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福建省華安一中、長泰一中等四校2025屆高三適應(yīng)性調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若,,,點(diǎn)C在AB上,且,設(shè),則的值為()A. B. C. D.2.在我國傳統(tǒng)文化“五行”中,有“金、木、水、火、土”五個物質(zhì)類別,在五者之間,有一種“相生”的關(guān)系,具體是:金生水、水生木、木生火、火生土、土生金.從五行中任取兩個,這二者具有相生關(guān)系的概率是()A.0.2 B.0.5 C.0.4 D.0.83.已知不等式組表示的平面區(qū)域的面積為9,若點(diǎn),則的最大值為()A.3 B.6 C.9 D.124.過拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)F,且斜率為的直線交C于點(diǎn)M(M在x軸的上方),l為C的準(zhǔn)線,點(diǎn)N在l上且MN⊥l,則M到直線NF的距離為()A. B. C. D.5.已知非零向量、,若且,則向量在向量方向上的投影為()A. B. C. D.6.木匠師傅對一個圓錐形木件進(jìn)行加工后得到一個三視圖如圖所示的新木件,則該木件的體積()A. B. C. D.7.下邊程序框圖的算法源于我國古代的中國剩余定理.把運(yùn)算“正整數(shù)除以正整數(shù)所得的余數(shù)是”記為“”,例如.執(zhí)行該程序框圖,則輸出的等于()A.16 B.17 C.18 D.198.函數(shù)在的圖象大致為()A. B.C. D.9.已知函數(shù),則()A. B.1 C.-1 D.010.已知向量,(其中為實(shí)數(shù)),則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件11.已知(為虛數(shù)單位,為的共軛復(fù)數(shù)),則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在().A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限12.若復(fù)數(shù)(是虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.某班星期一共八節(jié)課(上午、下午各四節(jié),其中下午最后兩節(jié)為社團(tuán)活動),排課要求為:語文、數(shù)學(xué)、外語、物理、化學(xué)各排一節(jié),從生物、歷史、地理、政治四科中選排一節(jié).若數(shù)學(xué)必須安排在上午且與外語不相鄰(上午第四節(jié)和下午第一節(jié)不算相鄰),則不同的排法有__________種.14.已知點(diǎn)是拋物線上動點(diǎn),是拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn)的坐標(biāo)為,則的最小值為______________.15.在矩形ABCD中,,,點(diǎn)E,F(xiàn)分別為BC,CD邊上動點(diǎn),且滿足,則的最大值為________.16.定義在封閉的平面區(qū)域內(nèi)任意兩點(diǎn)的距離的最大值稱為平面區(qū)域的“直徑”.已知銳角三角形的三個點(diǎn),,,在半徑為的圓上,且,分別以各邊為直徑向外作三個半圓,這三個半圓和構(gòu)成平面區(qū)域,則平面區(qū)域的“直徑”的最大值是__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)己知點(diǎn),分別是橢圓的上頂點(diǎn)和左焦點(diǎn),若與圓相切于點(diǎn),且點(diǎn)是線段靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn).求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;直線與橢圓只有一個公共點(diǎn),且點(diǎn)在第二象限,過坐標(biāo)原點(diǎn)且與垂直的直線與圓相交于,兩點(diǎn),求面積的取值范圍.18.(12分)運(yùn)輸一批海鮮,可在汽車、火車、飛機(jī)三種運(yùn)輸工具中選擇,它們的速度分別為60千米/小時、120千米/小時、600千米/小時,每千米的運(yùn)費(fèi)分別為20元、10元、50元.這批海鮮在運(yùn)輸過程中每小時的損耗為m元(),運(yùn)輸?shù)穆烦虨镾(千米).設(shè)用汽車、火車、飛機(jī)三種運(yùn)輸工具運(yùn)輸時各自的總費(fèi)用(包括運(yùn)費(fèi)和損耗費(fèi))分別為(元)、(元)、(元).(1)請分別寫出、、的表達(dá)式;(2)試確定使用哪種運(yùn)輸工具總費(fèi)用最省.19.(12分)在正三棱柱ABCA1B1C1中,已知AB=1,AA1=2,E,F(xiàn),G分別是棱AA1,AC和A1C1的中點(diǎn),以為正交基底,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系F-xyz.(1)求異面直線AC與BE所成角的余弦值;(2)求二面角F-BC1-C的余弦值.20.(12分)如圖,在四棱錐中,,,,和均為邊長為的等邊三角形.(1)求證:平面平面;(2)求二面角的余弦值.21.(12分)已知函數(shù),不等式的解集為.(1)求實(shí)數(shù),的值;(2)若,,,求證:.22.(10分)在中,內(nèi)角的對邊分別是,滿足條件.(1)求角;(2)若邊上的高為,求的長.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
利用向量的數(shù)量積運(yùn)算即可算出.【詳解】解:,,又在上,故選:【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的基本運(yùn)算的應(yīng)用,向量的基本定理的應(yīng)用及向量共線定理等知識的綜合應(yīng)用.2、B【解析】
利用列舉法,結(jié)合古典概型概率計(jì)算公式,計(jì)算出所求概率.【詳解】從五行中任取兩個,所有可能的方法為:金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土,共種,其中由相生關(guān)系的有金水、木水、木火、火土、金土,共種,所以所求的概率為.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查古典概型的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】
分析:先畫出滿足約束條件對應(yīng)的平面區(qū)域,利用平面區(qū)域的面積為9求出,然后分析平面區(qū)域多邊形的各個頂點(diǎn),即求出邊界線的交點(diǎn)坐標(biāo),代入目標(biāo)函數(shù)求得最大值.詳解:作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖所示:則,所以平面區(qū)域的面積,解得,此時,由圖可得當(dāng)過點(diǎn)時,取得最大值9,故選C.點(diǎn)睛:該題考查的是有關(guān)線性規(guī)劃的問題,在求解的過程中,首先需要正確畫出約束條件對應(yīng)的可行域,之后根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的形式,判斷z的幾何意義,之后畫出一條直線,上下平移,判斷哪個點(diǎn)是最優(yōu)解,從而聯(lián)立方程組,求得最優(yōu)解的坐標(biāo),代入求值,要明確目標(biāo)函數(shù)的形式大體上有三種:斜率型、截距型、距離型;根據(jù)不同的形式,應(yīng)用相應(yīng)的方法求解.4、C【解析】
聯(lián)立方程解得M(3,),根據(jù)MN⊥l得|MN|=|MF|=4,得到△MNF是邊長為4的等邊三角形,計(jì)算距離得到答案.【詳解】依題意得F(1,0),則直線FM的方程是y=(x-1).由得x=或x=3.由M在x軸的上方得M(3,),由MN⊥l得|MN|=|MF|=3+1=4又∠NMF等于直線FM的傾斜角,即∠NMF=60°,因此△MNF是邊長為4的等邊三角形點(diǎn)M到直線NF的距離為故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了直線和拋物線的位置關(guān)系,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.5、D【解析】
設(shè)非零向量與的夾角為,在等式兩邊平方,求出的值,進(jìn)而可求得向量在向量方向上的投影為,即可得解.【詳解】,由得,整理得,,解得,因此,向量在向量方向上的投影為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查向量投影的計(jì)算,同時也考查利用向量的模計(jì)算向量的夾角,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】
由三視圖知幾何體是一個從圓錐中截出來的錐體,圓錐底面半徑為,圓錐的高,截去的底面劣弧的圓心角為,底面剩余部分的面積為,利用錐體的體積公式即可求得.【詳解】由已知中的三視圖知圓錐底面半徑為,圓錐的高,圓錐母線,截去的底面弧的圓心角為120°,底面剩余部分的面積為,故幾何體的體積為:.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了三視圖還原幾何體及體積求解問題,考查了學(xué)生空間想象,數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,難度一般.7、B【解析】
由已知中的程序框圖可知,該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量的值,模擬程序的運(yùn)行過程,代入四個選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證即可.【詳解】解:由程序框圖可知,輸出的數(shù)應(yīng)為被3除余2,被5除余2的且大于10的最小整數(shù).若輸出,則不符合題意,排除;若輸出,則,符合題意.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了程序框圖.當(dāng)循環(huán)的次數(shù)不多,或有規(guī)律時,常采用循環(huán)模擬或代入選項(xiàng)驗(yàn)證的方法進(jìn)行解答.8、B【解析】
先考慮奇偶性,再考慮特殊值,用排除法即可得到正確答案.【詳解】是奇函數(shù),排除C,D;,排除A.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象的判斷,屬于??碱}.9、A【解析】
由函數(shù),求得,進(jìn)而求得的值,得到答案.【詳解】由題意函數(shù),則,所以,故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了分段函數(shù)的求值問題,其中解答中根據(jù)分段函數(shù)的解析式,代入求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】
結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示,將兩個條件相互推導(dǎo),根據(jù)能否推導(dǎo)的情況判斷出充分、必要條件.【詳解】由,則,所以;而當(dāng),則,解得或.所以“”是“”的充分不必要條件.故選:A【點(diǎn)睛】本小題考查平面向量的運(yùn)算,向量垂直,充要條件等基礎(chǔ)知識;考查運(yùn)算求解能力,推理論證能力,應(yīng)用意識.11、D【解析】
設(shè),由,得,利用復(fù)數(shù)相等建立方程組即可.【詳解】設(shè),則,所以,解得,故,復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為,在第四象限.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義,涉及到共軛復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)的模等知識,考查學(xué)生的基本計(jì)算能力,是一道容易題.12、A【解析】
將整理成的形式,得到復(fù)數(shù)所對應(yīng)的的點(diǎn),從而可選出所在象限.【詳解】解:,所以所對應(yīng)的點(diǎn)為在第一象限.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算,考查了復(fù)數(shù)對應(yīng)的坐標(biāo).易錯點(diǎn)是誤把當(dāng)成進(jìn)行計(jì)算.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1344【解析】
分四種情況討論即可【詳解】解:數(shù)學(xué)排在第一節(jié)時有:數(shù)學(xué)排在第二節(jié)時有:數(shù)學(xué)排在第三節(jié)時有:數(shù)學(xué)排在第四節(jié)時有:所以共有1344種故答案為:1344【點(diǎn)睛】考查排列、組合的應(yīng)用,注意分類討論,做到不重不漏;基礎(chǔ)題.14、【解析】
過點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線,為垂足,則由拋物線的定義可得,則,為銳角.故當(dāng)和拋物線相切時,的值最小.再利用直線的斜率公式、導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切點(diǎn)的坐標(biāo),從而求得的最小值.【詳解】解:由題意可得,拋物線的焦點(diǎn),準(zhǔn)線方程為,過點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線,為垂足,則由拋物線的定義可得,則,為銳角.故當(dāng)最小時,的值最小.設(shè)切點(diǎn),由的導(dǎo)數(shù)為,則的斜率為,求得,可得,,,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義,性質(zhì)的簡單應(yīng)用,直線的斜率公式,導(dǎo)數(shù)的幾何意義,屬于中檔題.15、【解析】
利用平面直角坐標(biāo)系,設(shè)出點(diǎn)E,F(xiàn)的坐標(biāo),由可得,利用數(shù)量積運(yùn)算求得,再利用線性規(guī)劃的知識求出的最大值.【詳解】建立平面直角坐標(biāo)系,如圖(1)所示:設(shè),,,即,又,令,其中,畫出圖形,如圖(2)所示:當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時,取得最大值.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算、簡單的線性規(guī)劃問題,解題的關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】
先找到平面區(qū)域內(nèi)任意兩點(diǎn)的最大值為,再利用三角恒等變換化簡即可得到最大值.【詳解】由已知及正弦定理,得,所以,,取AB中點(diǎn)E,AC中點(diǎn)F,BC中點(diǎn)G,如圖所示顯然平面區(qū)域任意兩點(diǎn)距離最大值為,而,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理在平面幾何中的應(yīng)用問題,涉及到距離的最值問題,在處理這類問題時,一定要數(shù)形結(jié)合,本題屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、;.【解析】
連接,由三角形相似得,,進(jìn)而得出,,寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;由得,,因?yàn)橹本€與橢圓相切于點(diǎn),,解得,,因?yàn)辄c(diǎn)在第二象限,所以,,所以,設(shè)直線與垂直交于點(diǎn),則是點(diǎn)到直線的距離,設(shè)直線的方程為,則,求出面積的取值范圍.【詳解】解:連接,由可得,,,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;由得,,因?yàn)橹本€與橢圓相切于點(diǎn),所以,即,解得,,即點(diǎn)的坐標(biāo)為,因?yàn)辄c(diǎn)在第二象限,所以,,所以,所以點(diǎn)的坐標(biāo)為,設(shè)直線與垂直交于點(diǎn),則是點(diǎn)到直線的距離,設(shè)直線的方程為,則,當(dāng)且僅當(dāng),即時,有最大值,所以,即面積的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查直線和橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用,利用基本不等式,屬于難題.18、(1),,.(2)當(dāng)時,此時選擇火車運(yùn)輸費(fèi)最??;當(dāng)時,此時選擇飛機(jī)運(yùn)輸費(fèi)用最省;當(dāng)時,此時選擇火車或飛機(jī)運(yùn)輸費(fèi)用最省.【解析】
(1)將運(yùn)費(fèi)和損耗費(fèi)相加得出總費(fèi)用的表達(dá)式.(2)作差比較、的大小關(guān)系得出結(jié)論.【詳解】(1),,.(2),故,恒成立,故只需比較與的大小關(guān)系即可,令,故當(dāng),即時,,即,此時選擇火車運(yùn)輸費(fèi)最省,當(dāng),即時,,即,此時選擇飛機(jī)運(yùn)輸費(fèi)用最省.當(dāng),即時,,,此時選擇火車或飛機(jī)運(yùn)輸費(fèi)用最省.【點(diǎn)睛】本題考查了常見函數(shù)的模型,考查了分類討論的思想,屬于基礎(chǔ)題.19、(1).(2).【解析】
(1)先根據(jù)空間直角坐標(biāo)系,求得向量和向量的坐標(biāo),再利用線線角的向量方法求解.(2)分別求得平面BFC1的一個法向量和平面BCC1的一個法向量,再利用面面角的向量方法求解.【詳解】規(guī)范解答(1)因?yàn)锳B=1,AA1=2,則F(0,0,0),A,C,B,E,所以=(-1,0,0),=記異面直線AC和BE所成角為α,則cosα=|cos〈〉|==,所以異面直線AC和BE所成角的余弦值為.(2)設(shè)平面BFC1的法向量為=(x1,y1,z1).因?yàn)椋?,=,則取x1=4,得平面BFC1的一個法向量為=(4,0,1).設(shè)平面BCC1的法向量為=(x2,y2,z2).因?yàn)椋?,?0,0,2),則取x2=得平面BCC1的一個法向量為=(,-1,0),所以cos〈〉==根據(jù)圖形可知二面角F-BC1-C為銳二面角,所以二面角F-BC1-C的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間向量法研究空間中線線角,面面角的求法,還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.20、(1)見證明;(2)【解析】
(1)取的中點(diǎn),連接,要證平面平面,轉(zhuǎn)證平面,即證,即可;(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn),以為軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,分別求出平面與平面的法向量,代入公式,即可得到結(jié)果.【詳解】(1)取的中
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