第21講簡單幾何體的表面積與體積7種?？碱}型（原卷版）

第21講簡單幾何體的表面積與體積7種?？碱}型【考點分析】考點一：多面體的表面積和體積①柱體1.棱柱的側面展開圖：棱柱的側面展開圖是平行四邊形，一邊是棱柱的側棱，另一邊等于棱柱的底面周長，如圖①所示；圓柱的側面展開圖是矩形，其中一邊是圓柱的母線，另一邊等于圓柱的底面周長，如圖②所示．2.柱體的表面積：柱體的表面積S表＝S側＋2S底．3.柱體的體積柱體的底面積S，高為h，其體積V＝Sh．②錐體1.側面展開圖：棱錐的側面展開圖是由若干個三角形拼成的，則側面積為各個三角形面積的和，如圖①所示；圓錐的側面展開圖是扇形，扇形的半徑是圓錐的母線，扇形的弧長等于圓錐的底面周長，如圖②所示．2.錐體的面積：錐體的表面積S表＝S側＋S底．3.錐體的體積錐體的底面積為S，高為h，其體積V＝eq\f(1,3)Sh．③臺體的表面積1.側面展開圖：棱臺的側面展開圖是由若干個梯形拼接而成的，則側面積為各個梯形面積的和，如圖①所示；圓臺的側面展開圖是扇環(huán)，其側面積可由大扇形的面積減去小扇形的面積而得到，如圖②所示．2.臺體的表面積：臺體的表面積S表＝S側＋S上底＋S下底．3．臺體的體積臺體的上、下底面面積分別是S′、S，高為h，其體積V＝eq\f(1,3)(S＋eq\r(SS′)＋S′)h.③球的表面積和體積1．球的體積球的半徑為R，那么它的體積V＝eq\f(4,3)πR3．2．球的表面積球的半徑為R，那么它的表面積S＝4πR2．【題型目錄】題型一：棱柱表面積體積題型二：棱錐表面積體積題型三：棱臺表面積體積題型四：圓柱表面積體積題型五：圓錐表面積體積題型六：圓臺表面積體積題型七：球的表面積體積【典型例題】題型一：棱柱表面積體積【例1】如圖，棱長為5的正方體無論從哪一個面看，都有兩個直通的邊長為1的正方形孔，則這個有孔正方體的表面積（含孔內(nèi)各面）是（

）A．258 B．234 C．222 D．210【例2】已知長方體所有棱的長度之和為28，一條對角線的長度為，則該長方體的表面積為（）A．32 B．20 C．16 D．12【例3】如圖1，一個正三棱柱容器，底面邊長為1，高為2，內(nèi)裝水若干，將容器放倒，把一個側面作為底面，如圖2，這是水面恰好是中截面，則圖1中容器水面的高度是______．【例4】我國古代建筑的屋頂對建筑立面起著特別重要的作用，古代建筑屋頂主要有廡殿式、硬山頂、歇山頂、懸山頂攢尖頂、盝頂、卷棚頂?shù)阮愋停渲杏采绞轿蓓斣煨偷淖畲筇攸c是比較簡單、樸素，只有前后兩面坡，而且屋頂在山墻墻頭處與山墻齊平，沒有伸出部分，山面裸露沒有變化．硬山式屋頂（如圖1）可近似地看作直三棱柱（如圖2），其高為，到平面的距離為，為，則可估算硬山式屋頂?shù)捏w積約為（

）A． B． C． D．【例5】某中學開展勞動實習，學習加工制作食品包裝盒，現(xiàn)有一張邊長為6的正六邊形硬紙片，如圖所示，裁掉陰影部分，然后按虛線處折成高為的正六棱柱無蓋包裝盒，則此包裝盒的表面積為______．【題型專練】1.已知直三棱柱底面的一邊長為2cm，另兩邊長都為3cm，側棱長為4cm，它的側面積為，體積為．2．如圖，已知正方體的棱長為，沿圖1中對角面將它分割成兩個部分，拼成如圖2的四棱柱，則該四棱柱的全面積為（

）A． B． C． D．3.在我國瓷器的歷史上六棱形的瓷器非常常見，因為六?八是中國人的吉利數(shù)字，所以許多瓷器都做成六棱形和八棱形的，但是六棱柱形的瓷器只有六棱柱形筆筒，其余的六棱形都不是六棱柱形.如圖為一個正六棱柱形狀的瓷器筆筒，高為，底面邊長為（數(shù)據(jù)為筆筒的外觀數(shù)據(jù)），用一層絨布將其側面包裹住，忽略絨布的厚度，則至少需要絨布的面積為（）A． B． C． D．4．如圖，用若干棱長為的小正方體組成一個模型，該模型的表面積是______.5．底面為正方形的直棱柱，它的底面對角線長為，體對角線長為，則這個棱柱的側面積是______．6．已知直平行六面體的底面是菱形，若過不相鄰的兩對側棱的截面面積分別是3和4，則這個平行六面體的側面積是______．7．如圖，一個三棱柱形容器中盛有水，且側棱.若側面AA1B1B水平放置時，液面恰好過AC，BC，A1C1，B1C1的中點.當?shù)酌鍭BC水平放置時，液面高為__________.題型二：棱錐表面積體積【例1】埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側面三角形的面積，則其側面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為（）A. B. C. D.【例2】如圖，在體積為16的斜三棱柱中，P為棱上一點，三棱錐PABC的體積為4，則三棱錐的體積為（

）A． B．2 C．3 D．4【例3】“塹堵”“陽馬”和“整臑”是我國古代對一些特殊幾何休的稱謂．《九章算術．商功》：“斜解立方，得兩塹堵，斜解塹堵，其一為陽馬，其一為整臑”，即一個長方體沿對角面斜解（圖1）．得到一模一樣的兩個塹堵（圖2），再沿一個塹堵的一個頂點和相對的棱斜解（圖2），得一個四棱錐稱為陽馬（圖3），一個三棱維稱為整臑（圖4）．若長方體的體積為V，由該長方體斜解所得到的塹堵、陽馬和整臑的體積分別為，則下列選項正確的是（

）A． B． C． D．【例4】距今5000年以上的仰韶遺址表明，我們的先人們居住的一種茅屋如圖1所示，該茅屋主體是一個正四棱錐，側面是正三角形，且在茅屋的一側建有一個入戶甬道.甬道形似從一個直三棱柱上由茅屋一個側面截取而得的幾何體，一頭與茅屋的這個側面連在一起，另一頭是一個等腰直角三角形.如圖2是該茅屋主體的直觀圖，其中正四棱錐的側棱長為8m，，，，點D在正四棱錐的斜高PH上，平面且.不考慮建筑材料的厚度，則這個茅屋（含甬道）的室內(nèi)容積為（

）A． B． C． D．【例5】六氟化硫，化學式為，在常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛的用途．六氟化硫分子結構為正八面體結構（每個面都是正三角形的八面體），如圖所示，硫原子位于正八面體的中心，6個氟原子分別位于正八面體的6個頂點．若相鄰兩個氟原子之間的距離為，則以六氟化硫分子中6個氟原子為頂點構成的正八面體的體積是（

）．（氟原子的大小可以忽略不計）A． B． C． D．【例6】將邊長為24、20、16的三角形沿三條中位線折疊成一個四面體，則該四面體的體積為______.【例7】在三棱錐中，已知，則該三棱錐的體積為___________.【例8】圖中的多面體的底面是邊長為的正方形，上面的棱平行于底面，其長為，其余的棱長都是．已知，則這個多面體的體積是______．【題型專練】1.《九章算術》是我國古代著名的數(shù)學專著，其卷五“商功”中記載這樣一個問題:今有方錐，下方二丈七尺，高二丈九尺，問積幾何?其含義是:今有正四棱錐，下底邊長為丈尺，高丈尺，問它的體積為多少立方尺（）(注丈尺)A． B． C． D．2.學生到工廠勞動實踐，利用3D打印技術制作模型.如圖，該模型為長方體挖去四棱錐O—EFGH后所得的幾何體，其中O為長方體的中心，E，F(xiàn)，G，H分別為所在棱的中點，，3D打印所用原料密度為0.9g/cm3，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為___________g.3.如圖，長方體的體積是120，E為的中點，則三棱錐E?BCD的體積是▲.4.如圖所示，正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點的多面體的體積為________．5．在三棱錐中，頂點在底面內(nèi)的投影為點，，底面是正三角形，邊長為，，分別是側棱，的中點，則四棱錐的體積為______．6．為了求一個棱長為的正四面體的體積，某同學設計如下解法：構造一個棱長為1的正方體，如圖1：則四面體為棱長是的正四面體，且有.(1)類似此解法，如圖2，一個相對棱長都相等的四面體，其三組棱長分別為、、，求此四面體的體積；(2)對棱分別相等的四面體中，，，.求證：這個四面體的四個面都是銳角三角形.題型三：棱臺表面積體積【例1】已知一個正三棱臺的兩個底面的邊長分別為4和16，側棱長為10，則該棱臺的側面積為（

）A．80 B．240 C．350 D．640【例2】已知正四棱臺上底面邊長為2，下底面邊長4，高為3，則其表面積為（

）A．36 B．C． D．48【例3】已知一個正棱臺的上、下底面是邊長分別為2、8的正方形，側棱長為5，則該棱臺的表面積為（

）A．148 B．168 C．193 D．88【例4】已知正三棱臺兩底面邊長分別為2，4，側棱長為2，則該棱臺的體積為（

）A． B． C． D．【例5】已知正六棱臺的上?下底面邊長分別為2和4，高為2，則其體積為（

）A． B． C． D．【例6】在正方體中，點為側棱上一點，且，平面將該正方體分成兩部分，其體積分別為，則__________.【題型專練】1．正四棱臺的上、下底面邊長分別是和，側棱長是，則它側面積為（

）A． B． C． D．2．已知一個正四棱臺的兩個底面的邊長分別為4和16，側棱長為10，則該棱臺的側面積為（

）．A．80 B．240 C．320 D．6403．“斗”不僅是我國古代容量單位，還是量糧食的器具，如圖所示．其可近似看作正四棱臺，上底面是邊長為的正方形，下底面是邊長為的正方形，高為．“斗”的面的厚度忽略不計，則該“斗”的所有側面的面積之和與下底面的面積之比為（

）A． B． C． D．4．在正四棱臺中，，則該四棱臺的體積為（

）A． B． C． D．5．如圖，棱錐、棱柱、棱臺的底面積和高均相等，分別為s，h，棱臺上底面的面積為，現(xiàn)將裝滿水的棱錐、棱柱、棱臺中的水分別倒入底面積為s的圓柱里，對應的水面高分別記為，，，則（

）A． B．C． D．6．某校高一級學生進行創(chuàng)客活動，利用3D打印技術制作模型．如圖，該模型為長方體挖去正四棱臺后所得的幾何體，其中，為增強其觀賞性和耐用性，現(xiàn)對該模型表面鍍上一層金屬膜，每平方厘米需要金屬，不考慮損耗，所需金屬膜的質(zhì)量為____________．7．如圖，在正四棱臺中，，且四棱錐的體積為48，則該四棱臺的體積為___________.8．《九章算術》中將正四棱臺體（棱臺的上下底面均為正方形）稱為方亭.如圖，現(xiàn)有一方亭，其中上底面與下底面的面積之比為，，方亭的四個側面均為全等的等腰梯形，已知方亭四個側面的面積之和為，則方亭的體積為______.題型四：圓柱表面積體積【例1】如圖，六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構成的．已知螺帽的底面正六邊形邊長為2cm，高為2cm，內(nèi)孔半輕為0.5cm，則此六角螺帽毛坯的體積是____cm.【例2】中國古代數(shù)學著作《九章算術》中，記載了一種稱為“曲池”的幾何體，該幾何體的上下底面平行，且均為扇環(huán)形（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分），現(xiàn)有一個如圖所示的曲池，它的高為，均與曲池的底面垂直，底面扇環(huán)對應的兩個圓的半徑分別為1和2，對應的圓心角為，則該幾何體的表面積為（

）A． B． C． D．【例3】我國古代經(jīng)典數(shù)學名著《九章算術》中有一段表述:“今有圓堡壔（d?o），周四丈八尺，高一丈一尺”，意思是有一個圓柱，底面周長為4丈8尺，高為1丈1尺.則該圓柱的表面積約為（

）（注:1丈=10尺，取3）A．1088平方尺 B．912平方尺 C．720平方尺 D．656平方尺【例4】以邊長為2的正方形一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，所得到的幾何體的表面積為（

）A． B． C． D．【例5】某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如圖．圓柱表面上的點在正視圖上的對應點為，圓柱表面上的點在左視圖上的對應點為，則在此圓柱側面上，從到的路徑中，最短路徑的長度為A．B．C．3D．2【題型專練】1．用長為4，寬為2的矩形繞其一邊旋轉(zhuǎn)構成一個圓柱，則此圓柱的側面積為（

）A．8π B．16π C．24π D．32π2．過圓柱的上，下底面圓圓心的平面截圓柱所得的截面是面積為16的正方形，則圓柱的側面積是（

）A． B． C． D．3．已知一個正方體與一個圓柱的高度均為1，且正方體的表面積與圓柱的側面積相等，則圓柱的體積為______.4．已知一個圓柱的高不變，它的體積擴大為原來的4倍，則它的側面積擴大為原來的___________倍.5.已知四棱錐的底面是邊長為的正方形，側棱長均為．若圓柱的一個底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側棱的中點，另一個底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為_____________．6.已知圓柱的上、下底面的中心分別為，，過直線的平面截該圓柱所得的截面是面積為16的正方形，則該圓柱的表面積為（）A． B． C． D．7.一個圓柱的側面展開圖是一個邊長為4的正方形，則這個圓柱的體積為（）A． B． C． D．題型五：圓錐表面積體積【例1】已知圓錐展開圖的側面積為2π，且為半圓，則底面半徑為_______．【例2】在一個圓柱內(nèi)挖去一個圓錐，圓錐的底面與圓柱的上底面重合，頂點是圓柱下底面中心．若圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，則圓錐的側面展開圖面積為()A． B． C．3π D．4π【例3】已知圓錐的母線長為4，側面展開圖是一個面積為的扇形，則該圓錐的體積為（）A． B． C． D．【例4】一個圓錐的側面展開圖是圓心角為，弧長為的扇形，則該圓錐的體積等于（）A． B． C． D．【例5】如圖所示是一個裝有紅酒的圓錐形酒杯（杯體為一個圓錐），已知該酒杯的杯子杯口直徑為（忽略杯子的厚度），側面積（不含杯座和杯莖）為，紅酒的高度比杯子的高度低，則紅酒的體積為（）A． B． C． D．【例6】（多選題）如圖所示，圓錐的底面半徑，高，是底面圓周的一條直徑，M為底面圓周上與B不重合的一點，則下列命題正確的是（

）A．圓錐的體積為B．圓錐的表面積為C．的面積的最大值是D．有一只螞蟻沿圓錐的側面從點A爬行到點B，則螞蟻爬行的最短距離為【例7】分別以直角三角形的斜邊和兩直角邊所在直線為軸，將三角形旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積依次為??，則（）A． B．C． D．【例8】已知一個圓錐的底面半徑為6，其體積為則該圓錐的側面積為________.【題型專練】1．已知某圓錐的側面展開圖為半圓，該圓錐的體積為，則該圓錐的表面積為（

）A．27π B． C． D．16π2．已知圓錐的表面積為，且它的側面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的體積為（

）A． B． C． D．3．已知一個圓柱與一個圓錐的底面半徑相等，圓柱的高等于其底面直徑，圓錐的高等于其底面直徑的倍．給出下列結論：①設圓柱與圓錐的體積分別為、，則；②設圓柱與圓錐的軸截面面積分別為、，則；③設圓柱與圓錐的側面積分別為、，則；④設圓柱與圓錐表面積分別為、，則.其中所有正確結論的序號是（

）A．① B．②③ C．①③④ D．①②③④4．已知圓錐的體積為，其中S為圓錐的底面積，h為圓錐的高．現(xiàn)有一個空杯子，盛水部分為圓錐（底面半徑為3cm，高為6cm），現(xiàn)向杯中以6ml/s的速度勻速注入水，則注水t（0＜t＜5）s后，杯中水的高度為（

）A．cm B．cm C．cm D．cm5．某餐廳為了追求時間效率，推出一種液體“沙漏”免單方案（即點單完成后，開始倒轉(zhuǎn)“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所點的菜需全部上桌，否則該桌免費用餐）.“沙漏"是由一個圓錐體和一個圓柱體相通連接而成.某次計時前如圖（1）所示，已知圓錐體底面半徑是，高是；圓柱體底面半徑是，液體高是.計時結束后如圖（2）所示，求此時“沙漏"中液體的高度為（

）A． B． C． D．6．（多選題）已知甲、乙兩個圓錐側面展開圖的面積相等，母線長分別為l甲和l乙，底面半徑分別為r甲和r乙，高分別為h甲和h乙，表面積分別為S甲和S乙，若，則（

）A． B． C． D．7．已知某圓錐的軸截面是面積為9的三角形，若該圓錐頂點到底面的距離為3，則其側面積為______．8．如圖所示，以圓柱的下底面為底面，并以圓柱的上底面圓心為頂點作圓錐，則該圓錐與圓柱等底等高.若圓錐的軸截面是一個正三角形，則圓柱的側積面與圓錐的側面積之比為______.9．如圖，在底面半徑為1，高為的圓錐中，O是底面圓心，P為圓錐頂點，A，B是底面圓周上的兩點，，C為母線PB的中點.(1)求該圓錐的表面積；(2)求在該圓錐的側面上，從A到C的最短路徑的長.題型六：圓臺表面積體積【例1】木桶作為一種容器，在我國使用的歷史已經(jīng)達到了幾千年，其形狀可視為一個圓臺．若某圓臺形木桶上、下底面的半徑分別為15cm，8cm，母線長為25cm，木板厚度忽略不計，則該木桶的容積為（）A．B．C．D．【例2】一個圓臺的母線長等于上、下底面半徑和的一半，且側面積是，則母線長為（）A．2 B． C．4 D．8【例3】已知圓臺下底面的半徑為，高為，母線長為，則這個圓臺的體積為（）A． B． C． D．【例4】已知圓臺的上底面半徑為2，下底面半徑為6，若該圓臺的體積為，則其母線長為（）A． B． C． D．【例5】如果圓臺的上底面半徑為5，下底面半徑為，中截面把圓臺分為上、下兩個圓臺，它們的側面積的比為，那么A．10 B．15 C．20 D．25【題型專練】1．圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的倍，母線長為，圓臺的側面積為，則圓臺的體積為（

）參考公式：臺體的體積公式為.A． B． C． D．2．若圓臺的高是3，一個底面半徑是另一個底面半徑的2倍，母線與下底面成角，則這個圓臺的側面積是（

）A． B．C． D．3．若一個圓臺的高為，母線長為，側面積為，則該圓臺的體積為（

）A． B． C． D．4．某圓臺上底面圓的半徑為1，下底面圓半徑為2，側面積為，則該圓臺的體積為（

）A． B． C． D．5．某圓錐的側面積為1，用一個平行于圓錐底面的平面截該圓錐得到一個圓臺，若圓臺上底面和下底面半徑之比為，則該圓臺的側面積為（

）A． B． C． D．6．已知圓臺的上、下底面半徑分別為，若該圓臺的表面積為，母線長為2，且，則________．題型七：球的表面積體積【例1】如圖，在圓柱內(nèi)有一個球，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切．記圓柱的體積為，球的體積為，則的值是.【例2】某種藥物呈膠囊形狀，該膠囊中間部分為圓柱，左右兩端均為半徑為的半球．已知該膠囊的表面積為，則它的體積為（）A． B． C． D．【例3】圓柱形容器內(nèi)盛有高度為的水，若放入三個相同的球（球的半徑與圓柱的底面半徑相同）后，水恰好淹沒最上面的球（如圖），則球的半徑是（）A． B． C． D．【例4】一平面截一球得到直徑為的圓