河北省張家口市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題 含解析

2024－2025學(xué)年第一學(xué)期11月高二期中考試數(shù)學(xué)考試說(shuō)明：1．本試卷共150分.考試時(shí)間120分鐘.2．請(qǐng)將各題答案填在答題卡上.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有—項(xiàng)是符合題目要求的.1.三點(diǎn)，，在同一條直線上，則值為（）A.2 B.4 C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)兩點(diǎn)斜率表達(dá)式得到方程，解出即可.詳解】顯然，則，即，解得.故選：D.2.若點(diǎn)在圓的外部，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圓的一般式結(jié)合點(diǎn)與圓的位置關(guān)系計(jì)算即可.【詳解】根據(jù)題意有，即，解之得.故選：C3.如圖，直線，，，的斜率分別為，，，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由圖可知直線的傾斜角為鈍角，斜率為負(fù)，直線的傾斜角為銳角，斜率為正，以及根據(jù)傾斜角的大小判斷斜率的大小可得答案.【詳解】直線的傾斜角為鈍角，斜率為負(fù)，且直線的傾斜角大于直線的傾斜角，直線的傾斜角為銳角，斜率為正，直線的傾斜角大于直線的傾斜角，所以．故選：D.4.已知?jiǎng)訄A過(guò)點(diǎn)，并且在圓內(nèi)部與其相切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)動(dòng)圓圓心為，半徑為，根據(jù)兩圓位置關(guān)系得到，再利用橢圓的定義，即可求解.【詳解】設(shè)動(dòng)圓圓心為，半徑為因?yàn)閳A的圓心為，半徑為，由題有，又動(dòng)圓過(guò)點(diǎn)，得，即，則到兩定點(diǎn)的距離之和為，由橢圓的定義可知，點(diǎn)在以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓上，因?yàn)?，得到，所以?dòng)圓圓心的軌跡方程為，故選：C.5.已知圓，圓，若圓平分圓的周長(zhǎng)，則（）A.2 B.－2 C.1 D.－1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)兩圓的方程作差求出公共弦所在直線方程，再由題中條件，得到公共弦所在直線過(guò)點(diǎn)，由此列出方程求解，即可得出結(jié)果.【詳解】由與兩式作差，可得兩圓的相交弦所在的直線為，又圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，記圓心為；因?yàn)閳A平分圓的圓周，所以公共弦所在直線過(guò)點(diǎn)，因此，所以.故選：.6.如圖，四棱錐的底面為矩形，且，平面，且為的中點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先利用基底表示向量，然后再根據(jù)空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則進(jìn)行求解即可【詳解】已知點(diǎn)為中點(diǎn)，則，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又四邊形為矩形，所以；因?故選：D7.已知點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A.5 B.6 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)兩點(diǎn)之間距離最小，結(jié)合點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱性即可利用兩點(diǎn)間距離公式求解.【詳解】表示點(diǎn)到點(diǎn)和點(diǎn)的距離之和，令點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，即，因此，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為線段與直線的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故選：C8.阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他對(duì)圓錐曲線有深刻且系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書中，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)與兩定點(diǎn)，的距離之比為，那么點(diǎn)的軌跡就是阿波羅尼斯圓.如動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)的距離之比為時(shí)，則直線被動(dòng)點(diǎn)所形成的軌跡截得的弦長(zhǎng)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)，利用兩點(diǎn)間距離公式代入化簡(jiǎn)得到點(diǎn)的軌跡，再聯(lián)立軌跡與直線得弦長(zhǎng).【詳解】設(shè)，，則，整理得，與直線聯(lián)立得，所以所求弦長(zhǎng)為.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.關(guān)于空間向量，以下說(shuō)法正確的是（）A.若兩個(gè)不同平面，的法向量分別是，且，，則B.若直線的方向向量為，平面的法向量為，則直線C.若對(duì)空間中任意一點(diǎn)，有，則，，，四點(diǎn)共面D.兩個(gè)非零向量與任何一個(gè)向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則這兩個(gè)向量共線【答案】ACD【解析】【分析】由面面垂直的向量表示可判斷A；由線面平行的向量表示可判斷B；根據(jù)向量共線定理，可判斷C；由空間向量基底的表示可判斷D.【詳解】對(duì)于A，，所以，則，A正確；對(duì)于B，，所以，則直線或者，B錯(cuò)誤;對(duì)于C，對(duì)空間中任意一點(diǎn)O，有，即，則滿足，則P，A，B，C四點(diǎn)共面，可知C正確；對(duì)于D，兩個(gè)非零向量與任何一個(gè)向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則這兩個(gè)向量共線，所以D正確.故選：ACD.10.直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對(duì)值相等，則直線的方程可能是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)條件，分截距為和不為兩種情況討論，再利用點(diǎn)斜式和截距式，即可求解.【詳解】當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距均為時(shí)，直線方程為，即，當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距不為時(shí)，設(shè)直線方程為，由題有或，由，得到，此時(shí)直線方程為，即，由，得到，此時(shí)直線方程為，即，故選：ACD.11.下列結(jié)論正確的是（）A.已知，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)是圓外一點(diǎn)，直線的方程是，則與圓相交B.直線與圓恒相交C.若直線平分圓的周長(zhǎng)，則D.若圓上恰有兩點(diǎn)到點(diǎn)的距離為1，則的取值范圍是【答案】ABC【解析】【分析】利用點(diǎn)到直線距離公式計(jì)算判斷A；求出直線所過(guò)定點(diǎn)判斷B；求出圓心坐標(biāo)計(jì)算判斷C；利用相交兩圓求出范圍判斷D.【詳解】對(duì)于A，由點(diǎn)在圓外，得，圓心到直線m的距離，m與圓相交，A正確；對(duì)于B，直線恒過(guò)定點(diǎn)，而，即點(diǎn)在圓內(nèi)，因此直線與圓恒相交，B正確；對(duì)于C，圓的圓心為，依題意，點(diǎn)在直線上，則，解得，C正確；對(duì)于D，依題意，以為圓心，1為半徑的圓與圓相交，而圓的圓心為，半徑為，則，又，，解得，D錯(cuò)誤.故選：ABC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.平面內(nèi)，已知兩點(diǎn)，及動(dòng)點(diǎn)，若直線，的斜率之積是，則點(diǎn)的軌跡方程為______．【答案】【解析】【分析】設(shè)動(dòng)點(diǎn)，斜率用坐標(biāo)表示，由斜率之積為可得出之間的關(guān)系式，進(jìn)而得的軌跡方程.【詳解】設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，又，，所以的斜率，的斜率，由題意可得，化簡(jiǎn)，得點(diǎn)的軌跡方程為.故答案為：13.已知圓與圓，則圓和圓的一條公切線的方程為_______.【答案】；；（三個(gè)任意一個(gè)都算正確）【解析】【分析】先判斷兩個(gè)圓的位置關(guān)系，再判斷公切線的條數(shù)，然后求公切線即可.詳解】由題可知：所以兩個(gè)圓的半徑和為所以兩個(gè)圓外切，所以有三條公切線,設(shè)公切線為由圓心到切線的距離等于半徑得解得或或所以切線方程為，或故答案為：；；14.在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)滿足，點(diǎn)滿足，其中，當(dāng)________時(shí)，．【答案】1【解析】【分析】將點(diǎn)P和點(diǎn)Q滿足的向量式轉(zhuǎn)化，分析得出P,Q的位置，然后利用線面垂直的判定以及性質(zhì)即可求得答案.【詳解】，又，所以點(diǎn)P在射線上；，又，所以點(diǎn)Q在射線上；因?yàn)楫?dāng)變化時(shí)，平面，故只需考慮過(guò)且與平面垂直的線，因?yàn)檎襟w有平面，而平面，所以又，平面，所以平面，平面，所以，所以當(dāng)點(diǎn)Q在上時(shí)，即時(shí)，故答案為：1.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知的頂點(diǎn)，若邊上的中線所在直線方程為，邊上的高線所在直線方程為．（1）求頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求直線的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)，則，根據(jù)已知列出方程組，求解即可得出答案；（2）根據(jù)已知求出直線的方程，進(jìn)而聯(lián)立方程得出的坐標(biāo)，代入兩點(diǎn)式方程化簡(jiǎn)即可得出答案.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，則，由已知可得，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.【小問(wèn)2詳解】由已知可設(shè)直線的方程為，又點(diǎn)A在直線上，所以有，解得，所以，直線的方程為.聯(lián)立直線與方程可得，點(diǎn)坐標(biāo)為2,3.將坐標(biāo)代入兩點(diǎn)式方程有，整理可得，.16.已知，，在圓上．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線，且與圓交于點(diǎn)、，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，求直線的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）先設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，根據(jù)條件建立方程組，求出，即可求解；（2）根據(jù)條件設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線與圓的方程得，由韋達(dá)定理得，進(jìn)而可求得，結(jié)合條件，即可求解.【小問(wèn)1詳解】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)?，，在圓上，所以①，②，③，由①②③解得，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，又直線，不妨設(shè)為，由，消得，則，即，設(shè)，則，所以，又，則，又，所以，得到，即，解得或（均滿足），所以直線的方程為或.17.已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上一點(diǎn)．（1）當(dāng)為橢圓的上頂點(diǎn)時(shí)，求的大??；（2）直線與橢圓交于，，若，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件得，從而可得，即可求解；（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，消得，再利用弦長(zhǎng)公式，即可求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)闄E圓方程為，則，，所以，又，則，所以.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，由，消得，則，由韋達(dá)定理知，由求根公式可得，則，化簡(jiǎn)得到，解得.18.如圖所示，四棱錐的底面是矩形，底面，，.（1）在上找一點(diǎn)，使得平面；（2）在（1）的條件下，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）為的三等分點(diǎn)，且（2）【解析】【分析】（1）當(dāng)為的三等分點(diǎn)，且，在上取點(diǎn)，且，利用幾何關(guān)系可得，，從而可得面面，再利用面面平行的性質(zhì)即可說(shuō)明結(jié)果成立；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面與平面的法向量，再利用面面角的向量法，即可求角.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)為的三等分點(diǎn)，且時(shí)，平面，理由如下，在上取點(diǎn)，使，連接，因?yàn)椋?，又平面，平面，所以平面，又因?yàn)?，即，所以，又平面，平面，所以平面，又面，所以面面，又面，所以平?【小問(wèn)2詳解】因?yàn)榈酌?，底面是矩形，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，又，則，所以，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，所以，易知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.19.已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，短軸長(zhǎng)為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知點(diǎn)，分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，為橢圓上異于，的動(dòng)點(diǎn)，，直線與曲線的另一個(gè)公共點(diǎn)為，直線與交于點(diǎn)，求證：當(dāng)點(diǎn)變化時(shí)，點(diǎn)恒在一條定直線上．【答案】（1）；