2023年江蘇省鹽城市中考數(shù)學(xué)專題練7圓

2023年江蘇省鹽城市中考數(shù)學(xué)專題練——7圓一．選擇題（共10小題）1．（2022?亭湖區(qū)校級三模）已知正六邊形的邊長為4，則這個正六邊形的半徑為（）A．4 B．23 C．2 D．432．（2022?亭湖區(qū)校級三模）如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，連結(jié)AC、AD、BD，若∠BAC＝35°，則∠ADC的度數(shù)為（）A．35° B．65° C．55° D．70°3．（2022?東臺市模擬）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，半徑為32，若BC＝6，則∠AA．120° B．135° C．150° D．160°4．（2022?建湖縣二模）如圖，已知AB是半圓O的直徑，∠DAC＝36°，D是弧AC的中點(diǎn)，那么∠BAC的度數(shù)是（）A．54° B．27° C．36° D．18°5．（2021?濱?？h一模）如圖，AB為⊙O的切線，點(diǎn)A為切點(diǎn)，OB交⊙O于點(diǎn)C，點(diǎn)D在⊙O上，連接AD、CD、OA，若∠ADC＝30°，則∠ABO的度數(shù)為（）A．25° B．20° C．30° D．35°6．（2021?鹽都區(qū)二模）如圖，在扇形OAB中，OC⊥AB于點(diǎn)D，AB＝8，將△ODB繞點(diǎn)O點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)60°，則線段DB掃過的圖形面積為（）A．4π3 B．2π C．8π3 D7．（2022?亭湖區(qū)校級三模）如圖，AB是⊙O的直徑，CD是弦，若∠CDB＝32°，則∠ABC等于（）A．68° B．64° C．58° D．32°8．（2021?鹽都區(qū)三模）⊙O的直徑為20，圓上兩點(diǎn)M、N距離為16，⊙O上一動點(diǎn)A到直線MN距離的最大值為（）A．16 B．18 C．24 D．329．（2021?建湖縣二模）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C、D都在⊙O上，若∠ABD＝63°、∠DCO＝24°，則∠BDC的度數(shù)是（）A．15° B．24° C．39° D．63°10．（2021?阜寧縣二模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB＝CD，A為BD中點(diǎn)，∠BDC＝54°，則∠ADB等于（）A．42° B．46° C．50° D．54°二．填空題（共9小題）11．（2022?亭湖區(qū)校級三模）如圖若用半徑為9，圓心角為120°的扇形圍成一個圓錐的側(cè)面（接縫忽略不計），則這個圓錐的底面半徑是．12．（2022?亭湖區(qū)校級一模）如圖，在△ABC中，∠ACB＝45°，AB＝4，點(diǎn)E、F分別在邊BC、AB上，點(diǎn)E為邊BC的中點(diǎn)，AB＝3AF，連接AE、CF相交于點(diǎn)P，則△ABP面積最大值為．13．（2022?濱?？h模擬）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD是⊙O的直徑，∠ABC＝35°，則∠CAD＝．14．（2022?亭湖區(qū)校級一模）如圖，在⊙O中，OC⊥AB于點(diǎn)C，若⊙O的半徑為2，OC＝1，則弦AB的長為．15．（2022?建湖縣二模）如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，先將弧BC沿BC翻折交AB于點(diǎn)D，再將弧BD沿AB翻折交BC于點(diǎn)E，若弧BE＝弧DE，設(shè)∠ABC＝α，則α為．16．（2022?射陽縣一模）一張扇形紙片半徑是3，圓心角為240°，則這張扇形紙片的弧長為．17．（2022?鹽城一模）如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，若∠BOD＝∠A，則sinC＝．18．（2022?鹽城二模）如圖，在扇形AOB中，點(diǎn)C在線段OB上，連接AC，將△AOC沿AC所在直線翻折，使得點(diǎn)O的對應(yīng)點(diǎn)D恰好落在AB上，若OA＝2，則圖中陰影部分的面積為．19．（2022?建湖縣一模）如圖，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AB＝AD，∠E＝110°，點(diǎn)E在弧AD上，則∠C的度數(shù)為．三．解答題（共9小題）20．（2022?亭湖區(qū)校級三模）如果一個四邊形的對角線相等，我們稱這個四邊形為美好四邊形．【問題提出】（1）如圖①，點(diǎn)E是四邊形ABCD內(nèi)部一點(diǎn)，且滿足EB＝EC，EA＝ED，∠BEC＝∠AED，請說明四邊形ABCD是美好四邊形；【問題探究】（2）如圖②，△ABC，請利用尺規(guī)作圖，在平面內(nèi)作出點(diǎn)D使得四邊形ABCD是美好四邊形，且滿足AD＝BD．保留作圖痕跡，不寫畫法；（3）在（2）的條件下，若圖②中△ABC滿足：∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，求四邊形ABCD的面積；【問題解決】（4）如圖③，某公園內(nèi)需要將4個信號塔分別建在A、B、C、D四處，現(xiàn)要求信號塔C建在公園內(nèi)一個湖泊的邊上，該湖泊可近似看成一個半徑為200m的圓，記為⊙E．已知點(diǎn)A到該湖泊的最近距離為500m，是否存在這樣的點(diǎn)D，滿足AC＝BD，且使得四邊形ABCD的面積最大？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由．21．（2022?鹽城一模）對于平面內(nèi)的兩點(diǎn)K、L，作出如下定義：若點(diǎn)Q是點(diǎn)L繞點(diǎn)K旋轉(zhuǎn)所得到的點(diǎn)，則稱點(diǎn)Q是點(diǎn)L關(guān)于點(diǎn)K的旋轉(zhuǎn)點(diǎn)；若旋轉(zhuǎn)角小于90°，則稱點(diǎn)Q是點(diǎn)L關(guān)于點(diǎn)K的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)．如圖1，點(diǎn)Q是點(diǎn)L關(guān)于點(diǎn)K的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)．（1）已知點(diǎn)A（4，0），在點(diǎn)Q1（0，4），Q2（2，23），Q3（﹣2，23），Q4（22，﹣22）中，是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)O的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)的是（2）已知點(diǎn)B（5，0），點(diǎn)C在直線y＝2x+b上，若點(diǎn)C是點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)O的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．（3）點(diǎn)D是x軸上的動點(diǎn)，D（t，0），E（t﹣3，0），點(diǎn)F（m，n）是以D為圓心，3為半徑的圓上一個動點(diǎn)，且滿足n≥0．若直線y＝2x+6上存在點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)E的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)，請直接寫出t的取值范圍．22．（2022?濱?？h模擬）如圖，直線AB經(jīng)過⊙O上的點(diǎn)C，直線BO與⊙O交于點(diǎn)F和點(diǎn)D，OA與⊙O交于點(diǎn)E，與DC交于點(diǎn)G，OA＝OB，CA＝CB．（1）求證：AB是⊙O的切線；（2）若FC∥OA，CD＝12，求圖中陰影部分面積．23．（2022?亭湖區(qū)校級一模）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，以AC為直徑的⊙O切AB于點(diǎn)A，與BC交于點(diǎn)E．（1）求證：直線CD是⊙O的切線；（2）若BE＝9cm，弦CE的長為16cm，求⊙O的半徑長．24．（2022?鹽城一模）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝8，以AB為直徑的⊙O分別與BC，AC交于點(diǎn)D、E，過點(diǎn)D作DF⊥AC，垂足為點(diǎn)F．（1）求證：直線DF是⊙O的切線；（2）若點(diǎn)E是半圓ADB的一個三等分點(diǎn)，求陰影部分的面積．25．（2022?濱?？h一模）如圖，AB是⊙O的直徑，CD是過⊙O上一點(diǎn)C的直線，且AD⊥DC于點(diǎn)D，AC平分∠BAD，OE⊥BC于點(diǎn)E，AB＝12cm，OE＝3cm．（1）求證：CD是⊙O的切線：（2）求AD的長．26．（2022?鹽城二模）以下為一個合作學(xué)習(xí)小組在一次數(shù)學(xué)研討中的過程記錄，請閱讀后完成下方的問題1～4．試題分析（Ⅰ）如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是△ABC外一點(diǎn)，且AD＝AC．求∠BDC的度數(shù)．小明：我發(fā)現(xiàn)試題中有三個等腰三角形，設(shè)∠ADB＝α，易知∠CAD＝90°﹣2α，又因?yàn)锳D＝AC，得∠ADC＝45°+α，即可算出∠BDC的度數(shù)．小麗：我發(fā)現(xiàn)AB＝AC＝AD．則點(diǎn)B、C、D到點(diǎn)A的距離相等，所以點(diǎn)B、C、D在以點(diǎn)A為圓心、線段AB長為半徑的圓上……猜想證明（Ⅱ）如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D、A在BC同側(cè)．猜想：若∠BDC＝°，則點(diǎn)D在以點(diǎn)A為圓心、線段AB長為半徑的圓上．對于這個猜想的證明，小華有自己的想法：以點(diǎn)A為圓心，AB長為半徑畫圓．根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，知道點(diǎn)D可能在⊙A內(nèi)，或點(diǎn)D在⊙A上，或點(diǎn)D在⊙A外．故只要證明點(diǎn)D不在⊙A內(nèi)，也不在⊙A外，就可以確定點(diǎn)D一定在⊙A上．（Ⅲ）進(jìn)一步猜想：如圖2，在△ABC中，∠BAC＝β，AB＝AC，點(diǎn)D、A在BC同側(cè)．若∠BDC＝°，則點(diǎn)D在以點(diǎn)A為圓心、線段AB長為半徑的圓上．（Ⅳ）對（Ⅲ）中的猜想進(jìn)行證明．問題1．完成（Ⅰ）中的求解過程；問題2．補(bǔ)全猜想證明中的兩個猜想：（Ⅱ）；（Ⅲ）；問題3．證明上面（Ⅲ）中的猜想；問題4．如圖3為某大型舞臺實(shí)景投影側(cè)面示意圖，∠BOC＝90°，點(diǎn)A處為投影機(jī)，投影角∠BAC＝45°，折線B﹣O﹣C為影像接收區(qū)．若影像接收區(qū)最大時（即OB+OC最大），投射效果最好，請直接寫出影像接收區(qū)最大時OB的長．27．（2022?東臺市模擬）如圖，已知?OABC的三個頂點(diǎn)A、B、C在以O(shè)為圓心的半圓上，過點(diǎn)C作CD⊥AB，分別交AB、AO的延長線于點(diǎn)D、E，AE交半圓O于點(diǎn)F，連接CF．（1）判斷直線DE與半圓O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）①求證：CF＝AB；②若半圓O的半徑為12，求陰影部分的周長．28．（2022?建湖縣二模）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，E點(diǎn)在AB邊上，D點(diǎn)在BC邊上，以AE為直徑的⊙O過D點(diǎn)，與AC邊相交于點(diǎn)F，DE＝DF．（1）求證：BC是⊙O的切線；（2）若sin∠B=35，⊙O的半徑為6，求BE和

2023年江蘇省鹽城市中考數(shù)學(xué)專題練——7圓參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．（2022?亭湖區(qū)校級三模）已知正六邊形的邊長為4，則這個正六邊形的半徑為（）A．4 B．23 C．2 D．43【解答】解：如圖，⊙O是正六邊形ABCDEF的外接圓，且正六邊形ABCDEF的的邊長為6，∴AF＝6，連接OA、OF，則OA＝OF，且OA就是這個正六邊形的半徑，∵∠AOF=16×360∴△AOF是等邊三角形，∴OA＝AF＝6，∴這個正六邊形的半徑為6，故選：A．2．（2022?亭湖區(qū)校級三模）如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，連結(jié)AC、AD、BD，若∠BAC＝35°，則∠ADC的度數(shù)為（）A．35° B．65° C．55° D．70°【解答】解：連接BC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝35°，∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝55°，∴∠ADC＝∠ABC＝55°，故選：C．3．（2022?東臺市模擬）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，半徑為32，若BC＝6，則∠AA．120° B．135° C．150° D．160°【解答】解：連接OB和OC，∵OB＝OC=32，BC＝6∴OB2+OC2＝BC2，∴△OBC為直角三角形，∠BOC＝90°，∴∠A=12（360°﹣90°）＝故選：B．4．（2022?建湖縣二模）如圖，已知AB是半圓O的直徑，∠DAC＝36°，D是弧AC的中點(diǎn)，那么∠BAC的度數(shù)是（）A．54° B．27° C．36° D．18°【解答】解：連接OC、OD，如圖，∵∠DAC＝36°，∴∠COD＝2∠DAC＝72°，∵D是弧AC的中點(diǎn)，∴AD=∴∠AOD＝∠COD＝72°，∴∠BOC＝180°﹣72°﹣72°＝36°，∴∠BAC=12∠BOC＝故選：D．5．（2021?濱海縣一模）如圖，AB為⊙O的切線，點(diǎn)A為切點(diǎn)，OB交⊙O于點(diǎn)C，點(diǎn)D在⊙O上，連接AD、CD、OA，若∠ADC＝30°，則∠ABO的度數(shù)為（）A．25° B．20° C．30° D．35°【解答】解：∵AB為圓O的切線，∴AB⊥OA，即∠OAB＝90°，∵∠ADC＝30°，∴∠AOB＝2∠ADC＝60°，∴∠ABO＝90°﹣60°＝30°．故選：C．6．（2021?鹽都區(qū)二模）如圖，在扇形OAB中，OC⊥AB于點(diǎn)D，AB＝8，將△ODB繞點(diǎn)O點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)60°，則線段DB掃過的圖形面積為（）A．4π3 B．2π C．8π3 D【解答】解：如圖，在扇形OAB中，OC⊥AB于點(diǎn)D，AB＝8，∴AD＝BD=12AB＝在Rt△OBD中，OB2﹣OD2＝BD2＝16，∵△ODB繞O旋轉(zhuǎn)60°到△OD′B′，∴△ODB≌△OD′B′，∴∠DOD′＝∠BOB′＝60°，∴S扇形ODD′=60π?OD2360=CD26∴S陰影＝S扇形OBB′﹣S扇形ODD′=CB26π-CD2故選：C．7．（2022?亭湖區(qū)校級三模）如圖，AB是⊙O的直徑，CD是弦，若∠CDB＝32°，則∠ABC等于（）A．68° B．64° C．58° D．32°【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠ADC+∠CDB＝90°，∴∠ADC＝90°﹣∠CDB＝90°﹣32°＝58°，∵∠ABC＝∠ADC，∴∠ABC＝58°，故選：C．8．（2021?鹽都區(qū)三模）⊙O的直徑為20，圓上兩點(diǎn)M、N距離為16，⊙O上一動點(diǎn)A到直線MN距離的最大值為（）A．16 B．18 C．24 D．32【解答】解：如圖，過O點(diǎn)作OB⊥MN于B，連接OM，∴MB＝NB，∵M(jìn)N＝16，∴MB＝8，∵OM＝10，∴OB=10∴點(diǎn)A到直線MN距離的最大值為10+6＝16，故選：A．9．（2021?建湖縣二模）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C、D都在⊙O上，若∠ABD＝63°、∠DCO＝24°，則∠BDC的度數(shù)是（）A．15° B．24° C．39° D．63°【解答】解：連接AC，如圖，∵∠ACD＝∠ABD＝63°，∠DCO＝24°，∴∠ACO＝∠ACD﹣∠DCO＝63°﹣24°＝39°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO＝39°，∴∠BDC＝∠A＝39°．故選：C．10．（2021?阜寧縣二模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB＝CD，A為BD中點(diǎn)，∠BDC＝54°，則∠ADB等于（）A．42° B．46° C．50° D．54°【解答】解：∵A為BD中點(diǎn)，∴AB=∵AB＝CD，∴AB=∴AB=∴∠ADB＝∠CBD＝∠ABD，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ADB+∠CBD+ABD＝180°﹣∠BDC＝180°﹣54°＝126°，∴3∠ADB＝126°，∴∠ADB＝42°．故選：A．二．填空題（共9小題）11．（2022?亭湖區(qū)校級三模）如圖若用半徑為9，圓心角為120°的扇形圍成一個圓錐的側(cè)面（接縫忽略不計），則這個圓錐的底面半徑是3．【解答】解：這個圓錐的底面半徑為r，根據(jù)題意得2πr=120×π×9解得r＝3，即這個圓錐的底面半徑是3．故答案為：3．12．（2022?亭湖區(qū)校級一模）如圖，在△ABC中，∠ACB＝45°，AB＝4，點(diǎn)E、F分別在邊BC、AB上，點(diǎn)E為邊BC的中點(diǎn)，AB＝3AF，連接AE、CF相交于點(diǎn)P，則△ABP面積最大值為1+2【解答】解：如圖1，作AH∥BC交CF的延長線于點(diǎn)H，則△AHF∽△BCF，∵AB＝3AF，EC＝EB=12∴AHBC∴AH=12∴AH＝EC，∵∠H＝∠PCE，∠APH＝∠EPC，∴△APH≌△EPC（AAS），∴AP＝PE=12∴S△ABP=12S△∵S△ABE=12S△∴S△ABP=14S△∴當(dāng)S△ABC最大時，則S△ABP最大；作△ABC的外接圓⊙O，作CG⊥AB于點(diǎn)G，OD⊥AB于點(diǎn)D，OI⊥CG于點(diǎn)I，連接OC，∵∠ODG＝∠OIG＝∠IGD＝90°，∴四邊形OIGD是矩形，∴IG＝OD，∵IC≤OC，∴IC+IG≤OC+OD，即CG≤OC+OD，∴當(dāng)點(diǎn)I與點(diǎn)O重合，即C、O、D三點(diǎn)在同一條直線上時，CG最大，此時S△ABC最大；如圖2，△ABC的外接圓⊙O，OD⊥AB于點(diǎn)D，點(diǎn)C在DO的延長線上，連接OA、OB，∵∠ACB＝45°，∴∠AOB＝2∠ACB＝90°，∵OA2+OB2＝AB2，OA＝OB，AB＝4，∴2OA2＝42，∴OC＝OA＝22，∵AD＝BD，∴OD＝AD＝BD=12AB＝∴CD＝2+22，∴S△ABC最大=12×4×（2+22）＝∴S△ABP最大=14×（4+42）＝∴△ABP面積最大值為1+2故答案為：1+213．（2022?濱?？h模擬）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD是⊙O的直徑，∠ABC＝35°，則∠CAD＝55°．【解答】解：∵∠ABC＝35°，∴∠ABC＝∠D＝35°，∵AD是⊙O的直徑，∴∠ACD＝90°，∴∠CAD＝90°﹣∠D＝55°，故答案為：55°．14．（2022?亭湖區(qū)校級一模）如圖，在⊙O中，OC⊥AB于點(diǎn)C，若⊙O的半徑為2，OC＝1，則弦AB的長為23．【解答】解：連接OA，如圖1所示，∵OC⊥AB，OC過圓心O，∴∠OCA＝90°，AC＝BC，在Rt△OCA中，由勾股定理得：AC=O即BC＝AC=3∴AB＝AC+BC＝23，故答案為：23．15．（2022?建湖縣二模）如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，先將弧BC沿BC翻折交AB于點(diǎn)D，再將弧BD沿AB翻折交BC于點(diǎn)E，若弧BE＝弧DE，設(shè)∠ABC＝α，則α為22.5°．【解答】解：如圖，連接AC，∵∠ABC＝∠DBC＝∠DBE，∴AC=∵DE=∴AC=∴AC=∴∠ABC=1∴∠ABC＝α，∠BAC＝3α，∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，∴90°+3α+α＝180°，∴α＝22.5°．故答案為22.5°．16．（2022?射陽縣一模）一張扇形紙片半徑是3，圓心角為240°，則這張扇形紙片的弧長為4π．【解答】解：l=nπr180=故答案為：4π．17．（2022?鹽城一模）如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，若∠BOD＝∠A，則sinC＝32【解答】解：∵∠C=12∠BOD，∠BOD＝∠A，∠C+∠A＝∴12∠BOD+∠BOD＝180∴∠BOD＝120°，∴∠C=12∠BOD＝∴sinC=3故答案為：3218．（2022?鹽城二模）如圖，在扇形AOB中，點(diǎn)C在線段OB上，連接AC，將△AOC沿AC所在直線翻折，使得點(diǎn)O的對應(yīng)點(diǎn)D恰好落在AB上，若OA＝2，則圖中陰影部分的面積為2π3-【解答】解：連接OD，交AC于E，∵將△AOC沿AC所在直線翻折，使得點(diǎn)O的對應(yīng)點(diǎn)D恰好落在AB上，OA＝2，∴AC垂直平分OD，AD＝OA＝2＝OD，∴OE＝DE＝1，△AOD是等邊三角形，∴∠AOD＝60°，由勾股定理得：AE=O∴陰影部分的面積S＝S扇形AOD﹣S△AOD=60π×=2π故答案為：2π319．（2022?建湖縣一模）如圖，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AB＝AD，∠E＝110°，點(diǎn)E在弧AD上，則∠C的度數(shù)為140°．【解答】解：連接BD，∵∠E＝110°，∠ABD+∠E＝180°，∴∠ABD＝70°，∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB＝70°，∴∠BAD＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∵∠BAD+∠C＝180°，∴∠C＝180°﹣40°＝140°，故答案為：140°．三．解答題（共9小題）20．（2022?亭湖區(qū)校級三模）如果一個四邊形的對角線相等，我們稱這個四邊形為美好四邊形．【問題提出】（1）如圖①，點(diǎn)E是四邊形ABCD內(nèi)部一點(diǎn)，且滿足EB＝EC，EA＝ED，∠BEC＝∠AED，請說明四邊形ABCD是美好四邊形；【問題探究】（2）如圖②，△ABC，請利用尺規(guī)作圖，在平面內(nèi)作出點(diǎn)D使得四邊形ABCD是美好四邊形，且滿足AD＝BD．保留作圖痕跡，不寫畫法；（3）在（2）的條件下，若圖②中△ABC滿足：∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，求四邊形ABCD的面積；【問題解決】（4）如圖③，某公園內(nèi)需要將4個信號塔分別建在A、B、C、D四處，現(xiàn)要求信號塔C建在公園內(nèi)一個湖泊的邊上，該湖泊可近似看成一個半徑為200m的圓，記為⊙E．已知點(diǎn)A到該湖泊的最近距離為500m，是否存在這樣的點(diǎn)D，滿足AC＝BD，且使得四邊形ABCD的面積最大？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）連接AC，BD，如圖：∵∠BEC＝∠AED，∴∠BEC+∠CED＝∠AED+∠CED，即∠BED＝∠AEC，在△BED和△CEA中，EB=EC∠BED=∠AEC∴△BED≌△CEA（SAS），∴BD＝AC，∴四邊形ABCD是美好四邊形；（2）如圖：四邊形ABCD即為所求；（3）連接BD，過D作DK⊥AB于K，如圖：∵∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，∴AC=AB∵四邊形ABCD是美好四邊形，AD＝BD，∴AD＝BD＝AC＝5，∵DK⊥AB，∴AK＝BK=12AB＝在Rt△ADK中，DK=A∴S△ABD=12AB?DK=12×4×21=221，S△BCD=12BC∴S四邊形ABCD＝S△ABD+S△BCD＝221+3（4）存在這樣的點(diǎn)D，滿足AC＝BD，且使得四邊形ABCD的面積最大，理由如下：當(dāng)對角線相等的四邊形對角線不垂直時，如圖，過點(diǎn)D作DM⊥AC于M，過點(diǎn)B作BN⊥AC于N，則S四邊形ABCD＝S△ACD+S△ACB=12AC?（DM+∵DM＜DO，BN＜BO，∴DM+BN＜BD，∴S四邊形ABCD＜12AC?當(dāng)對角線相等的四邊形對角線垂直時，如圖：S四邊形ABCD＝S△ACD+S△ACB=12AC?（OD+OB）=1∴當(dāng)對角線相等的四邊形對角線垂直時，面積最大，如圖，當(dāng)AC過圓心E，AC最長，四邊形ABCD中，AC⊥BD時，其面積最大，∵⊙E的半徑為200m，點(diǎn)A到該湖泊的最近距離為500m，∴AC＝500+2×200＝900（m），∴AC＝BD＝900m，∴S四邊形ABCD=12AC?BD=12×900×900＝故四邊形ABCD的面積最大為405000m2．21．（2022?鹽城一模）對于平面內(nèi)的兩點(diǎn)K、L，作出如下定義：若點(diǎn)Q是點(diǎn)L繞點(diǎn)K旋轉(zhuǎn)所得到的點(diǎn)，則稱點(diǎn)Q是點(diǎn)L關(guān)于點(diǎn)K的旋轉(zhuǎn)點(diǎn)；若旋轉(zhuǎn)角小于90°，則稱點(diǎn)Q是點(diǎn)L關(guān)于點(diǎn)K的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)．如圖1，點(diǎn)Q是點(diǎn)L關(guān)于點(diǎn)K的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)．（1）已知點(diǎn)A（4，0），在點(diǎn)Q1（0，4），Q2（2，23），Q3（﹣2，23），Q4（22，﹣22）中，是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)O的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)的是Q2，Q（2）已知點(diǎn)B（5，0），點(diǎn)C在直線y＝2x+b上，若點(diǎn)C是點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)O的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．（3）點(diǎn)D是x軸上的動點(diǎn)，D（t，0），E（t﹣3，0），點(diǎn)F（m，n）是以D為圓心，3為半徑的圓上一個動點(diǎn)，且滿足n≥0．若直線y＝2x+6上存在點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)E的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)，請直接寫出t的取值范圍．【解答】解：（1）如圖，∵A（4，0），Q1（0，4），∴OA＝OQ1＝4，∠AOQ1＝90°，∴點(diǎn)Q1不是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)O的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)；∵Q2（2，23），作Q2F⊥x軸于點(diǎn)F∴OQ2=OF2+∵tan∠Q2OF=2∴∠Q2OF＝60°，∴點(diǎn)Q2是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)O的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)；∵Q3（﹣2，23），作Q3G⊥x軸于點(diǎn)G則tan∠Q3OG=Q∴∠Q3OG＝60°，∴OQ3=OGcos∠Q3∵∠AOQ3＝180°﹣60°＝120°，∴Q3不是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)O的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)；∵Q4（22，﹣22），作Q4H⊥x軸于點(diǎn)H則tan∠Q4OH=Q4∴∠Q4OH＝45°，∵OQ4=OHcos∠Q4∴Q4是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)O的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)；綜上所述，在點(diǎn)Q1，Q2，Q3，Q4中，是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)O的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)的是Q2，Q4，故答案為：Q2，Q4．（2）在y軸上取點(diǎn)P（0，5），當(dāng)直線y＝2x+b經(jīng)過點(diǎn)P時，可得b＝5，當(dāng)直線y＝2x+b經(jīng)過點(diǎn)B時，則2×5+b＝0，解得：b＝﹣10，∴當(dāng)﹣10＜b＜5時，OB繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)銳角時，點(diǎn)C一定可以落在某條直線y＝2x+b上，過點(diǎn)O作OG⊥直線y＝2x+b，垂足G在第四象限時，如圖，則OT＝﹣b，OS=-1∴ST=OS當(dāng)OG＝5時，b取得最小值，∵5×（-52b）＝﹣b×（-∴b＝﹣55，∴﹣55≤b＜5（3）根據(jù)題意，點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)E的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)在半圓E上，設(shè)點(diǎn)P在半圓S上，點(diǎn)Q在半圓T上（將半圓D繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)），如圖3（1），半圓掃過的區(qū)域?yàn)閳D3（1）中陰影部分，如圖3（2）中，陰影部分與直線y＝2x+6相切于點(diǎn)G，tan∠EMG＝2，SG＝3，過點(diǎn)G作GI⊥x軸于點(diǎn)I，過點(diǎn)S作SJ⊥GI于點(diǎn)J，∴∠SGJ＝∠EMG，∴tan∠SGJ＝tan∠EMG＝2，∴GJ=355，∴GI＝GJ+JI＝3+3∴MI=12GI∴OE＝IE+MI﹣OM=352-32，即xE解得t=3如圖3（3）中，陰影部分與HK相切于點(diǎn)G，tan∠OMK＝tan∠EMH＝2，EH＝6，則MH＝3，EM＝35，∴xE＝t﹣3＝﹣3﹣35，解得t＝﹣35，觀察圖象可知，﹣35≤t＜3+22．（2022?濱海縣模擬）如圖，直線AB經(jīng)過⊙O上的點(diǎn)C，直線BO與⊙O交于點(diǎn)F和點(diǎn)D，OA與⊙O交于點(diǎn)E，與DC交于點(diǎn)G，OA＝OB，CA＝CB．（1）求證：AB是⊙O的切線；（2）若FC∥OA，CD＝12，求圖中陰影部分面積．【解答】（1）證明：連接OC，∵OA＝OB，CA＝CB，∴OC⊥AB，∵OC是⊙O的半徑，∴AB是⊙O的切線；（2）解：∵DF是圓O的直徑，∴∠DCF＝90°，∵FC∥OA，∴∠DGO＝∠DCF＝90°，∴DC⊥OE，∴DG=12CD=12∵OD＝OC，∴∠DOG＝∠COG，∵OA＝OB，AC＝CB，∴∠AOC＝∠BOC，∴∠DOE＝∠AOC＝∠BOC=13×180在Rt△ODG中，∵sin∠DOG=DGOD，cos∠DOG∴OD=DGsin∠DOG=OG＝OD?cos∠DOG＝43×12∴S陰影＝S扇形ODE﹣S△DOG=60π×(43)2360-12×223．（2022?亭湖區(qū)校級一模）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，以AC為直徑的⊙O切AB于點(diǎn)A，與BC交于點(diǎn)E．（1）求證：直線CD是⊙O的切線；（2）若BE＝9cm，弦CE的長為16cm，求⊙O的半徑長．【解答】（1）證明：∵AB與⊙O相切于點(diǎn)A，∴∠OAB＝90°，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠OCD＝∠OAB＝90°，∵OC是⊙O的半徑，∴直線CD是⊙O的切線；（2）解：連接AE，∵AC是⊙O的直徑，∴∠AEC＝90°，∴∠AEB＝180°﹣∠AEC＝90°，∠EAC+∠ACE＝90°，∵∠OAB＝90°，∴∠ACB+∠B＝90°，∴∠B＝∠EAC，∴△AEC∽△BEA，∴AEBE∴AE9∴AE＝12或AE＝﹣12（舍去），在Rt△AEC中，EC＝16，∴AC=AE∴⊙O的半徑長為10．24．（2022?鹽城一模）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝8，以AB為直徑的⊙O分別與BC，AC交于點(diǎn)D、E，過點(diǎn)D作DF⊥AC，垂足為點(diǎn)F．（1）求證：直線DF是⊙O的切線；（2）若點(diǎn)E是半圓ADB的一個三等分點(diǎn)，求陰影部分的面積．【解答】解：（1）連接OD，如圖：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，∴∠C＝∠ODB，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥AC，∴直線DF是⊙O的切線；（2）如圖，連接OE，∵點(diǎn)E是半圓ADB的一個三等分點(diǎn)，∴∠AOE＝60°或120°，當(dāng)∠AOE＝60°時，S△AOE=12AE?OEsin60°=12×4×S陰影＝S扇形OAE﹣S△AOE=60?π×42360-當(dāng)∠AOE＝120°時，過點(diǎn)O作OH⊥AE于點(diǎn)H，則AE＝43，OH＝2．S△AOE=12AE?OH=12×43S陰影＝S扇形OAE﹣S△AOE=120π×42360-綜上所述，陰影部分的面積是8π3-43或16π325．（2022?濱?？h一模）如圖，AB是⊙O的直徑，CD是過⊙O上一點(diǎn)C的直線，且AD⊥DC于點(diǎn)D，AC平分∠BAD，OE⊥BC于點(diǎn)E，AB＝12cm，OE＝3cm．（1）求證：CD是⊙O的切線：（2）求AD的長．【解答】（1）證明：連接OC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠ACO，∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠OAC，∴∠DAC＝∠ACO，∴AD∥OC，又∵AD⊥CD，∴OC⊥CD，又∵OC是⊙O的半徑，∴CD是⊙O的切線；（2）解：∵OE⊥BC，OE過圓心O，∴BE＝CE，又∵O為AB的中點(diǎn)，∴OE=1∵OE＝3，∴AC＝2OE＝6，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝∠D＝90°，又∵∠DAC＝∠BAC，∴△ADC∽△ABC，∴ADAC即AD6∴AD＝3cm．26．（2022?鹽城二模）以下為一個合作學(xué)習(xí)小組在一次數(shù)學(xué)研討中的過程記錄，請閱讀后完成下方的問題1～4．試題分析（Ⅰ）如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是△ABC外一點(diǎn)，且AD＝AC．求∠BDC的度數(shù)．小明：我發(fā)現(xiàn)試題中有三個等腰三角形，設(shè)∠ADB＝α，易知∠CAD＝90°﹣2α，又因?yàn)锳D＝AC，得∠ADC＝45°+α，即可算出∠BDC的度數(shù)．小麗：我發(fā)現(xiàn)AB＝AC＝AD．則點(diǎn)B、C、D到點(diǎn)A的距離相等，所以點(diǎn)B、C、D在以點(diǎn)A為圓心、線段AB長為半徑的圓上……猜想證明（Ⅱ）如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D、A在BC同側(cè)．猜想：若∠BDC＝45°，則點(diǎn)D在以點(diǎn)A為圓心、線段AB長為半徑的圓上．對于這個猜想的證明，小華有自己的想法：以點(diǎn)A為圓心，AB長為半徑畫圓．根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，知道點(diǎn)D可能在⊙A內(nèi)，或點(diǎn)D在⊙A上，或點(diǎn)D在⊙A外．故只要證明點(diǎn)D不在⊙A內(nèi)，也不在⊙A外，就可以確定點(diǎn)D一定在⊙A上．（Ⅲ）進(jìn)一步猜想：如圖2，在△ABC中，∠BAC＝β，AB＝AC，點(diǎn)D、A在BC同側(cè)．若∠BDC＝12β°，則點(diǎn)D在以點(diǎn)A為圓心、線段（Ⅳ）對（Ⅲ）中的猜想進(jìn)行證明．問題1．完成（Ⅰ）中的求解過程；問題2．補(bǔ)全猜想證明中的兩個猜想：（Ⅱ）45°；（Ⅲ）12β°問題3．證明上面（Ⅲ）中的猜想；問題4．如圖3為某大型舞臺實(shí)景投影側(cè)面示意圖，∠BOC＝90°，點(diǎn)A處為投影機(jī)，投影角∠BAC＝45°，折線B﹣O﹣C為影像接收區(qū)．若影像接收區(qū)最大時（即OB+OC最大），投射效果最好，請直接寫出影像接收區(qū)最大時OB的長10．【解答】問題1：解：小明：如圖1，設(shè)∠ADB＝α，∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB＝α，∴∠BAD＝180°﹣（∠ABD+∠ADB）＝180°﹣2α，∴∠CAD＝∠BAD﹣∠BAC＝180°﹣2α﹣90°＝90°﹣2α，∵AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD=180°-∠CAD2=180°-(90°-2α)2∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝45°+α﹣α＝45°，小麗：如圖2，∵AB＝AC＝AD，∴點(diǎn)B、C、D在以A為圓心，AB長為半徑的圓上，∴∠BDC=∵∠BAC＝90°，∴∠BDC＝45°；問題2：由問題1可知：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，