數(shù)學(xué)學(xué)案：課堂導(dǎo)學(xué)分析法

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂導(dǎo)學(xué)三點(diǎn)剖析一，利用分析法證明不等式【例1】(1)設(shè)a〉b>0，求證:。（2)已知0〈α〈π，證明2sin2α≤cot,并指出等號(hào)成立的條件。證明：（1)要證，∵a〉b〉0，有〉0，∴需證（）3>()3,展開得a—b>a-+,即證明〉0，也就是證〉0，在題設(shè)條件下這一不等式顯然成立，∴原不等式成立。（2）要證2sin2α≤cot,由0〈α〈π知sinα〉0,只需證2sinα·sin2α≤1+cosα,即證明4sin2αcosα—(1+cosα）≤0,也就是證(1+cosα）［4(1-cosα）cosα—1］≤0,而1+cosα>0，于是只要證—4cos2α+4cosα-1≤0，即-(2cosα-1）2≤0,就是(2cosα-1)2≥0,這是顯然的.∴2sin2α≤cot，等號(hào)在2cosα=1，α=時(shí)取得.各個(gè)擊破類題演練1若a，b,c三數(shù)均大于1，且ab=10,求證：logac+logbc≥4lgc.證明:由于a>1，b>1,要證logac+logbc≥4lgc,需證≥4lgc,而lgc〉0，因此只要證≥4,即證≥4?！遖b=10，有l(wèi)ga+lgb=1,于是只需證lga·lgb≤,而lga·lgb≤(）2=。∴不等式logac+logbc≥4lgc成立.變式提升1已知a〉0,—〉1，求證:。證明：要證，只要證,即證（1+a）(1—b）>1,就是證a-b-ab〉0.①而已知條件a〉0,—〉1b〉0，且a-b〉ab，可知①式成立，∴成立。二、分析法和綜合法的綜合運(yùn)用【例2】a>0，b>0,a≠b,且a3—b3=a2-b2，求證：1<a+b〈。分析:從已知等式a3-b3=a2-b2a+b〉1是件容易的事，如何證a+b〈呢?用綜合法難以下手,我們用分析法來證。證明:∵a3—b3=a2—b2,∴a2+ab+b2=a+b（∵a≠b).①∴(a+b)2=a2+2ab+b2〉a2+ab+b2=（a+b）?！郺+b〉1.②要證a+b〈，需證3(a+b)<4,于是證3（a+b)2〈4（a+b).又由①式可知，必須證3(a2+b2+2ab)〈4(a2+ab+b2）,然后證a2—2ab+b2>0,即證（a-b)2〉0，而這一結(jié)論在a≠b時(shí)是恒成立的?！郺+b〈。③由②③知1<a+b〈.溫馨提示到底何時(shí)用分析法，何時(shí)用綜合法,需根據(jù)具體情況靈活選擇,有人喜歡用分析法開路，用綜合法書寫,這是揚(yáng)長(zhǎng)避短，值得借鑒。類題演練2設(shè)a+b=1，且a〉0,b〉0，求證：(a+)2+(b+)2≥。證明：要證（a+）2+（b+）2≥，只要證(a2+b2）+(+)+4≥，只要證（a2+b2）+(+）≥.∵ab≤（）2=,∴≥4?！?≥≥8。又∵a2+b2≥=,∴（a2+b2）+（+)≥?！啵╝+)2+(b+）2≥。當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取等號(hào)。變式提升2已知x〉0，y>0，求證:（x2+y2）>（x3+y3)。證法一:要證（x2+y2）>(x3+y3)，只要證(x2+y2）3>(x3+y3)2，即證x6+3x4y2+3x2y4+y6〉x6+2x3y3+y6.∵x>0，y>0,即證3x2+3y2〉2xy,∵3x2+3y2〉x2+y2≥2xy,即3x2+3y2〉2xy,∴（x2+y2)>(x3+y3）。以上證法顯然是分析法。倒著寫回去就是綜合法.證法二:由x〉0,y〉0,∴3x2+3y2〉x2+y2≥2xy，即3（x2+y2)x2y2>2xy·x2y2.∴3x4y2+3x2y4>2x3y3。兩邊都加上x6+y6,得x6+y6+3x4y2+3x2y4>x6+y6+2x3y3,即（x2+y2)3>（x3+y3）2.兩邊開6次方得（x2+y2)〉(x3+y3）.三、多種證明方法的比較【例3】已知a>0，b〉0,求證：。分析一：比較法是證明不等式的最基本的方法.作差后,注意到，提出公因式a-b，即可證明此不等式。證法一：∵a〉0,b>0，∴(）—(）=()+（）=≥0?！?。分析二：此不等式中含有根式,因此可以考慮先去根式再予以證明.事實(shí)上，兩邊平方即可去根式。證法二:∵a〉0,b〉0,∴要證明,只需證明()2≥()2，展開得，即≥a+b.①注意到a〉0,b>0，上式變形得a3+b3≥ab(a+b)，即（a+b）(a2—ab+b2）≥ab（a+b)，兩邊除以a+b,得a2—ab+b2≥ab,即(a—b)2≥0。此式顯然成立,∴.分析三：對(duì)根式進(jìn)行整體換元，也可達(dá)到去掉根式的目的。證法三:令=c，=d，∵a>0,b〉0,∴c〉0,d〉0，原不等式即≥c+d。②②式與證法二中的①式結(jié)構(gòu)完全相同，故后面的證明從略.分析四：注意到所證不等式左邊是分式，而右邊為整式，故還可考慮去分母,轉(zhuǎn)化為整式不等式再予以證明.證法四:∵a>0,b>0，∴要證不等式，只需證明（）3+(）3≥（+),即證（+）(a—+b)≥(+),即a—+b≥,即（-)2≥0.此式顯然成立，∴.分析五：我們還可借助于均值不等式,即由≥,+≥,而巧妙地達(dá)到化分式為整式的目的.證法五:∵a〉0,b〉0，∴≥，+≥，兩式相加得（）+(+)≥+，從而。分析六:由證法五的啟示，還可在原不等式的兩邊同時(shí)乘以不等式的右邊的式子，即轉(zhuǎn)化為證明不等式（+)(）≥（+）2，將不等式的左這展開并利用均值不等式即可獲證。證法六：∵a〉0，b〉0,∴(+）·()=+a=a+b+≥a+b+=(+）2,∴≥+.溫馨提示比較法是證明不等式最基本的方法,通常在作差(或作商)后,通過運(yùn)用不等式的性質(zhì)，推論來判斷差式的符號(hào)（或商式與1的大小關(guān)系).分析法和綜合法既是證明不等式的常用方法，也是分析,解決問題的重要的數(shù)學(xué)思維方法.證明不等式的方法靈活多樣,在證明過程中，要注意觀察不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),把握問題的實(shí)質(zhì),才能合理選擇證明方法,創(chuàng)造出一些巧法,妙法。類題演練3已知a,b都為正實(shí)數(shù),且a+b=1，求證：(a+)（b+）≥.證法一：∵（a+)(b+）=ab+++,由于+≥2,故只要證明ab+≥,即證4a2b2-17ab+4≥0,即(4ab—1）(ab-4)≥0.由條件a+b=1,得ab≤(）2=，∴4ab—1≤0，ab-4〈0?！?4ab—1)(ab—4）≥0.∴4a2b2-17ab+4≥0?！?ab—17+≥0,即ab+≥.又∵+≥2，∴ab+++≥2+=.∴（a+)（b+）≥.證法二:∵a+b=1，∴（a+b)2=1,即a2+b2=1—2ab。要證(a+）（b+）≥,只要證明4(a2+1)（b2+1)≥25ab，即4a2b2+（4a2+4b2）+4≥25ab，即4a2b2+4（1-2ab)+4-25ab≥0.整理得4a2b2—33ab+8≥0。只需證明(4ab—1）(ab—8）≥0。（＊）∵ab≤()2=，∴4ab—1≤0,ab—8〈0?！?4ab—1)（ab—8）≥0成立。其中當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)取“=”?！?a+）(b+）≥.變式提升3(1）求證：(n≥1).證法一：（分析法）要證原不等式成立，只需證.展開得(n+1)+（n—1)+〈4n，即<n.只要證明n2—1〈n2,即-1<0,此不等式顯然成立,即證明了。證法二：（比較法）∵∴。證法三:(綜合法）(2)求證：logn（n+1)〉log（n+1)(n+2），其中n∈N＊且n〉1.證明：欲證logn(n+1）>log（n+1)（n+2)（其中n∈N＊且n〉1），只需證，只需證lgnlg（n+2)〈lg2(n+1),而lgn·lg(n+2)<<［lg（n2+2n+1)］2=lg2（n+1）成立.故logn(n+1）>log(n+1）(n+2）成立.(3）已知a,b，c∈R+，且a+b+c=1.求證：a2+b2+c2≥。證法一：∵1=（a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca），又2ab≤a2+b2，2bc≤b2+c2，2ca≤c2+a2，∴2(ab+bc+ca)≤2(a2+b2+c2)。∴a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≤3（a2+b2+