數(shù)學(xué)學(xué)案：課堂導(dǎo)學(xué)基本邏輯聯(lián)結(jié)詞

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂導(dǎo)學(xué)三點(diǎn)剖析一、邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非"【例1】寫出由下列各組命題構(gòu)成的“p或q"“p且q”“非p”形式的新命題，并判斷真假.(1)p：1是質(zhì)數(shù)；q：1是方程x2+2x—3=0的根；(2）p：平行四邊形的對(duì)角線相等；q：平行四邊形的對(duì)角線互相垂直;（3)p：NZ；q：0∈N。思路分析：每一道題都要寫出三種形式的新命題，本題考查邏輯聯(lián)結(jié)詞“或"“且”“非”的應(yīng)用。解：（1）因?yàn)閜假q真，所以p或q：1是質(zhì)數(shù)或是方程x2+2x—3=0的根，為真；p且q:1是質(zhì)數(shù)且是方程x2+2x—3=0的根，為假；非p：1不是質(zhì)數(shù)，為真.(2）因?yàn)閜假q假,所以p或q:平行四邊形的對(duì)角線相等或互相垂直，為假；p且q:平行四邊形的對(duì)角線相等且互相垂直,為假；非p：平行四邊形的對(duì)角線不一定相等，為真。（3)因?yàn)閜真q真，所以p或q：NZ或0∈N,為真；p且q:NZ且0∈N，為真；非p：NZ，為假。溫馨提示為了正確判斷命題的真假，首先要確定命題的構(gòu)成形式,然后指出其中命題p、q的真假，再根據(jù)已有結(jié)論判斷這個(gè)命題的真假。二、含有一個(gè)量詞的命題的否定【例2】判斷下列命題是全稱命題還是存在性命題,并寫出它們的否定：（1）p：對(duì)任意的x∈R，x2+x+1=0都成立；（2）p：x∈R，x2+2x+5＞0.解析：（1）由于命題中含有全稱量詞“任意的”，因而是全稱命題；又由于“任意的”的否定為“至少存在一個(gè)”,因此，p：至少存在一個(gè)x∈R，使x2+x+1≠0成立；即p：x∈R，使x2+x+1≠0成立.(2）由于“x∈R"表示至少存在實(shí)數(shù)中的一個(gè)x，即命題中含有存在量詞“至少存在一個(gè)”，因而是存在性命題；又由于“存在一個(gè)"的否定為“任意一個(gè)”，因此，p：對(duì)任意一個(gè)x都有x2+2x+5≤0，即x∈R,x2+2x+5≤0.溫馨提示首先弄清楚是全稱命題還是存在性命題，再針對(duì)不同形式加以否定。從命題形式上看，全稱命題的否定是存在性命題，存在性命題的否定是全稱命題。三、邏輯知識(shí)的綜合應(yīng)用【例3】已知p：方程x3+mx+4=0有兩個(gè)不等的負(fù)根；q：方程4x2+4(m—2)x+1=0無實(shí)根，若p或q為真,p且q為假，求m的取值范圍.解：若方程x2+mx+1=0有兩個(gè)不等的負(fù)根，則解得m＞4，即p：m＞4若方程4x2+4(m-2）x+1=0無實(shí)根，則Δ=16(m-2）2-16=16(m2-4m+3）＜0，解得1＜m＜3，即q：1＜m＜3。因p或q為真,所以p、q至少有一個(gè)為真。又p且q為假，所以p、q至少有一個(gè)為假。因此，p、q兩命題應(yīng)一真一假，即p為真,q為假，或p為假,q所以解得m＞4或1＜m＜3.溫馨提示由p、q的真假可以判斷p∨q、p∧q,p的真假。反過來,由p∨q、p∧q，

p的真假也應(yīng)能準(zhǔn)確斷定p、q的真假情況.如“p∧q”為假，應(yīng)包括“p真q假"“p假q真"“p假q假”這三種情況.類題演練1指出下列復(fù)合命題的形式及其構(gòu)成，并判斷復(fù)合命題的真假：(1）10≤10；（2)方程x2-6x—1=0沒有實(shí)數(shù)根;(3)有兩個(gè)角為45°的三角形是等腰直角三角形.解:(1)是“p∨q”形式的復(fù)合命題，其中p：10=10；q：10<10，為真命題；也可認(rèn)為是非p形式的復(fù)合命題，其中p：10>10；（2)是非p形式的復(fù)合命題，其中p：方程x2-6x+1=0有實(shí)根為真，則非p為假命題；(3）是“p∧q”形式的復(fù)合命題，其中p：有兩個(gè)角為45°的三角形是等腰三角形；q：有兩個(gè)角為45°的三角形是直角三角形，為真命題.變式提升1用邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”改寫下列命題,并判斷真假.(1）5和7都是素?cái)?shù)；（2）平行四邊形的對(duì)角線既互相垂直，又互相平分。解：（1)“5和7都是素?cái)?shù)"可以改寫成“5是素?cái)?shù)且7也是素?cái)?shù)"?！摺?是素?cái)?shù)"與“7是素?cái)?shù)”都是真命題.∴這個(gè)命題是真命題.(2）“平行四邊形的對(duì)角線既互相垂直,又互相平分”可以改寫成“平行四邊形的對(duì)角線互相垂直且互相平分"?！摺捌叫兴倪呅蔚膶?duì)角線互相垂直”是假命題.∴這個(gè)命題是假命題。類題演練2命題p：x∈R,＜0的非p形式的命題是()A。x∈R，＞0B.x∈R，1≤x≤3C。x∈R,x＜1或x＞3D。x∈R，x≤1或x≥3解析：事實(shí)上,求一個(gè)命題的“非p”形式，首先應(yīng)把該命題化為最簡(jiǎn)形式.求命題p：x∈R,〈0的“非p”形式，由于該命題不是最簡(jiǎn)形式,所以首先應(yīng)把它化為最簡(jiǎn)形式1<x〈3后再求其“非p”形式，故應(yīng)選D.答案：D變式提升2判斷命題“x∈R,方程x2+2x+1=0有解”是全稱命題還是存在性命題，并寫出它的否定.解析：由于x∈R表示x是任意實(shí)數(shù)，即命題中含有全稱量詞“任意的”，因而是全稱命題；其否定是“x不是任意實(shí)數(shù),方程x2+2x+1=0無解”。類題演練3已知a＞0，a≠1,設(shè)P：函數(shù)y=loga(x+1)在x∈(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減；Q：曲線y=x2+(2a-3)x+1與x軸交于不同的兩點(diǎn)。如果P和Q有且只有一個(gè)正確，求a解：當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)y=loga（x+1)在(0，+∞)內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)a>1時(shí)，y=loga（x+1）在（0,+∞）內(nèi)不是單調(diào)遞減.曲線y=x2+(2a-3)x+1與x軸交于兩點(diǎn)等價(jià)于（2a-3）2—4>0,即0〈a<或a〉。（1)若P正確，且Q不正確，即函數(shù)y=loga（x+1）在（0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,曲線y=x2+(2a—3）x+1與x軸不交于兩點(diǎn)，因此a∈（0,1）∩([,1）∪(1,］）,即a∈［,1）。（2)若P不正確，且Q正確，即函數(shù)y=loga（x+1)在(0,+∞)內(nèi)不是單調(diào)遞減,曲線y=x2+（2a-3）x+1與軸交于兩點(diǎn)，因此a∈(1,+∞)∩((0,)∪（，+∞)）,即a∈（,+∞）.綜上，a的取值范圍為［,1)∪（