高等數(shù)學(xué)（第二版）課件：三重積分

高等數(shù)學(xué)（第二版）一、三重積分的概念二、三重積分的計(jì)算三重積分重積分一、三重積分的概念定義

設(shè)

是定義在空間有界閉區(qū)域

上的有界函數(shù)。將閉區(qū)域

作任意分割，分割成n個(gè)小閉區(qū)域

，其中

既表示第i個(gè)小閉區(qū)域，也表示它的體積。在

上任取一點(diǎn)

，作乘積

，并作和

。如果當(dāng)各小閉區(qū)域直徑中最大值

趨向于零時(shí)，該和式的極限總存在，則稱此極限值為函數(shù)

在閉區(qū)域

上的三重積分。記作

，即其中

稱作體積元素。在直角坐標(biāo)系中，如果用平行于坐標(biāo)面的平面劃分

，那么除了包含

的邊界點(diǎn)的一些不規(guī)則小閉區(qū)域外，得到的小閉區(qū)域

是長(zhǎng)方體，其邊長(zhǎng)分別為

及

，則

，因此在直角坐標(biāo)系中，有時(shí)也把體積元素

記作

，而把三重積分記作其中

稱作直角坐標(biāo)系中體積元素。連續(xù)函數(shù)

在閉區(qū)域

上的三重積分必存在。以后我們總假定函數(shù)

在閉區(qū)域上是連續(xù)的。類似地,我們可以將三重積分推廣到n重積分。對(duì)于空間物體的質(zhì)量，如果它的密度函數(shù)為

，該物體所占空間為閉區(qū)域

，則物體的質(zhì)量可表示為二、三重積分的計(jì)算1．直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分(1)設(shè)區(qū)域

由許多小柱體組合而成。假定平行于z軸且穿過(guò)閉區(qū)域

內(nèi)部的直線與閉區(qū)域

的邊界曲面相交不多于兩點(diǎn)(當(dāng)

不滿足這一條件時(shí),可將

分成若干個(gè)滿足條件的區(qū)域之和,利用區(qū)域可加性進(jìn)行處理)。把閉區(qū)域

投影到xOy平面上，得一平面閉區(qū)域

。過(guò)

內(nèi)的任一點(diǎn)(x,y)作平行于z軸的直線自上向下地穿透

。設(shè)穿入

內(nèi)時(shí)的豎坐標(biāo)為

，穿出

外時(shí)的豎坐標(biāo)為

，且

與

皆為連續(xù)函數(shù)。此時(shí)積分區(qū)域

可表示為如果投影區(qū)域

為垂直型，則于是空間閉區(qū)域

可表示為可得三重積分的計(jì)算公式為若把投影區(qū)域

為水平型區(qū)域，則三重積分可表示為解

作閉區(qū)域如圖所示,將

投影到xOy面上，得投影區(qū)域例1

計(jì)算,其中

由平面

及三坐標(biāo)面所圍區(qū)域。在

內(nèi)任取一點(diǎn)作平行于

軸的直線，該直線在平面

處穿入

內(nèi)，又在平面

處穿出

外。于是例2

計(jì)算,其中

由平面

及三坐標(biāo)面所圍區(qū)域。解

由于函數(shù)

及積分區(qū)域

關(guān)于自變量均為對(duì)稱，所以于是在

中任取一點(diǎn)作平行于

軸的直線，該直線由錐面

穿入

內(nèi)，又由平面

穿出

外。于是解

積分區(qū)域

如圖，

在xOy面上的投影可表示為例3

計(jì)算三重積分

其中

由錐面

及平面

所圍。這一在

上的二重積分可以考慮用極坐標(biāo)計(jì)算，由于故(2)設(shè)區(qū)域由平面薄片疊加而成。于是，三重積分化為如果區(qū)域

由垂直于

軸的平面閉區(qū)域

與高度為

的立體疊加而成,由

疊加至

，則例4

計(jì)算三重積分

其中

是由橢球面

所圍成的空間閉區(qū)域。解

空間閉區(qū)域

可表示為如圖所示，則可得其中

為垂直于

軸的平面截

所得的平面截面區(qū)域。它是橢圓盤(pán)

其面積為

因此2．柱面坐標(biāo)下計(jì)算三重積分當(dāng)空間閉區(qū)域

在坐標(biāo)面上的投影為由圓弧與直線所圍成的區(qū)域，被積函數(shù)為

等形式時(shí)，常常用柱面坐標(biāo)計(jì)算。設(shè)

為空間內(nèi)一點(diǎn),并設(shè)點(diǎn)

在

面上的投影

的極坐標(biāo)為

則這樣的三個(gè)數(shù)

、

、

就叫做點(diǎn)

的柱面坐標(biāo)，并規(guī)定

、

、

的變化范圍為：三組坐標(biāo)面分別為顯然，點(diǎn)

的直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系為

常數(shù),即以軸為中心軸的圓柱面；常數(shù),即過(guò)軸的半平面；常數(shù),即與面平行的平面?，F(xiàn)在要把三重積分

化為柱面坐標(biāo)下的三重積分.為此,我們用上述三組坐標(biāo)面將

分割成許多小區(qū)域,除了含

的邊界外,這種小閉區(qū)域都是柱體?，F(xiàn)在考慮

、

、

各取微小增量

、

、

時(shí)所成的柱體體積。在不計(jì)高階無(wú)窮小時(shí)，該體積可近似地看作邊長(zhǎng)分別為

、

、

的長(zhǎng)方體體積。故可得柱面坐標(biāo)中的體積元素為解

球面與拋物面的交線為

因此，閉區(qū)域

在

面上的投影為圓形閉區(qū)域例5

計(jì)算三重積分

，其中

為由球面

與拋物面

所圍成的閉區(qū)域。在

內(nèi)過(guò)任意點(diǎn)做平行于z軸的直線，此直線由

穿入

內(nèi)，然后由

穿出

外，因此

可表示為于是例6

計(jì)算累次積分

。解

這一累次積分可看作是由函數(shù)

在積分區(qū)域上的三重積分轉(zhuǎn)化而來(lái)，如圖所示。因?yàn)閰^(qū)域

在

面上的投影區(qū)域是圓域，所以取柱面坐標(biāo)計(jì)算。區(qū)域

在柱面坐標(biāo)系下可表示為于是3．球面坐標(biāo)下計(jì)算三重積分設(shè)

為空間一點(diǎn)，則點(diǎn)M也可用三個(gè)有序數(shù)

來(lái)確定。其中

為原點(diǎn)O與M間的距離，

為有向線段

與z軸正向的夾角，

為從正z軸來(lái)看自x軸按逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)到有向線段

的夾角，這里P為點(diǎn)M在

面上的投影見(jiàn)。這樣的三個(gè)數(shù)

叫做點(diǎn)M的球面坐標(biāo)，這里

的變化范圍為三組坐標(biāo)面分別為常數(shù)，即以原點(diǎn)為中心的球面；常數(shù)，即以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，z軸為軸的圓錐面；常數(shù)，即過(guò)z軸的半平面。設(shè)點(diǎn)M在

面上的投影為P，點(diǎn)P在x軸上的投影為A，則OA=，AP=，PM=則點(diǎn)M的直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)之間的關(guān)系為又用球面坐標(biāo)的坐標(biāo)平面分割積分區(qū)域

為n個(gè)小閉區(qū)域。考慮由

、

、

各取微小增量

所成的六面體的體積。不計(jì)高階無(wú)窮小時(shí)，可把這六面體近似地看成長(zhǎng)方體。其三邊邊長(zhǎng)分別為

于是得球面坐標(biāo)系中的體積元素為若積分區(qū)域

是球面、錐面、平面所組成，則常常可以用球面坐標(biāo)來(lái)計(jì)算三重積分。例7求半徑為a的球面與半頂角為的錐面所圍成的立體體積。解

設(shè)球面過(guò)原點(diǎn)O，球心在z軸上，又內(nèi)接錐面的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，其軸與z軸重合，則球面方程為

，錐面方程

。所以

在球面坐標(biāo)系下為所以

解