寒假作業(yè)11 二次函數(shù)中的存在性與最值問題（6道經(jīng)典題型+7道中考真題）

完成時間：________月________日天氣：寒假作業(yè)11二次函數(shù)中的存在性及最值問題積累運用二次函數(shù)中與特殊幾何圖形有關的存在性問題和最值問題是近年來中考的熱點，這類問題的知識覆蓋面廣，綜合性強，題型構(gòu)思精巧，解題方法靈活，求解時常常要猜想或者假設問題的某種關系或結(jié)論存在，再經(jīng)過分析、歸納、演算、推理找出最后的答案。存在性問題常見的類型有：二次函數(shù)中與直角（等腰）三角形、相似（全等）三角形、平行四邊形及特殊的平行四邊形等。二次函數(shù)中最值問題常見類型有：將軍飲馬、胡不歸、阿氏圓、函數(shù)最值等。本課時就二次函數(shù)中的存在性問題和最值問題進行專項訓練，方便同學們熟練掌握。能力提升練1．如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝x＋2與x軸交于點A，與y軸交于點C．拋物線y＝ax2＋bx＋c的對稱軸是x＝－且經(jīng)過A、C兩點，與x軸的另一交點為點B．(1)求二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的表達式；(2)拋物線上是否存在點M，過點M作MN垂直x軸于點N，使得以點A，M，N為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．2.如圖，拋物線經(jīng)過點和，與x軸的另一個交點為B，它的對稱軸為直線．（1）求該拋物線的表達式；（2）若點P是y軸右側(cè)拋物線上的一個點，且與的面積相等，求點P的坐標；（3）點Q是該拋物線上的點，過點Q作的垂線，垂足為是上的點．要使以為頂點的三角形與全等，求滿足條件的點Q．3.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+2x+c（a≠0）與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，連接BC，OA=1，對稱軸為直線x=2，點D為此拋物線的頂點．(1)求拋物線的解析式；(2)拋物線上C，D兩點之間的距離是__________；(3)點P在拋物線對稱軸上，平面內(nèi)存在點Q，使以點B、C、P、Q為頂點的四邊形為矩形，請直接寫出點Q的坐標．4．如圖，拋物線經(jīng)過，兩點，點是軸左側(cè)且位于軸下方拋物線上一動點，設其橫坐標為．（1）直接寫出拋物線的解析式；（2）將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得線段（點是點的對應點），求點的坐標，并判斷點D是否在拋物線上；（3）過點作軸交直線于點，試探究是否存在點，使是等腰三角形？若存在，求出點的值；若不存在，說明理由．5．二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，與y軸交于點C，點P為第二象限內(nèi)拋物線上一點，連接、，交于點Q，過點P作軸于點D．（1）求二次函數(shù)的表達式；（2）請判斷：是否有最大值，如有請求出有最大值時點P的坐標，如沒有請說明理由．6．已知拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸交于A（﹣1，0），B（5，0）兩點，C為拋物線的頂點，拋物線的對稱軸交x軸于點D，連接BC，且tan∠CBD，如圖所示．（1）求拋物線的解析式；（2）設P是拋物線的對稱軸上的一個動點．①過點P作x軸的平行線交線段BC于點E，過點E作EF⊥PE交拋物線于點F，連接FB、FC，求△BCF的面積的最大值；②連接PB，求PC＋PB的最小值．中考真題練7．（2023年青海省西寧市中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，直線l與x軸交于點，與y軸交于點，拋物線經(jīng)過點A，B，且對稱軸是直線．(1)求直線l的解析式；(2)求拋物線的解析式；(3)點P是直線l下方拋物線上的一動點，過點P作軸，垂足為C，交直線l于點D，過點P作，垂足為M．求的最大值及此時P點的坐標．8．（2023年山東省淄博市中考真題）如圖，一條拋物線經(jīng)過的三個頂點，其中為坐標原點，點，點在第一象限內(nèi)，對稱軸是直線，且的面積為18.(1)求該拋物線對應的函數(shù)表達式；(2)求點的坐標；(3)設為線段的中點，為直線上的一個動點，連接，，將沿翻折，點的對應點為．問是否存在點，使得以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有符合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．9．（2023年湖北省黃石市中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于兩點，與y軸交于點．(1)求此拋物線的解析式；(2)已知拋物線上有一點，其中，若，求的值；(3)若點D，E分別是線段，上的動點，且，求的最小值．10．（2023年江蘇省常州市中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖像與x軸相交于點，其頂點是C．(1)_______；(2)D是第三象限拋物線上的一點，連接OD，；將原拋物線向左平移，使得平移后的拋物線經(jīng)過點D，過點作x軸的垂線l．已知在l的左側(cè)，平移前后的兩條拋物線都下降，求k的取值范圍；(3)將原拋物線平移，平移后的拋物線與原拋物線的對稱軸相交于點Q，且其頂點P落在原拋物線上，連接PC、QC、PQ．已知是直角三角形，求點P的坐標．

11．（2023年湖南省婁底市中考真題）如圖，拋物線過點、點，交y軸于點C．(1)求b，c的值．(2)點是拋物線上的動點①當取何值時，的面積最大？并求出面積的最大值；②過點P作軸，交于點E，再過點P作軸，交拋物線于點F，連接，問：是否存在點P，使為等腰直角三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．12．（2023年四川省雅安市中考真題）在平面直角坐標系中，已知拋物線過點，對稱軸是直線．(1)求此拋物線的函數(shù)表達式及頂點M的坐標；(2)若點B在拋物線上，過點B作x軸的平行線交拋物線于點C、當是等邊三角形時，求出此三角形的邊長；(3)已知點E在拋物線的對稱軸上，點D的坐標為，是否存在點F，使以點A，D，E，F(xiàn)為頂點的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由．13．（2023年湖南省湘潭市中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點，與軸交于點，其中，．(1)求這個二次函數(shù)的表達式；(2)在二次函數(shù)圖象上是否存在點，使得？若存在，請求出點坐標；若不存在，請說明理由；(3)點是對稱軸上一點，且點的縱坐標為，當是銳角三角形時，求的取值范圍．

寒假作業(yè)11二次函數(shù)中的存在性及最值問題參考答案能力提升練1．如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝x＋2與x軸交于點A，與y軸交于點C．拋物線y＝ax2＋bx＋c的對稱軸是x＝－且經(jīng)過A、C兩點，與x軸的另一交點為點B．(1)求二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的表達式；(2)拋物線上是否存在點M，過點M作MN垂直x軸于點N，使得以點A，M，N為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．【解析】(1)中，當x=0時，y=2，當y=0時，x=-4，∴C（0，2），A（-4，0），由拋物線的對稱性可知：點A與點B關于對稱，∴點B的坐標為（1，0）．∵拋物線y=ax2+bx+c過A（-4，0），B（1，0），可設拋物線表達式為y=a（x+4）（x-1），又∵拋物線過點C（0，2），∴2=-4a，∴，∴拋物線表達式為：；(2)∵A（-4，0），B（1，0），C（0，2），,∴AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°，AC=2BC，點A，M，N為頂點的三角形與△ABC相似存在以下3種情況：①如圖2，當M點與C點重合，即M（0，2）時，△MAN∽△BAC；②如圖3，根據(jù)拋物線的對稱性，當M（-3，2）時，△MAN∽△ABC；③如圖4，當M在第四象限時，設，則N（n，0），,當時，△MAN∽△BAC，AN=2MN，即，整理得：n2+2n-8=0，解得：n1=-4（舍），n2=2，∴M（2，-3）；當時，△MAN∽△ABC，MN=2AN，即

，整理得：n2-n-20=0，解得：n1=-4（舍），n2=5，∴M（5，-18）．綜上所述：存在M（0，2）或（-3，2）或（2，-3）或（5，-18），使得以點A、M、N為頂點的三角形與△ABC相似．2.如圖，拋物線經(jīng)過點和，與x軸的另一個交點為B，它的對稱軸為直線．（1）求該拋物線的表達式；（2）若點P是y軸右側(cè)拋物線上的一個點，且與的面積相等，求點P的坐標；（3）點Q是該拋物線上的點，過點Q作的垂線，垂足為是上的點．要使以為頂點的三角形與全等，求滿足條件的點Q．【解析】（1）把、代入，得，解得.∴拋物線的表達式為.（2）令=0，解得x1=-1，x2=3，∴B，設P（x，y）（x＞0）.∵與的面積相等，∴，即，解得x=4，∴P（4，5）.（3）∵B（3，0），C（0，-3），∠BOC=90°，∴OB=OC=3，△BOC是等腰直角三角形，如圖，過Q1作Q1D⊥l于D點，與拋物線的另一個交點為Q2，∴∠Q1DE1=∠Q1DE2=∠BOC=90°.當Q1D=DE1=DE2=3時，△Q1DE1≌△Q1DE2≌△BOC，∵=，∴函數(shù)對稱軸為x=1，∴Q1的橫坐標為1-3=-2，∴Q1（-2，5）.同理，根據(jù)對稱性可得Q2（4，5）符合題意，∴滿足條件的點Q為（-2，5）或（4，5）．3.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+2x+c（a≠0）與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，連接BC，OA=1，對稱軸為直線x=2，點D為此拋物線的頂點．(1)求拋物線的解析式；(2)拋物線上C，D兩點之間的距離是__________；(3)點P在拋物線對稱軸上，平面內(nèi)存在點Q，使以點B、C、P、Q為頂點的四邊形為矩形，請直接寫出點Q的坐標．【解析】（1）解：∵OA=1，∴A（-1，0），又∵對稱軸為直線x=2，∴B（5，0），將A，B代入解析式得：，解得，∴；（2）解：在（1）所得解析式中，令x=0，得，∴C（0，），∵，∴D（2，），∴CD=，故答案為2；（3）設P（2，y），Q（m，n），由（1）知B（5，0），C（0，），若BC為矩形的對角線，由中點坐標公式得：，解得：，又∵∠BPC=90°，∴PC2+PB2=BC2，即：22+(?y)2+32+y2＝52+()2，解得y=4或y=-，∴n=?或n=4，∴Q（3，?）或Q（3，4），若BP為矩形的對角線，由中點坐標公式得，解得，又∵∠BCP=90°，BC2+CP2=BP2，即：52+()2+22+(?y)2＝32+y2，解得y=，∴n=4∴Q（7，4），若BQ為矩形的對角線，由中點坐標公式得，解得：，又∵∠BCQ=90°，∴BC2+CQ2=BQ2，即：52+()2+m2+(?n)2＝(5?m)2+n2，解得n=?，∴Q（-3，-），綜上，點Q的坐標為（3，?）或（3，4）或（7，4）或（-3，-）．4．如圖，拋物線經(jīng)過，兩點，點是軸左側(cè)且位于軸下方拋物線上一動點，設其橫坐標為．（1）直接寫出拋物線的解析式；（2）將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得線段（點是點的對應點），求點的坐標，并判斷點D是否在拋物線上；（3）過點作軸交直線于點，試探究是否存在點，使是等腰三角形？若存在，求出點的值；若不存在，說明理由．【解析】（1）將，兩點的坐標代入，得，解得，∴拋物線的解析式為：.作軸于點軸于點，如圖，則易證.將x=-3代入得，∵點不在拋物線上．過點作軸交于點，設直線解析式為，則，解得，直線解析式為．依題意.當時，則,解得（舍去），；當時，則，解得（舍去），；當時，軸，點的縱坐標為，解得（舍去），．綜上所述，存在點，使是等腰三角形，的值為或或．5．二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，與y軸交于點C，點P為第二象限內(nèi)拋物線上一點，連接、，交于點Q，過點P作軸于點D．（1）求二次函數(shù)的表達式；（2）請判斷：是否有最大值，如有請求出有最大值時點P的坐標，如沒有請說明理由．【解析】（1）由題意可得，解得，∴二次函數(shù)的表達式為.（2）設與交于點N．過B作y軸的平行線與相交于點M．由A、C兩點坐標分別為，可得所在直線表達式為,∴M點坐標為，,由，可得，設，則，，∴當時，有最大值0.8，此時P點坐標為．6．已知拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸交于A（﹣1，0），B（5，0）兩點，C為拋物線的頂點，拋物線的對稱軸交x軸于點D，連接BC，且tan∠CBD，如圖所示．（1）求拋物線的解析式；（2）設P是拋物線的對稱軸上的一個動點．①過點P作x軸的平行線交線段BC于點E，過點E作EF⊥PE交拋物線于點F，連接FB、FC，求△BCF的面積的最大值；②連接PB，求PC＋PB的最小值．【解析】（1）根據(jù)題意，可設拋物線的解析式為：y＝a（x+1）（x﹣5），∵拋物線的對稱軸為直線x＝2，∴D（2，0），又∵，∴CD＝BD?tan∠CBD＝4，即C（2，4），代入拋物線的解析式，得4＝a（2+1）（2﹣5），解得，∴二次函數(shù)的解析式為x2；（2）①設P（2，t），其中0＜t＜4，設直線BC的解析式為y＝kx+b，∴解得即直線BC的解析式為，令y＝t，得：，∴點E（5t，t），把代入，得，即，∴，∴△BCF的面積EF×BD（t），∴當t＝2時，△BCF的面積最大，且最大值為；②如圖，據(jù)圖形的對稱性可知∠ACD＝∠BCD，AC＝BC＝5，∴，過點P作PG⊥AC于G，則在Rt△PCG中，，∴，過點B作BH⊥AC于點H，則PG+PB≥BH，∴線段BH的長就是的最小值，∵，又∵，∴，即，∴的最小值為．中考真題練7．（2023年青海省西寧市中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，直線l與x軸交于點，與y軸交于點，拋物線經(jīng)過點A，B，且對稱軸是直線．(1)求直線l的解析式；(2)求拋物線的解析式；(3)點P是直線l下方拋物線上的一動點，過點P作軸，垂足為C，交直線l于點D，過點P作，垂足為M．求的最大值及此時P點的坐標．【解析】（1）設直線l的解析式為，把A，B兩點的坐標代入解析式，得，解得：，∴直線l的解析式為.（2）設拋物線的解析式為，∵拋物線的對稱軸為直線，∴．把A，B兩點坐標代入解析式，得，解得：，∴拋物線的解析式為.（3）∵

，

∴．∵在中，∴．∵軸，，∴．在中，，，∴，∴．在中，，，∴，∴．設點P的坐標為，則，∴．∵，∴當時，有最大值是，此時最大，∴，當時，，

∴，∴的最大值是，此時的P點坐標是．8．（2023年山東省淄博市中考真題）如圖，一條拋物線經(jīng)過的三個頂點，其中為坐標原點，點，點在第一象限內(nèi)，對稱軸是直線，且的面積為18.(1)求該拋物線對應的函數(shù)表達式；(2)求點的坐標；(3)設為線段的中點，為直線上的一個動點，連接，，將沿翻折，點的對應點為．問是否存在點，使得以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有符合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．【解析】（1）∵對稱軸為直線，∴①，將點代入得，∴②，聯(lián)立①②得，，∴解析式為.（2）設，如圖所示，過點作軸交于點，過點作交于點，

∴，，則，∴，解得：或（舍去），所以點B的坐標為B（6，6）.（3）存在點，使得以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，理由如下：∵，∴，設直線的解析式為，∴，解得：，∴直線的解析式為，設，如圖所示，當BP為平行四邊形的對角線時，，，∵，∴，由對稱性可知，，∴，∴，解得：，∴點的坐標為或；如圖3，當為平行四邊形的對角線時，，，

由對稱性可知，，∴，∴，解得：或，∴點的坐標為或綜上所述，點的坐標為或或或．9．（2023年湖北省黃石市中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于兩點，與y軸交于點．(1)求此拋物線的解析式；(2)已知拋物線上有一點，其中，若，求的值；(3)若點D，E分別是線段，上的動點，且，求的最小值．【解析】（1）設拋物線的表達式為：，即，則，故拋物線的表達式為：①；（2）在中，，，則，故設直線的表達式為：②，聯(lián)立①②得：，解得：（不合題意的值已舍去）；（3）作，設，，且相似比為，則，故當、、共線時，為最小，在中，設邊上的高為，則，即，解得：，則，則，過點作軸于點，則，即點的縱坐標為：，同理可得，點的橫坐標為：，即點，由點、的坐標得，，即的最小值為．10．（2023年江蘇省常州市中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖像與x軸相交于點，其頂點是C．(1)_______；(2)D是第三象限拋物線上的一點，連接OD，；將原拋物線向左平移，使得平移后的拋物線經(jīng)過點D，過點作x軸的垂線l．已知在l的左側(cè)，平移前后的兩條拋物線都下降，求k的取值范圍；(3)將原拋物線平移，平移后的拋物線與原拋物線的對稱軸相交于點Q，且其頂點P落在原拋物線上，連接PC、QC、PQ．已知是直角三角形，求點P的坐標．

【解析】（1）把代入得，，解得，故答案為；（2）解：過點D作DM⊥OA于點M，∵，∴二次函數(shù)的解析式為設，∵D是第三象限拋物線上的一點，，∴，解得m=或m=8（舍去），當m=時，，∴，∵，∴設將原拋物線向左平移后的拋物線為，把代入得，解得a=3或a=（舍去），∴平移后得拋物線為.∵過點作x軸的垂線l,在l的左側(cè)，平移前后的兩條拋物線都下降，在的對稱軸x=的左側(cè)，y隨x的增大而減小，此時原拋物線也是y隨x的增大而減小，∴；（3）由，設平移后的拋物線為，則頂點為，∵頂點為在上，∴，∴平移后的拋物線為，頂點為，∵原拋物線，∴原拋物線的頂點，對稱軸為x=1，∵平移后的拋物線與原拋物線的對稱軸相交于點Q，∴，∵點Q、C在直線x=1上，平移后的拋物線頂點P在原拋物線頂點C的上方，兩拋物線的交點Q在頂點P的上方，∴∠PCQ與∠CQP都是銳角，∵是直角三角形，∴∠CPQ=90°，∴，∴化簡得，∴p=1（舍去），或p=3或p=，當p=3時，，當p=時，，∴點P坐標為或．11．（2023年湖南省婁底市中考真題）如圖，拋物線過點、點，交y軸于點C．(1)求b，c的值．(2)點是拋物線上的動點①當取何值時，的面積最大？并求出面積的最大值；②過點P作軸，交于點E，再過點P作軸，交拋物線于點F，連接，問：是否存在點P，使為等腰直角三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【解析】（1）將、代入拋物線中，可得：，解得：，即：，；（2）①由（1）可知：，當時，，即，設的解析式為：，將，代入中，可得，解得：，∴的解析式為：，過點P作軸，交于點E，交軸于點，

∵，則，∴點E的橫坐標也為，則縱坐標為，∴，的面積，∵，∴當時，的面積有最大值，最大值為；②存在，當點的坐標為或時，為等腰直角三角形．理由如下：由①可知，由題意可知拋物線的對稱軸為直線，∵軸，∴，，則，當點在對稱軸左側(cè)時，即時，，當時，為等腰直角三角形，即：，整理得：，解得：（，不符合題意，舍去）此時，即點；當點在對稱軸右側(cè)時，即時，，當時，為等腰直角三角形，即：，整理得：，解得：（，不符合題意，舍去）此時：，即點；綜上所述，當點的坐標為或時，為等腰直角三角形．12．（2023年四川省雅安市中考真題）在平面直角坐標系中，已知拋物線過點，對稱軸是直線．(1)求此拋物線的函數(shù)表達式及頂點M的坐標；(2)若點B在拋物線上，過點B作x軸的平行線交拋物線于點C、當是等邊三角形時，求出此三角形的邊長；(3)已知點E在拋物線的對稱軸上，點D的坐標為，是否存在點F，使以點A，D，E，F(xiàn)為頂點的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由．【解析】（1）由題意可得：，解得，所以拋物線的函數(shù)表達式為；當時，，則頂點M的坐標為．（2）如圖：過點M作