數(shù)學(xué)學(xué)案：課堂導(dǎo)學(xué)基本不等式（二）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂導(dǎo)學(xué)三點(diǎn)剖析一、利用基本不等式求最值【例1】若關(guān)于x的不等式(1+k2)x≤k4+4的解集是M,則對任意實(shí)常數(shù)k，總有（）A。2∈M，0∈MB。2M,0MC.2∈M，0MD.2M,0∈M解析:M={x｜x≤},∵=k2-1+=(k2+1)+—2≥—2>2，∴2∈M,0∈M.答案:A溫馨提示本題主要考查一元不等式及基本不等式求最值。在本例中表達(dá)式經(jīng)過變形化為“x+(a>0）”型的式子，然后利用基本不等式求得最小值.在求最值時，形如“x+(a>0)”的最值問題是一種非常典型的用基本不等式來求的類型，有很多最值問題可轉(zhuǎn)化為該類型,因此，在解題時應(yīng)給予高度重視.各個擊破類題演練1已知點(diǎn)M（-2，0),N（2，0）,動點(diǎn)P滿足條件｜PM｜—|PN|=,記動點(diǎn)P的軌跡為W.（1）求W的方程；（2)若A,B是W上的不同兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn),求的最小值.解析:（1)由｜PM｜-|PN｜=知動點(diǎn)P的軌跡是以M,N為焦點(diǎn)的雙曲線的右支,實(shí)半軸長a=。又半焦距c=2,故b=。所以W的方程為=1（x≥）.（2）設(shè)A(x1，y1）,B（x2,y2）,則xi2—yi2=(xi+yi）（xi—yi)=2（i=1，2）。令si=xi+yi，ti=xi—yi，則siti=2,且si〉0，ti〉0(i=1，2），所以=x1x2+y1y2=(s1+t1）(s2+t2)+(s1-t1）（s2—t2）=s1s2+t1t2≥=2。當(dāng)且僅當(dāng)s1s2=t1t2，即時“="成立,所以的最小值是2.變式提升1若對任意正數(shù)x，y，都有a≤,則實(shí)數(shù)a的最大值是（）A.B.2C.D。解析:由≥=,故選A.答案:A二、利用基本不等式求條件等式的最值【例2】已知x〉0,y>0，且+=1,求x+y的最小值.解法一：∵x>0,y〉0,+=1,∴x+y=(x+y）(+)=10+≥10+6=16，當(dāng)且僅當(dāng)。又∵+=1,∴x=4，y=12時，上式等號成立.故當(dāng)x=4，y=12時，x+y取最小值16.解法二:∵+=1，x〉0,y〉0，∴y=且x〉1。故x+y=x+=x++9=（x—1）++10≥6+10=16。當(dāng)且僅當(dāng)x—1=，∵x〉1，∴x=4時上式等號成立。解法三：∵+=1,∴y+9x=xy，得(x-1)(y-9)=9。又由條件知x>1，y〉9,∴x+y=（x—1）+(y-9)+10≥+10=16。當(dāng)且僅當(dāng)x-1=y—9=3，即x=4,y=12時，x+y取最小值16。溫馨提示解法一、解法三的技巧性較強(qiáng)，解法二是把目標(biāo)函數(shù)化為一元函數(shù),一元函數(shù)再變形,“求積造定和或求和造定積”,難度明顯降低,思路也自然些，這是解此類問題的通法。類題演練2若a,b，c>0且a(a+b+c）+bc=4—，則2a+b+c的最小值為（）A.-1B.+1C。+2D.-2解析:由a(a+b+c)+bc=4-a（a+b)+(a+b）c=(a+b）（a+c)=4—。而2a+b+c=(a+b)+(a+c）≥=—2.當(dāng)且僅當(dāng)a+b=a+c，即b=c時等號成立。答案：D變式提升2已知x，y∈R+，且x+y=1,求+的最小值.解法一：0<x〈1。記f（x）=+=+.令t=2-x,∵x∈(0,1）,∴-x∈（-1,0)，t∈(1,2）。則f（x）=,∵t∈（1,2），∴t+?！?（t+)≤，0〈3—（t+）≤3?！鄁（x)==3+?！鄁（x)max=3+。此時t=t=2—x=x=2—。解法二：由得0〈x<1?！?(x+y)（）=3+x。當(dāng)且僅當(dāng)（又x+y=1)時“=”成立,即x=2-,y=—1時,的最小值為3+.三、利用基本不等式解決實(shí)際應(yīng)用問題【例3】如圖，為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一底寬為2m的無蓋長方體沉淀箱，污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔流出，設(shè)箱體的長為am，高為bm，已知流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與乘積ab成反比，現(xiàn)有制箱材料60m2思路分析:要抓住本題的主要條件及要求:①流出的雜質(zhì)與ab成反比，若設(shè)y為流出的雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)，那么y=，其中k為反比例系數(shù);②題目要求流出的雜質(zhì)質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小，就是積ab為最大.解法一：設(shè)y為流出的雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù),則y=,k〉0，k為比例系數(shù),依題意,即所求的a，b的值,使y最小。依題設(shè)，有4b+2ab+2a=60（a>0,b〉0），得b=（0〈a〈30)。①于是y=當(dāng)a+2=時取等號,y達(dá)到最小值.這時a=6,a=-10(舍去），將a=6代入①得b=3?！喈?dāng)a為6m，b為3m時，沉淀后流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小。解法二：設(shè)流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為y,依題意y=.其中k為比例系數(shù)，k>0,要求y的最小值,必須求解ab的最大值。依題設(shè)4b+2ab+2a=60，即ab+2b+a=30（a>0，b〉0)?！遖+2b≥(當(dāng)且僅當(dāng)a=2b時取“=”）,∴ab+≤30,可解得0〈ab≤18。由a=2b，及ab+a+2b=30,可得a=6,b=3,即a=6，b=3時,ab取最大值,從而y值最小。類題演練3甲,乙兩個同學(xué)同時到同一個商店分別買了兩次糖,甲同學(xué)每次買一元錢的,乙同學(xué)每次買一斤,如果兩次糖的價格不同,問甲，乙兩同學(xué)誰買的更便宜？解析:甲同學(xué)乙同學(xué)設(shè)糖的價格第一次1元1斤a元/斤第二次1元1斤b元/斤共花錢2元（a+b)元共買糖(+）斤2斤平均價格甲的平均價格—乙的平均價格=-=〈0。（∵a≠b）答:甲同學(xué)買的糖比乙同學(xué)便宜。變式提升3某游泳館出售冬季學(xué)生游泳卡，每張240元.使用規(guī)定,不記名，每卡每次只限1人,每天只限1次.某班有48名同學(xué)，老師打算組織同學(xué)們集體去游泳,除需購買若干張游泳卡外，每次游泳還要包一輛汽車，無論乘坐多少名學(xué)生,每次的包車費(fèi)均為40元，若使每個同學(xué)游8次，每人最少得交多少錢？解析：設(shè)分n