2025年中考數(shù)學思想方法復習系列 【數(shù)學模型】建立函數(shù)模型解決實際問題（原卷版）

建立函數(shù)模型解決實際問題知識方法精講1．一次函數(shù)的應用1、分段函數(shù)問題分段函數(shù)是在不同區(qū)間有不同對應方式的函數(shù)，要特別注意自變量取值范圍的劃分，既要科學合理，又要符合實際．2、函數(shù)的多變量問題解決含有多變量問題時，可以分析這些變量的關系，選取其中一個變量作為自變量，然后根據(jù)問題的條件尋求可以反映實際問題的函數(shù)．3、概括整合（1）簡單的一次函數(shù)問題：①建立函數(shù)模型的方法；②分段函數(shù)思想的應用．（2）理清題意是采用分段函數(shù)解決問題的關鍵．2．二次函數(shù)的性質(zhì)二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點坐標是（﹣，），對稱軸直線x＝﹣，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象具有如下性質(zhì)：①當a＞0時，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口向上，x＜﹣時，y隨x的增大而減??；x＞﹣時，y隨x的增大而增大；x＝﹣時，y取得最小值，即頂點是拋物線的最低點．②當a＜0時，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口向下，x＜﹣時，y隨x的增大而增大；x＞﹣時，y隨x的增大而減?。粁＝﹣時，y取得最大值，即頂點是拋物線的最高點．③拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象可由拋物線y＝ax2的圖象向右或向左平移|﹣|個單位，再向上或向下平移||個單位得到的．3．二次函數(shù)圖象與幾何變換由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通?？衫脙煞N方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點坐標，即可求出解析式．4．二次函數(shù)的最值（1）當a＞0時，拋物線在對稱軸左側，y隨x的增大而減少；在對稱軸右側，y隨x的增大而增大，因為圖象有最低點，所以函數(shù)有最小值，當x＝時，y＝．（2）當a＜0時，拋物線在對稱軸左側，y隨x的增大而增大；在對稱軸右側，y隨x的增大而減少，因為圖象有最高點，所以函數(shù)有最大值，當x＝時，y＝．（3）確定一個二次函數(shù)的最值，首先看自變量的取值范圍，當自變量取全體實數(shù)時，其最值為拋物線頂點坐標的縱坐標；當自變量取某個范圍時，要分別求出頂點和函數(shù)端點處的函數(shù)值，比較這些函數(shù)值，從而獲得最值．5．拋物線與x軸的交點求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解關于x的一元二次方程即可求得交點橫坐標．（1）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的交點與一元二次方程ax2+bx+c＝0根之間的關系．△＝b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù)．△＝b2﹣4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△＝b2﹣4ac＝0時，拋物線與x軸有1個交點；△＝b2﹣4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．（2）二次函數(shù)的交點式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常數(shù)，a≠0），可直接得到拋物線與x軸的交點坐標（x1，0），（x2，0）．6．根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關系式根據(jù)實際問題確定二次函數(shù)關系式關鍵是讀懂題意，建立二次函數(shù)的數(shù)學模型來解決問題．需要注意的是實例中的函數(shù)圖象要根據(jù)自變量的取值范圍來確定．①描點猜想問題需要動手操作，這類問題需要真正的去描點，觀察圖象后再判斷是二次函數(shù)還是其他函數(shù)，再利用待定系數(shù)法求解相關的問題．②函數(shù)與幾何知識的綜合問題，有些是以函數(shù)知識為背景考查幾何相關知識，關鍵是掌握數(shù)與形的轉(zhuǎn)化；有些題目是以幾何知識為背景，從幾何圖形中建立函數(shù)關系，關鍵是運用幾何知識建立量與量的等式．7．二次函數(shù)的應用（1）利用二次函數(shù)解決利潤問題在商品經(jīng)營活動中，經(jīng)常會遇到求最大利潤，最大銷量等問題．解此類題的關鍵是通過題意，確定出二次函數(shù)的解析式，然后確定其最大值，實際問題中自變量x的取值要使實際問題有意義，因此在求二次函數(shù)的最值時，一定要注意自變量x的取值范圍．（2）幾何圖形中的最值問題幾何圖形中的二次函數(shù)問題常見的有：幾何圖形中面積的最值，用料的最佳方案以及動態(tài)幾何中的最值的討論．（3）構建二次函數(shù)模型解決實際問題利用二次函數(shù)解決拋物線形的隧道、大橋和拱門等實際問題時，要恰當?shù)匕堰@些實際問題中的數(shù)據(jù)落實到平面直角坐標系中的拋物線上，從而確定拋物線的解析式，通過解析式可解決一些測量問題或其他問題．一．選擇題（共1小題）1．（2021秋?梁溪區(qū)校級期中）如圖，在一張白紙上畫1條直線，最多能把白紙分成2部分（如圖，畫2條直線，最多能把白紙分成4部分（如圖，畫3條直線，最多能把白紙分成7部分（如圖，當在一張白紙上畫15條直線，最多能把白紙分成的部分是A．120 B．121 C．122 D．123二．填空題（共2小題）2．（2021秋?鹿城區(qū)校級期中）如圖，在中，已知，，，是線段上的一點，以為圓心，為半徑的半圓交邊于點，交的延長線于點，射線交于點，則的最大值為．3．（2021秋?蜀山區(qū)校級月考）如圖，是一個迷宮游戲盤的局部平面簡化示意圖，該矩形的長、寬分別為，，其中陰影部分為迷宮中的擋板，設擋板的寬度為，小球滾動的區(qū)域（空白區(qū)域）面積為．則關于的函數(shù)關系式為：（化簡為一般式）．三．解答題（共17小題）4．（2021秋?泗水縣期中）某商店以每件80元的價格購進一批商品，現(xiàn)以單價100元銷售，每月可售出300件．經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：每件商品銷售單價每上漲1元，該商品平均每月的銷售量就減少10件，設每件商品銷售單價上漲了元．（1）若在顧客得實惠的前提下，當每件商品銷售單價上漲多少元時，該商店每月的銷售利潤為6210元？（2）寫出月銷售該商品的利潤（元與每件商品銷售單價上漲（元之間的函數(shù)關系式；當銷售單價定為多少元時，每月銷售該商品的利潤最大？最大利潤為多少？5．（2021秋?禪城區(qū)校級期中）在中，它的邊，高．（1）如圖1，正方形的一邊在上，其余兩個頂點分別在，上．問正方形的邊長是多少？（2）如圖2，點、分別在，上，且，點為上一點，連接、，則當時，的面積最大值．6．（2021秋?郾城區(qū)期中）下面是小麗同學根據(jù)學習函數(shù)的經(jīng)驗，對函數(shù)的圖象與性質(zhì)進行的探究過程．（1）函數(shù)的自變量的取值范圍是．（2）列表011.5234244.2542442表格中的值為．（3）如圖，在平面直角坐標系中，畫出了函數(shù)的部分圖象，用描點法將這個函數(shù)的圖象補充完整；（4）對于上面的函數(shù)，下列四個結論：①函數(shù)圖象關于軸對稱；②函數(shù)既有最大值，也有最小值；③當時，隨的增大而減?。虎芎瘮?shù)圖象與軸有2個公共點．所有正確結論的序號是：．（5）結合函數(shù)圖象，解決問題：關于的方程有個不相等的實數(shù)根．7．某移動通訊公司開設了兩種通訊業(yè)務：“全球通”使用者先繳50元月租費，然后每通話1分鐘，再付話費0.4元；“神州行”不繳月租費，每通話付費0.6元．若一個月內(nèi)通話，兩種方式的費用分別為元和元．（1）寫出、與之間的函數(shù)關系式；（2）一個月內(nèi)通話多少分鐘，兩種移動通訊費用相同；（3）某人估計一個月內(nèi)通話，應選擇哪種移動通訊合算些．8．（2021秋?肅州區(qū)期末）喜迎元旦，某商店銷售一種進價為50元件的商品，售價為60元件，每星期可賣出200件，若每件商品的售價每上漲1元，則每星期就會少賣出10件．（1）假設設每件商品的售價上漲元為正整數(shù)），每星期銷售該商品的利潤為元，求與之間的函數(shù)關系式．（2）每件商品的售價上漲多少元時，該商店每星期銷售這種商品可獲得最大利潤？此時，該商品的定價為多少元？獲得的最大利潤為多少？9．（2021秋?黔西南州期末）某服裝批發(fā)市場銷售一種襯衫，每件襯衫的進貨價為50元，規(guī)定每件的售價不低于進貨價．經(jīng)市場調(diào)查，每月的銷售量（件與每件的售價（元滿足一次函數(shù)關系，部分數(shù)據(jù)如表：售價（元件）556065銷售量（件700600500（1）求出與之間的函數(shù)關系式；（不需要求自變量的取值范圍）（2）物價部門規(guī)定，該襯衫每件的利潤不允許高于進貨價的，設銷售這種襯衫每月的總利潤為（元，求與之間的函數(shù)關系式，當每件襯衫的售價定為多少時，可獲得最大利潤？最大利潤是多少？10．我國是世界上淡水資源匱乏國家之一，北方地區(qū)的缺水現(xiàn)象更為嚴重，有些地方甚至連人畜飲水都得不到保障，為了節(jié)約用水，不少城市作出了對用水大戶限制用水的規(guī)定．北方某市規(guī)定：每一個用水大戶，月用水量不超過規(guī)定標準噸時，按每噸1.6元的價格交費，如果超過了標準，超標部分每噸還要加收元的附加費用．據(jù)統(tǒng)計，某戶7、8兩月的用水量和交費情況如下表：月份用水量（噸交費總數(shù)（元7140264895152（1）求出該市規(guī)定標準用水量的值；（2）寫出交費總數(shù)（元與用水量（噸的函數(shù)關系式．11．（2021秋?前進區(qū)期末）小明一家利用元旦三天駕車到某景點旅游．小汽車出發(fā)前油箱有油，行駛若干小時后，途中在加油站加油若干升，油箱中余油量與行駛時間之間的關系．如圖所示．根據(jù)圖象回答下列問題：（1）小汽車行駛后加油，中途加油；（2）求加油前油箱余油量與行駛時間的函數(shù)關系式；（3）如果小汽車在行駛過程中耗油量速度不變，加油站距景點，車速為，要到達目的地，油箱中的油是否夠用？請說明理由．12．（2021秋?任城區(qū)期末）桿秤是我國傳統(tǒng)的計重工具，如圖，秤鉤上所掛的不同重量的物體使得秤砣到秤紐的水平距離不同．稱重時，秤鉤所掛物重為（斤時，秤桿上秤砣到秤紐的水平距離為（厘米）．如表中為若干次稱重時所記錄的一些數(shù)據(jù)，且是的一次函數(shù)．（斤00.751.002.253.25（厘米）1247注：秤桿上秤砣在秤紐左側時，水平距離（厘米）為正，在右側時為負．（1）根據(jù)題意，完成上表；（2）請求出與的關系式；（3）當秤桿上秤砣到秤紐的水平距離為15厘米時，秤鉤所掛物重是多少斤？13．（2021秋?錦江區(qū)校級期末）元旦節(jié)期間，某天小王和小明都乘車從成都到重慶，成都、重慶兩地相距約為300千米，小王先乘車從成都出發(fā)，小明坐動車先以80千米小時速度追趕小王．如圖，線段表示小王離成都的距離（千米）與時間（小時）之間的函數(shù)關系；折線表示小明離成都的距離（千米）與（小時）之間的函數(shù)關系．請根據(jù)圖象解答下列問題：（1）小明到達重慶后，小王距重慶還剩多少千米？（2）求線段和對應的函數(shù)解析式；（3）求小明從成都出發(fā)后多長時間與小王相遇．14．（2021秋?武漢期末）個體戶小陳新進一種時令水果，成本為20元，經(jīng)過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，這種水果在未來40天內(nèi)的日銷售量與時間（天的關系如表：時間（天1351036日銷售量9490867624未來40天內(nèi)，前20天每天的價格（元與時間（天的函數(shù)關系式為且為整數(shù)），后20天每天的價格（元與時間（天的函數(shù)關系式為且為整數(shù)）．（1）直接寫出與時間（天之間的關系式；（2）請預測未來40天中哪一天的日銷售利潤最大，最大日銷售利潤是多少？（3）在實際銷售的前20天中，個體戶小陳決定每銷售水果就捐贈元利潤且為整數(shù)）給貧困戶，通過銷售記錄發(fā)現(xiàn)，前20天中，每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨時間（天的增大而增大，求前20天中個體戶小陳共捐贈給貧困戶多少錢？15．（2021?青島）科研人員為了研究彈射器的某項性能，利用無人機測量小鋼球豎直向上運動的相關數(shù)據(jù)．無人機上升到離地面30米處開始保持勻速豎直上升，此時，在地面用彈射器（高度不計）豎直向上彈射一個小鋼球（忽略空氣阻力），在1秒時，它們距離地面都是35米，在6秒時，它們距離地面的高度也相同．其中無人機離地面高度（米與小鋼球運動時間（秒之間的函數(shù)關系如圖所示；小鋼球離地面高度（米與它的運動時間（秒之間的函數(shù)關系如圖中拋物線所示．（1）直接寫出與之間的函數(shù)關系式；（2）求出與之間的函數(shù)關系式；（3）小鋼球彈射1秒后直至落地時，小鋼球和無人機的高度差最大是多少米？16．（2021?廣西模擬）新冠疫情期間，某網(wǎng)店銷售的消毒用紫外線燈很暢銷，該網(wǎng)店店主結合店鋪數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，日銷量（件是售價（元件）的一次函數(shù)，其售價、日銷售量、日銷售純利潤（元的四組對應值如表：售價（元件）150160170180日銷售量（件200180160140日銷售純利潤（元8000880092009200另外，該網(wǎng)店每日的固定成本折算下來為2000元．注：日銷售純利潤日銷售量（售價進價）每日固定成本（1）①求關于的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；②該商品進價是元件，當售價是元件時，日銷售純利潤最大，最大純利潤是元．由于疫情期間，每件紫外線燈的進價提高了元，且每日固定成本增加了100元，但該店主為響應政府號召，落實防疫用品限價規(guī)定，按售價不高于170元件銷售，若此時的日銷售純利潤最高為7500元，求的值．17．（2021秋?朝陽區(qū)期末）如圖，某矩形花園一邊靠墻，墻長，另外三邊用長為的籬笆圍成，其中一邊開有一扇寬為的門（不包括籬笆）．設矩形花園垂直于墻的一邊長為，面積為．（1）的長為（用含的代數(shù)式表示）．（2）求與之間的函數(shù)關系式，并寫出的取值范圍．（3）求花園面積的最大值．18．小明大學畢業(yè)后積極響應政府號召回鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)，準備經(jīng)營水果生意，他在批發(fā)市場了解到某種水果的批發(fā)單價與批發(fā)量有如下關系：批發(fā)量批發(fā)單價（元65（1）寫出批發(fā)該種水果的資金金額（元與批發(fā)量