專項04 構(gòu)造“隱圓”解決問題

專項04構(gòu)造“隱圓”解決問題類型一定點定長型類型解讀定點定長型:動點P到定點O的距離保持不變,為r,則點P的運動軌跡為以點O為圓心,r為半徑的圓.或者幾個點到某個定點的距離相等,則這幾個點在以定點為圓心,相等距離為半徑的圓上.(如圖,若AB=AC=AD,則點B,C,D在以點A為圓心,AB為半徑的圓上)1.如圖,等邊△ABC的邊長為8,點P是AB邊上的一點,且PB=6,直線l經(jīng)過點P,把△ABC沿直線l折疊,點B的對應(yīng)點為點B',在直線l變化的過程中,求△ACB'面積的最大值.類型二四點共圓型類型解讀四點共圓型:在四邊形ABCD中,若∠A+∠C=180°,即對角互補,則A,B,C,D四點共圓.或者四邊形中,外角等于內(nèi)對角,則這四點共圓.如圖.2.如圖,等邊△ABC中,AB=6,P為AB上一動點,PD⊥BC于D,PE⊥AC于E,求DE的最小值.3.如圖,在菱形ABCD中,AB=BD=3,點E、F分別是AB、AD上的動點(不與端點重合),且AE=DF,連接BF、DE交于點G,求四邊形BCDG的面積的最大值.類型三定弦對定角型類型解讀定弦對定角型:如果固定線段AB所對動角∠P為定值,則動點P的運動軌跡為過A,B,P三點的圓.如圖.4.在△ABC中,∠ABC=90°,AB=2,BC=3.點D為平面上一個動點,∠ADB=45°,求線段CD的最小值.類型四直角對直徑類型解讀直角對直徑:在△ABC中,若∠C=90°,則點C在以AB為直徑的圓上(不與A,B重合).如圖.5.如圖,在矩形ABCD中,AB=10,AD=12,點P為矩形內(nèi)一點,∠APB=90°,連接PD,求PD的最小值.6.如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,點D是△ABC內(nèi)部的一個動點,且滿足DA2+DB2=AB2,求線段CD的最小值.類型五定角夾定高類型解讀定角夾定高:如圖,在△ABC中,∠ABC=α(定值),BD垂直AC于點D,BD=m,則可以作△ABC的外接圓,由OB+OH≥BD可以得出線段AC、△ABC的面積與周長均有最小值.7.如圖,在四邊形ABCD中,AB=AD=CD=4,AD∥BC,∠B=60°,點E、F分別為邊BC、CD上的動點,且∠EAF=60°,則△AEF的面積是否存在最小值?若存在,求出最小值;若不存在,請說明理由.

專項04構(gòu)造“隱圓”解決問題答案全解全析1.解析由對稱性可知,PB=PB',∴B'在以P為圓心,PB為半徑的圓上,如圖,過點P作PH⊥AC于點H,當(dāng)B'、P、H三點共線時,△ACB'的面積最大.∵PB=6,AB=8,∴AP=2.在Rt△APH中,∠PAH=60°,∴PH=AP·sin60°=2×32∴B'H=6+3,∴S△AB'C=12×8×(6+32.解析如圖,連接PC,取PC的中點O,連接OE,OD,過點O作OH⊥DE于點H.∵△ABC是等邊三角形,∴∠ACB=60°,AB=BC=AC=6.∵PD⊥BC,PE⊥AC,∴∠PEC=∠PDC=90°,∴∠PEC+∠PDC=180°,∴C,D,P,E四點共圓,點O為圓心,∴OE=OP=OC=OD,∠EOD=2∠ECD=120°,∴當(dāng)OE的值最小時,DE的值最小.根據(jù)垂線段最短可知,當(dāng)CP⊥AB時,PC的值最小,即OE的值最小,此時PC=BC×32=6×=33,∴OE=1∠EOH=60°,∴DH=EH=332×323.解析∵四邊形ABCD是菱形,AB=BD=3,∴AB=AD=CD=BC=BD=3,∴△ABD和△BDC都是等邊三角形,∴∠A=∠BDF=∠BCD=60°.又∵AE=DF,∴△ADE≌△DBF(SAS),∴∠ADE=∠DBF,∴∠BGE=∠GBD+∠BDG=∠ADE+∠BDG=∠ADB=60°,∴∠BGE=∠BCD,∴∠BGD=120°,∴∠BGD+∠BCD=180°,∴點B,C,D,G四點共圓,如圖,由題可知△BCD的面積固定,∴當(dāng)△BDG的面積最大時,四邊形BCDG的面積最大.易知,當(dāng)點G為BD的中點時,△BDG的面積最大,此時點G在點G'處.過G'作G'N⊥BD于N,此時G'N=12BDtan30°=12×3×∴S四邊形BCDG'=S△BCD+S△BDG'=12×3×3324.解析如圖所示,作△ABD的外接圓☉O(因求CD的最小值,故圓心O在AB的右側(cè)),連接OA、OB、OC,過O作OE⊥BC于點E,則當(dāng)O、D、C三點共線時,CD的值最小.∵∠ADB=45°,∴∠AOB=90°,∴△AOB為等腰直角三角形,∵AB=2,∴AO=BO=2.∵∠OBA=45°,∠ABC=90°,∴∠OBE=45°,∴△OBE為等腰直角三角形.∴OE=BE=1,∴CE=BC-BE=3-1=2,在Rt△OEC中,OC=OE故線段CD的最小值為OC-OD=5?5.解析∵∠APB=90°,∴點P在以AB為直徑的圓上,設(shè)圓心為點E,如圖,連接EP,易知當(dāng)點E,P,D在同一條直線上時,PD的值最小.∵AB=10,點E是AB的中點,EP是圓的半徑,∴EP=AE=12在Rt△AED中,ED=AD∴PD=ED-EP=13-5=8.∴PD的最小值為8.6.解析∵DA2+DB2=AB2,∴∠ADB=90°,∴點D在以AB為直徑的圓上,如圖,取AB的中點O,作出☉O,連接OC交☉O于點D',當(dāng)點D移動到D'時,線段CD的值最小.∵AB=4,∴OB=2.在Rt△OBC中,BC=3,∴OC=OB2+B∴CD'=OC-OD'=13-2,∴線段CD的最小值是13-2.7.解析存在.將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)120°得到△ABF',易知F'、B、E三點共線.由旋轉(zhuǎn)得AF'=AF,∠F'AB=∠FAD.∵AD∥BC,∠ABC=60°,∴∠BAD=120°,∵∠EAF=60°,∴∠EAB+∠DAF=60°,∴∠F'AE=∠F'AB+∠BAE=∠FAD+∠BAE=60°=∠EAF,∵AE=AE,AF'=AF,∴△FAE≌△F'AE(SAS).作△AEF'的外接圓☉O,過O作OH⊥EF'于點H,過A作AG⊥BC于點G,連接OF',OE,則∠