12空間向量基本定理

1.2空間向量基本定理基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練1.在平行六面體ABCDA1B1C1D1中,M為AC與BD的交點(diǎn).若A1B1=a,A1D1=b,A1A=A.12a+12bB.12a+12bC.12a12bD.12a12b答案A解析B1=c+12(a+b)=12a+12b2.對(duì)于空間一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A,B,C,且有6OP=OA+2OB+3OC,則(A.O,A,B,C四點(diǎn)共面B.P,A,B,C四點(diǎn)共面C.O,P,B,C四點(diǎn)共面D.O,P,A,B,C五點(diǎn)共面答案B解析由6OP=OA+2OB+3OC,得OP-OA=2(OB-OP)+3(OC-OP),即AP=2PB+3PC,∴AP,PB,PC共面.又三個(gè)向量的基線有同一公共點(diǎn)3.(多選)已知點(diǎn)M在平面ABC內(nèi),并且對(duì)空間任意一點(diǎn)O,有OM=xOA+13OB+13OCA.1 B.0 C.3 D.1答案ABC解析∵OM=xOA+且M,A,B,C四點(diǎn)共面,∴x+13+13=1,4.已知向量a,b,且AB=a+2b,BC=5a+6b,CD=7a2b,則一定共線的三點(diǎn)是()A.A,B,DB.A,B,CC.B,C,DD.A,C,D答案A解析因?yàn)锳D=AB+BC+CD=3a+6b=3(a+2b)=3AB,故AD∥AB,又AD與AB有公共點(diǎn)5.給出下列命題:①若A,B,C,D是空間任意四點(diǎn),則有AB+BC+②|a||b|=|a+b|是a,b共線的充要條件;③若AB,CD共線,則AB∥④對(duì)空間任意一點(diǎn)O與不共線的三點(diǎn)A,B,C,若OP=xOA+yOB+zOC(其中x,y,z∈R),則P,A,B,C四點(diǎn)共面.其中錯(cuò)誤命題的個(gè)數(shù)是()A.1 B.2 C.3 D.4答案C解析顯然①正確;若a,b共線,則|a|+|b|=|a+b|或|a+b|=||a||b||,故②錯(cuò)誤;若AB,CD共線,則直線AB,CD可能重合,故③錯(cuò)誤;只有當(dāng)x+y+z=1時(shí),P,A,B,C四點(diǎn)才共面,故④6.設(shè)e1,e2是空間兩個(gè)不共線的向量,已知AB=e1+ke2,BC=5e1+4e2,DC=e12e2,且A,B,D三點(diǎn)共線,實(shí)數(shù)k=.

答案1解析∵AD=AB+BC+CD=7e1+且AB與AD共線,故AD=x即7e1+(k+6)e2=xe1+xke2,故(7x)e1+(k+6xk)e2=0,又∵e1,e2不共線,∴7-x=0,k+6-7.在以下三個(gè)命題中,真命題的序號(hào)為.

①三個(gè)非零向量a,b,c不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底,則a,b,c共面;②若兩個(gè)非零向量a,b與任何一個(gè)向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底,則a,b共線;③若a,b是兩個(gè)不共線的向量,而c=λa+μb(λ,μ∈R且λμ≠0),則{a,b,c}構(gòu)成空間的一個(gè)基底.答案①②解析c與a,b共面,不能構(gòu)成基底.8.已知平行六面體OABCO'A'B'C',且OA=a,OC=b,OO'=c(1)用a,b,c表示向量AC'(2)設(shè)G,H分別是側(cè)面BB'C'C和O'A'B'C'的中心,用a,b,c表示GH.解析(1)AC'=AC+(2)GH=GO=12(OB+=12(a+b+c+b)+12(a+b+c+c)=12(c9.已知三個(gè)向量a,b,c不共面,并且p=a+bc,q=2a3b5c,r=7a+18b+22c,向量p,q,r是否共面?解析假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ,μ,使p=λq+μr,則a+bc=(2λ7μ)a+(3λ+18μ)b+(5λ+22μ)c.∵a,b,c不共面,∴2λ-即存在實(shí)數(shù)λ=53,μ=13,使p=λq+μr,∴p,q,r10.如圖所示,四邊形ABCD和ABEF都是平行四邊形,且不共面,M,N分別是AC,BF的中點(diǎn).判斷CE與MN解析∵M(jìn),N分別是AC,BF的中點(diǎn),而四邊形ABCD,ABEF都是平行四邊形,∴MN=又∵M(jìn)N=MC+∴12CA+∴CE=CA+2AF+FB=2(MA+∴CE∥MN,即CE能力提升練1.已知非零向量e1,e2不共線,如果AB=e1+e2,AC=2e1+8e2,AD=3e13e2,則A,B,C,D四點(diǎn)()A.一定共線B.恰是空間四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)C.一定共面D.一定不共面答案C解析因?yàn)榉橇阆蛄縠1,e2不共線,AB=e1+e2,AC=2e1+8e2,AD=3e13e2,所以5AB-AD=5e1+5e23e1+3e2=2e1+8e2=AC,所以AC=5AB-AD.由向量共面的充要條件可知,A,B,C2.在平行六面體ABCDEFGH中,若AG=xAB2yBC+3zDH,則x+y+z等于()A.76 B.23 C.34答案D解析由于AG=AB+AD+CG=AB+BC+DH,對(duì)照已知式子可得x=1,2y=1,3z=1,故3.(多選)已知正方體ABCDA1B1C1D1中,P,M為空間任意兩點(diǎn),如果有PM=PB1+7BA+6AA14A1A.在平面BAD1內(nèi)B.在平面BA1D內(nèi)C.在平面BA1D1內(nèi)D.在平面AB1C1內(nèi)答案ABD解析PM=PB1+7BA+=PB1+BA+=PB1+B1=PA1+6(PA1=11PA16PB4且1164=1,于是M,B,A1,D1四點(diǎn)共面.4.設(shè)棱長(zhǎng)為a的正方體ABCDA1B1C1D1中的八個(gè)頂點(diǎn)所構(gòu)成的集合為S.向量的集合P={m|m=P1P2,P1,P2∈S},則P中長(zhǎng)度為3a的向量有個(gè);P中長(zhǎng)度等于a的向量有答案824解析每一條體對(duì)角線對(duì)應(yīng)兩個(gè)向量,正方體共有4條體對(duì)角線,所以P中長(zhǎng)度為3a的向量有8個(gè).正方體有12條棱且長(zhǎng)度均為a,則P中長(zhǎng)度等于a的向量有24個(gè).5.已知O是空間任一點(diǎn),A,B,C,D四點(diǎn)滿足任三點(diǎn)均不共線,但四點(diǎn)共面,且OA=2xBO+3yCO+4zDO,則2x+3y+4z=.

答案1解析OA=2xBO+3yCO+4zDO=2xOB3yOC4zOD.由四點(diǎn)共面的充要條件知2x3y4z=1,即2x+3y+4z=1.6.如圖,設(shè)O為?ABCD所在平面外任意一點(diǎn),E為OC的中點(diǎn),若AE=12OD+xOB+yOA,求x解析因?yàn)锳E=OB=OA=OA+=OA+=OA+=32所以x=12,y=37.已知非零向量e1,e2不共線,如果AB=e1+e2,AC=2e1+8e2,AD=3e13e2,求證:A,B,C,D四點(diǎn)共面.證明證法一:令λ(e1+e2)+μ(2e1+8e2)+v(3e13e2)=0,則(λ+2μ+3v)e1+(λ+8μ3v)e2=0.∵e1,e2不共線,∴λ易知λ=-則5AB+AC+∴A,B,C,D四點(diǎn)共面.證法二:觀察易得AC+AD=(2e1+8e2)+(3e13e2)=5e1+5e2=5(e1+e2)=5∴AB=由共面向量知,AB,AC又它們有公共點(diǎn)A,∴A,B,C,D四點(diǎn)共面.8.如圖,在平行六面體ABCDA1B1C1D1中,O是B1D1的中點(diǎn),求證:B1C∥平面ODC1.證明B=B1∵O是B1D1的中點(diǎn),∴B1O+D1O∴B1C,OC1,OD共面,且B∴B1C∥平面ODC1.素養(yǎng)培優(yōu)練1.如圖所示,四邊形ABCD是空間四邊形,E,H分別是邊AB,AD的中點(diǎn),F,G分別是邊CB,CD上的點(diǎn),且CF=23CB,CG=證明∵E,H分別是邊AB,AD的中點(diǎn),∴AE=∴EH=又∵FG=CG-CF∴EH=∴EH∥FG,|EH|=3又∵點(diǎn)F不在EH上,∴四邊形EFGH是梯形.2.已知平行四邊形ABCD,從平面ABCD外一點(diǎn)O引向量OE=kOA,OF=kOB,OG=k求證:(1)點(diǎn)E,F,G,H共面;(2)AB∥平面EFGH.證明