高一下冊(cè)數(shù)學(xué)期中模擬卷（必修二前三章）2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)分層訓(xùn)練AB卷（人教A版2019）

高一下冊(cè)數(shù)學(xué)期中模擬卷（人教A版（2019）必修第二冊(cè)前三章）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知復(fù)數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出，據(jù)此可得解.【詳解】由，可得，故復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，故選：D2．已知向量，滿足，，則（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】計(jì)算出，，再利用夾角公式求解即可.【詳解】由，，兩式相加，得，所以，，所以，所以.故選：A．3．記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若，，，則（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】運(yùn)用正弦定理求解.【詳解】根據(jù)正弦定理有，得；故選：D.4．設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面（

）A．若，，則B．若，，則C．若，，，則D．若，，，則【答案】C【分析】根據(jù)條件思考題中平面和直線所可能的各種情況，運(yùn)用有關(guān)的定理逐項(xiàng)分析.【詳解】當(dāng)，時(shí)，可能有，但也有可能或，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)，時(shí)，可能有，但也有可能或，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；當(dāng)，，時(shí)，必有，從而，故選項(xiàng)C正確；在如圖所示的正方體中，取為，為，為平面，為平面，這時(shí)滿足，，，但不成立，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：C.5．如圖是一款多功能粉碎機(jī)的實(shí)物圖，它的進(jìn)物倉(cāng)可看作正四棱臺(tái)，已知該四棱臺(tái)的上底面邊長(zhǎng)為，下底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為，則該款粉碎機(jī)進(jìn)物倉(cāng)的容積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合棱臺(tái)的體積計(jì)算公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】畫出滿足題意的正四棱臺(tái)，如圖所示，則．過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)E，則，所以該正四棱臺(tái)的體積為．故選：C6．已知是單位向量，且的夾角為，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由向量模與夾角的公式得，進(jìn)而結(jié)合向量的夾角范圍求解即可.【詳解】因?yàn)槭菃挝幌蛄?，且的夾角為，所以，又，所以，又，所以，所以.故選：C.7．在三棱錐中，是邊長(zhǎng)為的正三角形，若三棱錐的外接球的表面積為100π，則三棱錐體積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分別求出外接圓，三棱錐的外接球的半徑，再由平面時(shí)，三棱錐體積取最大值，從而由公式得出體積.【詳解】設(shè)外接圓的圓心為，三棱錐的外接球的半徑為.因?yàn)槿忮F的外接球的表面積為100π，所以，三角形ABC的外接圓半徑為，三棱錐體積取最大值時(shí)，平面，此時(shí)，最大值為：.故選：B8．在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】中，由正弦定理可得，利用余弦定理可得：．再利用余弦定理及其基本不等式的性質(zhì)可得的最小值，可得的最大值，即可得出三角形面積的最大值．【詳解】由正弦定理得：由余弦定理得：，即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，，時(shí)取等號(hào)，,則，所以面積的最大值.故選：B選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得09．如圖，用正方體ABCD一A1B1C1D1中，M，N分別是BC1，CD1的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．MN與CC1垂直B．MN與AC垂直C．MN與BD平行D．MN與A1B1平行【答案】ABC【分析】根據(jù)線線垂直、線線平行等知識(shí)確定正確答案.【詳解】由于是的中點(diǎn)，所以三點(diǎn)共線，則是的中點(diǎn)，由于是的中點(diǎn)，所以，C選項(xiàng)正確.根據(jù)正方體的性質(zhì)可知平面，由于平面，所以，所以，A選項(xiàng)正確.由于，所以，B選項(xiàng)正確.由于，與相交，所以與不平行，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC10．歐拉公式是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立，該公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)集，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，在復(fù)變函數(shù)論里面占有非常重要的地位，被譽(yù)為數(shù)學(xué)中的天橋．依據(jù)歐拉公式，下列選項(xiàng)中不正確的是（

）A．對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限 B．為純虛數(shù)C．的模長(zhǎng)等于 D．的共軛復(fù)數(shù)為【答案】D【分析】根據(jù)歐拉公式結(jié)合復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的特征、純虛數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式、以及共軛復(fù)數(shù)的概念逐項(xiàng)分析即可得出結(jié)論.【詳解】對(duì)于A：，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，故A正確；對(duì)于B：，為純虛數(shù)，故B正確；對(duì)于C：，故C正確；對(duì)于D：，所以的共軛復(fù)數(shù)為，故D錯(cuò)誤.故選：D.11．下列說(shuō)法正確的有（

）A．已知，若與共線，則B．若，，則C．若，為銳角，則實(shí)數(shù)的范圍是D．若，則一定不與共線【答案】AC【分析】利用共線向量的坐標(biāo)表示判斷A；舉例說(shuō)明判斷BD；利用向量數(shù)量積結(jié)合向量共線計(jì)算判斷C作答.【詳解】對(duì)于A，，與共線，則，解得，A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，滿足，，而向量與可以不共線，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，為銳角，則，且與不共線，即，且，解得，C正確；對(duì)于D，若，，滿足，而與共線，D錯(cuò)誤.故選：AC12．如圖，在海岸上有兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)C，D，C在D的正西方向，距離為2km，在某天10:00觀察到某航船在A處，此時(shí)測(cè)得∠ADC=30°，5分鐘后該船行駛至B處，此時(shí)測(cè)得∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，則（

）A．當(dāng)天10:00時(shí)，該船位于觀測(cè)點(diǎn)C的北偏西15°方向B．當(dāng)天10:00時(shí)，該船距離觀測(cè)點(diǎn)CkmC．當(dāng)船行駛至B處時(shí)，該船距觀測(cè)點(diǎn)CkmD．該船在由A行駛至B的這5min內(nèi)行駛了km【答案】ABD【分析】利用方位角的概念判斷A，利用正弦定理、余弦定理求解后判斷BCD．【詳解】A選項(xiàng)中，∠ACD=∠ACB+∠BCD=60°+45°=105°，因?yàn)镃在D的正西方向，所以A在C的北偏西15°方向，故A正確.B選項(xiàng)中，在△ACD中，∠ACD=105°，∠ADC=30°，則∠CAD=45°.由正弦定理，得AC=，故B正確.C選項(xiàng)中，在△BCD中，∠BCD=45°，∠CDB=∠ADC+∠ADB=30°+60°=90°，即∠CBD=45°，則BD=CD=2，于是BC=2，故C不正確.D選項(xiàng)中，在△ABC中，由余弦定理，得AB2=AC2+BC2－2AC·BCcos∠ACB=2+8－22=6，即AB=km，故D正確.故選：ABD．三．填空題本題共4小題，每小題5分，共20分13．已知，，則在方向上的投影向量的坐標(biāo)為_(kāi)_________．【答案】【分析】根據(jù)投影向量的定義求解.【詳解】因?yàn)?，，所以向量在方向的投影向量?故答案為：14．已知如圖邊長(zhǎng)為的正方形外有一點(diǎn)且平面，，二面角的大小的正切值______．【答案】【分析】由線面垂直的判定和性質(zhì)，結(jié)合二面角平面角定義可知所求角為，根據(jù)長(zhǎng)度關(guān)系可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)，連接，平面，平面，，，四邊形為正方形，，，平面，平面，又平面，，是二面角的平面角，由，得：.故答案為：.15．已知銳角的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，則的取值范圍為_(kāi)______．【答案】【分析】根據(jù)給定等式求出三角形的內(nèi)角C，再利用正弦定理及三角恒等變換、三角函數(shù)性質(zhì)求解作答.【詳解】因，顯然，，銳角中，，，則，令，由得：，由正弦定理得，，因此，而，則，即有，所以的取值范圍為.故答案為：.16．根據(jù)祖暅原理，界于兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被任一平行于這兩個(gè)平面的平面所截，如果兩個(gè)截面的面積相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等．如圖1所示，一個(gè)容器是半徑為R的半球，另一個(gè)容器是底面半徑和高均為R的圓柱內(nèi)嵌一個(gè)底面半徑和高均為R的圓錐，這兩個(gè)容器的容積相等．若將這兩容器置于同一平面，注入等體積的水，則其水面高度也相同．如圖2，一個(gè)圓柱形容器的底面半徑為，高為，里面注入高為的水，將一個(gè)半徑為的實(shí)心球緩慢放入容器內(nèi)，當(dāng)球沉到容器底端時(shí)，水面的高度為_(kāi)_____．（注：）【答案】【分析】根據(jù)祖暅原理，建立體積等量關(guān)系，代入體積運(yùn)算公式求解即可.【詳解】設(shè)鐵球沉到容器底端時(shí)，水面的高度為h，由圖2知，容器內(nèi)水的體積加上球在水面下的部分體積等于圓柱的體積，由圖1知相應(yīng)圓臺(tái)的體積加上球在水面下的部分體積也等于圓柱的體積，故容器內(nèi)水的體積等于相應(yīng)圓臺(tái)的體積，因?yàn)槿萜鲀?nèi)水的體積為，相應(yīng)圓臺(tái)的體積為，所以，解得，故答案為：四．解答題：本題共6小題，17題10分，剩下每題12分。共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟17．已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，且為實(shí)數(shù).(1)求復(fù)數(shù)；(2)設(shè)，，若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)純虛數(shù)的定義設(shè)出復(fù)數(shù)的表示形式，再根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算法則，結(jié)合復(fù)數(shù)的分類進(jìn)行求解即可；（2）求出，結(jié)合在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在象限，求出范圍，結(jié)合模的計(jì)算求得答案.【詳解】（1）設(shè)，且，則.又∵為實(shí)數(shù)，∴，即.（2）由（1）得，由題知且，解得.又∵，∴.∴，即的取值范圍是.18．在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，．(1)求A；(2)在原題條件的基礎(chǔ)上，若增加下列條件之一，請(qǐng)說(shuō)明條件①與②哪個(gè)能使得唯一確定，當(dāng)唯一確定時(shí)，求邊上的高h(yuǎn)．條件①：；條件②：．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)正弦定理可得，再利用余弦定理即可求出；（2）對(duì)于條件①可得，進(jìn)而或，不符合題意；條件②代入，即可求出，再利用面積公式即可求出結(jié)果.【詳解】（1）在中，，由及正弦定理得，由余弦定理得，化簡(jiǎn)得，所以，結(jié)合，得．（2）若增加條件①：，．因?yàn)?，由，得，或，所以不能唯一確定，不合題意．若增加條件②：．將代入，得，解得，或（舍去）．此時(shí)唯一確定．由，得．所以．19．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，，分別為棱和的中點(diǎn)．(1)求異面直線與所成的余弦值；(2)求三棱錐的體積．【答案】(1)；(2).【分析】（1）連接，證明，確定異面直線所成的角或其補(bǔ)角，再借助余弦定理求解作答.（2）求出三棱錐的高和底面積，利用錐體的體積公式計(jì)算作答.【詳解】（1）在正方體中，連接，如圖，因?yàn)椋謩e為棱和的中點(diǎn)，則，因此四邊形是平行四邊形，則，即是異面直線與所成的角或其補(bǔ)角，在中，，而正方體的體對(duì)角線，由余弦定理得：，所以異面直線與所成的余弦值為（2）在正方體中，平面，而的面積，所以三棱錐的體積.20．已知點(diǎn)G在內(nèi)部，且，(1)求證：G為的重心；(2)過(guò)G作直線與AB，AC兩條邊分別交于點(diǎn)M，N，設(shè)，求的最小值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）分別取BC的中點(diǎn)D，整理可得，即可得結(jié)果；（2）根據(jù)已知得出，根據(jù)題意結(jié)合M、N、G三點(diǎn)共線，結(jié)合向量運(yùn)算與向量相等的定義列式整理，可得x,y的關(guān)系，再結(jié)合基本不等式即可得解.【詳解】（1）設(shè)BC的中點(diǎn)為D，則，即，∴點(diǎn)G在的中線AD上，且滿足，故G為的重心.（2）由點(diǎn)G為的重心，則，∵三點(diǎn)共線，則，且，由題意可得：，則，消去可得，∵點(diǎn)M，N分別在邊AB，AC上，則，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，解得，故的最小值為.21．已知，設(shè)函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，分別求函數(shù)取得最大值和最小值時(shí)的值；(2)設(shè)的內(nèi)角的對(duì)應(yīng)邊分別是且，，求的值．【答案】(1)時(shí)最大值0；時(shí)最小值；(2)或．【分析】（1）應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，二倍角、輔助角公式化簡(jiǎn)得，由正弦型函數(shù)的性質(zhì)求的最值；（2）由已知及三角形內(nèi)角性質(zhì)得，法一：應(yīng)用余弦定理列關(guān)于的方程求解即可；法二：應(yīng)用正弦定理求得或，分別求出對(duì)應(yīng)的值即可.【詳解】（1）由題知：，，則，故，∴當(dāng)，即，得時(shí)取得最大值0，當(dāng)，即，得時(shí)取得最小值．（2）由，即，又，則．法一：由余弦定理A得：，解得：或．法二：由正弦定理有，則或，當(dāng)時(shí)，，由勾股定理有；當(dāng)時(shí)，，則；綜上所解：或．22．圖1是由矩形和菱形組成的一個(gè)平面圖形，其中，，將其沿折起使得與重合，連結(jié)，如圖2.（1）證明圖2中的四點(diǎn)共面，且平面平面；（2）求圖2中的四邊形的面積.【答案】(1)見(jiàn)詳解；(2)4.【分析】(1)因?yàn)檎奂埡驼澈喜桓淖兙匦?，和菱形?nèi)部的夾角，所以，依然成立，又因和粘在一起，所以得證.因?yàn)槭瞧矫娲咕€，所以易證