山東省菏澤市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試 數(shù)學(xué)（A卷） 含解析

2024—2025學(xué)年度第一學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)試題（A）注意事項：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時問120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必將姓名、班級等個人信息填寫在答題卡指定位置.3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑：非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽宇筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答.超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的.1.下列選項中，與直線平行的直線是（）A. B. C. D.2.已知橢圓C：，“”是“點為C的一個焦點”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.已知曲線，從曲線上任意一點P向y軸作垂線，垂足為，且，則點N的軌跡方程為（）A. B. C. D.4.已知不全為零的實數(shù)、、滿足，則直線被圓所截得的線段長的最小值為（）A. B. C. D.5.已知橢圓C：的一個焦點為，且C過點，則（）A.10 B.49 C.50 D.12016.已知雙曲線C：（，）的右焦點為，點在C上，則C的離心率為（）A. B. C. D.7.直線l：與圓的公共點個數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.1或28.已知橢圓：（，）的左、右焦點分別為，，點是上一點，直線，的斜率分別為，，且是面積為的直角三角形.則的方程為（）A B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.用一個平面去截一個圓柱側(cè)面，可以得到以下哪些圖形（）A兩條平行直線 B.兩條相交直線 C.圓 D.橢圓10.設(shè)拋物線C：的準(zhǔn)線為l，點P為C上的動點，過點P作圓A：的一條切線，切點為Q，過點P作l的垂線，垂足為B.則（）A.l與圓A相交 B.當(dāng)點P，A，B共線時，C.時，的面積為2或6 D.滿足的點P恰有2個11.已知分別為雙曲線的左?右焦點，過的直線與圓相切于點，與第二象限內(nèi)的漸近線交于點，則（）A.雙曲線的離心率B.若，則的漸近線方程為C.若，則漸近線方程為D.若，則的漸近線方程為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知圓與x軸相切，則__________.13.已知拋物線C：的焦點恰為圓的圓心，點是與圓的一個交點，則點到直線的距離為__________，點到直線的距離為__________.14.已知曲線C是橢圓被雙曲線（）所截得部分（含端點），點P是C上一點，，，則的最大值與最小值的比值是__________.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.著名古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了橢圓的面積公式，（a，b分別為橢圓的長半軸長和短半軸長）為后續(xù)微積分的開拓奠定了基礎(chǔ)，已知橢圓C：.（1）求C的面積；（2）若直線l：交C于A，B兩點，求.16.已知橢圓C：上的左、右焦點分別為，，直線與C交于兩點，若面積是面積的3倍，求的值.17.已知橢圓C：，直線l過原點，且與C相交于A，B兩點，并與點構(gòu)成三角形.（1）求的周長的取值范圍：（2）求的面積S的最大值.18.已知橢圓的離心率為，點在橢圓上．（1）求橢圓的方程；（2）已知橢圓的右頂點為，過作直線與橢圓交于另一點，且，求直線l的方程．19.若平面內(nèi)的曲線C與某正方形A四條邊的所在直線均相切，則稱曲線C為正方形A的一條“切曲線”，正方形A為曲線C的一個“切立方”.（1）圓的一個“切立方”A的其中一條邊所在直線的斜率是1，求這個“切立方”A四條邊所在直線的方程：（2）已知正方形A的方程為，且正方形A為雙曲線的一個“切立方”，求該雙曲線的離心率e的取值范圍；（3）設(shè)函數(shù)的圖象為曲線C，試問曲線C是否存在切立方，并說明理由.2024—2025學(xué)年度第一學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)試題（A）注意事項：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時問120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必將姓名、班級等個人信息填寫在答題卡指定位置.3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑：非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽宇筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答.超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的.1.下列選項中，與直線平行的直線是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先將直線方程化為一般式方程，然后判斷是否成立，注意分析重合情況.【詳解】，對于A：，可知兩直線重合，不符合；對于B：，所以不平行，不符合；對于C：，所以不平行，不符合；對于D：，，且，所以兩直線平行，符合；故選：D.2.已知橢圓C：，“”是“點為C的一個焦點”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】利用橢圓幾何性質(zhì)，根據(jù)焦點坐標(biāo)與之間的關(guān)系式可得結(jié)論.【詳解】若可得得一個焦點坐標(biāo)為，即充分性成立；若“點為C的一個焦點”，則可得，即，可知必要性成立，因此，“”是“點為C的一個焦點”的充要條件.故選：C3.已知曲線，從曲線上任意一點P向y軸作垂線，垂足為，且，則點N的軌跡方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由向量找到三點的關(guān)系，設(shè)所求點的坐標(biāo)，由三點關(guān)系得到的坐標(biāo)，然后代入曲線，得到點N的軌跡方程.【詳解】∵，∴三點共線，且又∵軸，∴設(shè)，則，，∵點在上，∴，即.故選：B.4.已知不全為零的實數(shù)、、滿足，則直線被圓所截得的線段長的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出直線所過定點的坐標(biāo)，分析可知，當(dāng)時，圓心到直線的距離最大，此時，直線截圓所得弦長最小，結(jié)合勾股定理即可得解.【詳解】因為不全為零的實數(shù)、、滿足，則直線的方程可化為，即，由可得，即直線過定點，因為，即點在圓內(nèi)，圓的圓心為原點，半徑為，當(dāng)時，圓心到的距離取最大值，且最大值為，所以，直線被圓截得的弦長的最小值為.故選：B.5.已知橢圓C：的一個焦點為，且C過點，則（）A.10 B.49 C.50 D.1201【答案】D【解析】【分析】由條件知橢圓的焦點在軸上，半焦距長，短半軸長，根據(jù)的關(guān)系，可求.【詳解】橢圓C：的一個焦點為，過點，∴，∴，∴.故選：D.6.已知雙曲線C：（，）的右焦點為，點在C上，則C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知列方程組求得，再由離心率公式計算．【詳解】點在C上，右焦點，，則，解得，所以離心率，故選：A．7.直線l：與圓的公共點個數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.1或2【答案】C【解析】【分析】利用直線恒過定點，且定點在圓的內(nèi)部，即可得到結(jié)論.【詳解】由整理得：，可知圓圓心坐標(biāo)為，半徑為，再由直線l：恒過點，由圓心到點的距離為，可知，所以點在圓的內(nèi)部，即直線l與圓一定有兩個交點.故選：C.8.已知橢圓：（，）的左、右焦點分別為，，點是上一點，直線，的斜率分別為，，且是面積為的直角三角形.則的方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由直線斜率的關(guān)系得到兩直線垂直，且知道直角三角形中，得到，由面積求出的值，由橢圓定義和橢圓的性質(zhì)求出的值，得到橢圓方程.【詳解】∵，∴，∵，∴設(shè)，則，∴，∴，∴，∵，∵，∴，∴橢圓方程為：.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.用一個平面去截一個圓柱的側(cè)面，可以得到以下哪些圖形（）A.兩條平行直線 B.兩條相交直線 C.圓 D.橢圓【答案】CD【解析】【分析】分平面與底面平行和平面與底面的夾角為銳角兩種情況，得到圖形為圓和橢圓.【詳解】一個平面去截一個圓柱的側(cè)面，若平面與底面平行，則得到的圖形為圓，若平面與底面夾角為銳角時，可以得到的圖形為橢圓.故選：CD10.設(shè)拋物線C：的準(zhǔn)線為l，點P為C上的動點，過點P作圓A：的一條切線，切點為Q，過點P作l的垂線，垂足為B.則（）A.l與圓A相交 B.當(dāng)點P，A，B共線時，C.時，的面積為2或6 D.滿足的點P恰有2個【答案】BCD【解析】【分析】對于A，由拋物線與圓的方程，可得準(zhǔn)線方程與圓心半徑，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，可得答案；對于B，由題意作圖，求得點的坐標(biāo)，根據(jù)圓的切線性質(zhì)與勾股定理，可得答案；對于C，根據(jù)拋物線的性質(zhì)求得點的坐標(biāo)，利用分類討論，結(jié)合圖象，可得答案；對于D，根據(jù)拋物線的性質(zhì)，求得固定線段的中垂線，聯(lián)立方程求交點，可得答案.【詳解】對于A，由拋物線，即，則準(zhǔn)線，由圓整理可得，則圓心，半徑r=1，由圓心到直線y=?1的距離為，則圓與直線相切，故A錯誤；對于B，由題意作圖如下：由共線，且，當(dāng)時，，則，，，，故B正確；對于C，由，則令，，解得，當(dāng)時，的高為，面積為，如下圖：當(dāng)時，的高為，面積為，如下圖：故C正確；對于D，由題意可作圖如下：.由拋物線整理可得，則其焦點，易知，由直線的斜率，線段中點，則線段的中垂線方程為，整理可得，聯(lián)立，消可得，，所以線段的中垂線與拋物線存在兩個交點，故D正確.故選：BCD.11.已知分別為雙曲線的左?右焦點，過的直線與圓相切于點，與第二象限內(nèi)的漸近線交于點，則（）A.雙曲線的離心率B.若，則的漸近線方程為C.若，則的漸近線方程為D.若，則的漸近線方程為【答案】AC【解析】【分析】利用可得，與漸近線斜率相比較即可構(gòu)造不等式求得離心率，知A正確；根據(jù)斜率關(guān)系可知直線為雙曲線一條漸近線，利用可構(gòu)造方程求得B正確；分別利用和可構(gòu)造方程求得CD正誤.【詳解】對于A，，，，，，，又與第二象限內(nèi)的漸近線交于點，，即，，，A正確；對于B，由A知：，又，，直線即為雙曲線的一條漸近線，，，又，，，，，，，整理可得：，，，，即，解得：，的漸近線方程為，B錯誤；對于C，，，，，，整理可得：，即，，，的漸近線方程為，C正確；對于D，，，，，，，，整理可得：，，，，的漸近線方程為，D錯誤.故選：AC.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查雙曲線離心率、漸近線的求解問題，解題關(guān)鍵是能夠利用余弦定理和漸近線斜率構(gòu)造關(guān)于的方程，進(jìn)而求得雙曲線的離心率和漸近線方程.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知圓與x軸相切，則__________.【答案】【解析】【分析】整理圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)式，明確圓心與半徑，由切線建立方程，可得答案.【詳解】由圓的方程整理可得圓，則圓心，半徑，由圓與軸相切，則，解得.故答案為：.13.已知拋物線C：的焦點恰為圓的圓心，點是與圓的一個交點，則點到直線的距離為__________，點到直線的距離為__________.【答案】①.②.【解析】【分析】由圓標(biāo)準(zhǔn)方程得到圓心，從而知道焦點坐標(biāo)和的值，寫出拋物線方程后聯(lián)立方程組，解得點坐標(biāo)，根據(jù)點到直線的距離公式求得結(jié)果.【詳解】∵圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，∴圓心為0,1，半徑，∴，即，即拋物線C：，F(xiàn)0,1聯(lián)立方程組，解得或（∵舍去）∴∴或∵直線與軸重合，∴點到直線的距離為，由對稱性可知，無論取哪個點，點到直線的距離相等，∴取，直線，∴點到直線的距離，故答案為：①4②14.已知曲線C是橢圓被雙曲線（）所截得的部分（含端點），點P是C上一點，，，則的最大值與最小值的比值是__________.【答案】2【解析】【分析】由橢圓的定義，可得焦半徑的和，整理所求差值為函數(shù)，利用分類討論并結(jié)合圖象，可得答案.【詳解】由橢圓，則，，易知為橢圓的左右焦點，由為橢圓上的點，則，可得，所以，聯(lián)立，解得，當(dāng)時，取得最小值，則取得最小值如下圖：；當(dāng)時，取得最大值，則取得最大值，如下圖：.所以的最大值與最小值的比值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.著名古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了橢圓的面積公式，（a，b分別為橢圓的長半軸長和短半軸長）為后續(xù)微積分的開拓奠定了基礎(chǔ)，已知橢圓C：.（1）求C的面積；（2）若直線l：交C于A，B兩點，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由橢圓C的方程可知的值，代入橢圓的面積公式即可；（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用韋達(dá)定理及弦長公式求解.【小問1詳解】由橢圓C的方程可知，，所以，橢圓C的面積；【小問2詳解】聯(lián)立，得，設(shè)，則，，∴，所以，.16.已知橢圓C：上的左、右焦點分別為，，直線與C交于兩點，若面積是面積的3倍，求的值.【答案】【解析】【分析】根據(jù)與同底不等高的特點將面積比表示為高之比，結(jié)合直線與橢圓聯(lián)立后所得方程的判別式求解出的值.【詳解】解：將直線與橢圓聯(lián)立，消去可得，因為直線與橢圓相交于點，則，解得，設(shè)到的距離為，到的距離為，易知F1?1,0，F(xiàn)21,0，則，，所以，解得或(舍去)，故.17.已知橢圓C：，直線l過原點，且與C相交于A，B兩點，并與點構(gòu)成三角形.（1）求的周長的取值范圍：（2）求的面積S的最大值.【答案】（1）（2）12【解析】【分析】（1）由橢圓定義得到的周長為，設(shè)，且，求出，求出周長的取值范圍；（2）表達(dá)出，結(jié)合，得到面積的最大值.【小問1詳解】由題可得，，則，故，所以為橢圓的其中一個焦點，則另一個焦點坐標(biāo)為，連接，由對稱性可知，，故，則的周長為，設(shè)，，因為三點構(gòu)成三角形，故不共線，所以，故且，則，因為，故，所以的周長；【小問2詳解】，不共線，故，所以，S的最大值為12.18.已知橢圓的離心率為，點在橢圓上．（1）求橢圓的方程；（2）已知橢圓的右頂點為，過作直線與橢圓交于另一點，且，求直線l的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用給的條件列方程求得的值，進(jìn)而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）聯(lián)立圓與橢圓的方程，先求得點的坐標(biāo)，進(jìn)而得到表達(dá)式，再化簡即可求得．【小問1詳解】由題可知，其中，所以,又點在橢圓上，所以，即，解得，所以橢圓E的方程為．【小問2詳解】由橢圓的方程，得，所以，設(shè)，其中，因為，所以，又點在橢圓上，所以，聯(lián)立方程組，得，解得或（舍），當(dāng)時，，即或．所以當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為時，直線的方程為；當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為時，直線的方程為．綜上，直線的方程為或.19.若平面內(nèi)的曲線C與某正方形A四條邊的所在直線均相切，則稱曲線C為正方形A的一條“切曲線”，正方形A為曲線C的一個“切立方”.（