2024北京豐臺(tái)高一（上）期中數(shù)學(xué)（A卷）（教師版）

第1頁(yè)/共1頁(yè)2024北京豐臺(tái)高一（上）期中數(shù)學(xué)（A卷）考試時(shí)間：120分鐘第I卷（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。（1）已知集合，，則（A）（B）（C）（D）（2）命題“，”的否定是（A）， （B），（C）， （D），（3）下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（A）（B）（C）（D）（4）已知函數(shù)的定義域和值域均為，則的圖象可能為（A）（B）（C）（D）（5）已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則的值為（A） （B）（C）（D）（6）“”是“”的（A）充分不必要條件（B）必要不充分條件 （C）充要條件（D）既不充分也不必要條件（7）已知函數(shù)，，對(duì)，用表示，中的最小者，記為，則當(dāng)取得最大值時(shí)的值為（A） （B）（C）（D）（8）已知是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，則與的大小關(guān)系為（A） （B）（C）（D）不確定（9）2024年7月15日至18日，黨的二十屆三中全會(huì)在北京隆重舉行，全會(huì)審議并通過(guò)了《中共中央關(guān)于進(jìn)一步全面深化改革、推進(jìn)中國(guó)式現(xiàn)代化的決定》（以下簡(jiǎn)稱《決定》），《決定》中指出要完善基本公共服務(wù)制度體系，加強(qiáng)普惠性、基礎(chǔ)性、兜底性民生建設(shè)，解決好人民最關(guān)心最直接最現(xiàn)實(shí)的利益問(wèn)題，不斷滿足人民對(duì)美好生活的向往．居民用水作為民生建設(shè)的重要內(nèi)容，愈發(fā)引起社會(huì)關(guān)注，現(xiàn)已知某城市對(duì)居民生活用水實(shí)行“階梯水價(jià)”．計(jì)費(fèi)方法如下表：每戶每月用水量水價(jià)不超過(guò)15m3的部分2.07元/m3超過(guò)15m3但不超過(guò)21.67m3的部分4.07元/m3超過(guò)21.67m3的部分6.07元/m3若某戶居民希望本月繳納的水費(fèi)不超過(guò)51.4元，則此戶居民本月用水最多為（A）19m3 （B）20m3 （C）21m3（D）22m3（10）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足為偶函數(shù)．當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，．對(duì)，都有，則的最小值為（A） （B）（C）（D）第Ⅱ卷（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。（11）函數(shù)的定義域?yàn)椋?2）設(shè)集合，若，則實(shí)數(shù)的值為．（13）能夠說(shuō)明“若，則”是假命題的一組實(shí)數(shù)的值依次為．（14）設(shè)函數(shù)若，則的值域是；若的值域是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．（15）已知的定義域?yàn)?，?duì)，，若同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件：（i）；（ii），則稱具有“豐彩”性質(zhì)．現(xiàn)給出以下定義域均為的四個(gè)函數(shù)：①；②；③；④．其中所有具有“豐彩”性質(zhì)的函數(shù)序號(hào)是．三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。（16）（本小題14分）已知集合，．（Ⅰ）若，求，；（Ⅱ）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（17）（本小題13分）已知是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）的部分圖象如下圖，請(qǐng)將的圖象補(bǔ)充完整，并寫出的單調(diào)遞減區(qū)間；（Ⅲ）若關(guān)于的方程恰有6個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．（18）（本小題15分）設(shè)函數(shù)，．（Ⅰ）若為奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；（Ⅱ）根據(jù)定義證明在區(qū)間上單調(diào)遞增；（Ⅲ）若對(duì)，，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（19）（本小題15分）設(shè)函數(shù)．（Ⅰ）若______（從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知），求實(shí)數(shù)的值，并以此時(shí)的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為三角形的頂點(diǎn)，求該三角形的面積；條件①：關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且；條件②：，都有；條件③：的最小值為，且.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.（Ⅱ）求關(guān)于的不等式的解集．（20）（本小題14分）某公司計(jì)劃生產(chǎn)一類電子設(shè)備，該電子設(shè)備每月產(chǎn)量不超過(guò)150臺(tái)，每臺(tái)售價(jià)為40萬(wàn)元.每月生產(chǎn)該電子設(shè)備的成本由固定成本和可變成本兩部分組成，固定成本為20萬(wàn)元，每月生產(chǎn)臺(tái)時(shí)需要投入的可變成本為（單位：萬(wàn)元），每月的利潤(rùn)為（單位：萬(wàn)元），其中利潤(rùn)是收入與成本之差．當(dāng)每月產(chǎn)量不超過(guò)40臺(tái)時(shí)，；當(dāng)每月產(chǎn)量超過(guò)40臺(tái)時(shí)，．假設(shè)該公司每月生產(chǎn)的電子設(shè)備都能夠售罄．（Ⅰ）求關(guān)于的函數(shù)解析式；（Ⅱ）如果你是該公司的決策者，分析每月生產(chǎn)多少臺(tái)電子設(shè)備可以使月利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？（21）（本小題14分）給定正整數(shù)，設(shè)集合，對(duì)，，，兩數(shù)中至少有一個(gè)數(shù)屬于，則稱集合具有性質(zhì).（Ⅰ）設(shè)集合，，請(qǐng)直接寫出，是否具有性質(zhì)；（Ⅱ）若集合具有性質(zhì)，求的值；（Ⅲ）若具有性質(zhì)的集合恰有6個(gè)元素，且，求集合．（考生務(wù)必將答案寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效）

參考答案第Ⅰ卷（選擇題共40分）題號(hào)12345678910答案CADBAACCBD第Ⅱ卷（非選擇題共110分）填空題（每小題5分，共25分）（11）；（12）；（13）（答案不唯一）；（14），；（15）=1\*GB3①=3\*GB3③．（注：15題給出的函數(shù)序號(hào)中，有多個(gè)序號(hào)符合題目要求。全部選對(duì)得5分，不選或有錯(cuò)選得0分，其他得3分．)三．解答題（共85分）（16）（本小題14分）解：（Ⅰ）由得，，………………2分所以．………………4分因?yàn)?，所以，……………?分所以．………………8分（Ⅱ）因?yàn)?，所以，……………?0分所以………………12分故．………………14分（17）（本小題13分）解：（Ⅰ）由已知，得，………………2分所以．………………4分（Ⅱ）………………6分的單調(diào)遞減區(qū)間為．………………9分（Ⅲ）的取值范圍為．………………13分（18）（本小題15分）解：（Ⅰ）由已知，得的定義域?yàn)?，……………?分．又因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，………………3分即，解得．………………4分（Ⅱ）證明：，且，………………5分則…………6分…………7分．………………9分由，得，，，………………10分于是，即，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增．………………11分（Ⅲ）由已知，得．………………12分由（Ⅱ）知，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以．………………13分因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，所以，………………14分所以．………………15分（19）（本小題15分）解：（Ⅰ）選擇條件①：關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且所以，解得，………………2分此時(shí)．設(shè)的圖象與軸交于點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，令，解得，，所以，．………………4分又因?yàn)椋裕?分所以三角形的面積．………………6分選擇條件②：，都有，所以的對(duì)稱軸為，解得．………………2分以下步驟同①．………………6分選擇條件③：的最小值為，且.所以，且在對(duì)稱軸處取得最小值，即，解得，或，又因?yàn)椋?………………2分以下步驟同①．………………6分（Ⅱ）因?yàn)?，所以方程的兩根分別為，．………………7分當(dāng)時(shí)，有，解得；………………8分當(dāng)時(shí)，有，解得或；………………10分當(dāng)時(shí)，有，解得或；………………12分當(dāng)時(shí)，有，解得．………………14分綜上：當(dāng)時(shí)，不等式解集為；當(dāng)時(shí)，不等式解集為；當(dāng)時(shí)，不等式解集為；當(dāng)時(shí)，不等式解集為．………………15分（20）（本小題14分）解：（Ⅰ）依題意，得………………2分．………………4分當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：當(dāng)時(shí)，.因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，有最大值為．……………8分當(dāng)時(shí)，.因?yàn)椋?0分所以，……………11分當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．……………12分所以當(dāng)時(shí)，的最大值為.……………13分因?yàn)椋栽摴久吭律a(chǎn)100臺(tái)電子設(shè)備可以使月利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是470萬(wàn)元．………………14分（21）（本小題14分）解：（Ⅰ）集合具有性質(zhì)，集合不具有性質(zhì)．………………4分（Ⅱ）記，易知．令，所以，由集合具有性質(zhì)，所以，………………5分不妨設(shè)，則，且．令，，則，且，且，①當(dāng)時(shí)，顯然，因?yàn)椋?，所以，解得，……………?分此時(shí)，具有性質(zhì)．②當(dāng)時(shí)，則，因?yàn)榍遥?，，所以，解得，此時(shí)，與題意不符（舍）．………………8分綜上，，故．………………9分（Ⅲ）記，易知．令，所以，由集合具有性質(zhì)，所以，不妨設(shè)，，此時(shí).若，顯然，所以，由集合具有性質(zhì)，所以，.因?yàn)榍遗c互為相反數(shù)，所以，兩個(gè)數(shù)中必然一正一負(fù).所以中有0，有正數(shù)也有負(fù)數(shù)，下面對(duì)中元素的正負(fù)個(gè)數(shù)進(jìn)行討論：（1）當(dāng)中有1個(gè)負(fù)數(shù)，4個(gè)正數(shù)時(shí)，不妨設(shè)，，因?yàn)榫笥?，所以均不屬于，由集合具有性質(zhì)，所以，因?yàn)?，所以不可能同時(shí)等于，所以此時(shí)集合不具有性質(zhì)，舍去.（2）當(dāng)中有4個(gè)負(fù)數(shù)，1個(gè)正數(shù)時(shí)，不妨設(shè)時(shí)，，因?yàn)榫∮?，所以均不屬于，由集合具有性質(zhì)