第27章 圓 綜合檢測

第27章圓綜合檢測（滿分100分，限時60分鐘）一、選擇題（每小題3分，共30分）1.（2023江蘇鎮(zhèn)江期中）下列說法正確的是（）A．弧長相等的弧是等弧 B．直徑是最長的弦C．三點確定一個圓 D．平分弦的直徑垂直于弦2.（2023河南中考）如圖，點A，B，C在☉O上，若∠C=55°，則∠AOB的度數(shù)為（）A.95° B.100° C.105° D.110°3.（2023四川廣元蒼溪期末）如圖，點P為☉O外一點，PA為☉O的切線，A為切點，PO交☉O于點B，∠P=30°，OB=3，則線段OP的長為（）A.3 B.33 C.6 D.94.（2023四川瀘州瀘縣模擬）在平面直角坐標系xOy中，以點（—3，4）為圓心，4為半徑的圓與x軸的位置關系是（）A．相交 B．相離 C．相切 D．無法判斷5.（2023吉林松原前郭模擬）如圖，四邊形ABCD內接于☉O，AB是☉O的直徑，EF與☉O相切于點A，若∠C=120°，則∠DAE的度數(shù)為（）A.20° B.30° C.50° D.60°6.（2023湖北恩施州巴東期中）扇子最早稱“翣”，在我國已有兩千多年歷史．“打開半個月亮，收起兜里可裝，來時荷花初放，去時菊花正黃．”這則謎語說的就是扇子．如圖，一竹扇完全打開后，外側兩竹條AB，AC的夾角為135°，AB的長為30cm，扇面BD的長為20cm，則扇面的面積為（） A．πcm2 B.600πcm2 C.300πcm2 D.30πcm27.（2023陜西中考）陜西飲食文化源遠流長，“老碗面”是陜西地方特色美食之一．圖2是從正面看到的一個“老碗”（圖1）的形狀示意圖，AB是☉O的一部分，D是AB的中點，連結OD，與弦AB交于點C，連結OA，OB．已知AB=24cm，碗深CD=8cm，則☉O的半徑OA為（） A.13cm B.16cm C.17cm D.26cm8.（2023湖南張家界中考）“萊洛三角形”也稱為圓弧三角形，它是工業(yè)生產中廣泛使用的一種圖形．如圖，分別以等邊△ABC的三個頂點為圓心，邊長為半徑畫弧，三段圓弧圍成的封閉圖形就是“萊洛三角形”．若等邊△ABC的邊長為3，則該“萊洛三角形”的周長等于（）A．π B.3π C.2π D.2π—39.（2023河南開封龍亭模擬）如圖，☉O的半徑為1，AD，BC是☉O的兩條互相垂直的直徑，點P從點O出發(fā)（P點與O點不重合），沿O→C→D的路線運動，設AP=x，sin∠APB=y，那么y與x之間的關系圖象大致是（） 10.（2023湖南永州冷水灘京華中學期末）如圖，PA、PB是☉O的切線，切點分別為A、B，BC是☉O的直徑，PO交☉O于E點，連結AB交PO于F，連結CE交AB于D點，連結AC．下列結論：①PA=PB；②OP⊥AB；③CE平分∠ACB；④OF=12AC；⑤E是△PAB的內心；⑥△CDA≌△EDF．其中一定成立的有（A.5個 B.4個 C.3個 D.2個二、填空題（每小題3分，共18分）11.（2023浙江杭州保俶塔申花實驗學校模擬）如圖，PA，PB與☉O分別相切于點A，B，PA=3，∠P=60°，則AB=．

12.（2023廣東佛山南海平洲二中月考）如圖，在☉O中，AB=CD，A、C之間的距離為4，則線段BD=．

13.在☉O的圓周上任意標出三個點A、B、C，然后順次連結點O、A、B、C得到一個四邊形，若∠AOC=∠ABC，則∠ABC=．

14.（2023山西晉城陽城模擬）點P是非圓上一點，若點P到☉O上的點的最小距離是4cm，最大距離是9cm，則☉O的半徑是．

15.（2023河北保定高碑店模擬）《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數(shù)學名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內角，下周八尺，高五尺，問積及為米幾何？”譯文：屋內墻角處的米堆為一個圓錐的四分之一（如圖），米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，那么這個米堆遮擋的墻面面積為平方尺．

16.（2023甘肅天水麥積模擬）由四個圖1所示的四邊形和四個圖2所示的菱形拼成一個正八邊形（如圖3），則圖3中陰影部分面積與空白部分面積之比為．

三、解答題（共52分）17.（2023吉林長春經開區(qū)模擬）（6分）如圖，點A、B、C都在☉O上，∠CAB=∠CBA．求證：△OAC≌△OBC．18.（2023安徽安慶懷寧模擬）（8分）如圖，圓錐側面展開得到扇形，此扇形半徑CA=3，圓心角∠ACB=120°，求此圓錐的高OC．19.（2023貴州中考）（12分）如圖，已知☉O是等邊三角形ABC的外接圓，連結CO并延長交AB于點D，交☉O于點E，連結EA，EB．（1）寫出圖中一個度數(shù)為30°的角：，圖中與△ACD全等的三角形是；

（2）求證：△AED∽△CEB；（3）連結OA，OB，判斷四邊形OAEB的形狀，并說明理由．20.（2023湖南常德中考）（12分）如圖，四邊形ABCD是☉O的內接四邊形，AB是直徑，C是BD的中點，過點C作CE⊥AD交AD的延長線于點E．（1）求證：CE是☉O的切線；（2）若BC=6，AC=8，求CE，DE的長．21.（14分）在古代，智慧的勞動人民已經會使用“石磨”（如圖），其原理為在磨盤的邊緣連結一個固定長度的“連桿”，推動“連桿”帶動磨盤轉動，將糧食磨碎，物理學上稱這種動力傳輸工具為“曲柄連桿機構”．小明受此啟發(fā)設計了一個“雙連桿機構”，設計圖如圖1所示，兩個固定長度的“連桿”AP，BP的連結點P在☉O上，當點P在☉O上轉動時，帶動點A，B分別在射線OM，ON上滑動，OM⊥ON．當AP與☉O相切時，點B恰好落在☉O上，如圖2.根據(jù)圖2解答下列問題．（1）求證：∠PAO=2∠PBO；（2）若☉O的半徑為5，AP=203，求BP的 圖1 圖2

第27章圓綜合檢測答案全解全析1.B能夠重合的弧是等弧，故選項A說法錯誤；不在同一條直線上的三點確定一個圓，故選項C說法錯誤；平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，故選項D說法錯誤．2.D∵∠AOB=2∠C，∠C=55°，∴∠AOB=110°．3.C如圖，連結OA，∵PA為☉O的切線，∴∠OAP=90°，∵OB=3，∴AO=OB=3，∵∠P=30°，∴OP=2OA=6.4.C確定圓心與x軸的距離時易因弄錯數(shù)據(jù)致錯．∵圓心的坐標為（—3，4），∴圓心與x軸距離為4，等于其半徑4，∴以點（—3，4）為圓心，4為半徑的圓與x軸的位置關系為相切．5.B∵四邊形ABCD內接于☉O，∴∠C+∠DAB=180°，∵∠C=120°，∴∠DAB=60°，∵EF與☉O相切于點A，∴OA⊥EF，∴∠OAE=90°，∴∠DAE=∠OAE—∠DAB=30°．6.C∵AB=30cm，BD=20cm，∴AD=10cm，∵∠BAC=135°，∴扇面的面積=S扇形BAC—S扇形DAE=135π×3023607.A∵AB是☉O的一部分，D是AB的中點，AB=24cm，∴OD⊥AB，AC=BC=12AB=12c設☉O的半徑OA為Rcm，則OC=OD—CD=（R—8）cm．在Rt△OAC中，OA2=AC2+OC2，∴R2=122+（R—8）2，∴R=13，即☉O的半徑OA為13cm．8.B∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC=AC=3，∠A=∠B=∠C=60°，∴AB=BC=AC，∵AB的長=60π×3180=π，∴該“萊洛三角形”的周長是39.C本題將函數(shù)圖象與圓的性質融為一體考查，設計新穎．當P在OC上運動時，根據(jù)題意得sin∠APB=OAAP，∵OA=1，AP=x，y=sin∠APB，∴y=1x（1<x≤當P在CD上運動時，∠APB=12∠AOB=45°，此時y=22（2<x≤2），10.A如圖，連結OA，BE，∵PA、PB是☉O的切線，∴PA=PB，故①正確；∵PA=PB，OA=OB，∴OP所在直線是AB的垂直平分線，∴OP⊥AB，故②正確；∵OP所在直線是AB的垂直平分線，∴AE=BE，∴∠ACE=∠BCE，∴CE平分∠ACB，故③正確；∵BC是☉O的直徑，∴∠BAC=90°，∵∠BFO=90°，∴∠BAC=∠BFO，∴OF∥AC，∵OB=OC，AF=BF，∴OF=12AC，故④正確∵PB是☉O的切線，∴∠PBE+∠EBC=90°，∵BC是☉O的直徑，∴∠BEC=90°，∴∠EBC+∠ECB=90°，∴∠PBE=∠ECB，∵AE=BE，∴∠ECB=∠EBA，∴∠PBE=∠EBA，∵∠APE=∠BPE，∴E是△PAB的內心，故⑤正確；∵AC∥OE，∴△CDA∽△EDF，故⑥錯誤．故選A．11.3解析∵PA，PB分別與☉O相切于點A，B，∴PA=PB，∵∠P=60°，∴△PAB是等邊三角形，∴AB=PA=3.12.4解析如圖，連結BD，AC．∵AB=CD，∴AB+BC=BC+CD，∴AC=BD，∴BD=AC=4.13.120°解析如圖，在優(yōu)弧AC上任取一點D，連結AD、CD，∵四邊形ADCB是☉O的內接四邊形，∴∠ADC+∠ABC=180°，∠ADC=12∠AOC，∵∠AOC=∠ABC∴∠ADC=12∠ABC，∴12∠ABC+∠ABC=180°，14.6.5cm或2.5cm解析分兩種情況討論：（1）當點在圓內時，如圖1，∵點到圓上的點的最小距離PB=4cm，最大距離PA=9cm，∴直徑AB=4+9=13（cm），∴半徑為6.5cm；（2）當點在圓外時，如圖2，∵點到圓上的最小距離PB=4cm，最大距離PA=9cm，∴直徑AB=9—4=5（cm），∴半徑為2.5cm．綜上所述，圓O的半徑為6.5cm或2.5cm．15.80解析設圓錐的底面半徑為r尺，由米堆底部的弧長為8尺可得14×2πr=8，解得r=16π，∴2×12×16π×5=80π（平方尺16.2解析本題將菱形和正多邊形融合在一起，考查綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力．（解法1：局部求解）如圖，正八邊形的每個內角的度數(shù)為18×（8—2）×180°=135°，∴∠ABC=∠BAP=135°，∴∠BAD=∠PAE=45°，∴∠DAE=45在△ABD和△ADE中，∵AB=AD，∠BAD=∠DAE，AD=AE，∴△ABD≌△ADE，∴BD=DE，∴DF=12BD=12由對稱性易知四邊形DEMN為正方形，∴OD=2DG=2DF．設S△CDF=a，則S菱形ABCD=4a，S△OCD=2a，∴S陰影S空白（解法2：整體求解）過圖①中菱形的頂點B作BE⊥AD于E，設圖②中正八邊形的中心點為點O，一邊為MN，連結OM、ON，過M點作MP⊥ON于P，設正八邊形的邊長為a，則AB=AD=MN=a，由正八邊形的性質可得∠ABC=(8-2)×180°8=135°，∠MON=360°8∵AD∥BC，∴∠BAE=45°，∴BE=22AB=22a，∴S菱形ABCD=AD·BE=22a2，∴空白部分的面積為4×22a2=22a2，∵∠MON=45°，MP⊥ON，∴∠OMP=45°=∠MON，∴OP=PM，設OP=PM=x，則OM=ON=2x，∴PN=（2—1）x，∵PM2+PN2=MN2，∴x2+（2—1）2x2=a2，∴x2=2+2∴S△OMN=12ON·PM=22x2=2+14a2，∴正八邊形的面積為8×2+14a2=2（2+1）a2，∴陰影部分的面積為2（2+1）a2—2∴陰影部分面積與空白部分面積之比為2a17.證明∵∠CAB=∠CBA，∠CAB=12∠BOC，∠CBA12∠AOC，∴∠AOC=∠BOC，∴AC=BC，∵OA=OB，OC=OC，18.解析設圓錐底面圓的半徑為r，∵AC=3，∠ACB=120°，∴AB的長=120π×3180=2π，∴2πr=2π，∴r=1，即OA=1，∴OC=AC2-OA2=319.解析（1）∵☉O是等邊三角形ABC的外接圓，∴點O是等邊三角形ABC的外心，∴CE⊥AB，∠1=∠2=30°．∴∠ADC=∠BDC=90°，∵AC=BC，CD=CD，∴Rt△ACD≌Rt△BCD．故答案為∠1（答案不唯一）；△BCD．（2）證明：∵CE為☉O的直徑，∴∠CBE=90°，∴∠ADE=∠CBE，∵BE=BE，∴∠3=∠2，∴△AED∽△CEB．（3）四邊形OAEB為菱形．理由：如圖，∵∠CAE=90，∠1=30°，∴AE=12CE．同理BE=12CE，∴OA=OB=AE=BE，20.解析（1）證明：如圖，連結OC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵點C是BD的中點，∴∠OAC=∠CAE，∴∠CAE=∠OCA，∴OC∥AE，∵AE⊥CE，∴OC⊥CE，∵OC是半徑，∴CE是☉O的切線．（2）∵AB為☉O的直徑，∴∠ACB=90°，∵BC=6，AC=8，∴AB=BC2∵∠BAC=∠CAE，∠AEC=∠ACB=90°，∴△AEC∽△ACB，∴ECCB=ACAB，即EC6=810，∴EC=245，∵點C是BD的中點，即BC=CD，21.解析（1）證明：如圖，連結OP，設BO的延長線與☉O