第27講 機械能守恒定律及其應用（講義）（解析版）

學而優(yōu)教有方第27講機械能守恒定律及其應用目錄復習目標網絡構建考點一機械能守恒的判斷條件【夯基·必備基礎知識梳理】知識點1重力勢能和彈性勢能知識點2機械能守恒的判斷條件【提升·必考題型歸納】考向判斷物體和系統(tǒng)機械能守恒考點二單個物體的機械能守恒問題【夯基·必備基礎知識梳理】知識點1機械能守恒的三種表達式知識點2應用機械能守恒定律解題的基本思路【提升·必考題型歸納】考向對單個物體的應用機械能守恒定律考點三三類連接體的機械能守恒問題【夯基·必備基礎知識梳理】知識點1輕繩連接的物體系統(tǒng)基本規(guī)律知識點2輕桿連接的物體系統(tǒng)基本規(guī)律知識點3輕彈簧連接的物體系統(tǒng)基本規(guī)律【提升·必考題型歸納】考向1輕繩連接的物體系統(tǒng)考向2輕桿連接的物體系統(tǒng)考向3輕彈簧連接的物體系統(tǒng)考點四非質點類機械能守恒問題【夯基·必備基礎知識梳理】知識點非質點類機械能守恒問題的規(guī)律【提升·必考題型歸納】考向1“液柱”類問題考向2“鏈條”類問題考向3“過山車”類問題真題感悟理解機械能守恒的條件。能夠利用機械能守恒定律處理多物體多過程的機械能守恒問題?？键c要求考題統(tǒng)計考情分析（1）機械能守恒定律（2）應用機械能守恒定律2023年全國甲卷第24題2023年6月浙江卷第3題2022年全國乙卷第16題高考對機械能守恒定律考查近幾年較高，題目形式有選擇題也有計算題，題目難度不大。復習過程中應多注意繩、桿、彈簧模型和圓周運動中結合機械能守恒定律的有關內容的考查?？键c一機械能守恒的判斷條件知識點1重力勢能和彈性勢能1．重力做功的特點(1)重力做功與路徑無關，只與始、末位置的高度差有關。(2)重力做功不引起物體機械能的變化。2．重力做功與重力勢能變化的關系(1)定性關系：重力對物體做正功，重力勢能就減??；重力對物體做負功，重力勢能就增大。(2)定量關系：重力對物體做的功等于物體重力勢能的減小量，即WG＝－(Ep2－Ep1)＝Ep1－Ep2＝－ΔEp。(3)重力勢能的變化量是絕對的，與參考面的選取無關。3．彈性勢能(1)概念：物體由于發(fā)生彈性形變而具有的能。(2)大小：彈簧的彈性勢能的大小與形變量及勁度系數有關，彈簧的形變量越大，勁度系數越大，彈簧的彈性勢能越大。(3)彈力做功與彈性勢能變化的關系：類似于重力做功與重力勢能變化的關系，用公式表示：W＝－ΔEp。知識點2機械能守恒的判斷條件1．機械能：動能和勢能統(tǒng)稱為機械能，其中勢能包括彈性勢能和重力勢能。2．機械能守恒定律：在只有重力或彈力做功的物體系統(tǒng)內，動能與勢能可以相互轉化，而總的機械能保持不變。3．對守恒條件理解的三個角度4．判斷機械能守恒的三種方法考向判斷物體和系統(tǒng)機械能守恒1．下列說法正確的是（）A．做勻速直線運動的物體，機械能一定守恒 B．做曲線運動的物體，機械能可能守恒C．物體所受的合力為零，機械能一定守恒 D．物體所受的合力不為零時，機械能一定不守恒【答案】B【詳解】A．機械能守恒的條件是只有重力做功，如果物體豎直向上做勻速運動，向上的外力做正功，機械能增加，A錯誤；B．做平拋運動的物體，只有重力做功，機械能守恒，B正確；C．豎直方向的勻速運動，合外力為零，物體動能保持不變，而勢能發(fā)生變化，機械能不守恒，C錯誤；D．做自由落體運動的物體，只有重力做功，機械能守恒，D錯誤。故選B。2．如圖所示，下列關于機械能是否守恒的判斷正確的是（）

A．甲圖中，物體A將彈簧壓縮的過程中，A機械能守恒B．乙圖中，A置于光滑水平面，物體B沿光滑斜面下滑，物體B機械能守恒C．丙圖中，不計任何阻力時A加速下落，B加速上升過程中，繩子拉力分別對A和B做功，所以A、B組成的系統(tǒng)機械能守恒D．丁圖中，小球沿水平面做勻速圓錐擺運動時，小球的機械能守恒【答案】D【詳解】A．甲圖中，物體A將彈簧壓縮的過程中，重力和彈簧彈力做功，系統(tǒng)機械能守恒，彈簧的彈性勢能增加，故A機械能減少，故A錯誤；B．乙圖中，A置于光滑水平面，物體B沿光滑斜面下滑，物體A將向右運動，故物體B對物體A的彈力對物體A做功，物體A的動能增加，物體B機械能減少，故B錯誤；C．丙圖中，不計任何阻力時A加速下落，B加速上升過程中，A、B組成的系統(tǒng)只有重力做功，所以A、B組成的系統(tǒng)機械能守恒，故C錯誤；D．丁圖中，小球沿水平面做勻速圓錐擺運動時，小球的動能和重力勢能均不變，小球的機械能守恒，故D正確。故選D。考點二單個物體的機械能守恒問題知識點1機械能守恒的三種表達式項目守恒角度轉化角度轉移角度表達式E1=E2ΔEk=-ΔEpΔEA增物理意義系統(tǒng)初狀態(tài)機械能的總和與末狀態(tài)機械能的總和相等表示系統(tǒng)(或物體)機械能守恒時,系統(tǒng)減少(或增加)的重力勢能等于系統(tǒng)增加(或減少)的動能若系統(tǒng)由A、B兩部分組成,則A部分物體機械能的增加量與B部分物體機械能的減少量相等注意事項應用時應選好重力勢能的零勢能面,且初、末狀態(tài)必須用同一零勢能面計算勢能應用時關鍵在于分清重力勢能的增加量和減少量,可不選零勢能面而直接計算初、末狀態(tài)的勢能差常用于解決兩個或多個物體組成的系統(tǒng)的機械能守恒問題知識點2應用機械能守恒定律解題的基本思路考向對單個物體的應用機械能守恒定律3．在一輕彈簧下掛一重物，將它從位置處放開，它將迅速下降，直至位置后再返回（如甲圖所示）。若我們用手托著該重物使它緩緩下降，最終它在達到位置后就不再運動了（如乙圖所示）。記彈簧的彈性勢能為、物體和地球的重力勢能為、物體的動能為，彈簧始終處于彈性限度內，關于兩次實驗，下列說法正確的是（）A．甲圖里重物從到的過程中，持續(xù)減小B．乙圖里重物從到的過程中，持續(xù)增大C．甲圖里重物從到的過程中，保持不變D．乙圖里重物從到的過程中，保持不變【答案】C【詳解】A．由題意可知，甲圖里重物在達到位置處，彈簧的彈力與重物的重力大小相等，此時重物的速度最大，則有在重物從到的過程中，彈力大于重力，重物做減速運動，動能減小，重物與彈簧組成的系統(tǒng)機械能守恒，由機械能守恒定律可知，持續(xù)增大，A錯誤；B．乙圖里重物從到的過程中，用手托著該重物使它緩緩下降，重物動能不變，可手對重物的支持力對重物做負功，則系統(tǒng)的機械能減小，則有持續(xù)減小，B錯誤；C．甲圖里重物從到的過程中，重物與彈簧組成的系統(tǒng)機械能守恒，則有保持不變，C正確；D．乙圖里重物從到的過程中，手對重物的支持力對重物做負功，因此系統(tǒng)的機械能減小，則有減小，D錯誤。故選C。4．如圖1，在豎直平面內固定一光滑的半圓形軌道，半徑為，小球以一定的初速度從最低點A沖上軌道，圖2是小球在半圓形軌道上從A運動到的過程中，其速度平方與其對應高度的關系圖像。已知小球在最高點受到軌道的作用力為，空氣阻力不計，點為軌道中點，重力加速度取，下列說法錯誤的是（）

A．最高點時小球所受的合外力豎直向下B．圖2中C．小球在B點受到軌道作用力為D．小球質量為【答案】C【詳解】A．在最高點，小球所受合外力提供向心力，故方向豎直向下，A正確，不符合題意；D．由圖2可得在最高點，小球的速度，由牛頓第二定律可解得小球的質量故D正確，不符合題意；B．小球從A運動到的過程中，由機械能守恒定律解得故B正確，不符合題意；C．小球從A運動到B的過程中，由機械能守恒定律解得小球在B點受到軌道作用力為故C錯誤，符合題意。故選C?？键c三三類連接體的機械能守恒問題知識點1輕繩連接的物體系統(tǒng)基本規(guī)律常見情景三點提醒(1)分清兩物體是速度大小相等，還是沿繩方向的分速度大小相等。(2)用好兩物體的位移大小關系或豎直方向高度變化的關系。(3)對于單個物體，一般繩上的力要做功，機械能不守恒；但對于繩連接的系統(tǒng)，機械能則可能守恒。知識點2輕桿連接的物體系統(tǒng)基本規(guī)律常見情景三大特點(1)平動時兩物體線速度相等，轉動時兩物體角速度相等。(2)桿對物體的作用力并不總是沿桿的方向，桿能對物體做功，單個物體機械能不守恒。(3)對于桿和球組成的系統(tǒng)，忽略空氣阻力和各種摩擦且沒有其他力對系統(tǒng)做功，則系統(tǒng)機械能守恒。知識點3輕彈簧連接的物體系統(tǒng)基本規(guī)律題型特點由輕彈簧連接的物體系統(tǒng)，一般既有重力做功又有彈簧彈力做功，這時系統(tǒng)內物體的動能、重力勢能和彈簧的彈性勢能相互轉化，而總的機械能守恒。兩點提醒(1)對同一彈簧，彈性勢能的大小由彈簧的形變量完全決定，無論彈簧伸長還是壓縮。(2)物體運動的位移與彈簧的形變量或形變量的變化量有關。考向1輕繩連接的物體系統(tǒng)1．如圖所示，有兩條位于同一豎直平面內的光滑水平軌道，相距為，軌道上有兩個物體和B，質量均為，它們通過一根繞過定滑輪的不可伸長的輕繩相連接。在軌道間的繩子與軌道成角的瞬間，物體在下面的軌道上的運動速率為。此時繩子段的中點處有一與繩相對靜止的小水滴與繩子分離。設繩長遠大于滑輪直徑，不計輕繩與滑輪間的摩擦，下列說法正確的是（）

A．位于圖示位置時物體B的速度大小為B．小水滴與繩子分離的瞬間做平拋運動C．在之后的運動過程中當輕繩與水平軌道成角時，物體B的動能為D．小水滴脫離繩子時速度的大小為【答案】AC【詳解】A．將物體B的速度分解到沿繩和垂直于繩方向如圖甲所示，在軌道間的繩子與軌道成角的瞬間，有；；故A正確；D．繩子段一方面向點以速度收縮，另一方面繞點逆時針轉動，在軌道間的繩子與軌道成角的瞬間，其角速度，點既有沿繩子斜向下的速度，又有垂直于繩子斜向上的轉動的線速度，P點的合速度即小水滴的速度為故D錯誤；B．點沿繩的分速度與物體B沿繩的分速度相同，垂直于繩的分速度小于物體B垂直于繩的分速度，物體B的合速度水平向左，則小水滴的合速度斜向左下，如圖乙所示，故水滴做斜拋運動，故B錯誤；C．當輕繩與水平軌道成角時，物體B沿繩方向的分速度為0，物體的速度為0，物體運動過程中，物體AB組成的系統(tǒng)機械能守恒，從題圖示位置到輕繩與水平軌道成角時，根據機械能守恒定律得解得故C正確。

故選AC。2．如圖所示，半徑為的四分之一光滑圓弧軌道固定在豎直平面內，點為圓心。點右側相距處固定一個光滑定滑輪。質量為的小圓環(huán)靜止在圓弧軌道底端點，現用一根細線系在小圓環(huán)上，另一端跨過定滑輪系上質量為的重物，使細線伸直。將重物由靜止釋放，小圓環(huán)沿圓弧軌道上滑，運動到點時速度恰好變?yōu)榱?。則（）

A．、的質量之比為B．重物釋放瞬間處于超重狀態(tài)C．小圓環(huán)到達點后還能返回點D．小圓環(huán)的速度在任意時刻都不可能與重物速度大小相等【答案】AC【詳解】A．由幾何關系可知，。在運動過程中，對環(huán)和重物組成的系統(tǒng)，根據機械能守恒定律可知解得故A項正確；B．重物物釋放瞬間，加速度向下，繩子的拉力小于重物重力，處于失重狀態(tài)，故B項錯誤；C．小圓環(huán)由點開始運動，到達點時速度恰好為零，然后小圓環(huán)從P點向Q點運動，由于系統(tǒng)機械能守恒，所以小圓環(huán)能再次回到點，故C項正確；D．如圖所示

當圓環(huán)運動到點時，細線與圓弧相切，圓環(huán)速度沿圓弧切線方向，圓環(huán)速度大小與重物速度大小相等，故D項錯誤。故選AC?？枷?輕桿連接的物體系統(tǒng)3．半徑為R的光滑圓環(huán)豎直放置，環(huán)上套有兩個質量分別為m和的小球A和B。A、B兩球之間用一長為的輕桿相連，如圖所示。開始時，A、B兩球都靜止，且A球在圓環(huán)的最高點，現將A、B兩球由靜止釋放，則下列說法正確的是（）

A．A、B和輕桿組成的系統(tǒng)在運動過程中機械能守恒B．B球到達最低點時的速度大小為C．B球到達最低點的過程中，桿對A球做負功D．B球在圓環(huán)右側區(qū)域內能達到的最高點位置高于圓環(huán)圓心【答案】ABD【詳解】A．球A、B和輕桿組成的系統(tǒng)只有動能和勢能間的相互轉化，系統(tǒng)機械能守恒，A正確；B．釋放后B球到達最低點的過程中，由機械能守恒定律，有因為A、B均做半徑相同的圓周運動且角速度相等，可得解得，B正確；C．B球到達最低點的過程中，設輕桿對A球做的功為，對A球應用動能定理可得又解得，C錯誤；D．設B球到達右側最高點時，OB與豎直方向之間的夾角為θ，如圖所示

取圓環(huán)的圓心O所在的水平面為參考平面，由系統(tǒng)機械能守恒可得代入數據可得所以B球在圓環(huán)右側區(qū)域內達到最高點時，高于圓心O的高度，D正確。故選ABD。4．如圖所示，兩根長度均為L的輕質細桿，一端用質量為m的球形（視為鉸鏈球a）鉸鏈相連，兩桿另一端分別安裝質量為m和2m的小球b、c。開始時兩桿并攏，豎直放置在光滑水平地面上，鉸鏈球在上，從靜止釋放，b、c兩球開始向兩邊滑動，兩桿始終保持同一豎直面內。已知三球本身的大小、a小球碰地面的能量損失以及一切阻力均可忽略，重力加速度為g。下列說法正確的是（）A．a、b、c三小球組成的系統(tǒng)機械能守恒B．a、b、c三小球組成的系統(tǒng)動量守恒C．a小球碰地面時速度為D．當兩桿夾角為時，b、c兩球的速度之比為【答案】ACD【詳解】AC．鉸鏈球a與桌面相碰時，三球的水平速度均為零，只有鉸鏈球a具有豎直向下的速度。a、b、c三小球組成的系統(tǒng)機械能守恒，則有解得a小球碰地面時速度為故AC正確；BD．在鉸鏈球下落過程中，鉸鏈球a豎直方向有加速度，b、c兩球豎直方向沒有加速度，可知a、b、c三小球組成的系統(tǒng)豎直方向動量不守恒；a、b、c三小球組成的系統(tǒng)水平方向不受力，故a、b、c三小球組成的系統(tǒng)水平方向動量守恒，當兩桿夾角為時，如圖所示根據系統(tǒng)水平方向動量守恒可得，a、b、c三小球組成的系統(tǒng)機械能守恒，則有因桿剛性，每桿上、下兩端小球沿桿長方向的速度分量應相同，當兩桿夾角為時，有；聯(lián)立以上各式可解得；；；故當兩桿夾角為時，b、c兩球的速度之比為故B錯誤，D正確。故選ACD。考向3輕彈簧連接的物體系統(tǒng)5．如圖所示，滑塊2套在光滑的豎直桿上并通過細繩繞過光滑定滑輪連接物塊1，物塊1又與一輕質彈簧連接在一起，輕質彈簧另一端固定在地面上。開始時用手托住滑塊2，使繩子剛好伸直處于水平位置但無張力，此時彈簧的壓縮量為d?，F將滑塊2從A處由靜止釋放，經過B處的速度最大，到達C處的速度為零，此時物塊1還沒有到達滑輪位置。已知滑輪與桿的水平距離為3d，AC間距離為4d，不計滑輪質量、大小及摩擦。下列關于滑塊2在AC間下滑時的說法中，正確的是（）

A．滑塊2下滑過程中，加速度一直減小B．滑塊2經過B處時的加速度等于零C．物塊1和滑塊2的質量之比為2：1D．除A、C兩點外，滑塊1的速度大小始終小于滑塊2的速度大小【答案】BCD【詳解】AB．滑塊2下滑過程中，繩子拉力增大，合力先減小后反向增大，在B處速度最大，加速度為零，則加速度先減小后反向增大，故A錯誤，B正確；C．當A下滑到C點時，物體2上升的高度為則當物體2到達C時彈簧伸長的長度為d，此時彈簧的彈性勢能等于物體1靜止時的彈性勢能，對于A與B及彈簧組成的系統(tǒng)，由機械能守恒定律應有解得，C正確；D．除A、C兩點外，滑塊l的速度只是滑塊2沿繩方向的分速度，所以滑塊1的速度大小始終小于滑塊2的速度大小，D正確。故選BCD。6．如圖，輕質彈簧一端與垂直固定在斜面上的板C相連，另一端與物體A相連。物體A置于光滑固定斜面上，斜面的傾角。A上端連接一輕質細線，細線繞過光滑的定滑輪與物體B相連且始終與斜面平行。開始時托住B，A靜止且細線恰好伸直，然后由靜止釋放B。已知物體A、B的質量均為m，彈簧的勁度系數為k，當地重力加速度為g，B始終未與地面接觸。從釋放B到B第一次下落至最低點的過程中，下列說法正確的是（）。A．剛釋放物體B時，物體A受到細線的拉力大小為B．物體A到最高點時，A所受合力大小為C．物體B下落至最低點時，A和彈簧組成系統(tǒng)的機械能最大D．物體A的最大速度為【答案】ACD【詳解】A．剛釋放物體B時，以A、B組成的系統(tǒng)為研究對象，有解得對B研究解得故物體A受到細線的拉力大小為，故A正確；BC．對于A、B物體以及彈簧組成的系統(tǒng)，只有彈簧的彈力和重力做功，系統(tǒng)機械能守恒，B減小的機械能轉化為A的機械能以及彈簧的彈性勢能，故當B下落至最低點時，A和彈簧組成系統(tǒng)的機械能最大，且此時A上升到最高位置，根據對稱性可知B產生的加速度大小也為故對B受力分析，根據牛頓第二定律可知解得故AB整體研究，可得解得對A研究，A受到彈簧拉力、重力和繩子的拉力，則故B錯誤，C正確；D．手拖住物塊B時，物塊A靜止，設此時彈簧的壓縮量為，對物塊A根據平衡條件可得解得當物體A上升過程中，當A和B整體的加速度為0時速度達到最大值，此時細線對A的拉力大小剛好等于，設此時彈簧的伸長量為，則解得所以此時彈簧的彈性勢能與初始位置時相同，對A、B和彈簧組成的系統(tǒng)，根據機械能守恒定律得解得故D正確。故選ACD?？键c四非質點類機械能守恒問題知識點非質點類機械能守恒問題的規(guī)律1.物體雖然不能看成質點，但因只有重力做功，物體整體機械能守恒。2.在確定物體重力勢能的變化量時，要根據情況，將物體分段處理，確定好各部分重心及重心高度的變化量。3.非質點類物體各部分是否都在運動，運動的速度大小是否相同，若相同，則物體的動能才可表示為eq\f(1,2)mv2?？枷?“液柱”類問題1．橫截面積為S的U形圓筒豎直放在水平面上，筒內裝水，底部閥門K關閉時兩側水面高度分別為h1和h2，如圖所示。已知水的密度為ρ，重力加速度大小為g，不計水與筒壁間的摩擦阻力。現把連接兩筒的閥門K打開，最后兩筒水面高度相等，則該過程中（

）A．水柱的重力做正功B．大氣壓力對水柱做負功C．水柱的機械能守恒D．當兩筒水面高度相等時，水柱的動能是ρgS（h1-h2）2【答案】ACD【詳解】B．從把連接兩筒的閥門打開到兩筒水面高度相等的過程中，大氣壓力對左筒水柱做正功，對右筒水柱做負功，抵消為零，故B錯。ACD．水柱的機械能守恒，重力做功等于重力勢能的減少量，等于水柱增加的動能，等效于把左筒高的水柱移至右筒，重心下降，重力所做正功WG=ρgS=ρgS（h1-h2）2，A、C、D正確。故選ACD?？枷?“鏈條”類問題2．如圖所示，一條長為L的均勻金屬鏈條，有一半長度在光滑傾斜木板上，木板傾角為30°，木板長度是2L，另一半沿豎直方向下垂在空中，左側水平桌面足夠長且光滑，當鏈條從靜止釋放后，下列說法正確的是（）A．鏈條沿斜面向下滑動B．鏈條沿斜面向上滑動C．鏈條全部離開斜面瞬間速度為D．鏈條全部離開斜面瞬間速度為【答案】BD【詳解】AB．因垂在空中的一半鏈條的重量大于在光滑傾斜木板上的一半鏈條的重力下滑分力，即可知，鏈條沿斜面上滑，選項B正確，A錯誤；CD．由機械能守恒定律