專題01運(yùn)算技巧（原卷版）

專題01運(yùn)算技巧算術(shù)數(shù)和有理數(shù)的銜接在小學(xué)階段，學(xué)生基本接觸的是算術(shù)數(shù)(正整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)、負(fù)數(shù))，這些數(shù)都是隨學(xué)生的年齡特點(diǎn)從現(xiàn)實(shí)生活中得出的。進(jìn)了初中后，把數(shù)的范圍擴(kuò)大到了有理數(shù)域，同時數(shù)的運(yùn)算也相應(yīng)的從小學(xué)中的加、減、乘、除四則運(yùn)算上升到了乘方、開方運(yùn)算。這是對數(shù)的認(rèn)識的一個飛躍。對于算術(shù)方法的四則混合運(yùn)算，我們要求學(xué)生熟練地掌握運(yùn)算順序和計算的正確率；到了初中后，只要弄懂符號法則，那有理數(shù)的運(yùn)算教學(xué)也能達(dá)到事半功倍之效。近年來上小升初銜接班發(fā)現(xiàn)很多同學(xué)基本的簡便運(yùn)算都會，但是稍微有點(diǎn)靈活就下不了筆，究其原因不難發(fā)現(xiàn)這些同學(xué)都有“為了簡便而簡便”（老師要求要簡便，本來小學(xué)的簡便運(yùn)算也就那幾種，就算掌握得不是很好也基本能解決絕大部分問題）。通過本專題希望大家能多觀察、體會，勤總結(jié)，靈活運(yùn)用簡算方法，在我們的頭腦里形成簡算的數(shù)學(xué)思想。1．運(yùn)算定律1）加法交換律：加法結(jié)合律：3）乘法交換律：乘法結(jié)合律：4）乘法分配律：乘法分配律的逆用：2．運(yùn)算性質(zhì)1）減法的性質(zhì)：2）除法的性質(zhì)：3）商的“不變性”，即若，則，；【題型一】活用運(yùn)算定律（湊整思想）【解題技巧】“湊整”就是把“一些分?jǐn)?shù)（或小數(shù)）湊成整數(shù)”，把“一些整數(shù)湊成10的整倍數(shù)”，使有理數(shù)式子容易計算出結(jié)果。在湊整過程中，常用添項(xiàng)、拆項(xiàng)、分解因數(shù)、提公因數(shù)等方法技巧。一般情況下，小學(xué)階段的湊整主要使用運(yùn)算定律達(dá)到湊整的目的。【典題1】（2022·全國·六年級專題練習(xí)）計算：(1)9+99+999+9999(2)71+73+69+74+68+70+69（3）999999×999999+1999999【典題2】（2021·四川成都·六年級期末）計算題。（1）

（2）（3）125×32×25

（4）×2000－【變式練習(xí)】1．（2021·江蘇宿遷·六年級期末）計算下面各題，怎樣簡便就怎樣算。18.6－3.89＋2.4－6.11

÷9＋×

（）×23＋0.4×（2.5×12.5）

×[1÷（－）]

2．（2022·全國·小升初模擬）簡便計算:39×＋148×＋48×3．（2021·全國·六年級專題練習(xí)）下面各題怎樣算簡便就怎樣算。

4．（2022·山東·德州六年級期中）用你喜歡的方法計算。（能簡算的一定要簡算）

【題型二】活用運(yùn)算定律和性質(zhì)（湊整思想）【解題技巧】靈活掌握減法的性質(zhì)、除法的性質(zhì)及商的不變性【典題1】（2022·全國·四年級專題練習(xí)）用簡便方法計算下面各題。（1）900－245－155

（2）249－（93＋49）

（3）569－72－69（4）811－23－77

（5）403－174－26

（6）577－（177＋58）【典題2】（2022··成都高新區(qū)六年級期中）用簡便方法計算。（1）5000÷125÷8（2）（3）（＋7）÷（＋）

（4）(96×48×91）÷(32×24×13）【變式練習(xí)】1．（2022·全國·四年級專題練習(xí)）用簡便方法計算。3000÷125÷82．（2022·全國·四年級專題練習(xí)）用簡便方法計算下列各題。600÷24

400÷163．（2022·全國·四年級專題練習(xí)）簡便計算。328－（284－172）4．（2022·全國五年級期末）計算下面各題，能簡算的要簡算。＋（－）2－－－＋－【題型三】換元法【解題技巧】從式子的整體角度考察，把部分式子用字母代替后，再進(jìn)行化簡求值。通過引入字母轉(zhuǎn)化命題結(jié)構(gòu)，這樣不但可以減少運(yùn)算過程，還有利于尋找接題思路，其中的新變量在解題過程中起到橋梁作用?！镜漕}1】（2022·全國六年級培優(yōu)）（－＋…－＋）×（1－＋－＋－…＋）－（1－＋－＋－…＋－）×（－＋…－）=_____．【典題2】（2022·四川·成都市實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校附屬小學(xué)小升初模擬）計算（寫出必要的計算過程）?！咀兪骄毩?xí)】1．（2022·全國·六年級競賽）=______2．（2022·全國·六年級）計算題。（1＋）×（）－（1＋＋＋）×（）3.計算題:【題型四】巧分組法【解題技巧】觀察所求算式特征，巧妙運(yùn)用分組搭配處理，可以簡化運(yùn)算?！镜漕}1】（2022·全國·四年級專題練習(xí)）用簡便方法計算。（1）(100＋99－98－97＋96＋95－94－93…＋4＋3－2－1（2）100－98＋96－94＋92－90＋…＋8－6＋4－2【典題2】（2022·全國六年級月考）計算：【變式練習(xí)】1．（2022·全國·四年級專題練習(xí)）用簡便方法計算。50－49＋48－47＋…＋4－3＋2－12．計算：____________________．3．（2022全國·六年級競賽）=________．【題型五】應(yīng)用公式【解題技巧】平方差公式：完全平方公式：，【典題1】（1）（2021·四川青羊·樹德中學(xué)八年級開學(xué)考試）計算：＝___．（2）（2021·湖南漢壽·七年級期中）計算：799×801﹣8002＝_____．【典題2】（2022·河南·七年級期末）用簡便方法計算下列各式：(1)；(2)．【變式練習(xí)】1．（2022·全國·六年級競賽）=________．2．（2022·全國六年級競賽）簡算：202﹣192+182﹣172+…+22﹣12．3．（2022·廣東河源·七年級期中）利用乘法公式進(jìn)行簡便計算：(1)；(2)4．（2022·廣東·梅州市梅江區(qū)芹洋學(xué)校七年級階段練習(xí)）簡便計算：(1)20022(2)【題型六】分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)計算【解題技巧】把一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)的和或積，使得算式可以消去某些項(xiàng)，使運(yùn)算簡捷。利用下面的拆項(xiàng)公式課化簡一些有理數(shù)式子的計算第一類（“裂差”型運(yùn)算）：或裂差型裂項(xiàng)的三大關(guān)鍵特征：（1）分子全部相同，最簡單形式為都是1的，復(fù)雜形式可為都是x(x為任意自然數(shù))的，但是只要將x提取出來即可轉(zhuǎn)化為分子都是1的運(yùn)算。（2）分母上均為幾個自然數(shù)的乘積形式，并且滿足相鄰2個分母上的因數(shù)“首尾相接”（3）分母上幾個因數(shù)間的差是一個定值。第二類（“裂和”型運(yùn)算）：或裂和型運(yùn)算與裂差型運(yùn)算的對比：裂差型運(yùn)算的核心環(huán)節(jié)是“兩兩抵消達(dá)到簡化的目的”，裂和型運(yùn)算的題目不僅有“兩兩抵消”型的，同時還有轉(zhuǎn)化為“分?jǐn)?shù)湊整”型的，以達(dá)到簡化目的。【典題1】（2021·遼寧·六年級專題練習(xí)）計算。

【典題2】（2021·全國·六年級專題練習(xí)）怎樣算簡便就怎樣算。【變式練習(xí)】1．（2021·全國·六年級專題練習(xí)）計算：＋＋＋＋＋＋2．（2021·成都外國語學(xué)校附屬小學(xué)小升初模擬）計算：3．（2022·全國·小升初模擬）簡便計算（提示，……）4.（2022·全國小升初模擬）簡便計算：+++++【題型七】數(shù)列求和【解題技巧】eq\o\ac(○,1)等差數(shù)列求和等差數(shù)列求和公式：（首項(xiàng)+末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)計算方法：（末項(xiàng)－首項(xiàng)）÷公差+1eq\o\ac(○,2)等比數(shù)列求和等比數(shù)列的求和公式：（末項(xiàng)×公比—首項(xiàng)）÷（公比—1）（公比≠1）【典題1】（2021·成都外國語學(xué)校附屬小學(xué)小升初模擬）計算：【典題2】（2022·全國六年級競賽）計算：【變式練習(xí)】1．（2021·山東青島·五年級期末）數(shù)學(xué)王子高斯八歲時，用如下的方法計算自然數(shù)1到100的和：利用高斯發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，嘗試計算下列各題：（1）（2）2．（2022·江蘇小升初模擬）________3．（2022·全國·六年級競賽）計算：1.8＋2.8＋3.8＋……＋50.81．（2021·廣西象州·七年級期中）利用平方差公式計算的結(jié)果是（）A． B． C． D．2．（2022·山東臨沂·一模）下列等式成立的是（

）A．6692＋2×669×31＋312＝7002 B．6692﹣669×69﹣692＝6002C．6692＋669×31＋312＝7002 D．6692﹣2×669×69﹣692＝60023．（2021·全國六年級競賽）=________．4．（2021·全國·六年級競賽）________5．（2021·四川·五年級課時練習(xí)）填分?jǐn)?shù)

（1）=________

（2）=________6．（2021·全國·四年級課時練習(xí)）用湊整法計算下面各題。499999＋49999＋4999＋499＋49＋5

1998＋1997＋1996＋1995＋1994＋207．（2021·四川成都·四年級期末）仔細(xì)觀察，簡便計算。99×99＋199100－98＋96－94＋92－90＋…＋8－6＋4－28．（2022·全國五年級競賽）用簡便方法計算下面各題（1）3.68+7.56﹣2.68（2）15.48﹣（9.4﹣0.52）（3）4.8×100.1（4）56.5×9.9（5）42.5﹣（6.7﹣7.5）（6）17.8÷（1.78×4）（7）8.54÷2.5÷0.4（8）1.25×32×2.5．9．（2021·全國六年級競賽）怎樣簡便就怎樣算．（1）9999×7778＋3333×6666（2）765×64×0.5×2.5×0.12510．（2022·全國六年級競賽）用簡便方法計算．99＋99×99＋99×99×9911．（2021·全國六年級競賽）計算（1）0.11＋0.13＋0.15＋……＋0.97＋0.99（2）8.9×0.2＋8.8×0.2＋8.7×0.2＋……＋8.1×0.212．（2021·全國小升初真題）計算：（123456+234561+345612+456123+561234+612345）÷7．13．（2021·遼寧·六年級專題練習(xí)）計算題。15．（2021·遼寧·六年級專題練習(xí)）計算題。16．（2021·遼寧·六年級專題練習(xí)）能簡算的要簡算。

（）×25×3625×＋×25－25

9.6÷1＋2.4÷1

2003÷

17．（2021·全國·六年級專題練習(xí)）計算。18．（2021·遼寧·六年級專題練習(xí)）算一算。19.98×68＋199.8×4.2－1998×0.1

19.98×37－199.8×1.9＋19