全國(guó)初中物理專項(xiàng)復(fù)習(xí)：杠桿及力矩平衡（解析版）

選擇題（共12小題）

1.如圖所示是單臂斜拉橋的示意圖。均勻橋板aO所受重力為G,三根平行鋼索與橋面均

成30°角，而系點(diǎn)間距ab=bc=ad=dO.若每根鋼索受力相同，則鋼索上受力大小為

【分析】以O(shè)為支點(diǎn)，分析除O點(diǎn)橋板的受力情況，確定出力臂，根據(jù)力矩平衡條件求

解拉力大小。可抓住對(duì)稱性，采用等效的方法：除正中間外的鋼索外，其余兩根鋼索拉

力的力矩之和等于正中間鋼索的力矩的2倍。

【解答】解：設(shè)鋼板的重心與O的距離為L(zhǎng),

以O(shè)為支點(diǎn)，除O點(diǎn)外橋板受到重力G和三根鋼索的拉力，

由于每根鋼索所受拉力大小相等，等距離分布，根據(jù)對(duì)稱性可知，除正中間外的鋼索外,

其余兩根鋼索拉力的力矩之和等于正中間鋼索的力矩的2倍。

則由力矩條件得：GL=3FLsin30°,故每根鋼索上受力大?。篎=故D正確，ABC

錯(cuò)誤。

故選：D。

【點(diǎn)評(píng)】本題關(guān)鍵要分析鋼索分布特點(diǎn)，運(yùn)用等效的方法分析兩側(cè)六根鋼索力矩與正中

間鋼索力矩的關(guān)系，即可求解。

2.粗細(xì)不均勻的電線桿，在O點(diǎn)支起正好平衡，如圖所示。若在O點(diǎn)沿虛線將其鋸斷,

則（）

A.兩段一樣重B.細(xì)段重C.粗段重D.不能確定

【分析】由圖可知，電線桿被支起，處于平衡狀態(tài)，先確定兩邊力臂的大小關(guān)系，然后

根據(jù)杠桿的平衡條件得出兩邊的重力的大小關(guān)系。

【解答】解：電線桿處于平衡狀態(tài)，由圖可知，左側(cè)部分重心A離支點(diǎn)O較近，

第1頁(yè)/共43頁(yè)

故力臂0A較小，左側(cè)部分重心B離支點(diǎn)O較遠(yuǎn)，故力臂OB較大，即OB>OA；

VG1XOA=G2XOB,OB>OA,

-

..G2<GI，

即：電線桿粗段重、細(xì)段輕。

故選：Co

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了杠桿平衡條件的應(yīng)用，能畫圖得出兩邊的力臂大小關(guān)系是本題的關(guān)

鍵。

3.如圖所示，A、B是兩個(gè)完全相同的勻質(zhì)長(zhǎng)方形木塊，長(zhǎng)為1,疊放在一起，放在水平桌

面上，端面都與桌邊平行。A放在B上，右端有與伸出B外，為保證兩木塊不翻倒，木塊

B伸出桌邊的長(zhǎng)度不能超過（

151

A.—1B.----1C.—1D.—1

21648

【分析】應(yīng)用整體法考慮，根據(jù)平衡條件得出若兩長(zhǎng)方形木塊不翻到且B伸出最長(zhǎng)時(shí),

應(yīng)滿足整體的重心應(yīng)恰好在桌子的邊。

【解答】解：將兩個(gè)長(zhǎng)方形木塊磚看做一個(gè)整體，則其總長(zhǎng)度為L(zhǎng)+^L=4L，

88

根據(jù)平衡條件看做，為了保持兩長(zhǎng)方形木塊都不翻倒，整體的重心應(yīng)恰好在桌子邊緣,

所以整體重心與A右邊緣距離為孝心*《=當(dāng)，

8216

由圖可知B邊緣到桌子邊緣的距離為X=2!L-女=梟。

16816

故選：Bo

【點(diǎn)評(píng)】遇到連接體問題，從整體角度分析較簡(jiǎn)單，物體不翻到的臨界條件是物體的重

心應(yīng)恰好在桌子的邊緣。

4.如圖所示的裝置中，均勻木棒AB的A端固定在錢鏈上，懸線一端繞過某定滑輪，另一

端套在木棒上使木棒保持水平，現(xiàn)使線套逐漸向右移動(dòng)，但始終保持木棒水平，則懸線上

第2頁(yè)/共43頁(yè)

的拉力（棒和懸線均足夠長(zhǎng)）（

A.逐漸變小B.逐漸變大

C.先逐漸變大，后又變小D.先逐漸變小，后又變大

【分析】由圖知，阻力乘以阻力臂是相等的，動(dòng)力的大小變化要從動(dòng)力臂的大小變化上

得出，所以要畫出幾條典型的情況下的力臂加以分析得出結(jié)論。

【解答】解：如圖所示，G表示桿AB的自重，LOA表示桿的重心到A端的距離，T表

示懸線拉力的大小，L表示作用于桿AB上的懸線拉力對(duì)A點(diǎn)的力臂。

把AB視為一根可繞A端轉(zhuǎn)動(dòng)的杠桿，則由杠桿的平衡條件應(yīng)有：GXLOA=TXL,

由此得：當(dāng)線套在桿上逐漸向右移動(dòng)時(shí)，拉力T的動(dòng)力L（Li、L2、L3、L4）經(jīng)歷了先

逐漸變大后又逐漸變小的過程，故懸線的拉力T則是逐漸變小后逐漸變大。

故選：D。

【點(diǎn)評(píng)】當(dāng)阻力和阻力臂的乘積一定時(shí)，分析省力情況就要看動(dòng)力臂的大小變化，所以

本題畫出圖中動(dòng)力臂是解決本題的關(guān)鍵

5.如圖所示，均勻細(xì)桿AB質(zhì)量為M,A端裝有轉(zhuǎn)軸，B端連接細(xì)線通過滑輪和質(zhì)量為m

的重物C相連，若桿AB呈水平，細(xì)線與水平方向夾角為。時(shí)恰能保持平衡，則下面表達(dá)

式中不正確的是（）

///////

A.M=2msin。

B.滑輪受到的壓力為2mg

第3頁(yè)/共43頁(yè)

C.桿對(duì)軸A的作用力大小為mg

D.桿對(duì)軸A的作用力大小」

2sin6

【分析】先對(duì)C物體進(jìn)行受力分析，由二力平衡得出繩子的拉力，然后對(duì)桿進(jìn)行受力分

析，由共點(diǎn)力的平衡即可求出桿的重力與繩子的拉力之間的關(guān)系.

【解答】解：A、由題可知，C物體受到重力和繩子的拉力處于平衡狀態(tài)，所以繩子的拉

力與C物體的重力大小相等，為mg；

設(shè)AB桿的長(zhǎng)度為L(zhǎng),由圖可知，桿的重力產(chǎn)生的力矩是順時(shí)針方向的力矩，力臂的大小

是泰；

繩子的拉力產(chǎn)生的力矩是逆時(shí)針方向的力矩，力臂的大小是Lsin3過轉(zhuǎn)軸的力不產(chǎn)生力

矩，由力矩平衡得：

Mg,-^-L=mgLsin0

解得：M=2msin0,故A正確；

B、由題圖可知，兩根繩子的拉力的方向之間有夾角，所以兩根繩子的拉力的合力大小要

小于2mg,即滑輪受到的壓力小于2mg,故B錯(cuò)誤；

C、由受力圖可知，軸A對(duì)桿的作用力的方向的反向延長(zhǎng)線一定過繩子的拉力的延長(zhǎng)線

與重力的作用線的交點(diǎn)，由于重力的作用線過桿的中點(diǎn)，所以可知力F與繩子的拉力與

水平方向之間的夾角是相等的，并且力：Fcos0=mgcos0,所以F與繩子的拉力的大小也

相等，即F=mg,則桿對(duì)軸A的作用力大小為mg,故C正確；

D、由于M=2msin9^F=mg,得:F=—照河,所以桿對(duì)軸A的作用力大小為一踵五-,

2sin82sin8

故D正確。

本題選錯(cuò)誤的，故選：Bo

第4頁(yè)/共43頁(yè)

【點(diǎn)評(píng)】該題同時(shí)考查共點(diǎn)力作用下物體的平衡與力矩平衡，解題的關(guān)鍵是正確畫出桿

的受力圖，找出各個(gè)力的力臂，然后又力矩平衡條件即可解答.

6.有一“不倒翁”，形狀可以簡(jiǎn)化成由半徑為R的半球體與頂角為74°的圓錐體組成（如

圖所示），它的重心在對(duì)稱軸上。為使“不倒翁”在任意位置都能恢復(fù)豎直狀態(tài)，則該“不

倒翁”的重心到半球體的球心的距離必須大于（）

【分析】可以把這個(gè)看成一個(gè)杠桿，B點(diǎn)就是支點(diǎn)，從圖中可以看出當(dāng)重心在BD右側(cè)

的時(shí)候，杠桿才會(huì)旋轉(zhuǎn)，而重心又在對(duì)稱軸上，所以就是BD和AD交點(diǎn)D。

【解答】解：如圖所示，連接BE,延長(zhǎng)AC,并過B點(diǎn)做AB的垂線交于點(diǎn)D,按題意,

至少當(dāng)其發(fā)生最大傾倒時(shí)，其重點(diǎn)仍在B點(diǎn)右側(cè)位置，則“不倒翁”在任意位置都能恢

復(fù)豎直狀態(tài)。那么此時(shí)在ABDC和AADB中，不難證明它們是相似三角形。即ABDC

sAADB,

74°

故NDBC=NBAD='^—=37°,

2

則DC=BC?tan37°七BCX0.75-邇。

4

故選：D。

【點(diǎn)評(píng)】此題考查重心，關(guān)鍵是確定重心的位置，要求學(xué)生具備一定的數(shù)學(xué)知識(shí)，難度

較大。

7.如圖所示，直徑為36cm的半球形碗固定在水平面上，碗的端口水平。一根密度分布均

勻、長(zhǎng)度為47cm的光滑桿ABC擱置在半球碗上，碗的厚度不計(jì)，桿平衡時(shí)碗內(nèi)部分AB

第5頁(yè)/共43頁(yè)

段與碗外部分BC段的長(zhǎng)度之比為（）

【分析】因?yàn)闂U是光滑的，所以沒有摩擦力，桿受三個(gè)力：重力、A點(diǎn)的支持力和B點(diǎn)

的支持力。以B支點(diǎn)列出杠桿平衡條件，再根據(jù)力的平衡（桿在AC方向合力為零，其

實(shí)在任意方向合力都是零）列一個(gè)方程。再加上球直徑的條件可以求解。

【解答】解：如圖：光滑桿ABC的重心在D點(diǎn)，0為半球形碗的球心，桿受三個(gè)力：重

力G、A點(diǎn)的支持力F2和B點(diǎn)的支持力Fi，以B為支點(diǎn)，則根據(jù)杠桿的平衡條件得：G

Eo“0

XBDcos0=F2XABsin0--------------------------①《五

沿桿AC的方向上受力的合力為零，

即GXsin6=F2Xcos9---------------------------------------②

由巖■得：BDcotB=ABtan0,

AR

BD=ABXtan20=ABX（—）2,

AB

即BDXAB=AE2,

VitAABE中，BE2=AB2+AE2,且BD=AB--AC,

2

（AB--AC）XAB=BE2-AB2,

2

代入數(shù)據(jù)得：（AB-LX47）XAB=362-AB2,

2

即：4XAB2-47XAB-2592=0,

解得：AB=32cm,AB=-20.25cm（舍去）

.'.AB：BC=32cm：（47cm-32cm）—32：15。

故選：Co

【點(diǎn)評(píng)】本題考查杠桿平衡條件的應(yīng)用，知道物體處于靜止平衡時(shí)合力為零，本題的關(guān)

鍵是各邊長(zhǎng)之間的關(guān)系，難點(diǎn)是A、B兩點(diǎn)的支持力的方向判斷。

8.如圖所示，七塊完全相同的磚塊按照?qǐng)D示的方式疊放起來(lái)，每塊磚的長(zhǎng)度均為L(zhǎng),為保

證磚塊不倒下，6號(hào)磚塊與7號(hào)磚塊之間的距離S將不超過（）

第6頁(yè)/共43頁(yè)

1524

【分析】因兩部分對(duì)稱，則可只研究一邊即可；1磚受2和3支持力而處于平衡狀態(tài)，則

可由力的合成求得1對(duì)2的壓力；而2磚是以4的邊緣為支點(diǎn)的杠桿平衡，則由杠桿的

平衡條件可得出2露出的長(zhǎng)度，同理可求得4露出的長(zhǎng)度，則可求得6、7相距的最大距

離。

【解答】解：由于1號(hào)磚處于平衡狀態(tài)，則1號(hào)磚對(duì)2號(hào)質(zhì)的壓力應(yīng)為當(dāng)；

當(dāng)1號(hào)磚放在2號(hào)豉的邊緣上時(shí)，6號(hào)磚塊與7號(hào)磚塊之間的距離最大；

2號(hào)磚處于杠桿平衡狀態(tài)，設(shè)2號(hào)磚露出的長(zhǎng)度為x,則2號(hào)磚下方的支點(diǎn)距重心在(自

-X)處；

由杠桿的平衡條件可知：G(呆x)=.x,

解得：X=。；

設(shè)4號(hào)磚露出的部分為XI，則4號(hào)磚下方的支點(diǎn)距重心在(寺-XI)處；4號(hào)磚受到的壓

力為G+等

則由杠桿的平衡條件可知：G(y-xi)=(G+5)XI，

解得Xl=5"；

5

則6號(hào)磚塊與7號(hào)磚塊之間的最大距離應(yīng)為：

TT

L+2(x+xi)=L+2(X=*L。

3515

故選：Ao

第7頁(yè)/共43頁(yè)

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了杠桿的平衡條件在生活中的應(yīng)用，在解題時(shí)應(yīng)注意明確找出杠桿的

支點(diǎn)及受到的力，再利用杠桿的平衡條件列式求解。

9.如圖所示，質(zhì)量分布均勻的細(xì)桿水平放置，支座A在桿重心的右側(cè)，桿的右端被位于其

上面的支座B頂住。現(xiàn)在桿的左端C處施加一個(gè)向下的作用力，則()

cI

Ov

A.A、B兩處的彈力均增加，且AFA=AFB

B.A、B兩處的彈力均增加，￡.AFA>AFB

C.A處的彈力減小，B處的彈力增大，且|AFA|>AFB

D.A處的彈力增大，B處的彈力減小，且AFA>|AFB|

【分析】①在C點(diǎn)不施加力時(shí)，分別以B、O為支點(diǎn)，由杠桿平衡條件得出關(guān)于在A、

B處彈力的方程；

②在C點(diǎn)施加力F時(shí)，分別以B、O為支點(diǎn)，由杠桿平衡條件得出關(guān)于在A、B處彈力

的方程；

聯(lián)立方程組求得彈力變化值進(jìn)行比較得出答案。

【解答】解:

(1)在C點(diǎn)不施加力時(shí)，以B為支點(diǎn)，由杠桿平衡條件可知，GXBO=FAXBA；--

--------------------①

以A為支點(diǎn)，由杠桿平衡條件可知，GXAO=FBXAB；-------------------②

Z

(2)在C點(diǎn)施加力F時(shí)，以B為支點(diǎn)，由杠桿平衡條件可知，F(xiàn)XCB+GXBO=FAX

BA；-------------③

,

以A為支點(diǎn)，由杠桿平衡條件可知，F(xiàn)XCA+GXAO=FBXAB；-----------------④

③-①得：

FA'XBA-FAXBA=FXCB+GXBO-GXBO=FXCB,

...A人口F=F一口-F=F-XCB

AAABA

④-②得:

FB'XAB-FBXAB=FXCA+GXAO-GXAO=FXCB

第8頁(yè)/共43頁(yè)

.AT_h!r_FXCA

??&FB-FB-FB---——，

BA

AFA>AFB,

故選：B?

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了學(xué)生對(duì)杠桿平衡條件的應(yīng)用，知道選擇不同的支點(diǎn)求彈力是本題的

關(guān)鍵。

10.將一根均勻的木棒AB,放在支點(diǎn)。上，由于OA<OB,木棒不能保持水平，現(xiàn)在木棒

右端截去與OA等長(zhǎng)的一段并置于OA上，木棒恰好能平衡。則OA：013為()

A.1：V2+1B.1：2C.1：3D.1：4

【分析】設(shè)單位長(zhǎng)度木棒重為mog,求出左邊木棒重Gi、右邊木棒重G2,根據(jù)杠桿平衡

條件可得關(guān)于mo、LOA、LOB的方程，約去mo可解得LOA與LOB的比值。

【解答】解：

如圖，設(shè)單位長(zhǎng)度木棒重為mog,

則左邊木棒重：

Gi=2mogXLoA，

右邊木棒重：

G2=mogX(LOB-LOA)

根據(jù)杠桿平衡條件可得：

GB3A=G2XLOB-LOA,

22

LbLa

即：2mogXLoAxi^=mogX(LOB-LOA)X°°.

22

解得：

LOA：LOB=1：(V^+1)。

故選：Ao

第9頁(yè)/共43頁(yè)

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了學(xué)生對(duì)杠桿平衡條件的掌握和運(yùn)用，設(shè)單位長(zhǎng)度木棒重為mog,求

出左右兩邊木棒重是本題的關(guān)鍵。

II.如圖所示，兩根硬桿AB、BC用錢鏈連接于A、B、C,整個(gè)裝置處于靜止?fàn)顟B(tài)。關(guān)于

AB桿對(duì)BC桿作用力的方向正確的是（）

A.若計(jì)AB桿重力，而不計(jì)BC桿重力時(shí)，由A指向B

B.若計(jì)AB桿重力，而不計(jì)BC桿重力時(shí)，由C指向B

C.若不計(jì)AB桿重力，而計(jì)BC桿重力時(shí)，由B指向A

D.若不計(jì)AB桿重力，而計(jì)BC桿重力時(shí)，由B指向C

【分析】如圖所示，杠桿AB、BC與墻壁組成一個(gè)三角形，A和C端固定在墻壁上，AB

拉著BCo

【解答】解：如圖如果考慮AB重力，則AB的重力方向豎直向下，不計(jì)BC桿重力時(shí)，

AB在BC支持力的作用下被支起，力的方向由B到C.如果不考慮AB重力，而計(jì)BC

桿重力時(shí)，BC重力方向向下，AB在上面拉著BC,力的方向由B指向A。

故選：Co

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了拉力，重力，支持力的作用，要會(huì)分析圖。

12.如圖所示，均勻木棒AC水平擱在一個(gè)圓柱體B上，二者的接觸點(diǎn)為D,且AD：DC

=17：15,當(dāng)圓柱體圍繞其固定中心軸順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，與棒的右端C緊靠著的木板

E恰能沿光滑豎直墻面勻速下滑，若木棒與圓柱體之間、木棒與木板之間動(dòng)摩擦系數(shù)相

同，則該動(dòng)摩擦系數(shù)為（）

第10頁(yè)/共43頁(yè)

【分析】（1）木板E沿光滑豎直墻面勻速下滑，其重力與所受的木板的滑動(dòng)摩擦力大小

相等。對(duì)木板而言，力矩平衡，由力矩平衡條件求解木板E對(duì)AC木棒的摩擦力。

（2）根據(jù)力平衡條件，研究豎直方向，可得到圓柱體B對(duì)木棒AC的支持力。

（3）對(duì)木棒水平方向力平衡，可求出木板對(duì)木棒的彈力，由f=pN求解動(dòng)摩擦因數(shù)。

【解答】解：

（1）設(shè)木棒的重心位置在棒的0點(diǎn)，木棒與木板間的摩擦力大小為f2，則對(duì)木棒，根據(jù)

力矩平衡得

G?OD=0?DC

得f2=G-

木板E沿光滑豎直墻面勻速下滑，則有木板E的重力GE=O=《G;

（2）根據(jù)木棒受力衡得,

豎直方向：圓柱體B對(duì)木棒AC的支持力Ni=G+f2=1!G；

（3）設(shè)木棒與圓柱體間的摩擦力大小為fi，木棒與木板間的彈力大小為N2,

則fi=nNi=N2,

又GE=$=^*G，NI=-^1<3,代入解得，n=0.25o

故選：C=

【點(diǎn)評(píng)】本題中木板E受力平衡，木棒不僅力平衡，力矩也平衡，根據(jù)力平衡條件和力

矩平衡條件結(jié)合處理本題，分析受力情況是關(guān)鍵。

二.多選題（共1小題）

（多選）13.質(zhì)量分別為ml和m2、長(zhǎng)度分別為L(zhǎng)l、L2的兩根均勻細(xì)棒的一端相互連在一

起，構(gòu)成一個(gè)直角形細(xì)棒AOB,放在粗糙的水平桌面上，兩棒與桌面間的動(dòng)摩擦系數(shù)相

同，現(xiàn)在兩棒的連接端O處施加一水平外力F使棒做勻速直線運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)的方向如圖所示,

則以下判斷中正確的是（）

第11頁(yè)/共43頁(yè)

A

wi

A.若L1>L2,則ml<m2B.若L1<L2,則ml>m2

C.若L1=L2,則ml<m2D.若L1=L2,則ml>m2

【分析】因?yàn)榘糇鰟蛩僦本€運(yùn)動(dòng)，因此棒一定受到與拉力F大小相等，方向相反的作用

力，即為摩擦力的合力，然后根據(jù)影響摩擦力的因素和二力合成即可判斷出0A和0B

所受摩擦力的大小，從而確定出質(zhì)量關(guān)系。

【解答】解：由題意可知，直角形細(xì)棒AOB沿著F的方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，把該運(yùn)動(dòng)分

解為沿圖中虛線方向的兩個(gè)勻速直線運(yùn)動(dòng)，則兩根均勻細(xì)棒的摩擦力方向如下圖所示，

兩個(gè)摩擦力的合力與拉力F平衡；

從圖中可知，fB>fk，由于接觸面的粗糙程度相同，因此摩擦力的大小不同是由于L1、

L2的兩根質(zhì)量不同決定的，與長(zhǎng)度無(wú)關(guān)，即質(zhì)量越大，摩擦力越大，故

故選：AC。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二力平衡的條件的應(yīng)用、不同直線上二力的合成以及決定滑動(dòng)摩擦力

的因素；本題的難點(diǎn)是根據(jù)摩擦力的合力畫出兩個(gè)摩擦力；注意線段的長(zhǎng)短代表力的大

小。

三.填空題（共10小題）

14.如圖所示，質(zhì)量分布均勻的圓柱體重G=500N,圓柱體高AD=40cm,底面直徑AB=

30cm,若要使該圓柱體的A點(diǎn)離開地面，則需要在D點(diǎn)施加的最小的力是150N。

第12頁(yè)/共43頁(yè)

DC

【分析】根據(jù)杠桿平衡原理，確定出使杠桿平衡的動(dòng)力方向，然后利用幾何關(guān)系求出力

臂，再利用平衡條件求出最小力的大小。

【解答】解：由杠桿平衡條件可知，在阻力與阻力臂一定的情況下，動(dòng)力臂越大，動(dòng)力

越小，

由圖示可知，要使圓柱體的A點(diǎn)離開地面，力臂為DB時(shí)最大，力作用在D端，且與

DB垂直時(shí)力最小，

動(dòng)力臂L1=DB=7AD2+AB2=V（40cm）2+（30cm）2=50cm-

阻力臂L2=-^-AB=-^-X30cm=15cm,

由杠桿平衡條件得：FLI=GL2，

最小作用力：F=?=5呷j15cmMON。

L]5。cm

故答案為：150。

【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)杠桿的平衡條件F1L1=F2L2可知，在杠桿中的阻力、阻力臂一定的情況下,

要使所使用的動(dòng)力最小，必須使動(dòng)力臂最長(zhǎng)；而在通常情況下，連接杠桿中支點(diǎn)和動(dòng)力

作用點(diǎn)這兩點(diǎn)所得到的線段是最長(zhǎng)的。

15.如圖所示，一塊均勻的厚木板長(zhǎng)16米，重400牛，對(duì)稱的擱在相距8米的A、B兩個(gè)

支架上。

（1）若小金的體重為500牛，站在A點(diǎn)靜止時(shí)，支架上受到木板的壓力為牛；

從A點(diǎn)出發(fā)向左走到離A點(diǎn)3.2米處時(shí),木板將開始翹動(dòng)。

第13頁(yè)/共43頁(yè)

(2)若一個(gè)人從A點(diǎn)出發(fā)要安全移動(dòng)到最左端，則他的體重G的取值范圍為」

400牛。

【分析】(1)把人和木板看做整體受力分析可知，受到支架豎直向上的支持力、豎直向

下的總重力作用處于平衡狀態(tài)，根據(jù)力的平衡條件求出木板受到的支持力，支架上受到

木板的壓力和木板受到的支持力是一道相互作用力，二力大小相等，據(jù)此求出支架上受

到木板的壓力；小金從A點(diǎn)出發(fā)向左走到離A點(diǎn)LA時(shí)木板恰好沒有翹動(dòng)，此時(shí)木板的

支點(diǎn)為A,且此時(shí)木板水平方向處于平衡狀態(tài)，根據(jù)杠桿的平衡條件得出等式即可求出

答案；

(2)當(dāng)人到達(dá)最左端且木板恰好不翹動(dòng)時(shí)，人的重力最大，根據(jù)杠桿的平衡條件得出等

式即可求出人的最大重力，然后得出答案。

【解答】解：

(1)把人和木板看做整體受力分析可知，受到支架豎直向上的支持力、豎直向下的總重

力作用處于平衡狀態(tài)，

所以，木板受到的支持力F支持=G木板+G人=400N+500N=900N,

因支架上受到木板的壓力和木板受到的支持力是一道相互作用力，

所以，支架上受到木板的壓力F^=F支持=900N；

設(shè)木板的長(zhǎng)度L=16m,小金從A點(diǎn)出發(fā)向左走到離A點(diǎn)LA時(shí)木板恰好沒有翹動(dòng)，

此時(shí)木板的支點(diǎn)為A,且此時(shí)木板水平方向處于平衡狀態(tài)，

由杠桿的平衡條件可得：G木板?維=GA?LA，即400NX粵=500NXLA，

22

解得：LA=3.2m,即從A點(diǎn)出發(fā)向左走到離A點(diǎn)3.2米處時(shí)，木板將開始翹動(dòng)；

(2)當(dāng)人到達(dá)最左端且木板恰好不翹動(dòng)時(shí)，人的重力最大，

由杠桿的平衡條件可得：G木板?上坦=GJ?(4-維)，即400NX3^=G人'乂(卒

22222

8m>.

丁

解得：G人'=400N,即他的體重G的取值范圍為不大于400N。

故答案為：(1)900；3.2；(2)不大于400。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了杠桿平衡條件的應(yīng)用和物體平衡時(shí)合力為零條件的應(yīng)用，分清杠桿

第14頁(yè)/共43頁(yè)

的力臂和支點(diǎn)是關(guān)鍵。

16.如圖所示，質(zhì)量為m的運(yùn)動(dòng)員站在質(zhì)量為M的均勻長(zhǎng)板AB的中點(diǎn)，板位于水平地面

上，可繞通過A點(diǎn)的水平軸無(wú)摩擦轉(zhuǎn)動(dòng)。板的B端系有輕繩，輕繩的另一端繞過兩個(gè)定

滑輪后，握在運(yùn)動(dòng)員的手中。當(dāng)運(yùn)動(dòng)員用力拉繩子時(shí)，滑輪兩側(cè)的繩子都保持在豎直方

向，則要使板的B端離開地面，運(yùn)動(dòng)員作用于繩的最小拉力是―(mg+Mg)

O

【分析】利用重力公式和杠桿平衡條件表示出作用在繩子上最小的拉力，化簡(jiǎn)即可求出

運(yùn)動(dòng)員作用于繩的最小拉力。

【解答】解：設(shè)運(yùn)動(dòng)員作用于繩的最小拉力為F,杠桿AB的長(zhǎng)度為L(zhǎng),則由杠桿平衡的

條件可得：

FL=(mg+Mg-F)X-j-L

化簡(jiǎn)可得：F=5(mg+Mg)o

3

故答案為:-y(mg+Mg)o

o

【點(diǎn)評(píng)】本題考查杠桿的平衡條件的應(yīng)用，涉及到重力公式、定滑輪的特點(diǎn)，關(guān)鍵是求

出作用在杠桿中點(diǎn)的力。

17.半徑為R的勻質(zhì)半球體置于水平面上，其重心C離球心0點(diǎn)的距離0C=彎，半球質(zhì)

量為m。在半球的平面上放一質(zhì)量為手的物體，它與半球平面間的靜摩擦因數(shù)為0.2。則

在保持平衡狀態(tài)的條件下，物體離球心的最大距離為0.6R。

【分析】對(duì)系統(tǒng)應(yīng)用力矩平衡條件列方程，求出P的位置離開半球體球心O的距離表達(dá)

式，然后應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析答題，求出最大距離。

【解答】解：物體離O點(diǎn)放得越遠(yuǎn)，由力矩平衡條件可知，半球體轉(zhuǎn)過的角度。越大，

第15頁(yè)/共43頁(yè)

但物體在球體斜面上保持相對(duì)靜止時(shí)，。有限度。

設(shè)物體距球心為X時(shí)恰好無(wú)滑動(dòng)，對(duì)整體以半球體和地面接觸點(diǎn)為軸:

由力矩平衡條件得：G,-^-sin9=^y-xcos0,解得：x=3Rtan0,

可見，x隨。增大而增大。臨界情況對(duì)應(yīng)物體所受摩擦力為最大靜摩擦力，貝IJ：

f

tan0=—5L=|i=0.2,所以：x=3uR=0.6R。

mN

故答案為：0.6R。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了求P的位置離開半球體球心0的最大距離，正確選擇研究對(duì)象、應(yīng)

用力矩平衡條件即可正確解題。

18.如圖所示，重力不計(jì)的輕桿01B和02A,長(zhǎng)度均為L(zhǎng),O1和02為光滑的轉(zhuǎn)動(dòng)軸，A

處有一突起物擱在01B的中點(diǎn)，B處用細(xì)繩系在02A的中點(diǎn)，此時(shí)兩短桿便組合成一根

長(zhǎng)桿。今在01B桿上的C點(diǎn)（C點(diǎn)為AB的中點(diǎn)）懸掛一個(gè)重為G的物體，則A處受

到的支承力為；B處繩的拉力為G0

【分析】（1）對(duì)杠桿02A應(yīng)用杠桿平衡條件，列出平衡方程;

（2）對(duì)杠桿01B應(yīng)用杠桿平衡條件，列出平衡方程；

然后解方程，求出作用力。

【解答】解：（1）如圖甲所示，對(duì)于杠桿02A來(lái)說(shuō)，

由杠桿平衡條件得：

FAXL=FBX與，則FB=2FA；

（2）如圖乙所示，對(duì)于杠桿OiB來(lái)說(shuō)，

由題意可知：AB=±>

第16頁(yè)/共43頁(yè)

L—3L

?！uT

由杠桿平衡條件可得:

FA'XLGX9=FB，XL①,

24

FA與FA'、FB與FB'是物體間的相互作用力,

,

它們大小相等，F(xiàn)A=FA'，F(xiàn)B=FB，

所以FB'=2FA'，把FB'=2FA'代入①，

解得：FA'FB'=G,

則A處受到的支承力為守，B處繩的拉力為G。

故答案為：-1G；GO

圖甲

Q3G

圖乙

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了杠桿平衡條件的應(yīng)用，分別對(duì)兩個(gè)杠桿應(yīng)用杠桿平衡條件，即可正

確解題。

19.如圖所示，重力為G的物體掛在水平橫桿的右端C點(diǎn)。水平橫桿左端有一可轉(zhuǎn)動(dòng)的固

定軸A,輕桿AC長(zhǎng)為L(zhǎng),輕繩的B端可固定在AC桿上的任一點(diǎn)，繩的D端可固定在

豎直墻面上的任一點(diǎn)，繩BD長(zhǎng)為L(zhǎng),輕桿AC始終保持水平。則當(dāng)NABD為45°時(shí),

繩BD的拉力最小，其值為2G,此時(shí)，AD間的距離為迎L。

第17頁(yè)/共43頁(yè)

【分析】由題意可知，阻力與阻力臂一定，現(xiàn)在要求最小動(dòng)力，由杠桿平衡條件可知，

動(dòng)力臂最大時(shí)，動(dòng)力最小，根據(jù)題意與圖示求出最大動(dòng)力臂，然后由杠桿平衡條件求出

繩子的最小拉力。

【解答】解：如圖所示：

AP=LXcosZABDXsinZABD=-isin2ZABD,故當(dāng)AP最大時(shí)2NABD=90°,ZABD

2

=45°；

故當(dāng)NABD=45°,動(dòng)力臂AP最大，因?yàn)锳ABD為等腰直角三角形，AP±BD,BD=

L,

所以PB=AP=/L，AB={AP2+PB2=J吟產(chǎn)+*）2=￥~L=AD；

由杠桿平衡條件可得：FXAP=GXAC,

即FxL=GXL,故F=2G；

2

故答案為：45°；2G；誓L。

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了杠桿平衡條件的實(shí)際應(yīng)用，需用數(shù)學(xué)中的勾股定理知識(shí)才能解答，

題目難度較大。

20.圖（a）所示的是一把桿秤的示意圖，O是秤桿的懸點(diǎn)，使用該秤最多能稱量5千克的

重物。小王用一個(gè)相同的秤蛇系在原來(lái)的秤坨下面，采用“雙秤坨法”去稱量7千克的

重物時(shí)，秤上的示數(shù)為3千克，如圖（b）所示。那么當(dāng)只掛一個(gè)秤坨時(shí)，該秤零刻度線

的位置應(yīng)該在O點(diǎn)右側(cè)（選填“O點(diǎn)”、“0點(diǎn)的右側(cè)”或“0點(diǎn)的左側(cè)”）。若

采用“雙秤蛇法”，則利用該秤最多能稱量11千克的重物。

第18頁(yè)/共43頁(yè)

【分析】（1）桿秤的工作原理是：杠桿的平衡條件，根據(jù)桿秤自重重心位置及杠桿平衡

條件判斷，桿秤零刻度線的位置。

（2）根據(jù)杠桿的平衡條件：動(dòng)力X動(dòng)力臂=阻力又阻力臂，以0點(diǎn)為支點(diǎn)，分別找到力

與力臂，根據(jù)杠桿平衡條件列方程解題，從而得出結(jié)論。

【解答】解：

（1）桿秤是根據(jù)杠桿平衡條件工作的；秤桿是一個(gè)杠桿，懸點(diǎn)0是杠桿的支點(diǎn)；

結(jié)合圖示由生活經(jīng)驗(yàn)可知，當(dāng)秤鉤上不掛重物，手提起提紐時(shí)，桿秤的左端下降，說(shuō)明

桿秤自重重心在懸點(diǎn)0的左側(cè)，由杠桿平衡條件知：要想使桿秤平衡秤坨應(yīng)在懸點(diǎn)右側(cè),

則桿秤的零刻度線位置在O點(diǎn)右側(cè)。

（2）設(shè)桿秤的自重為Go,桿秤重心到支點(diǎn)。的距離是Lo,設(shè)秤坨的重力為G曲，

重物G=mg到支點(diǎn)的距離是L物，當(dāng)重物質(zhì)量為mi=3kg時(shí)，秤蛇到支點(diǎn)的距離為L(zhǎng)i，

根據(jù)杠桿平衡條件得：GoLo+migXL物=6施14，即G（）Lo+3kgX9.8N/kgXL物=6曲口-

----①；

（3）用雙坨稱rti2=7kg物體質(zhì)量時(shí)，由杠桿平衡條件得：

GoLo+m2gXL物=2G袍Li，即GoLo+7kgX9.8N/kgXL物=2G袍Li---------②；

設(shè)測(cè)最大質(zhì)量時(shí)，秤坨到支點(diǎn)的距離為L(zhǎng),單坨能測(cè)最大m最大=5kg,

由杠桿平衡條件得：GoLo+m最大g乂1物=6由L,即：GoLo+5kgX9.8N/kg><L物=6碓L-

----③

設(shè)雙坨能測(cè)的最大質(zhì)量為m,由杠桿平衡條件得：GoLo+mgXL物=2G1sL,

即：GoLo+mX9.8N/kgXL物=2G曲L④；

由①②③④解得：m=llkg。

故答案為：。點(diǎn)右側(cè)；11。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了學(xué)生對(duì)杠桿平衡條件的掌握和運(yùn)用，根據(jù)題意，由杠桿平衡條件列

出不同情況下的平衡方程，然后解方程組是解本題的關(guān)鍵。

21.如圖所示，是一個(gè)簡(jiǎn)易的吊鉤裝置，它是由4根長(zhǎng)度不一的剛性輕桿AD、DF、BC、

CE較接而成，A端通過固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸連接在墻上，C端可以在光滑水平地面上左右自由移

第19頁(yè)/共43頁(yè)

動(dòng)。L1表示AD的長(zhǎng)度，L2表示AB的長(zhǎng)度，L3表不DF的長(zhǎng)度，L4表示BC的長(zhǎng)度，

忽略吊鉤到F點(diǎn)的長(zhǎng)度，BCED構(gòu)成一個(gè)平行四邊形。若吊鉤上不管掛上多重質(zhì)量的物

體，吊鉤裝置在水平面上的不同位置時(shí)都能處于平衡狀態(tài)，則LI、L2、L3、L4必須滿

足的關(guān)系是丁L=d。吊鉤裝置處于平衡狀態(tài)時(shí)，C端受到地面的作用力方向?yàn)樨Q

L2L4

直向上

【分析】(1)找出吊鉤上重力和光滑水平地面C點(diǎn)處對(duì)整個(gè)吊鉤裝置的支持力N的力

臂，利用杠桿平衡條件得出力臂之間的關(guān)系。

(2)知道壓力是垂直作用在支持面上的，然后根據(jù)相互作用力判斷C點(diǎn)的受到地面的作

用力方向。

【解答】解：(1)以整個(gè)吊鉤裝置為杠桿，則整個(gè)吊鉤裝置以A點(diǎn)為固定轉(zhuǎn)軸，即A

為支點(diǎn)，則整個(gè)吊鉤裝置作用的兩個(gè)力為：

吊鉤上掛的物體的重力G和光滑水平地面C點(diǎn)處對(duì)整個(gè)吊鉤裝置的支持力N；

如圖根據(jù)幾何知識(shí)可知：

重力G的力臂為：AK=HF=HJ+JF=LisinP+L3sina,

支持力N的力臂為；AP=IC=IK+KC=L2sinp+L4sina,

這個(gè)吊鉤裝置平衡，根據(jù)平衡條件得：

G?AK=N?AP,

即：G,(Lisinp+Ljsina)=N*(L2sinB+L4sina),

整理可得：

sina(GL3-NL4)=sin0(NL2-GLi)------------------------------------①，

由于吊鉤裝置在水平面上的不同位置時(shí)都能處于平衡狀態(tài)，則要求a和0取不同值上式①

都成立，

所以，應(yīng)滿足：GL3-NL4=0,NL2-GLi=O,

即：GL3=NL4,GLI=NL2，

第20頁(yè)/共43頁(yè)

所以，產(chǎn)=產(chǎn)，

L3L4

即:廿Ll=廿L3。

L2L4

（2）由于壓力是垂直作用在受力面上的，所以C對(duì)對(duì)面的壓力是豎直向下的，根據(jù)力的

作用是相互的，則C端受到地面的作用力方向是豎直向上的。

L<L

故答案為：#3豎直向上。

L2L4

【點(diǎn)評(píng)】本題考查杠桿平衡條件的應(yīng)用，難點(diǎn)是對(duì)整個(gè)裝置的受力分析及各力之間的關(guān)

系，關(guān)鍵是以整個(gè)吊鉤裝置為杠桿，則整個(gè)吊鉤裝置以A點(diǎn)為固定轉(zhuǎn)軸，即A為支點(diǎn)。

22.如圖所示，在一根長(zhǎng)為2m,質(zhì)量為2kg的細(xì)金屬桿AB（質(zhì)量分布不均勻）的A端施

加一個(gè)與桿垂直的拉力F.使桿靜止在圖示位置。已知桿與地面成37°角，地面對(duì)桿作

用的靜摩擦力大小為3.6N,地面對(duì)桿的支持力大小為15.2N.則桿的重心距B端的距離

為0.75m.F的大小為6N.（已知：sin37°=0.6.cos37°=0.8）

【分析】先畫出圖中杠桿受力情況，并且將作用在杠桿上的F分解為水平方向和豎直方

向的分力，然后根據(jù)力的合成以及處于平衡狀態(tài)的物體所受合力為零求出杠桿水平方向

受到的力和豎直方向受到的力，最后根據(jù)杠桿平衡的條件列出關(guān)系式即可求出。

【解答】解：如圖所示

第21頁(yè)/共43頁(yè)

杠桿處于靜止?fàn)顟B(tài)，因此杠桿水平方向合力為0,F的水平分量的大小Fx=f=3.6N,F

F豎直分量為Fy=FXcos37°=6NX0.8=4.8N,杠桿在豎直方向合力也為0,杠桿重力

為G=Fy+F支持=4.8N+15.2N=20N；

設(shè)杠桿重心距B端距離為L(zhǎng)力矩平衡，各力對(duì)B點(diǎn)力矩代數(shù)和為0,

GXLXcos37°=FX2m

FX2m6NX2m

LT=---------7-=----------=0n.75m。

GXCOS3720NX0.8

故答案為0.75,6o

f

【點(diǎn)評(píng)】本題考查杠桿平衡的條件以及互成角度力的合成，難度較大，建議知識(shí)面較寬

的學(xué)生做這類題型。

23.課題研究小組提供了一把家中的舊桿秤（秤坨遺失），桿秤的刻度大多數(shù)模糊不清，只

有5kg和6kg的刻度清晰可辨。小組成員對(duì)桿秤的外形進(jìn)行了測(cè)量，測(cè)量結(jié)果如圖所示。

已知秤桿和掛鉤的總質(zhì)量為1kg,則秤泥質(zhì)量是2kg,桿秤重心（含掛鉤）在桿秤提

紐的左（選填“左”或“右”）側(cè)，距提紐2emo

4cm

11cm一即

。一提紐

5kg6kg

【分析】（1）從圖可知，5kg到6kg質(zhì)量增加了1kg,而杠桿的長(zhǎng)增加了2cm,再由桿

秤上的刻度是均勻的，并由此來(lái)判斷桿秤的0刻度線，進(jìn)而判斷桿秤的重心.

（2）設(shè)桿秤的重心到提紐的距離為S,秤坨的質(zhì)量為m,桿秤的質(zhì)量為m桿，知道5kg

和6kg時(shí)，秤坨所在的位置，根據(jù)杠桿的平衡條件F左L左nF左L右，列出兩個(gè)等式解答

即可。

【解答】解：（1）我們用桿秤稱物體時(shí)，物體在提紐的左側(cè)，秤坨在提紐的右側(cè)，從圖

第22頁(yè)/共43頁(yè)

可知，5kg至116kg質(zhì)量增力口了1kg,而杠桿的長(zhǎng)增加了2cm,桿秤上的刻度是均勻的，所

以，從0刻度線到5kg的位置，杠桿的長(zhǎng)應(yīng)該為10cm,即零刻度線在提紐的右側(cè)，所以

該桿秤的重心應(yīng)該在提紐的左側(cè)。(因?yàn)?刻度線處要掛稱花才能使杠桿在水平位置平

衡)

該桿秤的重心在提紐的左側(cè)，設(shè)桿秤的重心到提紐的距離為S,秤坨的質(zhì)量為m,桿秤

的質(zhì)量為m桿，

由杠桿的平衡條件G左L左=G右1右可知，

5kgXgX4cm+m桿XgXS=mXgX11cm,

6kgXgX4cm+m桿XgXS=mXgX(1lcm+2cm),

化簡(jiǎn)得：5kgX4cm+m桿XS=mX11cm,①

6kgX4cm+m桿XS=mX(llcm+2cm),②

解①②可得：m=2kg；

(2)從圖可知，5kg到6kg質(zhì)量增加了1kg,而杠桿的長(zhǎng)增加了2cm,桿秤上的刻度是

均勻的，所以，從?？潭染€到5kg的位置，杠桿的長(zhǎng)應(yīng)該為10cm,即零刻度線在提紐的

右側(cè)，所以該桿秤的重心應(yīng)該在提紐的左側(cè)。(因?yàn)?刻度線處要掛稱坨才能使杠桿在

水平位置平衡)

所以5kgXgX4cm+lkgXgXS=2kgXgXUcm,解得，S=2cm,即該桿秤的重心距提紐

2cmo

故答案為：2；左；2。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查學(xué)生對(duì)力臂概念的理解情況，需要熟練掌握杠桿平衡條件公式和重力

計(jì)算公式G=mgo

四.計(jì)算題(共6小題)

24.如圖所示。均勻桿AB每米重為30N.將A端支起。在離A端0.2m的C處掛一重300N

的物體，在B端施一豎直向上的拉力F,使桿保持水平方向平衡，問桿長(zhǎng)為多少時(shí)，所

需的拉力F最??？最小值為多大？

【分析】設(shè)杠桿的長(zhǎng)度為L(zhǎng),根據(jù)杠桿的平衡條件列出杠桿的平衡方程求解。

第23頁(yè)/共43頁(yè)

【解答】解：設(shè)杠桿的長(zhǎng)度為L(zhǎng),則杠桿的重力為：G=30N?L,由杠桿的平衡條件得：

GCXLAC+GX.1-=FXL；代入數(shù)據(jù)得：300NX0.02m+30NXLX?FL；

整理得：15(L2-FL+4)=0；必須滿足A=b2-4ac20,即F?-4X15X60N0,

所以，F(xiàn)260N,即拉力的最小值為60N,

將F=60N代入方程可得15L2-60L+60=0解方程②可得L=2m,

答：桿長(zhǎng)為2m時(shí)，所需的拉力F最小，最小值為60N。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了杠桿平衡條件的應(yīng)用，明確杠桿在水平位置平衡時(shí)，各個(gè)力臂的長(zhǎng)

度是解題的關(guān)鍵，屬于比較典型的題目。

25.如圖，質(zhì)量m=2.0kg的小鐵塊靜止于水平導(dǎo)軌AB的A端，導(dǎo)軌及支架ABCD總質(zhì)量

M=4.0kg,形狀及尺寸已在圖中注明，該支架只可以繞著過D點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)軸在圖示豎直平

面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。為簡(jiǎn)便起見，可將導(dǎo)軌及支架ABCD所受的重力看作集中作用于圖中的O點(diǎn)。

現(xiàn)用一沿導(dǎo)軌的拉力F通過細(xì)線拉鐵塊，假定鐵塊啟動(dòng)后立即以0.1m/s的速度勻速運(yùn)動(dòng),

此時(shí)拉力F=10No

(1)鐵塊運(yùn)動(dòng)時(shí)所受摩擦力多大？

(2)從鐵塊運(yùn)動(dòng)時(shí)起，導(dǎo)軌(及支架)能保持靜止的最長(zhǎng)時(shí)間是多少？(g=10N/kg)

【分析】(1)由題意知：鐵塊啟動(dòng)后立即以O(shè).lm/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)，此時(shí)拉力就等于鐵

塊運(yùn)動(dòng)時(shí)所受摩擦力；

(2)設(shè)當(dāng)鐵塊運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)時(shí)，支架剛好開始轉(zhuǎn)動(dòng)，此時(shí)過E點(diǎn)的豎直線在D點(diǎn)右側(cè)，

距D點(diǎn)為x,根據(jù)杠桿平衡條件及已知條即可求得的。

【解答】解：(1)鐵塊啟動(dòng)后勻速運(yùn)動(dòng)，此時(shí)拉力就等于鐵塊運(yùn)動(dòng)時(shí)所受摩擦力，

用f表示鐵塊所受摩擦力，f=F=10N。

(2)鐵塊對(duì)導(dǎo)軌的摩擦力作用線沿著導(dǎo)軌AB,所求力臂即為D到AB的距離。用L表

示該力臂，L=0.8m。

第24頁(yè)/共43頁(yè)

設(shè)當(dāng)鐵塊運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)時(shí)，支架剛好開始轉(zhuǎn)動(dòng)，此時(shí)過E點(diǎn)的豎直線在D點(diǎn)右側(cè)，距D點(diǎn)

為x,根據(jù)杠桿平衡條件及已知條件:4.0X10X0.1=2.0XlOx+lOXO.8；

z?,,0.6m+0.lm-0.