新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點精講練+易錯題型第31講 平面向量的應(yīng)用（原卷版）

第31講平面向量的應(yīng)用【基礎(chǔ)知識全通關(guān)】一：法向量與點到直線的距離1．對于直線SKIPIF1<0是直線的方向向量，SKIPIF1<0是直線的法向量．2．已知直線SKIPIF1<0和定點SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為與SKIPIF1<0垂直的單位向量，則P到直線SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0=SKIPIF1<0．【微點撥】（1）如果給出的方程不是一般式，應(yīng)先將方程化為一般式；（2）利用點到直線的距離公式，可以得到兩平行直線SKIPIF1<0之間的距離SKIPIF1<0，應(yīng)用此公式時，要預(yù)先把兩直線中的SKIPIF1<0的系數(shù)調(diào)整到分別相同才行．二：向量在平面幾何中的應(yīng)用向量在平面幾何中的應(yīng)用主要有以下幾個方面：（1）證明線段相等、平行，常運用向量加法的三角形法則、平行四邊形法則，有時用到向量減法的意義．（2）證明線段平行、三角形相似，判斷兩直線（或線段）是否平行，常運用向量平行（共線）的條件：SKIPIF1<0（或x1y2－x2y1=0）．（3）證明線段的垂直問題，如證明四邊形是矩形、正方形，判斷兩直線（線段）是否垂直等，常運用向量垂直的條件：SKIPIF1<0（或x1x2+y1y2=0）．（4）求與夾角相關(guān)的問題，往往利用向量的夾角公式SKIPIF1<0．（5）向量的坐標法，對于有些平面幾何問題，如長方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐標系，把向量用坐標表示，通過代數(shù)運算解決幾何問題．【微點撥】用向量知識證明平面幾何問題是向量應(yīng)用的一個方面，解決這類題的關(guān)鍵是正確選擇基底，表示出相關(guān)向量，這樣平面圖形的許多性質(zhì)，如長度、夾角等都可以通過向量的線性運算及數(shù)量積表示出來，從而把幾何問題轉(zhuǎn)化成向量問題，再通過向量的運算法則運算就可以達到解決幾何問題的目的了．三：向量在解析幾何中的應(yīng)用在平面直角坐標系中，有序?qū)崝?shù)對（x，y）既可以表示一個固定的點，又可以表示一個向量，使向量與解析幾何有了密切的聯(lián)系，特別是有關(guān)直線的平行、垂直問題，可以用向量方法解決．常見解析幾何問題及應(yīng)對方法：（1）斜率相等問題：常用向量平行的性質(zhì)．（2）垂直條件運用：轉(zhuǎn)化為向量垂直，然后構(gòu)造向量數(shù)量積為零的等式，最終轉(zhuǎn)換出關(guān)于點的坐標的方程．（3）定比分點問題：轉(zhuǎn)化為三點共線及向量共線的等式條件．（4）夾角問題：利用公式SKIPIF1<0．四：向量在物理中的應(yīng)用（1）利用向量知識來確定物理問題，應(yīng)注意兩方面：一方面是如何把物理問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，即將物理問題抽象成數(shù)學(xué)模型；另一方面是如何利用建立起來的數(shù)學(xué)模型解釋相關(guān)物理現(xiàn)象．（2）明確用向量研究物理問題的相關(guān)知識：①力、速度、位移都是向量；②力、速度、位移的合成與分解就是向量的加減法；③動量mv是數(shù)乘向量；④功即是力F與所產(chǎn)生位移s的數(shù)量積．（3）用向量方法解決物理問題的步驟：一是把物理問題中的相關(guān)量用向量表示；二是轉(zhuǎn)化為向量問題的模型，通過向量運算解決問題；三是把結(jié)果還原為物理結(jié)論．【考點研習(xí)一點通】考點一：點到直線的距離公式1．求經(jīng)過P（-1，2）與直線SKIPIF1<0平行的直線的方程．【變式1-1】已知直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的方程分別為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0平行于SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，與SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求直線SKIPIF1<0的方程．考點二：向量在平面幾何中的應(yīng)用2．用向量法證明：直徑所對的圓周角是直角．已知：如下圖，AB是⊙O的直徑，點P是⊙O上任一點（不與A、B重合），求證：∠APB＝90°．【變式2-1】如下圖，正三角形ABC中，D、E分別是AB、BC上的一個三等分點，且AE、CD交于點P．求證：BP⊥CD．【變式2-2】如圖所示，四邊形ADCB是正方形，P是對角線DB上一點，PFCE是矩形，證明：SKIPIF1<0.【變式2-3】在平面直角坐標系xOy中，已知點A（―1，―2），B（2，3），C（―2，―1）．（1）求以線段AB、AC為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長；（2）設(shè)實數(shù)t滿足SKIPIF1<0，求t的值．【變式2-4】四邊形ABCD是正方形，BE∥AC，AC=CE，EC的延長線交BA的延長線于點F．求證：AF=AE．考點三：向量在解析幾何中的應(yīng)用3．已知平面上一定點C(2,0)和直線l：x＝8，P為該平面上一動點，作PQ⊥l，垂足為Q，且SKIPIF1<0，求動點P的軌跡方程．【變式3-1】已知圓C：（x-3）2+（y-3）2=4及定點A（1，1），M為圓C上任意一點，點N在線段MA上，且SKIPIF1<0，求動點N的軌跡方程．【變式3-2】已知△ABC的三個頂點A（0，―4），B（4，0），C（―6，2），點D、E、F分別為邊BC、CA、AB的中點．（1）求直線DE、EF、FD的方程；（2）求AB邊上的高CH所在直線的方程．考點四：向量在物理學(xué)中“功”的應(yīng)用4．如圖所示，已知力F與水平方向的夾角為30°（斜向上），大小為50N，一個質(zhì)量為8kg的木塊受力F的作用在動摩擦因數(shù)μ=0.02的水平平面上運動了20m．問力F和摩擦力f所做的功分別為多少？（g=10m/s2）考點五：向量在力學(xué)中的應(yīng)用5．如圖，用兩條同樣長的繩子拉一物體，物體受到重力為G．兩繩受到的拉力分別為F1、F2，夾角為SKIPIF1<0．（1）求其中一根繩子受的拉力|F1|與G的關(guān)系式，用數(shù)學(xué)觀點分析F1的大小與夾角SKIPIF1<0的關(guān)系；（2）求F1的最小值；（3）如果每根繩子的最大承受拉力為|G|，求SKIPIF1<0的取值范圍．【考點易錯】1．如圖，在△OAB中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，AD與BC交于點M，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，試以a，b為基底表示SKIPIF1<0．2．已知A、B、C是不共線的三點，O是△ABC內(nèi)一點，若SKIPIF1<0，證明O是△ABC的重心．3．設(shè)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是三個有共同起點的不共線向量，求證：它們的終點A、B、P共線，當且僅當存在實數(shù)m、n使m+n=1且SKIPIF1<0．【鞏固提升】1.等腰直角三角形中兩直角邊上的中線所成的鈍角的余弦值為A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02.已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0.（Ⅰ）求函數(shù)fx的（Ⅱ）若銳角SKIPIF1<0的三個內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c，且fA=1，求SKIPIF1<0的取值范圍.3．在SKIPIF1<0中,內(nèi)角SKIPIF1<0的對邊分別為SKIPIF1<0,且向量SKIPIF1<0SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0的值；（2）若SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影.4.一質(zhì)點受到平面上的三個力F1、F2、F3(單位：牛頓)的作用而處于平衡狀態(tài)．已知F1、F2成60°角，且F1、F2的大小分別為2和4，則F3的大小為________．5．在水流速度為SKIPIF1<0的河流中，有一艘船正沿與水流垂直的方向以SKIPIF1<0的速度航行，則船自身航行的速度大小為____________SKIPIF1<0.6．在平行四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF