24.3 圓周角 同步練習

第24章圓24.3圓周角基礎過關全練知識點1圓周角的定義1.如圖，在圖中標出的4個角中，圓周角有()A.1個 B.2個 C.3個 D.4個知識點2圓周角定理2.(2021福建南平期末)已知圓上的三點A，B，C和圓內的一點O，根據∠A與∠O的大小，下列四個選項中能判定點O一定不是該圓圓心的是()3.如圖，小李在校運動會上參加足球射門游戲，他站在點O(O為☉O的圓心)處，與球門兩端所形成的最大張角是∠AOB，若在點C處測得∠ACB=60°，則∠AOB=°.

4.如圖，在四邊形OABC中，OA=OB=OC，∠BOC=4∠AOB.求證：∠BAC=4∠ACB.知識點3圓周角定理的推論5.(2022四川廣元中考)如圖，AB是☉O的直徑，C、D是☉O上的兩點，若∠CAB=65°，則∠ADC的度數為()A.25° B.35° C.45° D.65°[變式]如圖，AB為☉O的直徑，C，D是圓周上的兩點，若∠ABC=38°，則∠BDC的度數為()A.26° B.38° C.52° D.57°6.(2022安徽合肥包河三模)如圖，已知點A、B、C、D在☉O上，弦AB、CD的延長線交于☉O外一點E，∠BCD=25°，∠E=39°，則∠APC的度數為()A.64° B.89° C.90° D.94°7.如圖，已知△ABC的邊AB是☉O的直徑，BC邊的中點D在☉O上，則△ABC是三角形.

8.(2022山東淄博張店一模)如圖，一塊直角三角板的30°角的頂點P落在☉O上，兩邊分別交☉O于A，B兩點，若☉O的半徑為2，則弦AB的長為.

9.如圖，點C在半圓O上，AB是半圓O的直徑，連接AC，BC，過點O作OD⊥AC交半圓O于點D，連接AD.(1)若∠B=80°，求∠CAD的度數；(2)若AB=8，AC=6，求DE的長.10.(2021廣東深圳中考)如圖，AB為☉O的弦，D，C為ACB的三等分點，AC∥BE.(1)求證：∠A=∠E；(2)若BC=3，BE=5，求CE的長.知識點4圓內接四邊形11.(2021重慶中考A卷)如圖，四邊形ABCD內接于☉O，若∠A=80°，則∠C的度數是()A.80° B.100° C.110° D.120°12.如圖，四邊形ABCD內接于☉O，連接OA，OD，OA∥DC，∠B=55°，則∠AOD的度數為.

13.如圖，四邊形ABCD內接于圓，延長AD、BC相交于點E，F是BD的延長線上的點，且DE平分∠CDF.(1)求證：AB=AC；(2)求證：AB2=AD·AE；(3)若AC=3cm，AD=2cm，求DE的長.能力提升全練14.(2022陜西中考)如圖，△ABC內接于☉O，∠C=46°，連接OA，則∠OAB=()A.44° B.45° C.54° D.67°15.(2022湖北宜昌中考)如圖，四邊形ABCD內接于☉O，連接OB，OD，BD，若∠C=110°，則∠OBD=()A.15° B.20° C.25° D.30°16.(2022山東青島一模)如圖，AB為☉O的直徑，點C、D、E在☉O上，且AD=CD，∠E=70°，則∠ABC的度數為()A.30° B.40° C.35° D.50°17.(2022四川雅安中考)如圖，∠DCE是☉O內接四邊形ABCD的一個外角，若∠DCE=72°，那么∠BOD的度數為.

18.(2021安徽中考)如圖，圓O的半徑為1，△ABC內接于圓O.若∠A=60°，∠B=75°，則AB=.

19.(2022安徽滁州天長一模)如圖，BC是☉O的直徑，A是☉O外一點，連接AC交☉O于點E，連接AB并延長交☉O于點D.若∠A=30°，則∠DOE的大小是度.

20.(2022山東威海中考)如圖，四邊形ABCD是☉O的內接四邊形，連接AC，BD，延長CD至點E.(1)若AB=AC，求證：∠ADB=∠ADE；(2)若BC=3，☉O的半徑為2，求sin∠BAC.21.(2022安徽馬鞍山雨山二模)如圖，在△ABC中，AC=BC，D是AB上一點，☉O經過點A、C、D交BC于點E，過點D作DF∥BC交☉O于點F.求證：(1)四邊形DBCF是平行四邊形；(2)AF=EF.22.(2021安徽中考)如圖，圓O中兩條互相垂直的弦AB，CD交于點E.(1)M是CD的中點，OM=3，CD=12，求圓O的半徑長；(2)點F在CD上，且CE=EF，求證：AF⊥BD.素養(yǎng)探究全練23.如圖是一塊含30°角(即∠CAB=30°)的三角板和一個量角器拼在一起，三角板斜邊AB與量角器所在圓的直徑MN重合，量角器最外緣的讀數是從N點開始(即N點的讀數為0)的，現有射線CP繞點C從CA方向順時針以每秒2度的速度旋轉到CB方向，在旋轉過程中，射線CP與量角器的半圓弧交于E.(1)當射線CP分別經過△ABC的外心時，點E處的讀數是多少?(2)設旋轉x秒后，E點處的讀數為y，求y與x的函數表達式；(3)當旋轉7.5秒時，連接BE，求證：BE=CE.24.如圖①，已知△ABC中，AB=AC，以邊AB為直徑的☉O交BC于點D，交AC于點E，連接DE.(1)求證：DE=DC；(2)如圖②，連接OE，將∠EDC繞點D逆時針旋轉，使∠EDC的兩邊分別交OE的延長線于點F，AC的延長線于點G.試探究線段DF、DG的數量關系.

第24章圓24.3圓周角答案全解全析基礎過關全練1.B∠1和∠3符合圓周角的定義，∠2的頂點不在圓上，∠4的頂點在圓上，但有一邊與圓沒有另一個公共點，所以題圖中圓周角有∠1和∠3兩個.故選B.2.D選項D中，∠BOC≠2∠A，∴點O肯定不是圓心，故選D.3.120解析∵∠ACB是AB所對的圓周角，∠AOB是AB所對的圓心角，∠ACB=60°，∴∠AOB=2∠ACB=2×60°=120°.4.證明∵四邊形OABC中，OA=OB=OC，∴A、B、C在以O為圓心，OA長為半徑的圓上，如圖.∵∠BOC=4∠AOB，∠BAC=12∠BOC，∠ACB=12∠AOB，∴∠BAC=45.A∵AB是☉O的直徑，∴∠ACB=90°.∵∠CAB=65°，∴∠ABC=90°-∠CAB=25°，∴∠ADC=∠ABC=25°，故選A.[變式]C如圖，連接AC，∵AB是☉O的直徑，∴∠ACB=90°，∵∠ABC=38°，∴∠BAC=90°-∠ABC=52°，∴∠BDC=∠BAC=52°.故選C.6.B∵∠BCD=25°，∠E=39°，∴∠BAD=∠BCD=25°，∠ABC=∠BCD+∠E=64°，∴∠APC=∠BAD+∠ABC=25°+64°=89°，故選B.7.等腰解析連接AD，∵AB是☉O的直徑，∴∠ADB=90°，又點D是BC邊的中點，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形.8.2解析連接AO并延長交☉O于點D，連接BD，∵∠P=30°，∴∠D=∠P=30°，∵AD是☉O的直徑，∴∠ABD=90°，∴AB=12AD=129.解析(1)∵AB是半圓O的直徑，∴∠C=90°，又∠B=80°，∴∠CAB=10°.∵OD⊥AC，BC⊥AC，∴OD∥BC，∴∠AOD=∠B=80°，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA=(180°-80°)÷2=50°，∴∠CAD=∠OAD-∠CAB=50°-10°=40°.(2)∵∠C=90°，AB=8，AC=6，∴BC=AB2?∵OD∥BC，OA=OB，∴OE=12BC=7∴DE=OD-OE=12AB-OE=4-710.解析(1)證明：∵AC∥BE，∴∠E=∠ACD，∵D，C為ACB的三等分點，∴BC=CD=AD，∴∠ACD=∠A，∴∠A=∠E.(2)由(1)知BC=CD=AD，∠A=∠E，∴∠D=∠CBD=∠A=∠E，∴BE=BD=5，BC=CD=3，∠DBE=∠BCD，∴△CBD∽△BDE，∴CBBD=BDDE，即35解得DE=253∴CE=DE-CD=253-3=1611.B∵四邊形ABCD內接于☉O，∴∠A+∠C=180°，∵∠A=80°，∴∠C=100°，故選B.12.70°解析∵四邊形ABCD內接于☉O，∠B=55°，∴∠ADC=125°.∵OA∥DC，∴∠AOD=∠ODC.∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD=12(180°-∠AOD)∴12(180°-∠AOD)+∠AOD=125°解得∠AOD=70°.13.解析(1)證明：如圖，∵四邊形ABCD內接于圓，∴∠ABC=∠2.∵DE平分∠CDF，∴∠1=∠2，又∠1=∠3，∴∠1=∠2=∠ABC=∠3，又∠4=∠3，∴∠ABC=∠4，∴AB=AC.(2)由(1)知∠3=∠ABE，又∠BAD=∠BAE，∴△ABD∽△AEB，∴ADAB=AB∴AB2=AD·AE.(3)由(2)知AB2=AD·AE.∵AB=AC=3cm，AD=2cm，∴32=2AE，∴AE=92cm∴DE=AE-AD=92-2=52能力提升全練14.A連接OB，∵∠C=46°，∴∠AOB=2∠C=92°，∵OA=OB，∴∠OAB=12×(180°-92°)=44故選A.15.B∵四邊形ABCD是圓內接四邊形，∠C=110°，∴∠A=70°，∴∠BOD=2∠A=140°.∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB.∵∠OBD+∠ODB+∠BOD=180°，∴∠OBD=20°，故選B.16.B如圖，連接OD，BD.∵AD=CD，∴∠ABD=∠CBD，∵∠DOB=2∠E=140°，∴∠OBD=∠ODB=20°，∴∠ABC=2∠OBD=40°，故選B.17.144°解析∵∠DCE=72°，∴∠BCD=180°-∠DCE=108°，∵四邊形ABCD內接于☉O，∴∠A=180°-∠BCD=72°，由圓周角定理，得∠BOD=2∠A=144°.18.2解析如圖，連接OA，OB，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=75°，∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=45°，∴∠AOB=90°，∵OA=OB，∴△OAB是等腰直角三角形，∴AB=2OA=2.19.120解析如圖，連接BE，DC，∵BC是☉O的直徑，∴∠BEC=90°，∴∠AEB=180°-90°=90°.∵∠A=30°，∴∠ABE=90°-∠A=60°，∴∠DBE=180°-∠ABE=120°.∵四邊形EBDC是圓內接四邊形，∴∠ECD+∠DBE=180°，∴∠ECD=180°-∠DBE=180°-120°=60°，∴∠DOE=2∠ECD=120°.20.解析(1)證明：∵四邊形ABCD是☉O的內接四邊形，∴∠ADE=∠ABC.∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB.∵∠ACB=∠ADB，∴∠ADB=∠ADE.(2)如圖，連接CO并延長交☉O于點F，連接BF，則∠FBC=90°.在Rt△BCF中，CF=4，BC=3，∴sinF=BCCF=3∵∠F=∠BAC，∴sin∠BAC=3421.證明(1)∵AC=BC，∴∠BAC=∠B.∵DF∥BC，∴∠ADF=∠B.∵∠BAC=∠CFD，∴∠ADF=∠CFD，∴BD∥CF，∴四邊形DBCF是平行四邊形.(2)如圖，連接AE.∵∠ADF=∠B，∠ADF=∠AEF，∴∠AEF=∠B.∵四邊形AECF是☉O的內接四邊形，∴∠ECF+∠EAF=180°，∵BD∥CF，∴∠ECF+∠B=180°，∴∠EAF=∠B，∴∠AEF=∠EAF，∴AF=EF.22.解析(1)連接OD，如圖1.∵M是CD的中點，CD=12，∴DM=12CD=6，OM⊥CD∴∠OMD=90°，在Rt△OMD中，OD=OM2+DM2=32+(2)證明：連接AC，延長AF交BD于G，如圖2.∵AB⊥CD，CE=EF，∴∠FAE=∠CAE，∵∠CAE=∠CDB，∴∠FAE=∠CDB，在Rt△BDE中，∠EDB+∠B=90°，∴∠FAE+∠B=90°，∴∠AGB=90°，∴AG⊥BD，即AF⊥BD.素養(yǎng)探究全練23.解析(1)∵∠BCA=90°，∴△ABC的外接圓就是量角器所在的圓，當射線CP過△ABC的外心，即過O點時，如圖1，∵∠CAB=30°，OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=30°，∴∠BCE=60°，∴∠BOE=120°，即點E處的讀數為120.(2)旋轉x秒后，∠BCE的度數為(90-2x)°，∠BOE的度數為(180-4x)°，故可得y與x的函數表達式為y=180-4x.(3)證明：如圖2，當旋轉7.5秒時，∠PCA=(2×7.5)°=15°，∴∠EBA=∠ECA=15°，∠BCE=75°，∵∠CAB=30°，∴∠ABC=60°，∴∠EBC=∠EBA+∠ABC=∠BCE=75°，∴BE=CE. 圖1 圖224.解析(1)證明：∵四邊形ABDE內接于☉O，∴∠B+∠AED=180°，∵∠DEC+∠AED=180°，∴∠DEC=∠B.∵AB=AC，∴∠C=∠B，∴∠DEC=∠