,以點A為圓心，AB的長為半徑,

作扇形ABF,則圖中陰影部分的面積為（結(jié)果保留根號和兀）.

【解析】分析：正六邊形的中心為點O,連接OD、OE,作OHJ_DE于H,根據(jù)正多邊形的中心角公式求

出/DOE,求出OH,得到正六邊形ABCDEF的面積，求出NA,利用扇形面積公式求出扇形ABF的面積,

結(jié)合圖形計算即可.

詳解：正六邊形的中心為點O,連接OD、OE,作OHLDE于H,

.?.OD=OE=DE=1,

.?.OH—,

2

...正六邊形ABCDEF的面積1x^x6=^,

222

ZA-(6-2)X180°=12Q°,

6

，扇形ABF的面積=1竺應(yīng)=￡,

33

...圖中陰影部分的面積=迪《，

23

故答案為：迪

23

【例3-3]（2018?連云港市期末）如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，以點B為圓心，以AB為半徑畫

弧，交對角線BD于點E,則圖中陰影部分的面積是（結(jié)果保留兀）

【分析】根據(jù)SWLSAABD-SWOAE計算即可；

【詳解】S6I|=SAABD-S“彩BAE=；X4x4-i^^~=8-27r,

2360

故答案為8-2兀

【名師點睛】本題考查扇形的面積的計算，正方形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分割法求陰影部分

面積.

【例3-4]（2018?黃石市期末）如圖，直角/4BC中，AA=90°,NB=30。，4C=4,以A為圓心，4C長

為半徑畫四分之一圓，則圖中陰影部分的面積是.（結(jié)果保留兀）

【答案】4v1兀

【解析】分析：連結(jié)AD.根據(jù)圖中陰影部分的面積=三角形ABC的面積-:角形ACD的面積-扇形ADE

的面積，列出算式即可求解.

詳解：連結(jié)AD.

,直角AABC中，NA=90°,ZB=30°,AC=4,

，NC=60。，AB=4小

VAD=AC,

34

???三角形ACD是等邊三角形,

,ZCAD=60°,

工ZDAE=30°,

，圖中陰影部分的面積=4X4V5：2-4x273-2-

3603

故答案為：4V5—1兀.

名師點睛：此題主要考查了扇形面積的計算，解題的關(guān)鍵是將不規(guī)則圖形的面積計算轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面

積計算.

【例3-5］（2019?保定市期末）如圖，RtAABC,ZB=90°,ZC=30°,O為AC上一點，OA=2,以O(shè)為

圓心，以O(shè)A為半徑的圓與CB相切于點E,與AB相交于點F,連接OE、OF,則圖中陰影部分的面積是

【答案】|V3—，

【分析】根據(jù)扇形面積公式以及三角形面積公式即可求出答案.

【詳解】；/B=90°,NC=30°,

二ZA=60°,

?；OA=OF,

.?.△AOF是等邊三角形，

/.ZCOF=120o,

VOA=2,

/.扇形OGF的面積為：良咚兀

3603

VOA為半徑的圓與CB相切于點E,

35

36

E

???四邊形ABCD是菱形，

,ZB=ZD=60°,AB=AD=DC=BC=1,

.,.ZBCD=ZDAB=I2O°,

.\Z1=Z2=6O°,

???△ABC、△ADC都是等邊三角形，

:.AC=AD=1,

VAB=I,

,△ADC的高筆，AC=1,

???扇形BEF的半徑為1,圓心角為60°,

/.Z4+Z5=60°,Z3+Z5=60°,

:.Z3=Z4,

設(shè)AF、DC相交于HG,設(shè)BC、AE相交于點G,

在^ADH和^ACG中，

z3=z4

AD=AC，

zD=Z1=60°

:.AADH^AACG(ASA),

???四邊形AGCH的面積等于△ADC的面積，

圖中陰影部分的面積是：SMEFFACDXIX畀

故答案為：合?

【名師點睛】本題考查了扇形的面積計算以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得出四邊形EBFD

的面積等于△ABD的面積是解題關(guān)鍵.

舉一反三：

1.(2018?保定市期末)如圖，已知C,D是以AB為直徑的半圓周上的兩點，O是圓心，半徑OA=2,

ZCOD=120°,則圖中陰影部分的面積等于.

37

D

c

【答案】

【解析】試題解析：圖中陰影部分的面積=1、22-強北

2360

=2兀4

3

答：圖中陰影部分的面積等于|兀

2.（2018?武威市期末）如圖，AB是。O的切線，B為切點，AC經(jīng)過點O,與。O分別相交于點D、C,

若NACB=30。，AB=V5，則陰部分面積是.

【分析】先求出NAOB,OB,然后利用S掰=SAA°B-S嬉OBD計算即可■

【詳解】連接OB,

VAB是AO切線,

AOBIAB,

VOC-OB,NC=30。，

/.ZC=ZOBC=30°,

ZAOB=ZC+ZOBC=60°,

/.ZA=30o

在RsABO中，；NABO=90。，AB=V5，NA=30。，

?CB.后

3

38

39

故答案為4--^7t.

9

4.（2018?四平市期末）如圖，邊長為6cm的正三角形內(nèi)接于。O,則陰影部分的面積為（結(jié)果保留兀）.

【答案】（4兀-375）cm2

【分析】連接OB、OC,作OHLBC于H,根據(jù)圓周角定理可知NBOC的度數(shù)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)

可求tilOB、OH的長度，利用陰影面積=S騎彩OBC-SAOBC即可■得答案

【詳解】：連接OB、OC,作OHLBC于H,

貝ijBH=HC=BC=3,

?.,△ABC為等邊三角形，

.?.NA=60°,

由圓周角定理得，NBOC=2/A=120。，

：OB=OC,

:.ZOBC=30°,

/.OB=BH=2>/3，OH=V3.

cos，OBC

???陰影部分的面積一^^一2百刃…g,

A

故答案為：（4兀-3遍）cm?.

【名師點睛】本題主要考查圓周角定理及等邊三角形的性質(zhì)，在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角

等于圓心角的一半；熟練掌握圓周角定理是解題關(guān)鍵.

40

41

A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°

【答案】D

【詳解】由圖可知，OA=10,OD=5,

在RtAOAD中，

VOA=10,OD=5,AD=VO/12—OD2=5>/3,

r.tanZl=