數(shù)學(xué)學(xué)案：互動課堂第二講一曲線的參數(shù)方程

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精互動課堂重難突破本課的重點(diǎn)是曲線的參數(shù)方程的概念、圓的參數(shù)方程、參數(shù)方程與普通方程的互化；難點(diǎn)是對參數(shù)方程的理解以及參數(shù)方程與普通方程互化的等價性.一、參數(shù)方程的概念1。曲線的參數(shù)方程的實際意義及其必要性。在日常生活和工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中，很多時候都會涉及到曲線的參數(shù)方程,比如物理學(xué)中的水平拋出的物體的運(yùn)動規(guī)律，要知道所拋出的物體在下落的過程中各時刻所處的位置，顯然與拋出的時間有著密切的關(guān)系;再比如發(fā)射出去的炮彈,我們常常想知道所發(fā)出去的炮彈所在的位置，同樣與發(fā)射出去的時間有著緊密的聯(lián)系，顯然像以上兩種情形自然會去考慮以時間作為參數(shù)建立相應(yīng)的方程,以便準(zhǔn)確地把握所想掌握的信息.此時用參數(shù)方程來描述運(yùn)動規(guī)律,常常比用普通方程更為直接簡便。有些重要但較復(fù)雜的曲線，建立它們的普通方程比較困難，甚至不可能，列出的方程既復(fù)雜又不易理解。由此可見,曲線的參數(shù)方程是從實際生活中抽象出來的，并非人們的想當(dāng)然,是現(xiàn)實生活的某個方面的反映,但又不是簡單的生活再現(xiàn),人們通過對曲線參數(shù)方程的研究,從而更好地利用它來為人類造福,指導(dǎo)工農(nóng)業(yè)生產(chǎn).2.一般地,在平面直角坐標(biāo)系中,如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y）都是某個變數(shù)t的函數(shù)（※）,并且對于t的每一個允許值,由方程組(※）所確定的點(diǎn)M（x,y）都在這條曲線上，那么方程(※)就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)x,y的變數(shù)t叫做參變數(shù),簡稱參數(shù).相對于參數(shù)方程而言,直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程。參數(shù)是聯(lián)系變數(shù)x、y的橋梁,可以是一個有物理意義或幾何意義的變數(shù),也可以是沒有明顯意義的變數(shù).3。曲線的參數(shù)方程的特點(diǎn)曲線的普通方程直接地反映了一條曲線上的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)之間的聯(lián)系，而參數(shù)方程是通過參數(shù)反映坐標(biāo)變量x、y間的間接聯(lián)系.曲線的參數(shù)方程常常是方程組的形式，任意給定一個參數(shù)的允許的取值就可得到曲線上的一個對應(yīng)點(diǎn)，反過來對于曲線上任一個點(diǎn)也必然對應(yīng)著其中的參數(shù)的相應(yīng)的允許取值.在具體問題中，如果要求相應(yīng)曲線的參數(shù)方程,首先就要注意參數(shù)的選取.一般來說，選擇參數(shù)時應(yīng)注意考慮以下兩點(diǎn)：一是曲線上每一點(diǎn)的坐標(biāo)（x，y）都能由參數(shù)取某一值唯一地確定出來；二是參數(shù)與x、y的相互關(guān)系比較明顯,容易列出方程.參數(shù)的選取應(yīng)根據(jù)具體條件來考慮.例如可以是時間,也可以是線段的長度、方位角、旋轉(zhuǎn)角、動直線的斜率、傾斜角、截距等.有時為了便于列出方程，也可以選兩個以上的參數(shù),再設(shè)法消去其中的參數(shù)得到普通方程.二、圓的參數(shù)方程1.(θ為參數(shù)），這是圓心在原點(diǎn)O,半徑為r的圓的參數(shù)方程.其中參數(shù)θ的幾何意義是OM0繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)到OM的位置時，OM0轉(zhuǎn)過的角度，如圖。由于選取的參數(shù)不同,圓有不同的參數(shù)方程.再例如，上圖中圓的參數(shù)方程還可為x=rcosωt，y=rsinωt(t為參數(shù)）.其中參數(shù)t有明確的物理意義(質(zhì)點(diǎn)作勻速圓周運(yùn)動的時刻)。2。一般地，同一條曲線,可以選取不同的變數(shù)為參數(shù),因此得到的參數(shù)方程也可以有不同的形式。形式不同的參數(shù)方程,它們表示的曲線卻可以是相同的.注意：在建立曲線的參數(shù)方程時,要注明參數(shù)及參數(shù)的取值范圍。3.其實對于圓的參數(shù)方程的形式完全可以和同一個角的三角函數(shù)之間的關(guān)系sin2θ+cos2θ=1來類比考慮，進(jìn)行換元即可得到相應(yīng)圓的參數(shù)方程。即圓(x-a)2+（y—b）2=r2(r>0)，可以先將該方程化為（)2+（）2=1，然后令于是就得到該圓的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)）.由此可見，對于圓的參數(shù)方程來說，有多種不同的表現(xiàn)形式，有些參數(shù)方程有時也許一下子看不出是否表示圓,這時可考慮通過消去參數(shù)轉(zhuǎn)化為普通方程，從而達(dá)到目的(對于其他曲線必要時也可類似考慮)。三、參數(shù)方程與普通方程的互化1.曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式。一般地，可以通過消去參數(shù)而從參數(shù)方程得到普通方程。如果知道變數(shù)x、y中的一個與參數(shù)t的關(guān)系，例如x=f(t),把它代入普通方程,求出另一個變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系y=g(t），那么就是曲線的參數(shù)方程.2。在數(shù)學(xué)中有時需要把曲線的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，而有時又需要將普通方程轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程。這都是基于對曲線的更好的研究，有時要直接建立曲線的普通方程很困難；有時要直接建立曲線的參數(shù)方程又不容易,故在數(shù)學(xué)中常常把問題進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化從而把問題更好地解決。在將二者互化的過程中，要注意互化前后二者的等價性，注意其中的曲線上的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的取值范圍是否因為轉(zhuǎn)化而發(fā)生改變，也就是對應(yīng)曲線上的點(diǎn)不應(yīng)增加也不應(yīng)減少；否則它們所表示的曲線就不是同一曲線,從而走上歧途，不能真正解決問題(注意：不是所有的參數(shù)方程都可以轉(zhuǎn)化為普通方程）。曲線的參數(shù)方程與相應(yīng)的普通方程是同一曲線方程的兩種不同表現(xiàn)形式。在具體問題中采用哪種方程形式能更好地研究相應(yīng)的曲線的性質(zhì),就靈活地選用相應(yīng)曲線的對應(yīng)方程形式。3.值得注意的是，在曲線的參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使x、y的取值范圍保持一致，例如（1）（t為參數(shù)),通過消參數(shù)得到方程y2=-（x-1)，而事實上由x=cos2t可知0≤x≤1，而由y2=-（x-1）可知其中x≤1，顯然兩個范圍不同，顯然兩個方程所表示的曲線不是同一條曲線，可以說y2=-（x-1)不是的普通方程.故在消去參數(shù)的過程中一定要注意普通方程與參數(shù)方程的等價性,即它們二者要表示同一曲線.4。通過消去參數(shù)可以從參數(shù)方程得到普通方程，消去參數(shù)的方法主要有代入消參法、加減(或乘除）消參法、平方消參法等;還有常用到三角公式，如sin2θ+cos2θ=1等。例如，參數(shù)方程（φ為參數(shù))表示的圖形是什么?分析：由方程知，x2=9cos2φ+24sinφcosφ+16sin2φ，y2=16cos2φ—24sinφcosφ+9sin2φ.∴x2+y2=25.可知圖形是圓?；顚W(xué)巧用【例1】已知某條曲線C的參數(shù)方程為（其中t是參數(shù),a∈R)，點(diǎn)M（5,4)在該曲線上.（1)求常數(shù)a；(2)求曲線C的普通方程.解析：本題主要應(yīng)根據(jù)曲線與方程之間的關(guān)系,可知點(diǎn)M（5,4)在該曲線上，則點(diǎn)M的坐標(biāo)應(yīng)適合曲線C的方程，從而可求得其中的待定系數(shù)，進(jìn)而消去參數(shù)得到其普通方程.解:(1）由題意可知，有故∴a=1。（2)由已知及（1)可得,曲線C的方程為由第一個方程得t=,代入第二個方程，得y=()2,即（x—1)2=4y為所求?！纠?】已知圓x2+y2=1，點(diǎn)A(1，0）,△ABC內(nèi)接于該圓,且∠BAC=60°，當(dāng)B、C在圓上運(yùn)動時，求BC的中點(diǎn)的軌跡方程.解析:本題是比較典型的使用曲線的參數(shù)方程來解決相關(guān)問題的題目，涉及到多個點(diǎn)的坐標(biāo)，怎樣比較巧妙地把相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)給表示出來,從而找到所要求的問題的解.顯然借助于圓的參數(shù)方程就容易將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)給表示出來，進(jìn)而把其中的點(diǎn)的坐標(biāo)給表示出來;然后通過消去參數(shù)從而達(dá)到目的，之后還要注意其中的參數(shù)的取值范圍。解：如圖（1）所示，M為BC的中點(diǎn)，由∠BAC=60°,得∠BOC=2×60°=120°，(弦所對的圓心角等于它所對的圓周角的2倍）在△BOC中，OB=OC=1OM=.所以點(diǎn)M的軌跡方程為x2+y2=.（1)（2)又因為x≥時,如圖（2），雖然∠BOC=120°,但∠BAC=（360°-120°)=120°≠60°,所以點(diǎn)M的軌跡方程為x2+y2=(x〈）,如圖(2）。點(diǎn)評:本題主要容易忽視隱含的范圍x<，忽視了這個范圍則本題的解答就不嚴(yán)謹(jǐn)，并且很多資料上的答案也都沒有這個范圍，像這樣的求軌跡的問題一定要注意這一點(diǎn).【例3】M在圓x2+(y-r)2=r2上,O為原點(diǎn),以∠MOx=φ為參數(shù)，則圓的參數(shù)方程為_________。解析:如圖,|OM｜=2rsinφ，∴(φ為參數(shù)）.答案:（φ為參數(shù)）【例4】已知實數(shù)x、y滿足（x-1）2+（y—2)2=25,求x2+y2的最大值與最小值。解析:這樣的題目可考慮數(shù)形結(jié)合，把滿足(x—1）2+（y—2)2=25的x、y視為圓（x—1）2+（y-2）2=25上的動點(diǎn)，待求的x2+y2可視為該圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)之間的距離的平方，結(jié)合圖形易知結(jié)果或考慮利用圓的參數(shù)方程來求解.解:實數(shù)x、y滿足（x-1）2+（y-2)2=25,可視為（x,y)是圓(x—1)2+(y—2)2=25上的點(diǎn),于是可利用圓的參數(shù)方程來求解。設(shè)代入x2+y2=（1+5cosθ)2+（2+5sinθ）2=30+（10cosθ+20sinθ)=30+10cos（θ+α),從而可知所求代數(shù)式的最大值與最小值分別為30+10，30—10。點(diǎn)評：（1）像這樣的問題，題目本身是以代數(shù)題的形式出現(xiàn)，而實際上在考慮相關(guān)問題時常常應(yīng)該和圖形聯(lián)系起來，這樣對于問題的解決常能事半功倍。（2)求最值問題，根據(jù)參數(shù)方程,利用三角變換知識求解是一常用的技巧.【例5】圓M的方程為x2+y2—4Rxcosα—4Rysinα+3R2=0(R〉0）.(1）求該圓圓心M的坐標(biāo)以及圓M的半徑；（2)當(dāng)R固定，α變化時，求圓心M的軌跡,并證明此時不論α取什么值，所有的圓M都外切于一個定圓。解析:本題中所給的圓方程中的變數(shù)有多個,此時要結(jié)合題意分清究竟是哪個真正在變,而像這樣的具體題目尤其容易犯弄不清真正的參數(shù)的錯誤.解：（1)由題意得圓M的方程為（x-2Rcosα）2+(y—2Rsinα)2=R2，故圓心為M（2Rcosα,2Rsinα)，半徑為R.（2）當(dāng)α變化時，圓心M的軌跡方程為（其中α為參數(shù))，兩式平方相加得x2+y2=4R2，所以圓心M的軌跡是圓心在原點(diǎn),半徑為2R的圓。由于=2R=3R—R，=2R=R+R,所以所有的圓M都和定圓x2+y2=R2外切，和定圓x2+y2=9R2內(nèi)切.點(diǎn)評:本題所給的方程中含有多個變數(shù)，看起來都可變，像這樣的問題有時容易分不清楚哪個是真正的參數(shù)。在具體題目中究竟哪個是真正的參數(shù)應(yīng)視題目給定的條件，從而去分清參數(shù).【例6】將下列參數(shù)方程化為普通方程并說明它們分別表示怎樣的曲線。（t為參數(shù)）；(t為參數(shù)).解：（1)由x=cos2t=1-sin2t=1—y2，y2=-（x—1),由x=cos2t可知，0≤x≤1。故其普通方程為y2=—(x-1）(0≤x≤1）,它