浙江省嘉興八校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷 含解析

2024學(xué)年第一學(xué)期嘉興八校聯(lián)盟期中聯(lián)考高二年級數(shù)學(xué)學(xué)科試題考生須知：1．本卷共6頁滿分150分，考試時間120分鐘．2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字．3．所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效．4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙．選擇題部分一、選擇題Ⅰ：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知直線過、兩點，則該直線的斜率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用兩點連線的斜率公式可求得該直線的斜率.【詳解】由題意可知，直線斜率為.故選：C.2.已知直線：與：，若，則為（）A. B.0 C. D.【答案】D【解析】【分析】由計算可得，再分別驗證或時兩直線是否重合即可得.【詳解】由，則有，解得，當時，：與：，兩直線不重合；當時，：與：，兩直線不重合；故.故選：D.3.已知，分別為橢圓的左右焦點，為橢圓上一點，若，則為（）A.1 B.4 C.6 D.7【答案】B【解析】【分析】由橢圓定義計算即可得.【詳解】由橢圓定義可得，故.故選：B.4.已知，分別是平面，的法向量，且，則的值為（）A.1 B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】由空間向量的知識可知，兩平面垂直等價于兩法向量垂直，從而利用兩法向量數(shù)量積為0求值.【詳解】因為，分別是平面，的法向量，且，所以，即，解得，故選：B.5.經(jīng)過點作圓的切線，則切線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)出直線方程后，結(jié)合切線定義與點到直線的距離公式計算即可得.【詳解】易知切線斜率存在，設(shè)該切線方程為，即，則有，化簡得，故，故該切線方程為，即.故選：C.6.如圖，在三棱錐中，已知是上靠近的三等分點，是的中點，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)空間向量加法，減法和數(shù)乘運算法則進行求解.【詳解】是上靠近的三等分點，是的中點，故.故選：D7.已知圓：與圓：有兩條公切線，則實數(shù)的取值范圍（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用公切線問題轉(zhuǎn)化為兩圓相交問題，再轉(zhuǎn)化為圓心距范圍問題，即可求解.【詳解】由圓：與圓：有兩條公切線，可知兩圓位置關(guān)系是相交，即圓心距小于半徑之和且大于半徑之差，則，解得：，故選：A.8.已知橢圓：的兩個焦點為，，過的直線與橢圓相交于，兩點，若，，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)，結(jié)合題目所給條件及橢圓定義可得，即可表示出、、、，再借助余弦定理及計算即可得解.【詳解】設(shè)，則，，則，由橢圓定義可得，故，即有，，，則，則有，整理得，即.故選：C.二、選擇題Ⅱ：本大題共3小題，每小題6分，共18分．每題全部選對得6分，有選錯得0分，部分選對得部分分．9.已知直線：，則下列說法正確的是（）A.點到直線的距離為B.直線的截距式方程為C.直線的一個方向向量為D.若直線與圓相切，則【答案】BCD【解析】【分析】對于A選項，根據(jù)點到直線距離公式進行求解即可；對于B選項，根據(jù)直線的截距式進行求解即可；對于C選項，根據(jù)直線方向向量的概念進行求解即可；對于D選項，根據(jù)直線與圓相切的關(guān)系，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑進行求解即可.【詳解】對于A選項，已知直線，則點到直線的距離，故A選項錯誤；對于B選項，已知直線，則直線截距式方程為，故B選項正確；對于C選項，已知直線，則直線的一個方向向量為，故C選項正確；對于D選項，已知圓，其圓心到直線的距離為，由于直線與圓相切，可得：，故D選項正確.故選：BCD10.如圖，直三棱柱中，，，，分別為棱和的中點，為棱上的動點，則下列說法正確的是（）A.B.該三棱柱的體積為4C.直線與平面所成角的正切值的最大值為D.過，，三點截該三棱柱的截面面積為【答案】ABC【解析】【分析】利用題設(shè)建系，對于A，通過空間向量證明平面，即得；對于B，利用直棱柱體積公式計算即得；對于C，設(shè)點，利用空間向量的夾角公式計算得出關(guān)于的函數(shù)式，通過求函數(shù)的最大值得到所成角正切值的最大值；對于D，先利用線面平行的性質(zhì)作出截面，再計算其面積即可排除D.【詳解】如圖建立空間直角坐標系，則，，，，，對于A，，，，因，，可得，，因，且兩直線在平面內(nèi)，則有平面，又為棱上的動點，故，即A正確；對于B，由題意，該三棱柱的體積為，故B正確；對于C，如圖，因平面，平面，則，又，，且兩直線在平面內(nèi)，故得平面，故可取平面的法向量為n=0,1,0又為棱上的動點，可設(shè)，，則，設(shè)直線與平面所成角為，則，因，故當且僅當時，取得最小值為，此時取得最大值為，因，而正弦函數(shù)和正切函數(shù)在上均為增函數(shù)，故此時取得最大值為，故C正確.對于D，如圖，設(shè)經(jīng)過，，三點的截面交于點，連接，因，平面，平面，則平面，又，平面，故得，即截面為梯形，因，，設(shè)梯形的高為，則，解得，則，故D錯誤；故選：ABC.【點睛】本題主要考查空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，屬于難題.解題思路在于，化“動”為“靜”，將線線垂直的判斷轉(zhuǎn)化成線面垂直的證明;利用線面平行的性質(zhì)作出截面求解；通過建系，將線面所成角的問題進行量化，借助于函數(shù)的最值求解.11.數(shù)學(xué)家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微．”事實上，很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決．例如，與相關(guān)的代數(shù)問題，可以轉(zhuǎn)化為點與點之間的距離的幾何問題．結(jié)合上述觀點，對于函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）A.方程無解 B.方程有兩個解C.的最小值為 D.的最大值為【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)兩點間距離公式，結(jié)合題意可得，取計算可得A、C、D；結(jié)合橢圓定義計算可得B.詳解】，設(shè)，A?2,0，，則，如圖，取，則，當且僅當、、三點共線時，等號成立，又當時，隨增大而增大，故無最大值，故C正確、D錯誤；由，故有解，故A錯誤；，則，則的軌跡是以，為焦點的橢圓，此時，，即，，即橢圓方程為，當時，得，得，即，即方程有兩個解，故B正確.故選：BC.非選擇題部分三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.直線的傾斜角為______．【答案】【解析】【分析】先求得直線的斜率，進而求得直線的傾斜角.【詳解】由于直線的斜率為，故傾斜角為.【點睛】本小題主要考查由直線一般式方程求斜率，考查斜率和傾斜角的對應(yīng)關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.13.點在橢圓上，是橢圓的一個焦點，為的中點，若，則_________．【答案】2【解析】【分析】由橢圓的定義結(jié)合中位線性質(zhì)即可求解.【詳解】如圖，設(shè)橢圓的另一焦點為，則，由中位線可知：，所以，所以，故答案為：214.在棱長為的正方體中，點分別為棱的中點.點為正方體表面上的動點，滿足.給出下列四個結(jié)論：①線段長度的最大值為；②存在點，使得；③存在點，使得；④是等腰三角形.其中，所有正確結(jié)論的序號是________．【答案】①③④【解析】【分析】建立空間直角坐標系，利用坐標驗證垂直判斷①，找出平行直線再由坐標判斷是否垂直可判斷B，設(shè)點的坐標根據(jù)條件列出方程組②，探求是否存在符合條件的解判斷③④【詳解】如圖，建立空間直角坐標系，則，對①，由正方體性質(zhì)知當P在時，線段長度的最大值為，此時，，所以，即滿足，故①正確；對②，取正方形的中心M，連接，易知，所以四邊形為平行四邊形，所以，故運動到處時，，此時，，，即不滿足，綜上不存在點，使得，故②錯誤；對③，設(shè)，則，，若存在，由，可得方程組，化簡可得，解得，顯然當時滿足題意，即存在點，使得，故③正確；對④，設(shè)，若，則，化簡可得，由③知時可得，所以不妨取，此時在正方體表面上，滿足題意，故④正確.故答案為：①③④【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵之處在于建立空間直角坐標系，利用坐標運算建立方程，探求是否存在滿足條件的點，運算比較復(fù)雜，屬于難題.四、解答題：本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知空間三點，，，設(shè)，.（1）求的值；（2）若向量與互相垂直，求實數(shù)的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先由題意求出，再結(jié)合向量坐標形式的加法運算和模長公式即可計算求解；（2）由向量垂直的表示結(jié)合，即可計算求解.【小問1詳解】由題得，，所以，所以.【小問2詳解】因為，所以，又，，所以，解得.16.已知直線：，經(jīng)過點．（1）若，求直線的方程；（2）在（1）的條件下，求與之間的距離；（3）若與軸、軸的正半軸交于，兩點，求的最小值．【答案】（1）（2）（3）6【解析】【分析】（1）由平行確定斜率，再由點斜式即可求解；（2）直接由平行線間距離公式即可求解；（3）求得直線在兩坐標軸上交點，再由兩點間距離公式及基本不等式即可求解.【小問1詳解】直線的斜率為，所以過點且與直線平行的直線方程為，即．【小問2詳解】因為，所以兩直線間的距離為．【小問3詳解】設(shè)直線方程為，．當時，；當時，．則，則，當且僅當，即時，等號成立．所以的最小值為6．17.已知點，圓：．（1）求圓過點的最短弦所在的直線方程；（2）若圓與直線相交于，兩點，為原點，且，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）過點的最短弦就是圓心與連線垂直的直線，借助垂直得到斜率，再用點斜式即可；（2）直線與圓的方程聯(lián)立，借助韋達定理得到，.再由轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積，綜合韋達定理構(gòu)造方程計算即可.【小問1詳解】過點的最短弦就是圓心與連線垂直的直線，圓的圓心，則，所以過點的最短弦所在的直線方程為，即．【小問2詳解】消去得，化簡后為．因為圓與直線交于，兩點，所以，即，解得．設(shè)Ax1,y1，B因為，所以，即．由得．從而，解得．18.如圖，直三棱柱中，，是中點，是中點．（1）證明：直線平面；（2）證明：直線；（3）求平面與平面所成角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）構(gòu)造中位線判定四邊形為平行四邊形，利用線線平行判定線面平行即可；（2）根據(jù)線段關(guān)系判定為直角三角形，結(jié)合棱柱的特征判定，得出即可證明；（3）建立合適的空間直角坐標系，利用空間向量計算面面夾角即可.【小問1詳解】取中點，連接，，，分別為，的中點，，且，為直三棱柱，為中點，，且，四邊形為平行四邊形，，平面，平面，平面；【小問2詳解】連接，，，，為直角三角形，為直三棱柱，易得，，為中點，，；【小問3詳解】易知平面，，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標系，如圖所示，設(shè)，則A2,0,0，，，，，設(shè)平面一個法向量為m=x,y,z，則，取，易得平面的一個法向量為，設(shè)平面與平面所成角為，則.19.已知橢圓：過點，離心率為，斜率為的直線與橢圓相交于異于點的，兩點，且，均不與軸垂直．（1）求橢圓的方程；（2）若，為橢圓的上頂點，求的面積；（3）記直線，的斜率分別為，，證明：為定值．【答案】（1）（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）由題意可得，解出即可得；（2）借助弦長公式計算可得或，再利用點到直線的距離公式計算點到直線的距離后結(jié)合面積公式計算即可得；（3）設(shè)出直線的方程，與橢圓聯(lián)立后可得與交點橫坐標有關(guān)一元二次方程，結(jié)合韋達定理表示出并計算即可得.【小問1詳解】根據(jù)題意得到，解得，故橢圓的方程為；【小問2詳解】因為，解得或，當時，直線的方程經(jīng)過點，不符合題意，舍去；