2021年初高中數(shù)學(xué)無憂銜接課程

專題01數(shù)和式的運算之絕對值與乘法公式

知識點精講

(―)絕對值

⑴在數(shù)軸上，一個數(shù)所對應(yīng)的點與原點的距離叫做該數(shù)的絕對值。

a(a>0)

⑵正數(shù)的絕對值是他本身，負數(shù)的絕對值是他的相反數(shù)，。的絕對值是0,即|&=<0(4=0)

-a(a<0)

⑶兩個負數(shù)比較大小，絕對值大的反而小

(4)兩個絕對值不等式:|工|<〃(。>。)0-〃〈工<。；|x|>a(a>O)<^>x<-a^x>a

(5)絕對值的幾何意義:一個數(shù)的絕對值，是數(shù)軸上表示它的點到原點的距離.

(6)兩個數(shù)的差的絕對值的幾何意義:|a-b|表示在數(shù)軸上，數(shù)a和數(shù)b之間的距離.

二、典例精析

【典例I］化簡下列各式

(l)|3x-2|;(2)|x+l|+|x-3|;

【答案】見解析【答案】見解析

2

3x+2,(x2—)-2x+2<x<-1)

【解析】國-2"3【解析】|x+l|+|x-3|=-4,(-l<x<3)

2

2—3X,(A-<—)2x-2,(x>3)

⑶-4x+4；(4)4+4『+4

【答案】見解析【答案】見解析

【解析】五一以+4=1-2|=。2，,竦【解析】b+4/+4=1+2|二"2

，一X,(X〈工)

【典例2】解下列方程

(1)|x-l|=l(2),2T|=1

【解析】(1)=l<=>x-l=l?Jcr-l=-l<=>x=2Wtv=0

(2),一1|=1ox27=］蝴7=70x2=2^2=0ox=土&昵=o

【典例3】解下列不等式

(l)|2x+3|<2

【答案】見解析

【解析】|24十3|?2O-2W2人-3W2O1W2人1

(2)|A—l|4-|x-3|>4.

【答案】見解析

【解法一】由x—1=0,得x=l；由工一3=0,得％=3；

①若KV1,不等式可變?yōu)門x—l)—(x-3)>4,

即-2x+4>4,解得xVO,又xVl,.\x<0；

②若1W2,不等式可變?yōu)椤?1)一*-3)>4,即1>4,???不存在滿足條件的x；

③若XN3,不等式可變?yōu)椤！?)+*-3)>4,即21一4>4,解得x>4.又迂3,

Ax>4.

綜上所述，原不等式的解為x<0,或x>4.

【解法二】如圖1.1—1,卜一1|表示x軸上坐標為x的點P到坐標為1的點A之間的距離|PA|,即|PA|=|x

一1|；|x-3|表示x軸上點P到坐標為2的點B之間的距離|PB|,即|PB|=|x-3|.

|x-3|

____________入____________

/

PCABD

IIiii.

x0134x

|x-l|

圖1.IT

所以，不等式|x-l|+k-3]>4的幾何意義即為

|PA|+|PB|>4.由|AB|=2,可知點P在點C(坐標為0)的左側(cè)、或點P在點D(坐標為4)的右側(cè).

xVO,或x>4.

【典例4】畫出下列函數(shù)的圖像

(DJ=W⑵y=\x-2\+\x+2\

yy

5t5t

33-

22-

11-

w

-5-4-3-2-1,123456-5-4-3-2123456

-2-2-

-3-3-

【答案】見解析

【解析】

（二）乘法公式

（1）平方差公式6f2-b2=(a-￥b)(a-h)；

（2）完全平方公式(a±b)2=az±lab+b2.

（3）立方和公式a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；

（4）立方差公式a3-b3=(a-b)(a2+ab+lr)；

（5）三數(shù)和平方公式(a+b+c)2=tz2+Z?2+c2+2(ab+bc+ac)；

（6）兩數(shù)和立方公式(aib)3=i3a2bi3ab2I；

（7）兩數(shù)差立方公式(a-b)3=ay-3a2b+3ah2-b3

【典例5】分解下列因式

（1）f-1

【答案】見解析

［解析］金_1="_］)。2+1+1)

（2）丁+1

【答案】見解析

【解析】丁+1=（川）。2-X+1）

【典例6】計算：(%+l)(x-l)(42一x+l)(f+X+1)

【答案】見解析

【解析】(X+1)(X-1)(/-x+l)(x2+X+1)=(/—1)(Y+l)=x6-l

【典例7】己知：x+y=1,求x3+X3+3個的值.

【答案】見解析

【解析】x3+y3+3xy=(x+y)(f-xy+y2)+3xy=x2+2xy+y2=(x4-y)2=1

【典例8】已知：d-3x+l=0,求F+二的值.

JT

【答案】見解析

【解析】X3-3x4-1=0x+—=3=>X5+—7=(x+—)(x2-1+-y)=(x4--)[(x+—)2-3]=18

XXXXXX.

【典例9】設(shè)行若‘尸會*勺值.

【答案】見解析

2+62-732+732-6工,33zw22、

r=

，族!：「?、,??^~~~~/T-,^+y=-~~^+~~~j==14,xy-=l.\x+y=(x+y)(x-xy^+y)

【解析】2—>/32+J32—\J32+5/3t

=(x+y)[*+y)2-3孫]=14(142-3)=2702

三、對點精練

1.下列敘述正確的是()

A.若|a|=|b|,則a=b

B.若|a|>|b|,則a>b

C.若a<b,則|a|<|b|

D.若|a|二|b|,則a=±b

【答案】D

【解析】方法一：根據(jù)絕對值的意義可得。

方法二：取特殊數(shù)驗證可選出答案。

2.如果|a|+|b|=5,且a=-l,則b=；若|1-用2,則c=

【答案】±4,3或-1,

;時+網(wǎng)=5,a=-1,.\|Z?|=4,b=±4.

【解析】..|j_c|=2=>1-c=2或1-c=-2=>c=-1或c=3

3.若|x|=5,則x=；若岡=卜4|,貝ijx=.

【答窠】±5,±4

【解析】根據(jù)絕對值的意義可得

4.解不等式曖?1區(qū)2.

【答案】見解析

【解析】Id-llwZoKd-lWZoTVf百

5.解方程3卜+1卜1=5

【答案】見解析

【解析】3卜+1|-1=503,+1|=60卜+1|=20工+1=2或-0%=1或一3

6.化簡:|x+l|-|x-2|

【答案】見解析

-3,(x<-l)

【解析】k+l|-|x-2|=.2x-l,(-l<x<2)

3g2)

7.畫出下列函數(shù)的圖像

(i)y=-k+i|(2)y=N+|x-i|

yy

5A

4-4-

3-3-

2-2-

1-1-

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

-5-4-3-2-1p123456-5-4-3-2-1p123456

-2--2-

-3--3-

【答案】見解析

yy

8.計算：(1)(4+zn)(16-4ni+m2)(2)(x2+2xy+y2Xx2-4-y2)2

(3)(a+b)(a2-ab+h2)-(a+力)'(4)(a-4b)(-a2+4Z?2+ab)

4

【答案】見解析

【解析】

(1)(4+7M)(16-4fn+in2)=64-zw3

(2)(x2+2xy+y2)(x2-xy+y2)2=(x+yf(x2-xy+y2)2=(^+j3)2=x6+2j^y3+y6

(3)(a+b)(a2-ab+b2)-(a+b)3=a3+^-(a+b)3=-3a2b-3a及

(4)(a-4b)(—a2+4b2+ab)=—a3+4ab2+a~b-orb-16Z?3-4ab2=—a3-16Z?3

444

9.已知V-5x+l=0，求/+土的值

【答案】見解析

【解析】X2-5x+1=0=>x+-=5=>x3+=(x+-)3-3A:2xl-3xx4-=(A：+-)3-3(x+-)=125-15=11010.

xrxxxxx

已知G+b+c=0,技(g+-)+b(-+-)+c(7+-)的值

bcacba

【答案】見解析

■EV11、,1LJaahbcc-b-c-a、

［解析］〃z(一+-)+/z一+-)+(?(-+—)=-+—+—+—+—+—=一+—+——=-3

bcacbabcacbabca

11.已知a>0,/x=，求a：+。：的值.

ax+a~x

【答案】見解析

［解析］=(優(yōu)+:')3-3S+1)=(優(yōu)+尸)2_3=a2x+2+a2x-3=3^2+--3=-

ax+aax+a~x33

12.已知/-44+1=0,求Q—的值.

a+5礦+1

【答案】見解析

11."_'

【解析】,.a2-4a+1=0,=4,/.?2+—=16-2=14,,4+5a2+11119

aaaa2+—y+3

a1

13.已知a+"c=0,求7^―\~T+―r+~—二開的值.

b~+c*-ara~+b~-cc+a-b~

【答窠】見解析

【解析】

—1=-----------------+------------------+

b2+r-?2a2+b2-c2c2+a2-b2(b+c)2-2bc-a2(a+b)1-lab-c2(c+a)2-2ac-b2

14.已知

1111、1a+h+c^.

-(一十一+——)=一一(--------)=0

2beabac2abc

a+b+c=0,求證：/+42c+護c-abc+6=0

【答案】見解析

［解析］左=。'+arc+tre-abc+b^=a2(a+c)+b2(c+b)-abc=-a2b-ab2-abc=-ab［a+Z>+c)=0=右

專題01數(shù)和式的運算之絕對值與乘法公式

知識點精講

(―)絕對值

⑴在數(shù)軸上，一個數(shù)所對應(yīng)的點與原點的距離叫做該數(shù)的絕對值。

a(a＞0)

⑵正數(shù)的絕對值是他本身，負數(shù)的絕對值是他的相反數(shù)，。的絕對值是0,即|&=＜03=0)

-a{a＜0)

⑶兩個負數(shù)比較大小，絕對值大的反而小

(4)兩個絕對值不等式：|X|＜4(。＞0)0-〃〈工〈。；|%|＞。(。＞0)0r＜一〃或不＞。

(5)絕對值的幾何意義:一個數(shù)的絕對值，是數(shù)軸上表示它的點到原點的距離.

(6)兩個數(shù)的差的絕對值的幾何意義:|a-b|表示在數(shù)軸上，數(shù)a和數(shù)b之間的距離.

二、典例精析

【典例1］化簡下列各式

(l)|3x-2|;(2)|x+l|+|x-31;

(3)-4x+4；(4)G+41+4

【典例2】解下列方程

⑴|x-l|=l(2)|x2-l|=l

【典例3】解下列不等式

(l)|2x+3|<2

(2)|x-1|+|x—3|>,4.

【典例4】畫出下列函數(shù)的圖像

(DJ=W⑵J=|x-2|+|x+2|

（二）乘法公式

（1）平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)；

（2）完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2.

（3）立方和公式a3+Z?3=(a+b)(a2-ab+b1)\

（4）立方差公式a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)；

（5）三數(shù)和平方公式(a+Z?+c)2=a2+〃2+c2+2(ab+be+ac)；

（6）兩數(shù)和立方公式(a+b)3=a'+3a2b+3ab2+b2,；

（7）兩數(shù)差立方公式(a-bp=^-3a2b+3ab2-/

【典例5】分解下列因式

（1）^-1

（2）爐+1

【典例6】計算:(x+l)(x-l)(x2-x+1)(?+x+1)

【典例7】已知：x+y=l,求V+??+3葉的值.

【典例8】已知：/-3彳+1=0,求/+^的值.

【典例9】設(shè)、=及'）'=急'檸"3的值.

三、對點精練

1.下列敘述正確的是（）

A.若|a|二|b|,則a=b

B.若則a>b

C.若a<b,則|a|<|b|

D.若|a|二|b|,則a=±b

2.如果|a|+|b|=5,且a=-l,則b=；若上中2,則c=

3.若岡=5,則x=；若岡;卜4|,則x=

4.解不等式|x」區(qū)2.

5.解方程3|x+l11=5

6.化簡：|x+l|-|x-2|

7.畫出下列函數(shù)的圖像

8.i十算：(1)(4+"?)(16-4〃?+m2)(2)(x2+2xy+y2\x2-x)>+y2)

(3)(a+b)(a2-ab+^y-(a+b)3(4)(a-4b)(—a2+4b2+ab)

4

9.已知/一5x+l=0,求■的值

10.已知a+b+c=0,求a(!+-)+b(-+，)+c(?+，)的值

3x,-3x

11.已知。＞0,/x=求。十。的值.

3

a+a

12c+』。,求號77T的值?

11

13.已知a+b+c=0,求「++的值.

h~+(r-aa2+b2_c2c2+a2_b2

14.已知a+b+c=0,求證：a5+alc+b!lc-abc+b^=0

專題02數(shù)和式的運算之比例、齊次式與二次根式

一、知識點精講

(-)比例與齊次式

我們在式的運算中,常常會碰到比例關(guān)系或齊次等式、齊次分式，這就要求我們掌握比例關(guān)系具有哪些性質(zhì)和

它的一般轉(zhuǎn)化方向;齊次式常常會同除以某一個數(shù)，轉(zhuǎn)化過程在本質(zhì)上起到消元作用，從而會出現(xiàn)整體思想.

二、典例精析

【典例1】已知三角形的三邊長之比為3：4:5.求證:此三角形為直角三角形.

【答案】見解析

【解析】證明：設(shè)三角形的三邊分別為a,b,c,a:b：c=3：4：5,設(shè)a=3k,b=4k,c=5k,

2

kA。，//+b=9公+168=25/=(5Q2=c2.?.此三角形為直角三角形。

_?.___.ABAC3.十ADAE

【典例rl2］已知AAtBC中，有益。，求證：—=—

【答窠】見解析

,_ABACAB-ADBDECADAE

【解析】由圖二二=-7=0

ADAEADAEAD-

【典例3】已知/5

a—bc—d

求證：(1)~b~=~d~

a+hc+d

(2)~b~=d

a_c_a+c

(3)

bdb+d

【答案】見解析

【解析】

a,c.a-bc-d

(1)”=——1=——1=>------=-------

babdhd

aca,c,a+bc+d

-+1=+1==

⑵廠廣bbd

/-、、江。c,....,..a+c(b+d)ka_c_a+c

(3)設(shè)一=-=&,Jll!|a=bk,c=dk---=------

bdb+db+d~b~d~~h+d

i?

【典例4】己知：白+。=1,且丁=一，求a,匕

ba

【答案】見解析

b=L

［解析］?.?；二2=事3n-3

baa+b2

a=—

3

【典例5】已知：x:y:z=l:2:3,求'-"一+3z’的值

xyz

【答窠】見解析

.,幾，的^-)^2+32322x(3k)2+3(3Q332

【解析】設(shè)4=%,則y=2k,z=3k,???一-------=------,\J=T

xyzkx2kx3k3

【典例6］已知y=2x(xH0)

(1)求一一3孫的值

xy+y

(2)求證：x2+-xy-y2=0

【答案】見解析

【解析】

（J-3孫+丁」-嗎）+（7）2

孫+y2+（2）26

XX

（2）左=9+士孫—y2=#2口+±心_心2]=0=右

22xx

（二）二次根式

一般地，形如夜（〃20）的代數(shù)式叫做二次根式.根號下含有字母、且不能夠開得盡方的式子稱為無

理式.例如3a+Ja、b+沂證+討等是無理式,而缶2+4%+],f+&+y2,"等是

有理式.

1.分母（子）有理化

把分母（子）中的根號化去，叫做分母（子）有理化.為了進行分母（子）有理化，需要引入有理化因式

的概念.兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說這兩個代數(shù)式互為有

理化因式，例如VI與3后與6+娓與6-瓜,2百-3&與26+3&，等等.

般地，。?與4，+久方與。石一久1，+6與互為有理化因式.

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根號的過程；而分子有理化則是

分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根號的過程

在二次根式的化簡與運算過程中，二次根式的乘法可參照多項式乘法進行，運算中要運用公式

后=>/不(420,620)；而對于二次根式的除法，通常先寫成分式的形式，然后通過分母有理化進行

運算；二次根式的加減法與多項式的加減法類似，應(yīng)在化簡的基礎(chǔ)上去括號與合并同類二次根式.

2.二次根式的意義

f—r\a,a20,

(1)值=悶=

11[-a,a<0.

(2)(&)2=a(a，o)

(3)\[ab=\fax4b>0)

(4)-=,(a>0,bN0)

ayJa

【典例7】將下列式子化為最簡二次根式：

(1)V12K；(2)V^(a>0)：(3)7^77(xvO).

【答案】見解析

【解析】

(1)y/i2b=2y/3b；

(2)\ja2b=|a|>/^=a4b{a>0)；

(3)y)4x6y=2|x3|=-2x3yJ~y(x<0).

【典例8】計算：百.(3-6).

【答案】見解析

【解析】

解法一：&(3一"鼻=-逆)==①

3-V3(3-V3)(3+V3)9-362

G_陋!6+1_V3+1

解法二:if）-二3-而了不-g.（省7（層1）.F

【典例9】試比較下列各組數(shù)的大小:

2

（1）也一而和VH-W；（2）忑逅和26一娓.

【答案】見解析

【解析】

VH-VH（712-Vn）（Vi2+Vil）

（1）Vi2-Vn

J12+VH712+VH

（而-而）（而+而）

布_加=而;

VFT+VioVn+Vio

又巫+而>而7后，:.厄-布〈舊-M?

⑵...2&-#=若叵（2&-遂）（2&+#）2

20+血-2X/2+A/6

2

又4>2小,工#+4>雜+2巾,?，?#+彳V2近—瓜.

【典例10】化簡：（6+也產(chǎn)9.（G—五嚴0.

【答案】見解析

【解析】

（百+垃產(chǎn)匕（石一垃嚴。

=（6+&嚴?.（6,0產(chǎn)9.（6_&）

=［（g+啦）?（6—V2）］20,9?（6—0）

=12OD-（5^-72）

=y/3—5/2?

【典例11】化簡：（1））9-4石；⑵JX2+4--2（0<X<1）.

【答案】見解析

【解析】

(1)原式=\)5+4\/5+4=J(61+2x2x6+22=?2-舟―卜一、同二逐一2.

1

(2)原式二x——

x

,**0<x<1?*,?—>l>x,所以，原式=—x.

xx

V3-V2G+&

【典例12】已知x二求3f-5孫+3y2的值.

6+夜，~>5-42

【答案】見解析

【解析】

=J一省?勺省=1,.?.3/_5孫+3y2=3*+—11孫=3x1。2_11=289

V34-V2V3-V2

【典例13】化簡：7x2+6x+9+\/x2-4x+4

【答案】見解析

-2/V—1,(x4-3)

［解析】6+6x+9+&-4X+4=J(X+3)2+7U-2)2=|.r+3|+|x-2|=?5,(-3<x<2)

2x+l,(x>2)

對點精練

1.已知:x2-3xy+2y2=0,則'=.

y

【答案】見解析

【解析】^2-3^+2/=0=>(-)2-3(-)+2=0=>(--1)(--2)=0=>-=1^-=2.

yyyyyy

2.若——=—=——=%,則左=____________________

b+ca+ca+b

【答案】見解析

■…八abc,a+b+c1

［解析］=---=----=k=---------------------------------=—.

b+ca+ca+b(b+c)+(o+c)+(a+b)2

3.己知三角形的三邊之比為5：12：13,求證:此三角形為直角三角形.

【答案】見解析

【解析】證明：設(shè)三角形的三邊分別為a,b,c,???a：b：c=5：12：13,設(shè)a=5k,b=12k,c=13k,

k>0/.?2+^=25^+144^=169^=(13A)2=c2/.此三角形為直角三角形,

4.已知：/+5—2=0,求筌^的值.

【答案】見解析

【解析】

yyyyyy

2(-)+3

2x+3y/9

--------=------=5或一.

2x-y2("13

y

5.已知X：y=l：2,求正苧漢的值.

x+y-

【答窠】見解析

【解析】

……『嶺+4

11

~5

(-)2+1

6.已知：a2=h2+c2,(a>0,Z>>0,c>0).

(1)2=上求￡的值.

a2a

AIr

(2)求￡的取值范圍.

a2a

【答案】見解析

【解析】

(1)由=z>2+c2=>1=(-)2+(-)2=>(-)2=-,(?>0,c>0)=>-=—

aa6i4a2

由/=/?2+c2=>1=(-)2+(-)2=>(-)2=l-(-)2,v->-,.\-(-)21-(-)2<-,

aaaaa2a4a4

a>0,b>0,c>0,..0<—<—.

a2

7.已知：a2+/>2=c2,(?>0,/?>0,c>0).

(1)￡=&,求2的值

(2)￡之夜，求的取值范圍.

【答案】見解析

【解析】

(1)由+y叱2nlM分田與2n(2)2=i,3>0b>0)n[=[

aaaa

(2)

22

由/+從=c2=>1+(^)2=(￡)2->(^)2=(-)-l,v->/.(-)>1,Va>>0,c>0,

aaaaaa

%.

a

8.已知a：b：c=2:3:4,求色生C的值.

lab

【答案】見解析

az-c14a2+9^216攵2,

[解析]:。：b:c=2:3:4,設(shè)。=2k,貝必=3k,c=4k,:.----------=--------------=——.

lab2x2kx3k4

_.1c、入5Jx+24-Jx—2

9.已知x=a+-,(a>0),化簡：,--一j^=.

a>Jx+2-\lx-2

【答案】見解析

I.；-wJx+2+-2dx+2+yjx—2Jx+2+Jx-2lx+2-4x+\/x2-4

4十2-4-2=。+2-4-2"五+2+4-2=4=2-

?,(<?>!)

=>l,(d=1)

22

-,(0<a<l)

、〃

10-已知戶等‘求』的值.

【答案】見解析

【解析】

1

,.X=U,,?L3.623-逐?3+逐

---+-----產(chǎn)=3「f+d+Q+%(/-J

2x23-石22

xx

11.計算：J,Xy/b-J(2-石)2+--^—=

V32+\/5

【答案】見解析

【解析】

x瓜—J(2—逐￥+2、下=2一12一石|+21小x=2—(5/5—2)+(6—2)=2.

12.化簡下列各式

(1)V8-V28

1111

(2)京+京五+鳳百…*鬧+回

【答案】見解析

【解析】

(1)&_腐=芯/7)2_2近+產(chǎn)=槨_1卜5_1.

+」「+/L+..+1-i-=（&_1）+（石—揚+（"―揚+…（7155-癡=]0_]=9.

V2+1V3+x/2V4+x/3y/100+yl99

專題02數(shù)和式的運算之比例、齊次式與二次根式

一、知識點精講

(-)比例與齊次式

我們在式的運算中,常常會碰到比例關(guān)系或齊次等式、齊次分式，這就要求我們掌握比例關(guān)系具有哪些性質(zhì)和

它的一般轉(zhuǎn)化方向;齊次式常常會同除以某一個數(shù)，轉(zhuǎn)化過程在本質(zhì)上起到消元作用，從而會出現(xiàn)整體思想.

二、典例精析

【典例1】已知三角形的三邊長之比為3：4:5.求證:此三角形為直角三角形.

40AE

【典例2】已知SBC中，有益=瓦，求證:~DB~~EC

【典例3】已知

a-hc-d

求證：(1)~b~=~cT

(2)

a_c_a+c

(3)~b~~d~b+d

12

【典例4】已知：a+b=\,R-=~,求ag

ba

?-yz2+3z5

【典例5】已知：x:y:z=l:2:3,求——乃------的值.

【典例6】已知＞=2X（XH0）

（1）求＜一3町：、的值

孫+y

（2）求證：x2+-xy-y2=0

（二）二次根式

一般地，形如20）的代數(shù)式叫做二次根式.根號下含有字母、且不能夠開得盡方的式子稱為無

理式.例如3a+y/a、b+2b,址+濟等是無理式,而缶2+與%+1,/+&+/,后等是

有理式.

1.分母（子）有理化

把分母（子）中的根號化去，叫做分母（子）有理化.為了進行分母（子）有理化，需要引入有理化因式

的概念.兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說這兩個代數(shù)式互為有

理化因式，例如JI與后，3石與&，石+C與石-石，26-3&與2百+3夜，等等.

般地，。五與?，ay/x+byfya\[x-by[y?+/?與。五一b互為有理化因式.

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根號的過程；而分子有理化則是

分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根號的過程

在二次根式的化簡與運算過程中，二次根式的乘法可參照多項式乘法進行，運算中要運用公式

?亞=箍(。20力之0)；而對于二次根式的除法，通常先寫成分式的形式，然后通過分母有理化進行

運算；二次根式的加減法與多項式的加減法類似，應(yīng)在化簡的基礎(chǔ)上去括號與合并同類二次根式.

2.二次根式的意義

FTT..(a,4之0,

⑴病=同=(八

11[-a,<0.

(2)(6)2=〃,(〃之0)

(3)y[ah=\fax4h,{a>0,b>0)

[b_\[h

(4),(?>0,Z?>0)

【典例7】將下列式子化為最簡二次根式:

⑴V12h;(2)4^320)；⑶歷虧(x<0)?

【典例8】計算：百子(3-b).

【典例9】試比較下列各組數(shù)的大?。?/p>

2

（1）也一而和4T-W；（2）6+4和2及一而

【典例10】化簡：（6+夜）2"9.（百—后）2儂.

【典例II】化簡：（1）的-46;(2)Jf+——2(0<x<1)>

已知一&_

v求3冗2-5盯+3y2的值.

【典例12】L—KI?人"一■l,y—*

6十血

【典例13】化簡：+6x+9+Yx2一4x+4

三、對點精練

1.已知：/一3個+2y2=0,則土

y

2.若二=±=-^=2,則左=__________________

b+ca+ca+b

3.已知三角形的三邊之比為5：12：13,求證:此三角形為直角三角形.

2x+3y

4.已知：x2+5xy-6y2=0,—--的值.

2x-y

5.已知x：y=l：2,求x的值

6.已知：a2=b2+c2,(a>0,^>0,c>0).

(1)2=上求￡的值.

a2a

(2)求￡的取值范圍.

a2a

7.已知:a2+b2=c2>0,b>0,c>0).

(1)￡=應(yīng),求2的值.

aa

(2)￡2應(yīng)，求2的取值范圍.

aa

2■22

8.已知。如：。=2:3:4,求"-c的值.

2ab

9.已知x=a+■!■,(〃>o),化簡:Jx+2+y/x-2

aJx+2—>jx—2

10.已知工二三5,求的值.

2x+f+1

+擊

12.化簡下列各式

（1）-屈

111I

（2）方+京&+石耳+…不夠

專題03分解因式(一)

一、知識點精講

因式分解是代數(shù)式的一種重要的恒等變形，它與整式乘法是相反方向的變形.在分式運算、解方程及各

種恒等變形中它都有著重要的作用.因式分解的方法較多，除了初中教材中涉及到的提取公因式法和運用公

式法(只講平方差公式和完全平方公式)外，還有運用公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法、分組分解

法等，主要方法有：十字相乘法(重中之重)、提取公因式法、公式法、分組分解法，另外還應(yīng)

了解求根法及待定系數(shù)法.因式分解的問題形式多樣，富有綜合性與靈活性，因此，因式分解也是一種

重要的基本技能。

二、典例精析

(-)提取公因式法

【典例1］分解因式：

(1)丁+9+3/+3不；⑵3d-6x+3

【答案】見解析

【解析】

(1)x3+9+3x24-3x=(x3+3x2)+(3x+9)=x2(x+3)+3(x+3)=(x+3)(x2+3).

(2)3/-6工+3=3(/一21+1)=3(%-1尸

(二)公式法

【典例2】分解因式：

(l)8+d(2)x2+2xy+y2-z2

【答案】見解析

【解析】

(1)8+X3=(2+X)(X2-2X+4)

(2)f+2xy+y2-z2=(x+y)2-z2=(x+y-z)(x+y+z).

(三)分組分解法

【典例3】分解因式：

(l)2av-lOay+5by-bx(2)^-x2+x-\

【答案】見解析

【解析】

(1)2ax-\Ocn,4-5by-bx=2a{x-5y)+b(5y-x)=(2a-b)(x-5y)

(2)A3-x2+x-1=x2(x-1)+(x-1)=(x-l)(x2+1).

(四)配方法

【典例4]分解因式：

⑴/+6%一16⑵W+2xy-3y2

【答案】見解析

【解析】

(1)X2+6X-16=(X+3)2-25=(X+8)(X-2I

⑵爐+2盯-3y2=(X+丁尸-(2y)2=(x+3v)(x-y).

(五)拆項添項法

【典例5】分解因式：

⑴1-3丁+4⑵/-2x+l

【答案】見解析

【解析】

(1)^-3X2+4=X3-2X2-X2+4=X2(X-2)-(X+2)(X-2)=(X-2)2(X4-1)

(2)爐-2x4-1=^-X-X4-1=x(x+l)(x-l)-(x-l)=(A：-1)(X2+x_l)=(x_])(x+1+")(1--1+亞).(六)

22

求根公式法

【典例6】分解因式：

⑴寸-工一1⑵發(fā)一3%-1

【答案】見解析

【解析】

小J1/1+1-石

⑴x-x-l=(x———)(x———)

22

Q1_/3+而“3-歷、

(2)2x-3x-1=(x------)(x-------)

44

（七）十字相乘法（★★★★★）

(I)一元二次三項式V+(p+g)x+pq型式子的因式分解

我們來討論丁+(〃+4)》+的這類二次三項式的因式分解，這類式子在許多問題中經(jīng)常出現(xiàn)，它的特點是:

①二次項系數(shù)是1;

②常數(shù)項是兩個數(shù)之積；

③一次項系數(shù)是常數(shù)項的兩個因數(shù)之和.

對這個式子先去括號，得到Y(jié)+("+g)x+p4=f+px+/+p心于是便會想到