55指數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)學(xué)案

第五章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)5.5指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的應(yīng)用預(yù)習(xí)探究知識(shí)點(diǎn)1指數(shù)型函數(shù)模型形如y＝kax(k∈R，且k≠0；a>0且a≠1)的函數(shù)是指數(shù)型函數(shù)模型．思考：設(shè)原有量為N，每次的增長(zhǎng)量為p，經(jīng)過(guò)x次增長(zhǎng)，該量增長(zhǎng)到y(tǒng)，則x，y之間滿(mǎn)足的關(guān)系式是什么？提示：y＝N(1＋p)x(x∈N)．知識(shí)點(diǎn)2二種函數(shù)的性質(zhì)及增長(zhǎng)速度比較指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)解析式y(tǒng)＝ax(a>1)y＝logax(a>1)單調(diào)性在(0，＋∞)上單調(diào)遞增圖象(隨x的增大)逐漸與y軸平行逐漸與x軸平行增長(zhǎng)速度(隨x的增大)y的增長(zhǎng)速度越來(lái)越快y的增長(zhǎng)速度越來(lái)越慢考點(diǎn)類(lèi)析題型一指數(shù)型函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用例1隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展，2014年年底某偏遠(yuǎn)地區(qū)農(nóng)民人均年收入為3000元，預(yù)計(jì)該地區(qū)今后農(nóng)民的人均年收入將以每年6%的平均增長(zhǎng)率增長(zhǎng)，那么2021年年底該地區(qū)的農(nóng)民人均年收入為(B)A．3000×1.06×7元 B．3000×1.067元C．3000×1.06×8元 D．3000×1.068元【解析】由題意知，2021年底該地區(qū)農(nóng)民人均收入為3000×(1＋6%)7＝3000×1.067，故選B．例2調(diào)查表明，酒后駕駛是導(dǎo)致交通事故的主要原因，交通法規(guī)規(guī)定：駕駛員在駕駛機(jī)動(dòng)車(chē)時(shí)血液中酒精含量不得超過(guò)0.2mg/ml.如果某人喝了少量酒后，血液中酒精含量將迅速上升到0.8mg/ml，在停止喝酒后，血液中酒精含量就以每小時(shí)50%的速度減少，則他至少要經(jīng)過(guò)__________小時(shí)后才可以駕駛機(jī)動(dòng)車(chē)．(B)A．1 B．2C．3 D．4【解析】設(shè)n小時(shí)后才可以駕車(chē)，據(jù)題意得0．8(1－50%)n≤0.2，∴0.5n≤eq\f(1,4)，∴n≥2，即至少要經(jīng)過(guò)2小時(shí)后才可以駕駛機(jī)動(dòng)車(chē)，故選B．[歸納提升]關(guān)于指數(shù)型函數(shù)模型設(shè)原有量為N，每次的增長(zhǎng)(衰減)率為p，經(jīng)過(guò)x次增長(zhǎng)(衰減)，該量增長(zhǎng)到y(tǒng)，則y＝N(1±p)x(x∈N)．【變式】已知某種產(chǎn)品的生產(chǎn)成本每年降低25%.若該產(chǎn)品2017年底的生產(chǎn)成本為6400元/件，那么2020年底的生產(chǎn)成本為2_700元/件．【解析】2020年底生產(chǎn)成本6400×(1－25%)3＝2700元．題型二對(duì)數(shù)函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用例3某化工廠(chǎng)生產(chǎn)一種溶液，按市場(chǎng)要求，雜質(zhì)含量不能超過(guò)0.1%，若初時(shí)含雜質(zhì)2%，每過(guò)濾一次可使雜質(zhì)含量減少eq\f(1,4)，問(wèn)至少應(yīng)過(guò)濾多少次，才能使產(chǎn)品達(dá)到市場(chǎng)要求？(參考數(shù)據(jù)lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)【解析】設(shè)過(guò)濾y次后雜質(zhì)含量為x，則x＝0.02(1－eq\f(1,4))y，即50x＝(eq\f(3,4))y，則y＝logeq\s\do9(\f(3,4))(50x)，令x＝0.001，則y＝logeq\s\do9(\f(3,4))0.05＝logeq\s\do9(\f(3,4))eq\f(1,20)＝－eq\f(lg20,lg\f(3,4))＝eq\f(lg20,lg4－lg3)＝eq\f(1＋0.3010,2×0.3010－0.4771)≈10.42，所以至少過(guò)濾11次才能使產(chǎn)品達(dá)到市場(chǎng)要求．[歸納提升]建立對(duì)數(shù)函數(shù)模型解決應(yīng)用問(wèn)題對(duì)數(shù)運(yùn)算是求指數(shù)的運(yùn)算，因此要建立對(duì)數(shù)函數(shù)模型，可設(shè)指數(shù)變量為y，利用指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化得到對(duì)數(shù)函數(shù)解析式，再利用已知數(shù)據(jù)或計(jì)算工具計(jì)算解題．【變式】某公司為激勵(lì)創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入，若該公司2017年全年投入研發(fā)資金130萬(wàn)元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長(zhǎng)12%，求該公司全年投入的研發(fā)資金開(kāi)始超過(guò)200萬(wàn)元的年份(參考數(shù)據(jù)：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)．【解析】設(shè)經(jīng)過(guò)y年后公司的研發(fā)資金為x，則x＝130(1＋12%)y，即eq\f(x,130)＝1.12y，所以y＝log1.12eq\f(x,130)，令x＝200，所以y＝log1.12eq\f(200,130)＝log1.12eq\f(2,1.3)＝eq\f(lg2－lg1.3,lg1.12)≈3.8，所以到2021年，公司研發(fā)資金開(kāi)始超過(guò)200萬(wàn)元．當(dāng)堂自測(cè)：1．下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是(C)(1)函數(shù)y＝logeq\s\do9(\f(1,3))x的衰減速度越來(lái)越慢．(2)增長(zhǎng)速度不變的函數(shù)模型是一次函數(shù)模型．(3)若a>1，n>0，對(duì)于任意x0∈R，一定有ax0>xeq\o\al(n,0).A．0 B．1C．2 D．3【解析】對(duì)于(1)，由函數(shù)y＝logeq\s\do9(\f(1,3))x的圖象可知其衰減速度越來(lái)越慢，正確；對(duì)于(2)，一次函數(shù)的圖象是直線(xiàn)，因此其增長(zhǎng)速度不變，正確；對(duì)于(3)，如23<32，錯(cuò)誤．故選C．2．專(zhuān)家預(yù)測(cè)，在我國(guó)大西北某地區(qū)荒漠化土地面積每年平均比上年增長(zhǎng)10.4%，經(jīng)過(guò)x年可能增長(zhǎng)到原來(lái)的y倍，則函數(shù)y＝f(x)的圖象大致為(D)【解析】由題意可知y＝(1＋10.4%)x，故選D．3．某地為了保護(hù)水土資源，實(shí)行退耕還林，如果2015年退耕8萬(wàn)公頃，以后每年比上一年增加10%，那么2020年需退耕(B)A．8×1.14萬(wàn)公頃 B．8×1.15萬(wàn)公頃C．8×1.16萬(wàn)