數(shù)學(xué)學(xué)案：互動(dòng)課堂第三講一平行射影

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精互動(dòng)課堂重難突破一、正射影1。一個(gè)圖形F上的各點(diǎn)在平面α上的正射影也組成了一個(gè)圖形F′，則圖形F′稱(chēng)作圖形F在平面α上的正射影.圖3—1—1就是正射影的幾個(gè)例子.圖3-1-12。一個(gè)圖形在一個(gè)平面上的射影與圖形和平面的位置關(guān)系有關(guān),如一條直線(xiàn),當(dāng)它和平面α垂直時(shí),它在平面α上的射影是一個(gè)點(diǎn);當(dāng)它和平面α斜交時(shí),它在平面α上的射影是一條直線(xiàn);它和平面α平行時(shí),它在平面α上的射影是一條與原直線(xiàn)平行的直線(xiàn).二、平行射影1.設(shè)直線(xiàn)l與平面α相交,把直線(xiàn)l的方向稱(chēng)為投影方向,過(guò)點(diǎn)A作平行于l的直線(xiàn),與平面α交于點(diǎn)A′，那么把點(diǎn)A′稱(chēng)作點(diǎn)A沿直線(xiàn)l的方向在平面α上的平行射影.一個(gè)圖形F上的各點(diǎn)在平面α上的平行射影也組成了一個(gè)圖形F′，則圖形F′稱(chēng)作圖形F在平面α上的平行射影.于是正射影是平行射影的特例.在立體幾何部分,我們對(duì)此已經(jīng)有了了解，如圖3—1-2就是平行射影的具體實(shí)例。圖3-1-22.平行射影的性質(zhì)(1）直線(xiàn)或線(xiàn)段的平行射影仍是直線(xiàn)或線(xiàn)段;(2）平行直線(xiàn)的平行射影是平行或重合的直線(xiàn)；（3)平行于投射面的線(xiàn)段，它的射影與這條線(xiàn)段平行且等長(zhǎng)；（4)與投射面平行的平面圖形，它的射影與這個(gè)圖形全等;（5)在同一直線(xiàn)或平行直線(xiàn)上，兩條線(xiàn)段平行射影的比等于這兩條線(xiàn)段的比.三、橢圓運(yùn)輸油制品的油罐、圓柱形容器傾斜后所盛液體的液面等，都給我們以橢圓的形象。四、刨根問(wèn)底問(wèn)題1一個(gè)圓所在的平面β與平面α平行,那么該圓在平面α上的正射影是和原來(lái)的圓相同的圓，當(dāng)圓所在的平面β與平面α不平行時(shí),該圓在平面α上的正射影會(huì)是什么圖形？如果β與α垂直，該圓在平面α上的正射影又會(huì)是什么圖形？探究:一個(gè)圓所在的平面β與平面α平行，那么該圓在平面α上的正射影顯然是一個(gè)圓,并且是和原來(lái)的圓相同的圓。如果圓所在的平面β與平面α不平行，從生活經(jīng)驗(yàn)我們知道,正射影的形狀發(fā)生了變化,就好像一個(gè)圓被壓扁了,我們稱(chēng)之橢圓.橢圓的“圓周”上的點(diǎn)到其中心的距離不再相等,但它也有一個(gè)特征,就是它到兩個(gè)定點(diǎn)的距離相等，下一節(jié)還會(huì)講到.如果圓所在的平面β與平面α是互相垂直的,那么該圓在平面α上的射影是一條線(xiàn)段?；顚W(xué)巧用【例1】一個(gè)圓所在的平面β與平面α平行時(shí),該圓在α上的正射影是什么圖形？當(dāng)β與α不平行時(shí)，圓在α上的正射影是什么圖形?思路解析：依據(jù)正射影的概念,圓所在的平面β與平面α平行時(shí),該圓在α上的正射影是圓，當(dāng)β與α不平行時(shí),圓在α上的正射影是橢圓.答案:圓；橢圓.【例2】下列語(yǔ)句不正確的是。(1）正射影是平行射影的特例;（2)平行于投射面的線(xiàn)段,它的射影與這條線(xiàn)段平行且相等；（3）在同一直線(xiàn)或平行直線(xiàn)上,兩條線(xiàn)段平行射影的比等于這兩條線(xiàn)段的比;（4)兩條相交直線(xiàn)的平行射影還是相交直線(xiàn).思路解析：要想澄清本例語(yǔ)句的正確與否，必須弄清正射影、平行射影以及平行射影的性質(zhì)。正射影是平行射影的特例，從而（1)正確；根據(jù)平行射影的性質(zhì)，（2）是正確的；同樣(3）也是平行射影的性質(zhì)，因此也正確.而（4）中，兩條相交直線(xiàn)的平行射影是否是相交直線(xiàn)需分情況討論:當(dāng)投射線(xiàn)與兩直線(xiàn)所確定的平面平行時(shí)，此兩直線(xiàn)的平行投影是一條直線(xiàn);當(dāng)投射線(xiàn)與兩直線(xiàn)確定的平面不平行時(shí)，此兩直線(xiàn)的平行投影仍是兩條相交直線(xiàn)。故（4)不正確。答案:(4）【例3】?jī)蓷l相交直線(xiàn)的平行射影還是相交直線(xiàn)嗎?如果不相交,那它的形狀是什么樣子?同理,兩條平行直線(xiàn)的平行射影還是平行直線(xiàn)嗎？它的情形有哪些？答案:兩條直線(xiàn)相交,可以確定一個(gè)平面，當(dāng)投射線(xiàn)與兩直線(xiàn)所確定的平面平行時(shí),此兩直線(xiàn)的平行投影是一條直線(xiàn);當(dāng)投射線(xiàn)與兩直線(xiàn)確定的平面不平行時(shí)，此兩直線(xiàn)的平行投影仍是兩條相交直線(xiàn),在考慮時(shí)一定要周全，避免漏掉特殊情況。所以?xún)蓷l相交直線(xiàn)的平行投影是兩條相交直線(xiàn)或一條直線(xiàn)。同理，可以考慮兩條平行直線(xiàn)在同一個(gè)平面上的射影，當(dāng)兩條平行