第12講 任意角的三角函數(shù)（秋季講義）（人教A版2019必修第一冊(cè)）

第12講任意角的三角函數(shù)【人教A版2019】模塊一模塊一任意角和弧度制1．角的概念的推廣(1)角：一條射線繞著端點(diǎn)(頂點(diǎn))從一個(gè)位置(始邊)旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置(終邊)所成的圖形.其中頂點(diǎn)、始邊、終邊稱為角的三要素.(2)角按其旋轉(zhuǎn)方向可分為：正角(逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)),零角(沒有旋轉(zhuǎn)),負(fù)角(順時(shí)針旋轉(zhuǎn)).(3)在直角坐標(biāo)系中討論角：①象限角：頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊在x軸正半軸上，終邊在第幾象限就是第幾象限角.②軸線角：頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊在x軸正半軸上，終邊在坐標(biāo)軸上，稱之為軸線角.2．終邊相同的角若角,終邊相同，則它們的關(guān)系為：將角的終邊旋轉(zhuǎn)(逆時(shí)針或順時(shí)針)k(k∈Z)周即得角.

一般地，我們有：所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合，即任一與角終邊相同的角，都可以表示成角與整數(shù)個(gè)周角的和.3．角度制、弧度制的概念(1)角度制角可以用度為單位來進(jìn)行度量，1度的角等于周角的.這種用度作為單位來度量角的單位制叫做角度制.(2)弧度制的相關(guān)概念①1弧度的角：長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角.②弧度制：定義：以弧度作為單位來度量角的單位制.記法：弧度單位用符號(hào)rad表示，讀作弧度.(3)弧度數(shù)在半徑為r的圓中，弧長(zhǎng)為l的弧所對(duì)的圓心角為rad，那么.其中，的正負(fù)由角的終邊的旋轉(zhuǎn)方向決定，即逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)為負(fù).一般地，正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0.4．角度與弧度的換算(1)弧度與角度的換算公式5．弧長(zhǎng)公式、扇形面積公式設(shè)扇形的半徑為R，弧長(zhǎng)為l，圓心角為.(1)弧長(zhǎng)公式由公式，可得.(2)扇形面積公式.(3)弧長(zhǎng)公式及扇形面積公式的兩種表示角度制弧度制弧長(zhǎng)公式l=αR扇形面積公式注意事項(xiàng)R是扇形的半徑，n

是圓心角的角度數(shù).R是扇形的半徑，α是圓心角的弧度數(shù).【題型1終邊相同的角】【例1.1】（23-24高一下·江西南昌·階段練習(xí)）下列與40°角終邊相同的角為（

A．320° B．?320° C．340【例1.2】（23-24高一·上?！ふn堂例題）在下列各組的兩個(gè)角中，終邊不重合的一組是（

）A．?43°與677° B．900°與?1260°C．?120°與960° D．150°與630°【變式1.1】（23-24高一上·浙江杭州·階段練習(xí)）下列與7π4的終邊相同的角的表達(dá)式中，正確的是（A．2kπ+3C．kπ?π【變式1.2】（23-24高一下·安徽蚌埠·階段練習(xí)）將角α的終邊繞坐標(biāo)原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后與130°角的終邊重合，則與角α終邊相同的角的集合為（

）A．ββ=k×180°+90°,k∈Z B．C．ββ=k×180°+150°,k∈Z D．【題型2象限角及其判定】【例2.1】（23-24高一上·河北唐山·期末）已知α=944°，則α是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【例2.2】（23-24高一下·上海嘉定·期中）若α是第一象限角，則下列各角是第三象限角的是（

）A．90°?α B．180°?α C．270°?α D．?α【變式2.1】（23-24高一下·四川達(dá)州·階段練習(xí)）已知α為第二象限角，則α2所在的象限是（

A．第一或第二象限 B．第二或第三象限C．第二或第四象限 D．第一或第三象限【變式2.2】（23-24高一下·江西·期中）設(shè)α2是第一象限角，且cosα=?cosα，則α是第（

）象限角A．一 【題型3弧長(zhǎng)公式與扇形面積公式的應(yīng)用】【例3.1】（23-24高一上·山東德州·期末）中國(guó)傳統(tǒng)扇文化有著極其深厚的底蘊(yùn)，一般情況下，折扇可看作是從一個(gè)圓面中剪下的扇形制作而成；一個(gè)半徑為R的扇形，它的周長(zhǎng)是4R，則這個(gè)扇形所含弓形的面積是（

）A．12R2 B．12R2【例3.2】（23-24高一上·黑龍江·期末）古代文人墨客與丹青手都善于在紙扇上題字題畫，題字題畫的扇面多為扇環(huán)形.已知某紙扇的扇面如圖所示，其中外弧長(zhǎng)與內(nèi)弧長(zhǎng)之和為89cm，連接外弧與內(nèi)弧的兩端的線段長(zhǎng)均為18cm，且該扇環(huán)的圓心角的弧度數(shù)為2.5，則該扇環(huán)的內(nèi)弧長(zhǎng)為（A．22cm B．26cm C．28cm【變式3.1】（23-24高一上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）已知扇形的半徑r=2cm，周長(zhǎng)為C=4+(1)求扇形的面積；(2)在區(qū)間0,4π上求出與此扇形的圓心角α【變式3.2】（23-24高一下·河南南陽·階段練習(xí)）玉雕在我國(guó)歷史悠久，擁有深厚的文化底蘊(yùn)，數(shù)千年來始終以其獨(dú)特的內(nèi)涵與魅力深深吸引著世人.如圖1，這是一幅扇形玉雕壁畫，其平面圖為圖2所示的扇形環(huán)面（由扇形OCD挖去扇形OAB后構(gòu)成）.已知該扇形玉雕壁畫的周長(zhǎng)為320厘米.

(1)若OD=2OA=80厘米.求該扇形玉雕壁畫的曲邊CD的長(zhǎng)度；(2)若AD=2OA.求該扇形玉雕壁畫的扇面面積的最大值.【題型4\o"扇形中的最值問題"\t"/gzsx/zj145222/_blank"扇形中的最值問題】【例4.1】（23-24高一下·遼寧沈陽·階段練習(xí)）已知扇形的周長(zhǎng)為20，則該扇形的面積S的最大值為（

）A．10 B．15 C．20 D．25【例4.2】（23-24高一下·遼寧大連·階段練習(xí)）已知某扇形的面積為3，則該扇形的周長(zhǎng)最小值為（

）A．2 B．4 C．23 D．【變式4.1】（23-24高一上·河北張家口·期末）已知扇形的圓心角是α，半徑為r，弧長(zhǎng)為l.(1)若α=135°，r=10，求扇形的弧長(zhǎng)(2)若扇形AOB的周長(zhǎng)為22，當(dāng)扇形的圓心角α為多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大，并求出此時(shí)扇形面積的最大值.【變式4.2】（23-24高一下·湖北宜昌·期中）某地政府部門欲做一個(gè)“踐行核心價(jià)值觀”的宣傳牌，該宣傳牌形狀是如圖所示的扇形環(huán)面(由扇形OAD挖去扇形OBC后構(gòu)成的)．已知OA=2米，OB=x米0<x<2，線段BA、線段CD與弧BC、弧AD的長(zhǎng)度之和為6米，圓心角為θ弧度．(1)求θ關(guān)于x的函數(shù)解析式；(2)記該宣傳牌的面積為y，試問x取何值時(shí)，y的值最大?并求出最大值．模塊模塊二三角函數(shù)的概念1．任意角的三角函數(shù)的定義(1)利用單位圓定義任意角的三角函數(shù)設(shè)是一個(gè)任意角，∈R，它的終邊OP與單位圓相交于點(diǎn)P(x,y).

①把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y叫做的正弦函數(shù)，記作，即y=；

②把點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x叫做的余弦函數(shù)，記作，即x=；

③把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值叫做的正切，記作，即=(x≠0).我們將正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)，通常將它們記為：正弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)(2)用角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)表示三角函數(shù)

如圖，設(shè)是一個(gè)任意角，它的終邊上任意一點(diǎn)P(不與原點(diǎn)O重合)的坐標(biāo)為(x,y)，點(diǎn)P與原點(diǎn)的距離為r.則=，=，=.2．三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值的符號(hào)(1)三角函數(shù)的定義域三角函數(shù)定義域(2)三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)由于角的終邊上任意一點(diǎn)P(x,y)到原點(diǎn)的距離r是正值，根據(jù)三角函數(shù)的定義，知

①正弦函數(shù)值的符號(hào)取決于縱坐標(biāo)y的符號(hào)；

②余弦函數(shù)值的符號(hào)取決于橫坐標(biāo)x的符號(hào)；

③正切函數(shù)值的符號(hào)是由x,y的符號(hào)共同決定的，即x,y同號(hào)為正，異號(hào)為負(fù).

因此，正弦函數(shù)()、余弦函數(shù)()、正切函數(shù)()的值在各個(gè)象限內(nèi)的符號(hào)如圖所示.

【題型5求三角函數(shù)值】【例5.1】（23-24高一上·福建莆田·期末）對(duì)任意a>0且a≠1，函數(shù)fx=ax+1+1的圖象都過定點(diǎn)P，且點(diǎn)P在角θA．?12 B．?2 C．?5【例5.2】（23-24高一上·內(nèi)蒙古包頭·期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知角α的始邊是x軸的非負(fù)半軸，終邊經(jīng)過點(diǎn)P?1,2，則cosα=（A．55 B．255 C．?【變式5.1】（23-24高一下·遼寧·階段練習(xí)）若角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)1,?2，則sinα+3cos3A．?510 B．55 C．1【變式5.2】（23-24高一下·遼寧沈陽·階段練習(xí)）已知角α的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，始邊為x軸的非負(fù)半軸，若其終邊經(jīng)過點(diǎn)P?2,1，則sinα+2cosA．?13 B．?3 C．0【題型6\o"由三角函數(shù)值求終邊上的點(diǎn)或參數(shù)"\t"/gzsx/zj145223/qt2701y2023ctk28363o2/_blank"由三角函數(shù)值求終邊上的點(diǎn)或參數(shù)】【例6.1】（24-25高三上·重慶·開學(xué)考試）已知α是第二象限的角，P(x,8)為其終邊上的一點(diǎn)，且sinα=45，則x=A．?6 B．±6 C．±323 【例6.2】（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）若sinα=?33，且角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P2,y，則PA．1 B．±1 C．?2 D．?1【變式6.1】（23-24高一下·遼寧錦州·期末）已知sinα=?35，cosα=45，則A．?4,3 B．?3,4C．3,?4 D．4,?3【變式6.2】（2024·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）已知角α的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，cosα=55,Pm,2A．?4 B．4 C．?1 D．1【題型7三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)】【例7.1】（24-25高三上·江蘇淮安·開學(xué)考試）若α為第二象限角，則（

）A．sin2α>0 B．cos2α<0 C．sinα?【例7.2】（24-25高一上·上海·單元測(cè)試）若sinαtanα<0，且cosαtanA．一 B．三 C．一或三 D．二或四【變式7.1】（23-24高一·上?！ふn堂例題）根據(jù)下列條件，分別判斷角θ屬于第幾象限：(1)sinθ=?12且cosθ=?32【變式7.2】（23-24高一·全國(guó)·隨堂練習(xí)）確定下列各式的符號(hào)：(1)cos2?(2)sin3一、單選題1．（2024高三·北京·專題練習(xí)）下列說法中，正確的是（

）A．第二象限角都是鈍角B．第二象限角大于第一象限角C．若角α與角β不相等，則α與β的終邊不可能重合D．若角α與角β的終邊在一條直線上，則α?β＝k·180°(k∈2．（23-24高一下·遼寧沈陽·期中）與角?2024°4'終邊相同的角是（A．?404°4' B．?224°4' C．3．（23-24高一上·四川雅安·階段練習(xí)）若角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)?3,3，則αA．3π4 B．2π3 C．4．（23-24高一下·江西南昌·階段練習(xí)）若α是第一象限角，則下列結(jié)論一定成立的是（

）A．sinα2>0C．tanα2>05．（24-25高三上·黑龍江佳木斯·階段練習(xí)）已知α與210°角的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，則α2是（

）A．第二或第四象限角 C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角6．（23-24高一上·天津河西·期末）已知α是第一象限角，那么α3不可能是（

A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角7．（23-24高一上·浙江·階段練習(xí)）若一圓弧長(zhǎng)等于其所在圓的內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)，則此圓弧所對(duì)的圓心角α的弧度數(shù)為（

）A．π3 B．π2 C．38．（23-24高一下·河南南陽·期中）圓環(huán)被同圓心的扇形截得的一部分叫做扇環(huán)．如圖所示，扇環(huán)ABCD的內(nèi)圓弧AB的長(zhǎng)為2π3，外圓弧CD的長(zhǎng)為4π3，圓心角A．π B．π2 C．4π3二、多選題9．（23-24高一上·江西宜春·期末）下列說法正確的是（

）A．?π9與B．若α為第二象限角，則α2C．終邊經(jīng)過點(diǎn)m,mm>0的角的集合是D．若一扇形的圓心角為2，圓心角所對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)為2，則此扇形的面積為110．（23-24高一下·陜西渭南·階段練習(xí)）sinx1?cosA．1 B．3 C．?1 D．?311．（23-24高一上·吉林長(zhǎng)春·期末）中國(guó)傳統(tǒng)扇文化有著極其深厚的底蘊(yùn)，一般情況下，折扇可看作是從一個(gè)圓面中剪下的扇形制作而成．如圖，設(shè)扇形的面積為S1，其圓心角為θ，圓面中剩余部分的面積為S2，當(dāng)S1與S2的比值為5A．SB．若S1S2=C．若扇面為“美觀扇面”，則θ=D．若扇面為“美觀扇面”，半徑R=20，則扇形面積為200三、填空題12．（24-25高二上·海南?？凇るA段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，角α的終邊終邊過點(diǎn)(?4,?3)，則sinα+3cosα=13．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知角α的終邊在第四象限，則角α3的終邊所在14．（24-25高三上·河南·階段練習(xí)）若扇形AOB的面積為S，則當(dāng)扇形AOB的周長(zhǎng)取得最小值時(shí)，該扇形的圓心角的弧度數(shù)為．四、解答題15．（23-24高一·上?！ふn堂例題）分別將下列弧度化為角度：(1)11(2)?(3)?3（結(jié)果精確到0.01°）．16．（23-24高一·上海·課堂例題）在0°~360°范圍內(nèi)，分別找出終邊與下列各角的終邊重合的角，并判斷它們是第幾象限的角：(1)?315°；(2)905.3°；(3)?1090