專項(xiàng)04 構(gòu)造“隱圓”解決問(wèn)題

專項(xiàng)04構(gòu)造“隱圓”解決問(wèn)題類型一定點(diǎn)定長(zhǎng)型類型解讀定點(diǎn)定長(zhǎng)型:動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)O的距離保持不變,為r,則點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡為以點(diǎn)O為圓心,r為半徑的圓.或者幾個(gè)點(diǎn)到某個(gè)定點(diǎn)的距離相等,則這幾個(gè)點(diǎn)在以定點(diǎn)為圓心,相等距離為半徑的圓上.(如圖,若AB=AC=AD,則點(diǎn)B,C,D在以點(diǎn)A為圓心,AB為半徑的圓上)1.如圖,等邊△ABC的邊長(zhǎng)為8,點(diǎn)P是AB邊上的一點(diǎn),且PB=6,直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P,把△ABC沿直線l折疊,點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B',在直線l變化的過(guò)程中,求△ACB'面積的最大值.類型二四點(diǎn)共圓型類型解讀四點(diǎn)共圓型:在四邊形ABCD中,若∠A+∠C=180°,即對(duì)角互補(bǔ),則A,B,C,D四點(diǎn)共圓.或者四邊形中,外角等于內(nèi)對(duì)角,則這四點(diǎn)共圓.如圖.2.如圖,等邊△ABC中,AB=6,P為AB上一動(dòng)點(diǎn),PD⊥BC于D,PE⊥AC于E,求DE的最小值.3.如圖,在菱形ABCD中,AB=BD=3,點(diǎn)E、F分別是AB、AD上的動(dòng)點(diǎn)(不與端點(diǎn)重合),且AE=DF,連接BF、DE交于點(diǎn)G,求四邊形BCDG的面積的最大值.類型三定弦對(duì)定角型類型解讀定弦對(duì)定角型:如果固定線段AB所對(duì)動(dòng)角∠P為定值,則動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡為過(guò)A,B,P三點(diǎn)的圓.如圖.4.在△ABC中,∠ABC=90°,AB=2,BC=3.點(diǎn)D為平面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),∠ADB=45°,求線段CD的最小值.類型四直角對(duì)直徑類型解讀直角對(duì)直徑:在△ABC中,若∠C=90°,則點(diǎn)C在以AB為直徑的圓上(不與A,B重合).如圖.5.如圖,在矩形ABCD中,AB=10,AD=12,點(diǎn)P為矩形內(nèi)一點(diǎn),∠APB=90°,連接PD,求PD的最小值.6.如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,點(diǎn)D是△ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且滿足DA2+DB2=AB2,求線段CD的最小值.類型五定角夾定高類型解讀定角夾定高:如圖,在△ABC中,∠ABC=α(定值),BD垂直AC于點(diǎn)D,BD=m,則可以作△ABC的外接圓,由OB+OH≥BD可以得出線段AC、△ABC的面積與周長(zhǎng)均有最小值.7.如圖,在四邊形ABCD中,AB=AD=CD=4,AD∥BC,∠B=60°,點(diǎn)E、F分別為邊BC、CD上的動(dòng)點(diǎn),且∠EAF=60°,則△AEF的面積是否存在最小值?若存在,求出最小值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

專項(xiàng)04構(gòu)造“隱圓”解決問(wèn)題答案全解全析1.解析由對(duì)稱性可知,PB=PB',∴B'在以P為圓心,PB為半徑的圓上,如圖,過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AC于點(diǎn)H,當(dāng)B'、P、H三點(diǎn)共線時(shí),△ACB'的面積最大.∵PB=6,AB=8,∴AP=2.在Rt△APH中,∠PAH=60°,∴PH=AP·sin60°=2×32∴B'H=6+3,∴S△AB'C=12×8×(6+32.解析如圖,連接PC,取PC的中點(diǎn)O,連接OE,OD,過(guò)點(diǎn)O作OH⊥DE于點(diǎn)H.∵△ABC是等邊三角形,∴∠ACB=60°,AB=BC=AC=6.∵PD⊥BC,PE⊥AC,∴∠PEC=∠PDC=90°,∴∠PEC+∠PDC=180°,∴C,D,P,E四點(diǎn)共圓,點(diǎn)O為圓心,∴OE=OP=OC=OD,∠EOD=2∠ECD=120°,∴當(dāng)OE的值最小時(shí),DE的值最小.根據(jù)垂線段最短可知,當(dāng)CP⊥AB時(shí),PC的值最小,即OE的值最小,此時(shí)PC=BC×32=6×=33,∴OE=1∠EOH=60°,∴DH=EH=332×323.解析∵四邊形ABCD是菱形,AB=BD=3,∴AB=AD=CD=BC=BD=3,∴△ABD和△BDC都是等邊三角形,∴∠A=∠BDF=∠BCD=60°.又∵AE=DF,∴△ADE≌△DBF(SAS),∴∠ADE=∠DBF,∴∠BGE=∠GBD+∠BDG=∠ADE+∠BDG=∠ADB=60°,∴∠BGE=∠BCD,∴∠BGD=120°,∴∠BGD+∠BCD=180°,∴點(diǎn)B,C,D,G四點(diǎn)共圓,如圖,由題可知△BCD的面積固定,∴當(dāng)△BDG的面積最大時(shí),四邊形BCDG的面積最大.易知,當(dāng)點(diǎn)G為BD的中點(diǎn)時(shí),△BDG的面積最大,此時(shí)點(diǎn)G在點(diǎn)G'處.過(guò)G'作G'N⊥BD于N,此時(shí)G'N=12BDtan30°=12×3×∴S四邊形BCDG'=S△BCD+S△BDG'=12×3×3324.解析如圖所示,作△ABD的外接圓☉O(因求CD的最小值,故圓心O在AB的右側(cè)),連接OA、OB、OC,過(guò)O作OE⊥BC于點(diǎn)E,則當(dāng)O、D、C三點(diǎn)共線時(shí),CD的值最小.∵∠ADB=45°,∴∠AOB=90°,∴△AOB為等腰直角三角形,∵AB=2,∴AO=BO=2.∵∠OBA=45°,∠ABC=90°,∴∠OBE=45°,∴△OBE為等腰直角三角形.∴OE=BE=1,∴CE=BC-BE=3-1=2,在Rt△OEC中,OC=OE故線段CD的最小值為OC-OD=5?5.解析∵∠APB=90°,∴點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上,設(shè)圓心為點(diǎn)E,如圖,連接EP,易知當(dāng)點(diǎn)E,P,D在同一條直線上時(shí),PD的值最小.∵AB=10,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),EP是圓的半徑,∴EP=AE=12在Rt△AED中,ED=AD∴PD=ED-EP=13-5=8.∴PD的最小值為8.6.解析∵DA2+DB2=AB2,∴∠ADB=90°,∴點(diǎn)D在以AB為直徑的圓上,如圖,取AB的中點(diǎn)O,作出☉O,連接OC交☉O于點(diǎn)D',當(dāng)點(diǎn)D移動(dòng)到D'時(shí),線段CD的值最小.∵AB=4,∴OB=2.在Rt△OBC中,BC=3,∴OC=OB2+B∴CD'=OC-OD'=13-2,∴線段CD的最小值是13-2.7.解析存在.將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△ABF',易知F'、B、E三點(diǎn)共線.由旋轉(zhuǎn)得AF'=AF,∠F'AB=∠FAD.∵AD∥BC,∠ABC=60°,∴∠BAD=120°,∵∠EAF=60°,∴∠EAB+∠DAF=60°,∴∠F'AE=∠F'AB+∠BAE=∠FAD+∠BAE=60°=∠EAF,∵AE=AE,AF'=AF,∴△FAE≌△F'AE(SAS).作△AEF'的外接圓☉O,過(guò)O作OH⊥EF'于點(diǎn)H,過(guò)A作AG⊥BC于點(diǎn)G,連接OF',OE,則∠