62排列與組合（十六大題型）（原卷版）

6．2排列與組合【題型歸納目錄】題型一：排列的概念題型二：畫樹形圖寫排列題型三：簡單的排列問題題型四：排列數(shù)公式的應(yīng)用題型五：相鄰問題題型六：不相鄰問題題型七：定序問題題型八：間接法題型九：組合概念的理解題型十：簡單的組合問題題型十一：組合數(shù)公式的應(yīng)用題型十二：多面手問題題型十三：分組、分配問題題型十四：與幾何有關(guān)的組合應(yīng)用題題型十五：隔板法題型十六：分堆問題【知識點(diǎn)梳理】知識點(diǎn)一、排列的概念1、排列的定義：一般地，從n個(gè)不同的元素中取出m（）個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列．知識點(diǎn)詮釋：（1）排列的定義中包括兩個(gè)基本內(nèi)容，一是“取出元素”，二是“按照一定的順序排列”．（2）從定義知，只有當(dāng)元素完全相同，并且元素排列的順序也完全相同時(shí)，才是同一個(gè)排列．（3）如何判斷一個(gè)具體問題是不是排列問題，就要看從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素后，再安排這m個(gè)元素時(shí)是有順序還是無順序，有順序就是排列，無順序就不是排列．知識點(diǎn)二：排列數(shù)1、排列數(shù)的定義從個(gè)不同元素中，任?。ǎ﹤€(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)叫做從個(gè)元素中取出元素的排列數(shù)，用符號表示．知識點(diǎn)詮釋：“排列”和“排列數(shù)”是兩個(gè)不同的概念，一個(gè)排列是指“從個(gè)不同的元素中，任取個(gè)元素，按照一定的順序排成一列”，它不是一個(gè)數(shù)，而是具體的一個(gè)排列（也就是具體的一件事）；2、排列數(shù)公式，其中，且．知識點(diǎn)詮釋：公式特征：第一個(gè)因數(shù)是，后面每一個(gè)因數(shù)比它前面一個(gè)少1，最后一個(gè)因數(shù)是，共有個(gè)因數(shù)．知識點(diǎn)三：階乘表示式1、階乘的概念：把正整數(shù)1到的連乘積，叫做的階乘．表示：，即!．規(guī)定：．2、排列數(shù)公式的階乘式：所以．知識點(diǎn)四：排列的常見類型與處理方法1、相鄰元素捆綁法2、相離問題插空法3、元素分析法4、位置分析法知識點(diǎn)五：組合1、定義：一般地，從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素并成一組，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)組合．知識點(diǎn)詮釋：（1）從排列與組合的定義可知，一是“取出元素”；二是“并成一組”，“并成一組”即表示與順序無關(guān)．排列與元素的順序有關(guān)，而組合與元素的順序無關(guān)，這是它們的根本區(qū)別．（2）如果兩個(gè)組合中的元素相同，那么不管元素的順序怎樣都是相同的組合；只有當(dāng)兩個(gè)組合中的元素不完全相同時(shí)，才是不同的組合．因此組合問題的本質(zhì)是分組問題，它主要涉及元素被取到或末被取到．知識點(diǎn)六：組合數(shù)及其公式1、組合數(shù)的定義：從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的組合數(shù)．記作．知識點(diǎn)詮釋：“組合”與“組合數(shù)”是兩個(gè)不同的概念：一個(gè)組合是指“從個(gè)不同的元素中取出個(gè)元素并成一組”，它不是一個(gè)數(shù)，而是具體的一件事；組合數(shù)是指“從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)”，它是一個(gè)數(shù)．2、組合數(shù)公式：（1）（，且）（2）（，且）知識點(diǎn)詮釋：上面第一個(gè)公式一般用于計(jì)算，但當(dāng)數(shù)值m、n較大時(shí)，利用第二個(gè)式子計(jì)算組合數(shù)較為方便，在對含有字母的組合數(shù)的式子進(jìn)行變形和論證時(shí)，常用第二個(gè)公式．知識點(diǎn)七：組合數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1：（，且）性質(zhì)2：（，且）知識點(diǎn)詮釋：規(guī)定：．知識點(diǎn)八、組合問題常見題型（1）“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選?。?）“至少”或“最多”含有幾個(gè)元素的題型：解這類題必須十分重視“至少”與“最多”這兩個(gè)關(guān)鍵詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)與漏解．用直接法和間接法都可以求解，但通常用直接法分類復(fù)雜時(shí)，考慮逆向思維，用間接法處理．（3）分堆問題①平均分堆，其分法數(shù)為：．②分堆但不平均，其分法數(shù)為．（4）定序問題．對于某些元素的順序固定的排列問題，可先全排，再除以定序元素的全排，或先在總位置中選出定序元素的位置而不參加排列，然后對其他元素進(jìn)行排列．（5）相同元素分組問題用“隔板法”：【典型例題】題型一：排列的概念例1．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）下列問題是排列問題嗎？(1)北京、上海、天津三個(gè)民航站之間的直達(dá)航線的飛機(jī)票的價(jià)格（假設(shè)來回的票價(jià)相同）；(2)某班40名學(xué)生在假期相互寫信；(3)會場有50個(gè)座位，要求選出3個(gè)座位，有多少種方法？若選出3個(gè)座位安排三位客人，又有多少種方法？(4)平面上有5個(gè)點(diǎn)，其中任意3個(gè)點(diǎn)不共線，這5個(gè)點(diǎn)最多可確定多少條直線？可確定多少條射線？【方法技巧與總結(jié)】判斷一個(gè)具體問題是否為排列問題的思路例2．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）判斷下列問題是否為排列問題（1）會場有50個(gè)座位，要求選出3個(gè)座位有多少種方法？若選出3個(gè)座位安排三位客人，又有多少種方法？（2）從集合M＝{1，2，…，9}中，任取兩個(gè)元素作為a，b，可以得到多少個(gè)焦點(diǎn)在x軸上的橢圓方程？可以得到多少個(gè)焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線方程?（3）平面上有5個(gè)點(diǎn)，其中任意三個(gè)點(diǎn)不共線，這5個(gè)點(diǎn)最多可確定多少條直線？可確定多少條射線？例3．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）判斷下列問題是否是排列問題.（1）同宿舍4人，每兩人互通一封信，他們一共寫了多少封信？（2）同宿舍4人，每兩人通一次，他們一共通了幾次？題型二：畫樹形圖寫排列例4．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）寫出4個(gè)元素a，b，c，d的所有排列．【方法技巧與總結(jié)】樹形圖的畫法（1）確定首位，以哪個(gè)元素在首位為分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行確定首位．（2）確定第二位，在每一個(gè)分支上再按余下的元素，在前面元素不變的情況下定第二位并按順序分類．（3）重復(fù)以上步驟，直到寫完一個(gè)排列為止．例5．（2022·全國·高二）從語文、數(shù)學(xué)、英語、物理4本書中任意取出3本分給甲、乙、丙三人，每人一本，試將所有不同的分法列舉出來．例6．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）寫出下列問題的所有排列：（1）北京、廣州、南京、天津4個(gè)城市相互通航，應(yīng)該有多少種機(jī)票？（2）A、B、C、D四名同學(xué)排成一排照相，要求自左向右，A不排第一，B不排第四，共有多少種不同的排列方法？題型三：簡單的排列問題例7．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）某藥品研究所研制了5種消炎藥，，，，，4種退熱藥，，，，現(xiàn)從中取2種消炎藥和1種退熱藥同時(shí)進(jìn)行療效試驗(yàn)，但，兩種藥或同時(shí)用或同時(shí)不用，，兩種藥不能同時(shí)使用，試寫出所有不同的試驗(yàn)方法.【方法技巧與總結(jié)】對于簡單的排列問題，其解題思路可借助分步乘法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行，即采用元素分析法或位置分析法求解．例8．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）請列出下列排列：(1)從4個(gè)不同元素a，b，c，d中任取3個(gè)元素的所有排列；(2)從7個(gè)不同元素a，b，c，d，e，f，g中任取2個(gè)元素的所有排列．例9．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）用紅、黃、藍(lán)3面小旗（3面小旗都要用）豎掛在繩上表示信號，不同的順序表示不同的信號，試寫出所有的信號．題型四：排列數(shù)公式的應(yīng)用例10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）（1）解不等式：；（2）解方程：．【方法技巧與總結(jié)】排列數(shù)公式的選擇（1）排列數(shù)公式的乘積形式適用于計(jì)算排列數(shù)．（2）排列數(shù)公式的階乘形式主要用于與排列數(shù)有關(guān)的證明、解方程和不等式等問題，具體應(yīng)用時(shí)注意階乘的性質(zhì)，提取公因式，可以簡化計(jì)算．例11．（2022·全國·高三專題練習(xí)）（1）用排列數(shù)表示(n∈N*且n<55)；（2）計(jì)算；（3）求證：.例12．（2022·全國·高三專題練習(xí)）（1）解方程：；（2）解不等式：.題型五：相鄰問題例13．（2022·遼寧·大連佰圣高級中學(xué)高二期中）小陳準(zhǔn)備將新買的《尚書·禮記》、《左傳》、《孟子》、《論語》、《詩經(jīng)》五本書立起來放在書架上，若要求《論語》、《詩經(jīng)》兩本書相鄰，且《尚書·禮記》放在兩端，則不同的擺放方法有（

）A．18種 B．24種 C．36種 D．48種【方法技巧與總結(jié)】相鄰問題捆綁法例14．（2022·貴州·貴陽一中高三階段練習(xí)（理））開學(xué)典禮上甲、乙、丙、丁、戊這5名同學(xué)從左至右排成一排上臺領(lǐng)獎(jiǎng)，要求甲與乙相鄰且甲與丙之間恰好有1名同學(xué)的排法有（

）種．A．12 B．16 C．20 D．24例15．（2022·全國·高三專題練習(xí)）甲、乙等6人去參觀民間剪紙藝術(shù)展，參觀結(jié)束后，他們站成一排拍照留念，則甲、乙相鄰的不同站法有（

）A．120種 B．240種 C．360種 D．480種題型六：不相鄰問題例16．（2022·北京·高考真題（文））某班新年聯(lián)歡會原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目．如果將這兩個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個(gè)新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數(shù)為（

）A．6 B．12 C．15 D．30【方法技巧與總結(jié)】不相鄰問題插空法例17．（2022·黑龍江·哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校高二階段練習(xí)）中國古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)”，合稱“六藝”.“禮”主要指德育；“樂”主要指美育；“射”和“御”就是體育和勞動；“書”指各種歷史文化知識；“數(shù)”指數(shù)學(xué).某校國學(xué)社團(tuán)開展“六藝”講座活動，每次講一藝.講座次序要求“數(shù)”不在第一次也不在第六次，“禮”和“樂”不相鄰，則“六藝”講座不同的次序共有（

）A．480種 B．336種 C．144種 D．96種例18．（2022·重慶十八中高二期末）霍慶市海軍青少年航空學(xué)校招生，某服務(wù)站點(diǎn)需要連續(xù)五天有志愿者參加志愿服務(wù)，每天只需要一名志愿者，現(xiàn)有5名志愿者計(jì)劃依次安排到該服務(wù)站點(diǎn)參加服務(wù)，要求志愿者甲不安排第一天，志愿者乙和丙不在相鄰兩天參加服務(wù)，則不同的安排方案共有（

）A．48種 B．60種 C．76種 D．96種題型七：定序問題例19．（2022·遼寧·同澤高中高二階段練習(xí)）10名同學(xué)進(jìn)行隊(duì)列訓(xùn)練，站成前排3人后排7人，現(xiàn)體育教師要從后排7人中抽2人調(diào)整到前排，若其他人的相對順序不變，則不同調(diào)整方法有______種【方法技巧與總結(jié)】先選后排例20．（2022·上海市金山中學(xué)高二期末）某次演出有6個(gè)節(jié)目，若甲、乙、丙3個(gè)節(jié)目的先后順序已確定，則不同的排法有____種．甲、乙、丙3個(gè)節(jié)目全排列有,所以演出中的6個(gè)節(jié)目，若甲、乙、丙3個(gè)節(jié)目的先后順序已確定，則不同的排法有，故答案為：.例21．（2022·天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)高二期末）在8所高水平的高校代表隊(duì)中，選擇5所高校進(jìn)行航模表演.如果、為必選的高校，并且在航模表演過程中必須按先后的次序（、兩高校的次序可以不相鄰），則可選擇的不同航模表演順序有_______.變式1．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）期中安排考試科目9門，語文，數(shù)學(xué)，英語三門課的前后順序已經(jīng)確定，則期中考試不同的安排順序有______種．變式2．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）將A，B，C，D，E這5個(gè)字母排成一列，要求A，B，C在排列中的順序?yàn)锳，B，C或C，B，A（可以不相鄰），這樣的排列方法有______種.（用數(shù)字作答）變式3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，某貨場有三堆集裝箱，每堆2個(gè)，現(xiàn)需要全部裝運(yùn)，每次只能從其中一堆取最上面的一個(gè)集裝箱，則在裝運(yùn)的過程中不同取法的種數(shù)是____________（用數(shù)字作答）.題型八：間接法例22．（2022·北京海淀·高二期末）某班周一上午共有四節(jié)課，計(jì)劃安排語文、數(shù)學(xué)、美術(shù)、體育各一節(jié)，要求體育不排在第一節(jié)，則該班周一上午不同的排課方案共有（

）A．24種 B．18種 C．12種 D．6種【方法技巧與總結(jié)】正難則反例23．（2022·全國·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)高二期末）某人根據(jù)自己愛好，希望從中選2個(gè)不同字母，從中選3個(gè)不同數(shù)字編擬車牌號，要求前3位是數(shù)字，后兩位是字母，且數(shù)字2不能排在首位，字母和數(shù)字2不能相鄰，那么滿足要求的車牌號有（

）A．198個(gè) B．180個(gè) C．216個(gè) D．234個(gè)例24．（2022·江蘇·常州市武進(jìn)區(qū)禮嘉中學(xué)高二階段練習(xí)）小李和父母、爺爺奶奶一起排隊(duì)去做核酸，5人排成一列（他們之間沒有其他人）.若小李的父母至少有一人與他相鄰，則不同排法的總數(shù)為（

）A．84 B．78 C．108 D．96變式4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）中國空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心實(shí)驗(yàn)艙?問天實(shí)驗(yàn)艙和夢天實(shí)驗(yàn)艙，假設(shè)空間站要安排甲?乙等5名航天員開展實(shí)驗(yàn)，三艙中每個(gè)艙至少一人至多二人，則甲乙不在同一實(shí)驗(yàn)艙的種數(shù)有（

）A．60 B．66 C．72 D．80題型九：組合概念的理解例25．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）判斷下列問題是組合問題還是排列問題．(1)若集合，則集合的含有3個(gè)元素的子集有多少個(gè)？(2)某鐵路線上有4個(gè)車站，則這條鐵路線上需準(zhǔn)備多少種車票？(3)從7本不同的書中取出5本給某同學(xué)；(4)三個(gè)人去做5種不同的工作，每人做1種，有多少種分工方法？(5)把3本相同的書分給5個(gè)學(xué)生，每人最多得一本，有多少種分配方法？【方法技巧與總結(jié)】排列、組合辨析切入點(diǎn)（1）組合的特點(diǎn)是只選不排，即組合只是從n個(gè)不同的元素中取出m（m≤n）個(gè)不同的元素即可．（2）只要兩個(gè)組合中的元素完全相同，不管順序如何，這兩個(gè)組合就是相同的組合．（3）判斷組合與排列的依據(jù)是看是否與順序有關(guān)，與順序有關(guān)的是排列問題，與順序無關(guān)的是組合問題．例26．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）判斷下列問題是排列問題還是組合問題，并求出相應(yīng)的排列數(shù)或組合數(shù).（1）10個(gè)人相互寫一封信，一共寫了多少封信？（2）10個(gè)人相互通一次，一共通了多少次？（3）10支球隊(duì)以單循環(huán)進(jìn)行比賽(每兩隊(duì)比賽一次)，這次比賽需要進(jìn)行多少場？（4）從10個(gè)人中選3人去開會，有多少種選法？（5）從10個(gè)人中選出3人擔(dān)任不同學(xué)科的課代表，有多少種選法？例27．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）給出下列問題：（1）從a，b，c，d四名學(xué)生中選2名學(xué)生完成一件工作，有多少種不同的選法？（2）從a，b，c，d四名學(xué)生中選2名學(xué)生完成兩件不同的工作，有多少種不同的選法？（3）a，b，c，d四支足球隊(duì)之間進(jìn)行單循環(huán)比賽，共需賽多少場？（4）a，b，c，d四支足球隊(duì)爭奪冠亞軍，有多少種不同的結(jié)果？（5）某人射擊8槍，命中4槍，且命中的4槍均為2槍連中，不同的結(jié)果有多少種？（6）某人射擊8槍，命中4槍，且命中的4槍中恰有3槍連中，不同的結(jié)果有多少種？在上述問題中，哪些是組合問題？哪些是排列問題？題型十：簡單的組合問題例28．（2022·云南·昆明一中模擬預(yù)測（理））在高三下學(xué)期初，某校開展教師對學(xué)生的家庭學(xué)習(xí)問卷調(diào)查活動，已知現(xiàn)有3名教師對4名學(xué)生進(jìn)行家庭問卷調(diào)查，若這3名教師每位至少到一名學(xué)生家中問卷調(diào)查，又這4名學(xué)生的家庭都能且只能得到一名教師的問卷調(diào)查，那么不同的問卷調(diào)查方案的種數(shù)為__________．【方法技巧與總結(jié)】利用排列與組合之間的關(guān)系，建立起排列數(shù)與組合數(shù)之間的計(jì)算方法，借助排列數(shù)求組合數(shù)．例29．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）甲、乙、丙、丁4支足球隊(duì)舉行單循環(huán)賽.（1）列出所有各場比賽的雙方；（2）列出所有冠、亞軍的可能情況.例30．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）一個(gè)口袋內(nèi)有3個(gè)不同的紅球，4個(gè)不同的白球（1）從中任取3個(gè)球，紅球的個(gè)數(shù)不比白球少的取法有多少種？（2）若取一個(gè)紅球記2分，取一個(gè)白球記1分，從中任取4個(gè)球，使總分不少于6分的取法有多少種？題型十一：組合數(shù)公式的應(yīng)用例31．（2022·全國·高三專題練習(xí)）（1）若，求正整數(shù)n的值；（2）已知，求正整數(shù)n的值．【方法技巧與總結(jié)】（1）組合數(shù)公式一般用于計(jì)算，而組合數(shù)公式般用于含字母的式子的化簡與證明．（2）要善于挖掘題目中的隱含條件，簡化解題過程，如組合數(shù)的隱含條件為，且．（3）計(jì)算時(shí)應(yīng)注意利用組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)：①；②．例32．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）證明：．例33．（2022·全國·高三專題練習(xí)）（1）求值：（2）求關(guān)于的不等式的解集．變式5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）（1）若，求的值；（2）求的值.變式6．（2022·安徽·合肥市第十一中學(xué)高二期末）（1）計(jì)算：;

（2）已知，求.題型十二：多面手問題例34．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某國際旅行社現(xiàn)有11名對外翻譯人員，其中有5人只會英語，4人只會法語，2人既會英語又會法語，現(xiàn)從這11人中選出4人當(dāng)英語翻譯，4人當(dāng)法語翻譯，則共有（

）種不同的選法A．225 B．185 C．145 D．110【方法技巧與總結(jié)】有限制條件的抽（選）取問題，主要有兩類（1）“含”與“不含”問題，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步計(jì)數(shù)．（2）“至多”“至少”問題，其解法常有兩種解決思路：一是直接分類法，但要注意分類要不重不漏；二是間接法，注意找準(zhǔn)對立面，確保不重不漏．例35．（2022·黑龍江·大慶市東風(fēng)中學(xué)高二期中）某龍舟隊(duì)有9名隊(duì)員，其中3人只會劃左舷，4人只會劃右舷，2人既會劃左舷又會劃右舷．現(xiàn)要選派劃左舷的3人、右舷的3人共6人去參加比賽，則不同的選派方法共有_______例36．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）某出版社的7名工人中，有3人只會排版，2人只會印刷，還有2人既會排版又會印刷，現(xiàn)從7人中安排2人排版，2人印刷，有幾種不同的安排方法．題型十三：分組、分配問題例37．（2022·湖南·高二期中）某學(xué)校開展勞動教育，決定在3月12日植樹節(jié)當(dāng)天把包含甲、乙兩班在內(nèi)的6個(gè)班級平均分到附近的3個(gè)植樹點(diǎn)植樹，則甲、乙兩班不在同一植樹點(diǎn)的分配方案數(shù)為（

）A．72 B．90 C．84 D．18【方法技巧與總結(jié)】“分組”與“分配”問題的解法（1）分組問題屬于“組合”問題，常見的分組問題有三種：①完全均勻分組，每組的元素個(gè)數(shù)均相等，均勻分成n組，最后必須除以；②部分均勻分組，應(yīng)注意不要重復(fù)，有n組均勻，最后必須除以；③完全非均勻分組，這種分組不考慮重復(fù)現(xiàn)象．（2）分配問題屬于“排列”問題，分配問題可以按要求逐個(gè)分配，也可以分組后再分配．例38．（2022·陜西·禮泉縣第一中學(xué)高三期中（理））安排6名同學(xué)去甲?乙兩個(gè)社區(qū)參加志愿者服務(wù)，每名同學(xué)只去一個(gè)社區(qū)，每個(gè)社區(qū)至少安排2名同學(xué)，則不同的安排方法共有（

）A．10種 B．20種 C．50種 D．70種例39．（2022·新疆和靜高級中學(xué)高二階段練習(xí)）中國空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心實(shí)驗(yàn)艙?問天實(shí)驗(yàn)艙和夢天實(shí)驗(yàn)艙，假設(shè)空間站要安排甲?乙等6名航天員開展實(shí)驗(yàn)，三艙中每個(gè)艙至少一人至多三人，則不同的安排方法有（

）種A．450 B．72 C．90 D．360變式7．（2022·新疆和靜高級中學(xué)高二階段練習(xí)）2022年9月3日某市新冠疫情暴發(fā)以來，某住宿制中學(xué)為做好疫情防控工作，組織5名教師組成志愿者小組，分配到高中三個(gè)年級教學(xué)樓樓門口配合醫(yī)生給學(xué)生做核酸.由于高二年級學(xué)生人數(shù)較多，要求高二教學(xué)樓志愿者人數(shù)均不少于另外兩棟教學(xué)樓志愿者人數(shù)，若每棟教學(xué)樓門至少分配1名志愿者，每名志愿者只能在1個(gè)樓門進(jìn)行服務(wù)，則不同的分配方法種數(shù)為（

）A．240 B．120 C．80 D．180變式8．（2022·甘肅·高臺縣第一中學(xué)高三階段練習(xí)（理））安徽省地形具有平原、臺地（崗地）、丘陵、山地等類型，其中丘陵地區(qū)占了很大比重，因此山地較多，著名的山也有很多，比如：黃山、九華山、天柱山.某校開設(shè)了研學(xué)旅行課程，計(jì)劃將5名優(yōu)秀學(xué)生分別派往這三個(gè)地方進(jìn)行研學(xué)旅行，每座山至少有一名學(xué)生參加，則不同的安排方案種數(shù)是（

）A．150 B．120 C．160 D．180題型十四：與幾何有關(guān)的組合應(yīng)用題例40．（2022·河南·中牟縣第一高級中學(xué)高二期中）在過長方體任意兩個(gè)頂點(diǎn)的直線中任取兩條，其中異面直線有（

）對.A．152 B．164 C．174 D．182【方法技巧與總結(jié)】（1）圖形多少的問題通常是組合問題，要注意共點(diǎn)、共線、共面、異面等情形，防止多算．常用直接法，也可采用間接法．（2）把一個(gè)與幾何相關(guān)的問題轉(zhuǎn)化為組合問題，此題目的解決體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象及數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．例41．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知兩條異面直線a，b上分別有5個(gè)點(diǎn)和8個(gè)點(diǎn)，則這13個(gè)點(diǎn)可以確定不同的平面?zhèn)€數(shù)為A．40 B．16 C．13 D．10例42．（1997·全國·高考真題（文））四面體的一個(gè)頂點(diǎn)為A，從其他頂點(diǎn)與棱的中點(diǎn)中取3個(gè)點(diǎn)，使它們和點(diǎn)A在同一平面上，不同的取法共有（

）A．30種 B．33種 C．36種 D．39種變式9．（2022·湖南·高考真題（文））從正方體的八個(gè)頂點(diǎn)中任取三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形，其中直角三角形的個(gè)數(shù)為（

）A．56 B．52 C．48 D．40變式10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）方形是中國古代城市建筑最基本的形態(tài)，它體現(xiàn)的是中國文化中以綱常倫理為代表的社會生活規(guī)則，中國古代的建筑家善于使用木制品和竹制品制作各種方形建筑.如圖，用大小相同的竹棍構(gòu)造一個(gè)大正方體（由個(gè)大小相同的小正方體構(gòu)成），若一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)，沿著竹棍到達(dá)點(diǎn)，則螞蟻選擇的不同的最短路徑共有（

）A．種 B．種C．種 D．種變式11．（2022·湖北·高三開學(xué)考試）如圖，某城市的街區(qū)由12個(gè)全等的矩形組成（實(shí)線表示馬路），CD段馬路由于正在維修，暫時(shí)不通，則從A到B的最短路徑有（

）A．23條 B．24條 C．25條 D．26條變式12．（2022·全國·高三專題練習(xí)）宋代學(xué)者聶崇義編撰的《三禮圖集注》中描述的周王城，“匠人營國，方九里，旁三門，國中九經(jīng)九緯……”；意思是周王城為正方形，邊長為九里，每邊都有左中右三個(gè)門；城內(nèi)縱橫各有九條路……；則依據(jù)此種描述，畫出周王城的平面圖，則圖中共有（

）個(gè)矩形A．3025 B．2025 C．1225 D．2525題型十五：隔板法例43．（2022·全國·高三專題練習(xí)）的展開式為多項(xiàng)式，其展開式經(jīng)過合并同類項(xiàng)后的項(xiàng)數(shù)一共有（

）A．72項(xiàng) B．75項(xiàng) C．78項(xiàng) D．81項(xiàng)例44．（2022·江蘇·吳縣中學(xué)高二期中）學(xué)校有6個(gè)優(yōu)秀學(xué)生名額，要求分配到高一、高二、高三，每個(gè)年級至少1個(gè)名額，則有（

）種分配方案．A．135 B．10 C．75 D．120例45．（2022·全國·高三專題練習(xí)）將9個(gè)志愿者名額全部分配給3個(gè)學(xué)校，則每校至少一個(gè)名額且各校名額互不相同的分配方法總數(shù)是（

）A．16 B．18 C．27 D．28變式13．（2022·全國·高三專題練習(xí)）方程的非負(fù)整數(shù)解有（

）A．組 B．136組 C．190組 D．68組變式14．（2022·河北·辛集中學(xué)高二階段練習(xí)）小明同學(xué)去文具店購買文具，現(xiàn)有四種不同樣式的筆記本可供選擇（可以有筆記本不被選擇），單價(jià)均為一元一本，小明只有元錢且要求全部花完，則不同的選購方法共有（

）A．種 B．種 C．種 D．種題型十六：分堆問題例46．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知有6本不同的書.分成三堆，每堆2本，有多少種不同的分堆方法？例47．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知有6本不同的書.分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少種不同的分堆方法？例48．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知有6本不同的書.(1)分成三堆，每堆2本，有多少種不同的分堆方法？(2)分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少種不同的分堆方法？變式15．（2022·全國·高三專題練習(xí)）6本不同的書，按照以下要求處理，各有幾種分法？(1)一堆1本，一堆2本，一堆3本；(2)甲得1本，乙得2本，丙得3本；【同步練習(xí)】一、單選題1．（2022·江蘇·海安市曲塘中學(xué)高一開學(xué)考試）階乘是基斯頓·卡曼（ChristianKramp）于1808年發(fā)明的一種運(yùn)算，正整數(shù)n的階乘記為n!，它的值為所有小于或等于n的正整數(shù)的積，即．根據(jù)上述材料，以下說法錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．2．（2022·江西·金溪一中高二階段練習(xí)（理））將五輛車停在5個(gè)車位上，其中A車不能停在1號車位上，則不同的停車方案有（

）A．24種 B．78種 C．96種 D．120種3．（2022·黑龍江·哈爾濱七十三中高二期中（理））將5名教師分到3所學(xué)校任教，要求每所學(xué)校至少一名教師，則不同的分法有（

）A．60種 B．90種 C．150種 D．180種4．（2022·貴州遵義·高三開學(xué)考試（理））現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四位同學(xué)要與兩位老師站成一排合影留念，則甲同學(xué)不站兩端且兩位老師必須相鄰的站法有（

）A．72種 B．144種 C．288種 D．576種5．（2022·江蘇·金沙中學(xué)高二階段練習(xí)）若，則（

）A．7 B．6 C．5 D．46．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）（

）A． B． C． D．7．（2022·云南·昆明市官渡區(qū)藝卓中學(xué)高三階段練習(xí)）根據(jù)新課改要求，昆明市藝卓中學(xué)對學(xué)校的課程進(jìn)行重新編排，其中對高二理科班的課程科目：語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)、生物這六個(gè)科目進(jìn)行重新編排（排某一天連續(xù)六節(jié)課的課程，其中每一節(jié)課是一個(gè)科目），編排課程要求如下：數(shù)學(xué)與物理不能相鄰，語文與生物要相鄰，則針對這六個(gè)課程不同的排課順序共有（

）A．144種 B．72種 C．36種 D．18種8．（2022·云南·昆明一中高三階段練習(xí)）為幫助某貧困山區(qū)的基層村鎮(zhèn)完成脫貧任務(wù)，某單位要從5名領(lǐng)導(dǎo)和6名科員中選出4名人員去某基層村鎮(zhèn)做幫扶工作，要求選出人員中至少要有2名領(lǐng)導(dǎo)，且必須有科員參加，則不同的選法種數(shù)是（

）A．210 B．360 C．420 D．720二、多選題9．（2022·吉林·長春十一高高二階段練習(xí)）（多選）（

）A． B． C． D．10．（2022·廣東·石門高級中學(xué)高二階段練習(xí)）下列等式中，成立的有（

）A． B． C． D．11．（2022·河北石家莊·高二期末）下列說法正確的是（

）A．甲?乙?丙?丁4人站成一排，甲不在最左端，則共有種排法B．3名男生和4名女生站成一排，則3名男生相鄰的排法共有種C．3名男生和4名女生站成一排，則3名男生互不相鄰的排法共有種D．3名男生和4名女生站成一排，3名男生互不相鄰且女生甲不能排在最左端的排法共有1296種12．（2022·河北滄州·高二期末）隨著疫情的有效控制，滄州動物園于2022年4月16日起恢復(fù)開園.開園當(dāng)天，滄州師范學(xué)院學(xué)生會的3名男生和2名女生在動物園的入口處對游客進(jìn)行新冠肺炎防疫知識宣傳.閉園后，這5名同學(xué)排成一排合影留念，則下列說法正確的是（

）A．若讓其中的男生甲排在兩端，則這5名同學(xué)共有24種不同的排法B．若要求其中的2名女生相鄰，則這5名同學(xué)共有48種不同的排法C．若要求其中的2名女生不相鄰，則