專題13解直角三角形（能力提升）-2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)《考點(diǎn)解讀專題訓(xùn)練》（北師大版）

專題1.3解直角三角形（能力提升）一、選擇題。1．（2022春?上虞區(qū)期末）已知AD是△ABC的中線，BC＝6，且∠ADC＝45°，∠B＝30°，則AC＝（）A． B． C． D．62．（2022?惠城區(qū)校級(jí)二模）如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，則cos∠BDE的值等于（）A． B． C． D．3．（2022?宣州區(qū)二模）如圖，在網(wǎng)格中小正方形的邊長(zhǎng)均為1，△ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則sin∠ABC等于（）A． B． C． D．4．（2022秋?上海期中）在Rt△ABC中，∠B＝90°，如果∠A＝α，BC＝a，那么AC的長(zhǎng)是（）A．a(chǎn)?tanα B．a(chǎn)?cotα C． D．5．（2022秋?靖江市期中）如圖，在6×6正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)A、B、C都在網(wǎng)格線上，且都是小正方形邊的中點(diǎn)，則sinA的值為（）A． B．2 C． D．6．（2022秋?二道區(qū)校級(jí)月考）如圖，∠AOB＝45°，點(diǎn)C在射線OB上．若OC＝3，則點(diǎn)C到OA的距離等于（）A．3 B．3 C．3 D．67．（2022?高新區(qū)校級(jí)三模）如圖，在△ABC中，DC平分∠ACB，BD⊥CD于點(diǎn)D，∠ABD＝∠A，若BD＝1，AC＝7，則tan∠CBD的值為（）A．5 B． C．3 D．8．（2022?長(zhǎng)春模擬）如圖是小夏同學(xué)家的衣架示意圖．已知AB＝AC＝18cm，∠B＝α，則衣架的寬BC為（）A．36sinαcm B．36cosαcm C．18tanαcm D．cm9．（2022?西湖區(qū)模擬）如圖，邊長(zhǎng)為1的小正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、E在格點(diǎn)上，連接AE、BC，點(diǎn)D在BC上且滿足AD⊥BC，則∠AED的正切值是（）A． B．2 C． D．10．（2022?碑林區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在△ABC中，∠ACB＝60°，∠B＝45°，AB＝，CE平分∠ACB交AB于點(diǎn)E，則線段CE的長(zhǎng)為（）A．+1 B．2 C． D．﹣二、填空題。11．（2022?倉山區(qū)校級(jí)模擬）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，點(diǎn)A，B，P是網(wǎng)格線交點(diǎn)，則tan∠PAB+tan∠PBA＝．12．（2022?百色一模）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，若BC＝14，AD＝12，BD＝AD，則sinC＝．13．（2022?碑林區(qū)校級(jí)三模）如圖，已知在△ABC中，AB＝6，∠ABC＝45°，tan∠ACB＝3，過點(diǎn)A作直線l（l不經(jīng)過線段BC），分別過點(diǎn)B，C作l的垂線，垂足分別為D，E，則BD+CE的最大值為．14．（2022秋?上海期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，AB＝10，那么BC的長(zhǎng)是．15．（2022秋?青州市期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，AB＝，連結(jié)AB并延長(zhǎng)至C，連結(jié)OC，若滿足OC2＝BC?AC，tanα＝3，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為．16．（2022秋?新泰市校級(jí)月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，3），以點(diǎn)A為圓心，AB的長(zhǎng)為半徑畫弧，交x軸的負(fù)半軸于點(diǎn)C，連接BC，則∠C的正弦值為．17．（2022秋?惠山區(qū)期中）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，已知tanB＝，S△ACD＝2，則S△ABC＝．18．（2022秋?香坊區(qū)校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，tan∠ABC＝，點(diǎn)D為AB上一點(diǎn)，連接CD，過A作AE⊥CD于E，AE＝，連接BE，若S△BCE＝18，則BD的長(zhǎng)為．三、解答題。19．（2022春?東城區(qū)期中）在△ABC中，∠B＝30°，AB＝10，AC＝13，求BC的長(zhǎng)．20．（2021秋?淮陰區(qū)期末）在等腰△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，求sinB，cosB．21．（2022秋?張店區(qū)校級(jí)月考）（1）求tan260°+4sin30°cos45°的值．（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝4，a＝2，解這個(gè)直角三角形．22．（2022秋?張店區(qū)校級(jí)月考）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，tanB＝，點(diǎn)D在BC上，且BD＝AD．求AC的長(zhǎng)和tan∠ADC的值．23．（2021秋?包河區(qū)校級(jí)期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝6，BC＝4，tanA＝，求AD的長(zhǎng)．24．（2022秋?西崗區(qū)校級(jí)月考）△ABC中，∠B＝45°，∠BAC＝15°，AC＝10cm，求BC邊的長(zhǎng)度．25．（2022秋?工業(yè)園區(qū)校級(jí)月考）我們給出定義：如果兩個(gè)銳角的和為45°，那么稱這兩個(gè)角互為半余角，如圖，在△ABC中，∠A，∠B互為半余角，且＝，則求∠A的正切值．26．（2022?廣州）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，且AC＝8，BC＝6．（1）尺規(guī)作圖：過點(diǎn)O作AC的垂線，交劣弧于點(diǎn)D，連接CD（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）在（1）所作的圖形中，求點(diǎn)O到AC的距離及sin∠ACD的值．專題1.3解直角三角形（能力提升）一、選擇題。1．（2022春?上虞區(qū)期末）已知AD是△ABC的中線，BC＝6，且∠ADC＝45°，∠B＝30°，則AC＝（）A． B． C． D．6【答案】B?！窘獯稹拷猓喝鐖D，過點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E，∵∠ADC＝45°，∠B＝30°，∴AB＝2AE，AE＝ED，∵BC＝6，AD是△ABC的中線，∴CD＝BD＝3，設(shè)AE＝DE＝x，則AB＝2x，∴CE＝x﹣3，BE＝x+3，在Rt△AEB中，根據(jù)勾股定理得，（2x）2＝x2+（x+3）2，∴2x2﹣6x＝9，在Rt△AEC中，根據(jù)勾股定理得，AC2＝x2+（x﹣3）2，∴AC2＝2x2﹣6x+9，∴AC2＝18，∴AC＝3（負(fù)值舍去）．故選：B．2．（2022?惠城區(qū)校級(jí)二模）如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，則cos∠BDE的值等于（）A． B． C． D．【答案】B。【解答】解：連接AD，如圖，∵AB＝AC＝6，BD＝CD＝＝4，∴AD⊥BC，在Rt△ABD中，AD＝＝＝2，∵ED⊥AB，∴AB?ED＝BD?AD，∴ED＝＝＝，在Rt△BED中，cos∠BDE＝＝＝．故選：B．3．（2022?宣州區(qū)二模）如圖，在網(wǎng)格中小正方形的邊長(zhǎng)均為1，△ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則sin∠ABC等于（）A． B． C． D．【答案】C?！窘獯稹拷猓骸咝≌叫蔚倪呴L(zhǎng)均為1，∴AC2＝5，BC2＝20，AB2＝25，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，∴sin∠ABC＝＝．故選：C．4．（2022秋?上海期中）在Rt△ABC中，∠B＝90°，如果∠A＝α，BC＝a，那么AC的長(zhǎng)是（）A．a(chǎn)?tanα B．a(chǎn)?cotα C． D．【答案】D?！窘獯稹拷猓喝鐖D：在Rt△ABC中，AC＝＝．故選：D．5．（2022秋?靖江市期中）如圖，在6×6正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)A、B、C都在網(wǎng)格線上，且都是小正方形邊的中點(diǎn)，則sinA的值為（）A． B．2 C． D．【答案】C?！窘獯稹拷猓骸鰽BC的頂點(diǎn)A、B、C都在網(wǎng)格線上，且都是小正方形邊的中點(diǎn)，因此可將△ABC向右平移正方形邊長(zhǎng)的一半得到△A′B′C′，如圖所示，則點(diǎn)A′、B′、C′在格點(diǎn)上，過點(diǎn)C′作C′D⊥AB，垂足為D，則A′D＝3，C′D＝4，∴A′C′＝＝5，∴sinA＝sinA′＝＝，故選：C．6．（2022秋?二道區(qū)校級(jí)月考）如圖，∠AOB＝45°，點(diǎn)C在射線OB上．若OC＝3，則點(diǎn)C到OA的距離等于（）A．3 B．3 C．3 D．6【答案】A?！窘獯稹拷猓喝鐖D，過點(diǎn)C作CD⊥OA，垂足為D，在Rt△COD中，∠COD＝45°，OC＝3，∴CD＝OC＝3，即點(diǎn)C到OA的距離為3，故選：A．7．（2022?高新區(qū)校級(jí)三模）如圖，在△ABC中，DC平分∠ACB，BD⊥CD于點(diǎn)D，∠ABD＝∠A，若BD＝1，AC＝7，則tan∠CBD的值為（）A．5 B． C．3 D．【答案】B?！窘獯稹拷猓喝鐖D，延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)E．∵DC平分∠ACB，BD⊥CD于點(diǎn)D，∴∠CDE＝∠CDB＝90°，∠DCE＝∠DCB．在△DCE和△DCB中，，∴△DCE≌△DCB（SAS）．∴BD＝ED＝1．∵∠ABD＝∠A，∴AE＝BE＝2．∵AC＝7，∴CE＝AC﹣AE＝5．∴CD＝＝＝2．∴tan∠CBD＝＝＝2．故選：B．8．（2022?長(zhǎng)春模擬）如圖是小夏同學(xué)家的衣架示意圖．已知AB＝AC＝18cm，∠B＝α，則衣架的寬BC為（）A．36sinαcm B．36cosαcm C．18tanαcm D．cm【答案】B?！窘獯稹拷猓喝鐖D，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D．∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2BD．∵AD⊥BC，∴BD＝ABcosα．∴BC＝2BD＝2ABcosα＝36cosα（cm）．故選：B．9．（2022?西湖區(qū)模擬）如圖，邊長(zhǎng)為1的小正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、E在格點(diǎn)上，連接AE、BC，點(diǎn)D在BC上且滿足AD⊥BC，則∠AED的正切值是（）A． B．2 C． D．【答案】A?！窘獯稹拷猓哼B接OD，∵AD⊥BC，O是AB中點(diǎn)，∴OD＝AB＝1，∴OD＝OA＝OE＝OD，∴點(diǎn)A、D、B、E在以O(shè)為圓心，1為半徑的同一個(gè)圓上，∴∠ABC＝∠AED，∴tan∠AED＝tan∠ABD＝，故選：A．10．（2022?碑林區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在△ABC中，∠ACB＝60°，∠B＝45°，AB＝，CE平分∠ACB交AB于點(diǎn)E，則線段CE的長(zhǎng)為（）A．+1 B．2 C． D．﹣【答案】B?！窘獯稹拷猓喝鐖D，作AD⊥BC于D，作EF⊥BC于F，在Rt△ABD中，BD＝AD＝AB?sinB＝×＝，在Rt△ADC中，∠DAC＝90°﹣∠ACB＝30°，CD＝AD?tan30°＝×＝1，∴BC＝+1，在Rt△BEF中，設(shè)BF＝EF＝x，在Rt△EFC中，∠FEC＝90°﹣∠BCE＝60°，CF＝EF?tan60°＝x，由CF+BF＝BC得，，∴x＝1，∴EC＝2EF＝2，故答案為：B．二、填空題。11．（2022?倉山區(qū)校級(jí)模擬）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，點(diǎn)A，B，P是網(wǎng)格線交點(diǎn)，則tan∠PAB+tan∠PBA＝．【答案】。【解答】解：設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)是a，∵tan∠PAB＝＝＝，tan∠PBA＝＝＝，∴tan∠PAB+tan∠PBA＝+＝．12．（2022?百色一模）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，若BC＝14，AD＝12，BD＝AD，則sinC＝．【答案】。【解答】解：∵AD＝12，∴BD＝AD＝＝9，∴CD＝BC﹣BD＝14﹣9＝5，在Rt△ACD中，AC＝＝，∴sinC＝＝．13．（2022?碑林區(qū)校級(jí)三模）如圖，已知在△ABC中，AB＝6，∠ABC＝45°，tan∠ACB＝3，過點(diǎn)A作直線l（l不經(jīng)過線段BC），分別過點(diǎn)B，C作l的垂線，垂足分別為D，E，則BD+CE的最大值為4．【答案】4?！窘獯稹拷猓喝鐖D，作AH⊥BC于H，取BC的中點(diǎn)F，取DE的中點(diǎn)G，連接AF，連接FG，∴FG是梯形BCED的中位線，∴FG∥BD∥CE，BD+CE＝2FG，∵BD⊥DE，∴FG⊥DE，∴∠AGF＝90°，∴FG≤AF，∵∠AHB＝∠AHC＝90°，∠ABC＝45°，∴AH＝BH＝AB＝6，∵tan∠ACB＝＝3，∴CH＝＝2，∴CH＝2，∴BC＝BH+CH＝8，∴CF＝BF＝，∴FH＝CF﹣CH＝2，∴AF＝＝＝2，∴當(dāng)點(diǎn)G和A點(diǎn)重合時(shí)，F(xiàn)G最大＝AF＝2，∴BD+CE的最大值為：4，故答案為：4．14．（2022秋?上海期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，AB＝10，那么BC的長(zhǎng)是5．【答案】5。【解答】解：在Rt△ABC中，∵sinA＝＝，AB＝10，∴BC＝5．故答案為：5．15．（2022秋?青州市期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，AB＝，連結(jié)AB并延長(zhǎng)至C，連結(jié)OC，若滿足OC2＝BC?AC，tanα＝3，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣，）．【答案】（﹣，）。【解答】解：作CD⊥AO于D，∵OC2＝BC?AC，∴OC：BC＝AC：OC，∵∠BCO＝∠OCA，∴△COB∽△CAO，∴∠COB＝∠OAB，∵∠COB+∠α＝∠OAB+∠ABO＝90°，∴∠ABO＝∠α，∴tan∠ABO＝tanα＝3，∴tan∠ABO＝＝3，∵OB2+AO2＝AB2，∴OB2+（3OB）2＝40，∴OB＝2，OA＝6，∵tanα＝＝3，∴CD＝3DO，∵OB∥CD，∴△ABO∽△ACD，∴AO：AD＝OB：CD，∴6：（6+OD）＝2：（3OD），∴OD＝，∴CD＝3OD＝，∴點(diǎn)C坐標(biāo)為：（﹣，），故答案為：（﹣，）．16．（2022秋?新泰市校級(jí)月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，3），以點(diǎn)A為圓心，AB的長(zhǎng)為半徑畫弧，交x軸的負(fù)半軸于點(diǎn)C，連接BC，則∠C的正弦值為．【答案】。【解答】解：∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，3），∴BO＝3，AO＝4，∴AB＝＝5，∵以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫弧，交x軸的負(fù)半軸于點(diǎn)C，∴CO＝5﹣4＝1，BC＝＝，∴sin∠C＝＝＝，故答案為：．17．（2022秋?惠山區(qū)期中）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，已知tanB＝，S△ACD＝2，則S△ABC＝10．【答案】10?！窘獯稹拷猓骸逤D⊥AB，tanB＝，∴＝，∵△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴△ACD∽△CBD，∴S△ACD：S△CBD＝1：4，∵S△ACD＝2，∴S△CBD＝8，∴S△ABC＝S△ACD+S△CBD＝2+8＝10．故答案為：10．18．（2022秋?香坊區(qū)校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，tan∠ABC＝，點(diǎn)D為AB上一點(diǎn)，連接CD，過A作AE⊥CD于E，AE＝，連接BE，若S△BCE＝18，則BD的長(zhǎng)為3．【答案】3。【解答】解：作BF⊥CD交CD延長(zhǎng)線于F，∵∠CAE+∠ACE＝90°，∠BCF+∠ACE＝90°，∴∠CAE＝∠BCF，∵∠AEC＝∠F＝90°，∴△ACE∽△CBF，∴＝＝，∵tan∠ABC＝＝，∴＝＝，∴CF＝2AE＝8，令CE＝x，則BF＝2x，∵S△BCE＝CE?BF＝18，∴x2＝18，x＝3，∴CE＝3，BF＝6，∵AE∥BF，∴＝＝＝，∵EF＝CF﹣CE，∴EF＝8﹣3＝5，∴DF＝3，∵BD2＝BF2+DF2，∴DB2＝+，∴BD＝3．故答案為：3．三、解答題。19．（2022春?東城區(qū)期中）在△ABC中，∠B＝30°，AB＝10，AC＝13，求BC的長(zhǎng)．【解答】解：過點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，如圖，在Rt△ABD中，∵∠B＝30°，AB＝10，∴AD＝＝＝5，cosB＝＝，∴＝，∴BD＝5；在Rt△ADC中，∵AD＝5，AC＝14，∴DC＝＝＝12，∴BC＝BD+CD＝5．20．（2021秋?淮陰區(qū)期末）在等腰△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，求sinB，cosB．【解答】解：作AD⊥BC與D，∵AB＝AC＝13，D是BC的中點(diǎn)，即BD＝5，∴AD＝＝12，∴sinB＝＝，cosB＝＝．21．（2022秋?張店區(qū)校級(jí)月考）（1）求tan260°+4sin30°cos45°的值．（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝4，a＝2，解這個(gè)直角三角形．【解答】解：（1）tan260°+4sin30°cos45°＝（）2+4××＝3+；（2）在Rt△ABC中，∵c＝4，a＝2，∴b＝＝＝＝2．∵sinB＝＝，sin30°＝，∴∠B＝30°．∴∠A＝90°﹣∠B＝60°．22．（2022秋?張店區(qū)校級(jí)月考）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，tanB＝，點(diǎn)D在BC上，且BD＝AD．求AC的長(zhǎng)和tan∠ADC的值．【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，tanB＝，∴＝tanB＝＝，解得：AC＝4；（2）設(shè)CD＝x，則AD＝BD＝8﹣x，在Rt△ACD中，根據(jù)勾股定理得：AD2＝CD2+AC2，即（8﹣x）2＝x2+16，解得：x＝3，∴CD＝3，則tan∠ADC＝＝．23．（2021秋?包河區(qū)校級(jí)期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝6，BC＝4，tanA＝，求AD的長(zhǎng)．【解答】解：如圖，延長(zhǎng)AD與BC交于點(diǎn)E．在直角△ABE中，tanA＝＝，AB＝6，∴BE＝8，∴AE＝＝10，EC＝BE﹣BC＝8﹣4＝4．在△ABE與△CDE中，∠B＝∠CDE＝90°，∠E＝∠E，∴∠DCE＝∠A．∴tan∠DCE＝tanA＝＝，∴設(shè)DE＝4x，則CD＝3x，在直角△CDE中，EC2＝DE2+CD2，∴42＝（4x）2+（3x）2，解得：x＝（負(fù)值舍去），∴DE＝，∴AD＝AE﹣DE＝10﹣＝．即AD的長(zhǎng)為．24．（2022秋?西崗區(qū)校級(jí)月考）△ABC中，∠B＝45°，∠BAC＝15°，AC＝10cm，求BC邊的長(zhǎng)度．【解答】解：過點(diǎn)A作AD⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．∵∠B＝45°，∠