2024-2025學年高考數學一輪復習專題3.1函數的概念及其表示知識點講解含解析

專題3.1函數的概念及其表示【考綱解讀與核心素養(yǎng)】1．了解函數的概念，會求簡潔的函數的定義域和值域.2．理解函數的三種表示法：解析法、圖象法和列表法.3．了解簡潔的分段函數，會用分段函數解決簡潔的問題.4.本節(jié)涉及全部的數學核心素養(yǎng)：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析等.5．高考預料：（1）分段函數的應用,要求不但要理解分段函數的概念，更要駕馭基本初等函數的圖象和性質．（2）函數的概念，常常與函數的圖象和性質結合考查.6.備考重點：（1）理解函數的概念、函數的定義域、值域、函數的表示方法；（2）以分段函數為背景考查函數的相關性質問題.【學問清單】1．函數的概念函數兩個集合A，B設A，B是兩個非空數集對應關系f：A→B假如依據某種確定的對應關系f，使對于集合A中的隨意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應2．函數的定義域、值域(1)在函數y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數的值域.(2)假如兩個函數的定義域相同，并且對應關系完全一樣，則這兩個函數為相等函數.3．分段函數(1)若函數在其定義域的不同子集上，因對應關系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數稱為分段函數.(2)分段函數的定義域等于各段函數的定義域的并集，其值域等于各段函數的值域的并集，分段函數雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數.【典例剖析】高頻考點一函數的概念【典例1】（2024·洪洞縣第一中學高三期中（文））下面各組函數中是同一函數的是（）A．與B．與C．與D．與【答案】D【解析】因為選項A中，對應關系不同，選項B中定義域不同，對應關系不同，選項C中，定義域不同，選項D中定義域和對應法則相同，故選D.【典例2】在下列圖形中，表示y是x的函數關系的是________．【答案】①②【解析】由函數定義可知，自變量對應唯一的值，所以③④錯誤，①②正確．【規(guī)律方法】函數的三要素中，若定義域和對應關系相同，則值域肯定相同．因此推斷兩個函數是否相同，只需推斷定義域、對應關系是否分別相同．【變式探究】1.，則與表示同一函數的是（）A.，B.，C.，D.，【答案】C【解析】A中:;B中:;C中：，，；D中：,因此選C.2.（2025屆江西省檢測考試（二））設，，函數的定義域為，值域為，則的圖象可以是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】因為定義域為，所以舍去A;因為值域為，所以舍去D;因為對于定義域內每一個x有且只有一個y值，所以去掉C；選B.【易混辨析】1.推斷兩個函數是否為相同函數，留意把握兩點，一看定義域是否相等，二看對應法則是否相同．2.從圖象看，直線x=a與圖象最多有一個交點.高頻考點二：求函數的定義域【典例3】（2024·江蘇高考真題）函數的定義域是_____.【答案】.【解析】由已知得,即解得，故函數的定義域為.【典例4】（2024·河南省鄭州一中高二期中（文））已知函數定義域是，則的定義域是（）A．[0,] B． C． D．【答案】A【解析】因為函數定義域是所以所以，解得：故函數的定義域是[0,]故選：A【典例5】（2024·邵陽市第十一中學高一期中）已知函數的定義域是,則函數的定義域是()A. B. C. D.無法確定【答案】C【解析】由已知，，即函數的定義域是，故選：C．【規(guī)律方法】1.已知函數的詳細解析式求定義域的方法(1)若f(x)是由一些基本初等函數通過四則運算構成的，則它的定義域為各基本初等函數的定義域的交集．(2)復合函數的定義域：先由外層函數的定義域確定內層函數的值域，從而確定對應的內層函數自變量的取值范圍，還須要確定內層函數的定義域，兩者取交集即可．2．抽象函數的定義域的求法(1)若已知函數f(x)的定義域為[a，b]，則復合函數f(g(x))的定義域由a≤g(x)≤b求出．(2)若已知函數f(g(x))的定義域為[a，b]，則f(x)的定義域為g(x)在x∈[a，b]時的值域．【變式探究】1.（2024·山東省章丘四中高三月考）函數的定義域為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】故答案選C2．（2024·福建省福州第一中學高三）已知函數的定義域為[0，2]，則的定義域為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】函數的定義域是[0，2]，要使函數有意義,需使有意義且.所以解得故答案為C【特殊提示】求函數的定義域，往往要解不等式或不等式組，因此，要嫻熟駕馭一元一次不等式、一元二次不等式的解法、牢記不等式的性質，學會利用數形結合思想，借助數軸解題.另外，函數的定義域、值域都是集合，要用適當的表示方法加以表達或依據題目的要求予以表達．高頻考點三：求函數的解析式【典例6】（2024·天津南開中學高一期中）設函數滿意，則的表達式為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】設，則，所以，所以，故選C．【典例7】（2024·安徽省毛坦廠中學高三月考（理））已知二次函數，滿意，.（1）求函數的解析式；（2）求在區(qū)間上的最大值；（3）若函數在區(qū)間上單調，求實數的取值范圍.【答案】（1）；（2）5；（3）.【解析】（1）由，得，由，得，故，解得，所以.（2）由（1）得：，則的圖象的對稱軸方程為，又，，所以當時在區(qū)間上取最大值為5.（3）由于函數在區(qū)間上單調，因為的圖象的對稱軸方程為，所以或，解得：或，因此的取值范圍為：.【規(guī)律方法】1.已知函數類型，用待定系數法求解析式．2.已知函數圖象，用待定系數法求解析式，假如圖象是分段的，要用分段函數表示．3.已知求，或已知求，用代入法、換元法或配湊法．4.若與或滿意某個等式，可構造另一個等式，通過解方程組求解．5.應用題求解析式可用待定系數法求解．【變式探究】1.（2025屆安徽省安慶市第一中學）已知單調函數，對隨意的都有，則()A.2B.4C.6D.8【答案】C【解析】設，則，且，令，則，解得，∴，∴．故選C．2．（2024·江蘇省高三專題練習）已知，，（），__________．【答案】【解析】高頻考點四：求函數的值域

【典例8】（2024·浙江省鎮(zhèn)海中學高一期中）函數的值域為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】當時，，（當且僅當，即時取等號），的值域為.故選：.【典例9】（2024·甘肅省武威十八中高三期末（理））高斯是德國聞名的數學家，近代數學奠基者之一，享有“數學王子”的稱號，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數學家，用其名字命名的“高斯函數”為：設，用表示不超過的最大整數，則稱為高斯函數，例如：，，已知函數，則函數的值域是__________【答案】【解析】依題意，由于，故，即的值域為，所以函數的值域是.故填：.【典例10】（2024·遼河油田其次高級中學高二月考）函數的值域是________________．【答案】【解析】函數，令則，則，.由二次函數性質可知，在內單調遞增，所以當即時取得最小值，最小值為，因而，故答案為：.【規(guī)律方法】函數值域的常見求法：(1)配方法配方法是求“二次函數型函數”值域的基本方法，形如F(x)＝a[f(x)]2＋bf(x)＋c(a≠0)的函數的值域問題，均可運用配方法．(2)數形結合法若函數的解析式的幾何意義較明顯，如距離、斜率等，可用數與形結合的方法．(3)基本不等式法：要留意條件“一正，二定，三相等”．（可見上一專題）(4)利用函數的單調性①單調函數的圖象是始終上升或始終下降的，因此若單調函數在端點處有定義，則該函數在端點處取最值，即若y＝f(x)在[a，b]上單調遞增，則y最?。絝(a)，y最大＝f(b)；若y＝f(x)在[a，b]上單調遞減，則y最?。絝(b)，y最大＝f(a)．②形如y＝ax＋b＋eq\r(dx＋c)的函數，若ad＞0，則用單調性求值域；若ad＜0，則用換元法．③形如y＝x＋eq\f(k,x)(k＞0)的函數，若不能用基本不等式，則可考慮用函數的單調性，當x＞0時，函數y＝x＋eq\f(k,x)(k＞0)的單調減區(qū)間為(0，eq\r(k)]，單調增區(qū)間為[eq\r(k)，＋∞)．一般地，把函數y＝x＋eq\f(k,x)(k＞0，x＞0)叫做對勾函數，其圖象的轉折點為(eq\r(k)，2eq\r(k))，至于x＜0的狀況，可依據函數的奇偶性解決．*(5)導數法利用導函數求出最值，從而確定值域．高頻考點五：分段函數及其應用【典例11】（2024·永濟中學高一月考）已知，則為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】故選：A【典例12】（2025屆湖北省5月）設函數，若，則實數的值為（）A.B.C.或D.【答案】B【解析】因為，所以所以選B.【典例13】（2024年新課標I卷文）設函數，則滿意的x的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】將函數的圖象畫出來，視察圖象可知會有，解得，所以滿意的x的取值范圍是，故選D.【典例14】（2024·上海高三）若函數（且）的值域是，則實數的取值范圍是__________．【答案】【解析】由于函數的值域是，故當時，滿意，當時，由，所以，所以，所以實數的取值范圍.【總結提升】1.“分段求解”是處理分段函數問題解的基本原則；2.數形結合往往是解答選擇、填空題的“捷徑”.【變式探究】1.（2024·遼寧省高三二模（理））設函數，則（）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】C【解析】由題意，函數，則.故選：C.2.（2024·浙江省高三二模）已知函數若存在唯一的整數，使得成立，則實數的取值范圍是（）A． B．或C． D．或【答案】B【解析】如圖所示，畫出函數圖像，當時，，即，故，即，即；當時，易知不滿意；當時，，即，故，即.綜上所述：或.故選：B.3.（2