小學(xué)六年級數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)知識點

六年級總復(fù)習(xí)學(xué)問點

一、數(shù)和數(shù)的運(yùn)算整數(shù)部分

（一）整數(shù)概念

1整數(shù)的意義：自然數(shù)和0都是整數(shù)。

2自然數(shù)：我們在數(shù)物體的時候，用來表示物體個數(shù)的1,2,3……

叫做自然數(shù)。一個物體也沒有，用0表示。0也是自然數(shù)。

3計數(shù)單位：一（個）、十、百、千、萬、十萬、百萬、千萬、億……

都是計數(shù)單位。每相鄰兩個計數(shù)單位之間的進(jìn)率都是10。這樣的

計數(shù)法叫做十進(jìn)制計數(shù)法。

4數(shù)位：計數(shù)單位依據(jù)肯定的依次排列起來，它們所占的位置叫做數(shù)

位。

（二）數(shù)的讀法和寫法

1.整數(shù)的讀法：從高位到低位，一級一級地讀。讀億級、萬級時，

先依據(jù)個級的讀法去讀，再在后面加一個“億”或“萬”字。每一級

末尾的0都不讀出來，其它數(shù)位連續(xù)有幾個0都只讀一個零。

2.整數(shù)的寫法：從高位到低位，一級一級地寫，哪一個數(shù)位上一個

單位也沒有，就在那個數(shù)位上寫0。

（三）數(shù)的改寫

一個較大的多位數(shù)，為了讀寫便利，經(jīng)常把它改寫成用“萬”或“億”

作單位的數(shù)。有時還可以依據(jù)須要，省略這個數(shù)某一位后面的數(shù)，寫

成近似數(shù)。

1.精確數(shù)：在實際生活中，為了計數(shù)的簡便，可以把一個較大的數(shù)

改寫成以萬或億為單位的數(shù)。改寫后的數(shù)是原數(shù)的精確數(shù)。例如把

1254300000改寫成以萬做單位的數(shù)是125430萬；改寫成以億做單

位的數(shù)12.543億。

2.近似數(shù)：依據(jù)實際須要，我們還可以把一個較大的數(shù)，省略某一

位后面的尾數(shù)，用一個近似數(shù)來表示。例如：1302490015省略億

后面的尾數(shù)是13億。

3.四舍五入法：要省略的尾數(shù)的最高位上的數(shù)是4或者比4小，就

把尾數(shù)去掉；假如尾數(shù)的最高位上的數(shù)是5或者比5大，就把尾數(shù)舍

去，并向它的前一位進(jìn)1。例如：省略345900萬后面的尾數(shù)約是35

萬。省略4725097420億后面的尾數(shù)約是47億。

(四)大小比較

1.比較整數(shù)大小：比較整數(shù)的大小，位數(shù)多的那個數(shù)就大，假如位

數(shù)相同，就看最高位，最高位上的數(shù)大，那個數(shù)就大；最高位上的數(shù)

相同，就看下一位，哪一位上的數(shù)大那個數(shù)就大。

2負(fù)整數(shù)大小的比較：在數(shù)軸上，從左到右的依次就是數(shù)從小到大的

依次。也就是負(fù)號后面的數(shù)越大，這個負(fù)數(shù)就越小

3整數(shù)大小的比較：正整數(shù)＞0＞負(fù)整數(shù)

(五)數(shù)的整除

1、整數(shù)a除以整數(shù)b(bW0),除得的商是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們

就說a能被b整除，或者說b能整除a。

假如數(shù)a能被數(shù)b(b#0)整除，a就叫做b的倍數(shù)，b就叫做a

的因數(shù)。倍數(shù)和因數(shù)是相互依存的。因為35能被7整除，所以35是

7的倍數(shù)，7是35的因數(shù)。

2、一個數(shù)的因數(shù)的個數(shù)是有限的，其中最小的因數(shù)是1,最大的因

數(shù)是它本身。例如：10的因數(shù)有1、2、5、10,其中最小的因數(shù)是1,

最大的因數(shù)是10。

3、一個數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)是無限的，其中最小的倍數(shù)是它本身。3的

倍數(shù)有：3、6、9、12……其中最小的倍數(shù)是3,沒有最大的倍數(shù)。

4、個位上是0、2、4、6、8的數(shù),都能被2整除，例如:202、480、

304,都能被2整除。

5、個位上是0或5的數(shù)，都能被5整除，例如：5、30、405都能被

5整除。。

6、一個數(shù)的各位上的數(shù)的和能被3整除，這個數(shù)就能被3整除，例

如:12、108、204都能被3整除。

7、能被2整除的數(shù)叫做偶數(shù)。不能被2整除的數(shù)叫做奇數(shù)。

0也是偶數(shù)。自然數(shù)按能否被2整除的特征可分為奇數(shù)和偶數(shù)。

8、一個數(shù)，假如只有1和它本身兩個因數(shù)，這樣的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（或

素數(shù)），100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、

31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。

一個數(shù)，假如除了1和它本身還有別的因數(shù)，這樣的數(shù)叫做合數(shù)，例

如4、6、8、9、12都是合數(shù)。

1不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)，自然數(shù)除了1外，不是質(zhì)數(shù)就是合數(shù)。假如

把自然數(shù)按其因數(shù)的個數(shù)的不同分類，可分為質(zhì)數(shù)、合數(shù)和1。

每個合數(shù)都可以寫成幾個質(zhì)數(shù)相乘的形式。其中每個質(zhì)數(shù)都是這個合

數(shù)的因數(shù)，叫做這個合數(shù)的質(zhì)因數(shù)，例如15=3X5,3和5叫做15

的質(zhì)因數(shù)。

把一個合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)。

例如把28分解質(zhì)因數(shù)

幾個數(shù)公有的因數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公因數(shù)。其中最大的一個，叫做

這幾個數(shù)的最大公因數(shù)，例如12的因數(shù)有1、2、3、4、6、12；18

的因數(shù)有1、2、3、6、9、18o其中，1、2、3、6是12和18的公

因數(shù)，6是它們的最大公因數(shù)。

公因數(shù)只有1的兩個數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù)，成互質(zhì)關(guān)系的兩個數(shù)，有下列

幾種狀況：

1和任何自然數(shù)互質(zhì)。

相鄰的兩個自然數(shù)互質(zhì)。

兩個不同的質(zhì)數(shù)互質(zhì)。

當(dāng)合數(shù)不是質(zhì)數(shù)的倍數(shù)時，這個合數(shù)和這個質(zhì)數(shù)互質(zhì)。

兩個合數(shù)的公約數(shù)只有1時，這兩個合數(shù)互質(zhì)，假如幾個數(shù)中隨意兩

個都互質(zhì)，就說這幾個數(shù)兩兩互質(zhì)。

假如較小數(shù)是較大數(shù)的因數(shù)，那么較小數(shù)就是這兩個數(shù)的最大公因

數(shù)。

假如兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)，它們的最大公因數(shù)就是1。

幾個數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù)，其中最小的一個，叫做

這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)，如2的倍數(shù)有2、4、6、8、10、12、14、

16、18...

3的倍數(shù)有3、6、9、12、15、18...其中6、12、18....是2、3

的公倍數(shù)，6是它們的最小公倍數(shù)。。

假如較大數(shù)是較小數(shù)的倍數(shù)，那么較大數(shù)就是這兩個數(shù)的最小公倍

數(shù)。

假如兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)，那么這兩個數(shù)的積就是它們的最小公倍數(shù)。

幾個數(shù)的公因數(shù)的個數(shù)是有限的，而幾個數(shù)的公倍數(shù)的個數(shù)是無限

的。

1.把一個合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，通常用短除法。先用能整除這個合數(shù)的

質(zhì)數(shù)去除，始終除到商是質(zhì)數(shù)為止，再把除數(shù)和商寫成連乘的形式。

2.求幾個數(shù)的最大公約數(shù)的方法是：先用這幾個數(shù)的公約數(shù)連續(xù)去

除，始終除到所得的商只有公約數(shù)1為止，然后把全部的除數(shù)連乘求

積，這個積就是這幾個數(shù)的的最大公約數(shù)。

3.求幾個數(shù)的最小公倍數(shù)的方法是：先用這幾個數(shù)（或其中的部分

數(shù)）的公約數(shù)去除，始終除到互質(zhì)（或兩兩互質(zhì)）為止，然后把全部

的除數(shù)和商連乘求積，這個積就是這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。

4.成為互質(zhì)關(guān)系的兩個數(shù)：1和任何自然數(shù)互質(zhì)；相鄰的兩個自

然數(shù)互質(zhì)；當(dāng)合數(shù)不是質(zhì)數(shù)的倍數(shù)時，這個合數(shù)和這個質(zhì)數(shù)互質(zhì)；

兩個合數(shù)的公約數(shù)只有1時，這兩個合數(shù)互質(zhì)。

小數(shù)部分

一、小數(shù)的意義

把整數(shù)I平均分成10份、100份、1000份……得到的非常之幾、百

分之幾、千分之幾……可以用小數(shù)表示。一位小數(shù)表示非常之幾,

兩位小數(shù)表示百分之幾，三位小數(shù)表示千分之幾

一個小數(shù)由整數(shù)部分、小數(shù)部分和小數(shù)點部分組成。數(shù)中的圓點叫做

小數(shù)點，小數(shù)點左邊的數(shù)叫做整數(shù)部分，小數(shù)點左邊的數(shù)叫做整數(shù)部

分，小數(shù)點右邊的數(shù)叫做小數(shù)部分。

在小數(shù)里，每相鄰兩個計數(shù)單位之間的進(jìn)率都是10。小數(shù)部分的最

高分?jǐn)?shù)單位“非常之一”和整數(shù)部分的最低單位“一”之間的進(jìn)率也

是10o

二、小數(shù)的分類

純小數(shù)：整數(shù)部分是零的小數(shù)，叫做純小數(shù)。例如：0.25、0.368

都是純小數(shù)。

帶小數(shù)：整數(shù)部分不是零的小數(shù)，叫做帶小數(shù)。例如：3.25、5.26

都是帶小數(shù)。

有限小數(shù)：小數(shù)部分的數(shù)位是有限的小數(shù)，叫做有限小數(shù)。例如：

41.7、25.3>0.23都是有限小數(shù)。

無限小數(shù)：小數(shù)部分的數(shù)位是無限的小數(shù)，叫做無限小數(shù)。例如：

4.33...3.1415926...

無限不循環(huán)小數(shù)：一個數(shù)的小數(shù)部分，數(shù)字排列無規(guī)律且位數(shù)無限，

這樣的小數(shù)叫做無限不循環(huán)小數(shù)。例如：n

循環(huán)小數(shù)：一個數(shù)的小數(shù)部分，有一個數(shù)字或者幾個數(shù)字依次不斷重

復(fù)出現(xiàn)，這個數(shù)叫做循環(huán)小數(shù)。例如：3.555……0.0333……

12.109109...

一個循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分，依次不斷重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字叫做這個循環(huán)小

數(shù)的循環(huán)節(jié)。例如：3.99……的循環(huán)節(jié)是“9”，0.5454……

的循環(huán)節(jié)是“54”o

純循環(huán)小數(shù)：循環(huán)節(jié)從小數(shù)部分第一位起先的，叫做純循環(huán)小數(shù)。例

如：3.111.......0.5656.......

混循環(huán)小數(shù)：循環(huán)節(jié)不是從小數(shù)部分第一位起先的，叫做混循環(huán)小數(shù)。

3.1222......0.03333.......

寫循環(huán)小數(shù)的時候，為了簡便，小數(shù)的循環(huán)部分只需寫出一個循環(huán)節(jié),

并在這個循環(huán)節(jié)的首、末位數(shù)字上各點一個圓點。假如循環(huán)節(jié)只有

一個數(shù)字，就只在它的上面點一個點。例如：3.777……簡寫作

0.5302302.......簡寫作。

3.小數(shù)的讀法：讀小數(shù)的時候，整數(shù)部分依據(jù)整數(shù)的讀法讀，小數(shù)

點讀作“點”，小數(shù)部分從左向右順次讀出每一位數(shù)位上的數(shù)字。

4.小數(shù)的寫法：寫小數(shù)的時候，整數(shù)部分依據(jù)整數(shù)的寫法來寫，小

數(shù)點寫在個位右下角，小數(shù)部分順次寫出每一個數(shù)位上的數(shù)字。

5、比較小數(shù)的大?。合瓤此鼈兊恼麛?shù)部分，，整數(shù)部分大的那個數(shù)

就大；整數(shù)部分相同的，非常位上的數(shù)大的那個數(shù)就大；非常位上的

數(shù)也相同的，百分位上的數(shù)大的那個數(shù)就大……

三、性質(zhì)和規(guī)律

（一）商不變的規(guī)律

商不變的規(guī)律：在除法里，被除數(shù)和除數(shù)同時擴(kuò)大或者同時縮小相同

的倍，商不變。

（二）小數(shù)的性質(zhì)

小數(shù)的性質(zhì)：在小數(shù)的末尾添上零或者去掉零小數(shù)的大小不變。

（三）小數(shù)點位置的移動引起小數(shù)大小的變更

1.小數(shù)點向右移動一位，原來的數(shù)就擴(kuò)大10倍；小數(shù)點向右移動兩

位，原來的數(shù)就擴(kuò)大100倍；小數(shù)點向右移動三位，原來的數(shù)就擴(kuò)大

1000倍...

2.小數(shù)點向左移動一位，原來的數(shù)就縮小10倍；小數(shù)點向左移動兩

位，原來的數(shù)就縮小100倍；小數(shù)點向左移動三位，原來的數(shù)就縮小

1000倍...

3.小數(shù)點向左移或者向右移位數(shù)不夠時，要用“0〃補(bǔ)足位。

分?jǐn)?shù)部分

1分?jǐn)?shù)的意義

把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或者幾份的數(shù)叫做分

數(shù)。在分?jǐn)?shù)里，中間的橫線叫做分?jǐn)?shù)線；分?jǐn)?shù)線下面的數(shù)，叫做分

母，表示把單位“1”平均分成多少份；分?jǐn)?shù)線下面的數(shù)叫做分子，

表示有這樣的多少份。

把單位“1，，平均分成若干份，表示其中的一份的數(shù)，叫做分?jǐn)?shù)單位。

2分?jǐn)?shù)的分類

真分?jǐn)?shù)：分子比分母小的分?jǐn)?shù)叫做真分?jǐn)?shù)。真分?jǐn)?shù)小于1。

假分?jǐn)?shù)：分子比分母大或者分子和分母相等的分?jǐn)?shù)，叫做假分?jǐn)?shù)。假

分?jǐn)?shù)大于或等于1。

帶分?jǐn)?shù)：假分?jǐn)?shù)可以寫成整數(shù)與真分?jǐn)?shù)合成的數(shù)，通常叫做帶分?jǐn)?shù)。

3約分和通分

把一個分?jǐn)?shù)化成同它相等但是分子、分母都比較小的分?jǐn)?shù)，叫做約

分。分子分母是互質(zhì)數(shù)的分?jǐn)?shù)，叫做最簡分?jǐn)?shù)。

把異分母分?jǐn)?shù)分別化成和原來分?jǐn)?shù)相等的同分母分?jǐn)?shù)，叫做通分。

4、分?jǐn)?shù)的讀法：讀分?jǐn)?shù)時，先讀分母再讀“分之”然后讀分子，分

子和分母依據(jù)整數(shù)的讀法來讀。

5.分?jǐn)?shù)的寫法：先寫分?jǐn)?shù)線，再寫分母，最終寫分子，依據(jù)整數(shù)的

寫法來寫。

6、分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)

分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母都乘以或者除以相同的數(shù)（零

除外），分?jǐn)?shù)的大小不變。

7、分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系

1.被除數(shù)十除數(shù)=

除數(shù)

2.因為零不能作除數(shù)，所以分?jǐn)?shù)的分母不能為零。

3.被除數(shù)相當(dāng)于分子，除數(shù)相當(dāng)于分母。

8、約分和通分

約分的方法：用分子和分母的公約數(shù)（1除外）去除分子、分母；通

常要除到得出最簡分?jǐn)?shù)為止。

通分的方法：先求出原來的幾個分?jǐn)?shù)分母的最小公倍數(shù)，然后把各分

數(shù)化成用這個最小公倍數(shù)作分母的分?jǐn)?shù)。

百分?jǐn)?shù)部分

1、表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾的數(shù)叫做百分?jǐn)?shù)，也叫做百分

率或百分比。百分?jǐn)?shù)通常用〃%〃來表示。百分號是表示百分?jǐn)?shù)的符號。

2、百分?jǐn)?shù)的讀法：讀百分?jǐn)?shù)時，先讀百分之，再讀百分號前面的數(shù),

讀數(shù)時依據(jù)整數(shù)的讀法來讀。

3、百分?jǐn)?shù)的寫法：百分?jǐn)?shù)通常不寫成分?jǐn)?shù)形式，而在原來的分子后

面加上百分號“％”來表示。

4、小數(shù)化成百分?jǐn)?shù)：只要把小數(shù)點向右移動兩位，同時在后面添上

百分號。

5.百分?jǐn)?shù)化成小數(shù)：把百分?jǐn)?shù)化成小數(shù)，只要把百分號去掉，同時

把小數(shù)點向左移動兩位。

6.分?jǐn)?shù)化成百分?jǐn)?shù)：通常先把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)（除不盡時，通常保留

三位小數(shù)），再把小數(shù)化成百分?jǐn)?shù)。

7.百分?jǐn)?shù)化成分?jǐn)?shù)：先把百分?jǐn)?shù)改寫成分?jǐn)?shù)，能約分的要約成最簡

分?jǐn)?shù)。

分子七分母。

四則混合運(yùn)算:

1、四則運(yùn)算中各部分間的關(guān)系

1.加法運(yùn)算

加數(shù)+加數(shù)二和一個加數(shù)二和一另一個加數(shù)

2、減法運(yùn)算

被減數(shù)一減數(shù)二差被減數(shù)二減數(shù)十差減數(shù)二被減數(shù)一差

3、乘法運(yùn)算

一個因數(shù)二積;另一個因數(shù)

因數(shù)X因數(shù)=積

4、除法運(yùn)算

(1)沒有余數(shù)的除法

被除數(shù)?除數(shù)二商除數(shù)二被除數(shù)十商被除數(shù)二商X除數(shù)

⑵有余數(shù)的除法

余數(shù)被除數(shù)二商X除數(shù)十余數(shù)

商二(被除數(shù)一余數(shù));除數(shù)被除數(shù)+除數(shù);商

除數(shù)=(被除數(shù)一余數(shù)):商余數(shù);被除數(shù)一商x除數(shù)

2、運(yùn)算依次

(1)在數(shù)的運(yùn)算中，加法和減法叫做第一級運(yùn)算。乘法和除法叫做

其次級運(yùn)算。

(2)四則混合運(yùn)算的依次。

①有括號的要先算小括號里面的，再算中括號里面的，最終算括號外

面的；

②在沒有括號的算式里，要先算乘、除法，再算加、減法；

③一個算式里只有乘、除法或者只有加、減法，要依據(jù)從左到右的依

次依次進(jìn)行計算。

3、運(yùn)算定律

運(yùn)算定律和運(yùn)算性質(zhì)：

名稱用字母表示舉例

加法交換律a+b=b+a8+5=5+8

加法結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+c)37+46+23=46+(37+23)

乘法交換律axb=bxa5x6=6x5

乘法結(jié)合律(axb)xc=ax(bxc)37x25x4=37x(25x4)

,乘法分配律ac+bc=(a±b)xc24X36+76x36=(24+76)x36

減法的性質(zhì)1a-b-c=a-(b+c)72-9-21=72-(9+21)

溫法的性質(zhì)2a-b-c=a-c-b75-39-25=75-25-39

除法的性質(zhì)1a+b+c=a+(bxc)210-e-6^-5=2104-(6X5)

陳法的性質(zhì)2a+b+c=a+c+b2104-154-7=210H-7-=-15

s-vLv—au

總價用a表示，單價用b表示，數(shù)量用c表示，三者之間的關(guān)系:

a=bcb=a/cc=a/b

(2)運(yùn)算定律和性質(zhì)

加法交換律：a+b=b+a

加法結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)

乘法交換律：ab=ba

乘法結(jié)合律：(ab)c=a(bc)

乘法安排律：(a+b)c=ac+bc

減法的性質(zhì)：a-(b+c)=a-b-c

(3)用字母表示幾何形體的公式

長方形的長用a表示，寬用b表示，周長用c表示，面積用s表示。

c=2(a+b)s=ab

正方形的邊長a用表示，周長用c表示，面積用s表示。

c=4as-a2

平行四邊形的底a用表示，高用h表示，面積用s表示。

s=ah

三角形的底用a表示，高用h表示，面積用s表示。

s=ah/2

梯形的上底用a表示，下底b用表示，高用h表示，中位線用m表示,

面積用s表示。

s=(a+b)h/2s=mh

圓的半徑用r表示，直徑用d表示，周長用c表示，面積用s表示。

c=nd=2rirs=nr2

扇形的半徑用r表示，n表示圓心角的度數(shù)，面積用s表示。

s=nnr2/360

長方體的長用a表示，寬用b表示，高用h表示，表面積用s表示，

體積用v表示。

v=shs=2(ab+ah+bh)v=abh

正方體的棱長用a表示，底面周長c用表示，底面積用s表示，體

積用v表示.

s=6a2v=a3

圓柱的高用h表示，底面周長用c表示，底面積用s表示，體積用

V表示.

s側(cè)二（±s表=5側(cè)+2s底v=sh

圓錐的高用h表示，底面積用s表示，體積用v表示.

v=sh/3

3用字母表示數(shù)的寫法

數(shù)字和字母、字母和字母相乘時，乘號可以記作，或者省略不

寫，數(shù)字要寫在字母的前面。

當(dāng)“1”與任何字母相乘時，“1”省略不寫。

在一個問題中，同一個字母表示同一個量，不同的量用不同的字母表

Zpso

用含有字母的式子表示問題的答案時，除數(shù)一般寫成分母，假如式子

中有加號或者減號，要先用括號把含字母的式子括起來，再在括號后

面寫上單位的名稱。

4將數(shù)值代入式子求值

*把詳細(xì)的數(shù)代入式子求值時，要留意書寫格式：先寫出字母等于幾,

然后寫出原式，再把數(shù)代入式子求值。字母表示的是數(shù)，后面不寫單

位名稱。

*同一個式子，式子中所含字母取不同的數(shù)值，那么所求出的式子的

值也不相同。

二、簡易方程

（一）方程和方程的解

1方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程。

留意方程是等式，又含有未知數(shù)，兩者缺一不行。

方程和算術(shù)式不同。算術(shù)式是一個式子，它由運(yùn)算符號和已知數(shù)組成,

它表示未知數(shù)。方程是一個等式，在方程里的未知數(shù)可以參與運(yùn)算，

并且只有當(dāng)未知數(shù)為特定的數(shù)值時，方程才成立。

2方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解。

三、解方程

解方程，求方程的解的過程叫做解方程。

四、列方程解應(yīng)用題

1列方程解應(yīng)用題的意義

*用方程式去解答應(yīng)用題求得應(yīng)用題的未知量的方法。

2列方程解答應(yīng)用題的步驟

*弄清題意，確定未知數(shù)并用x表示；

*找出題中的數(shù)量之間的相等關(guān)系；

*列方程，解方程；

*檢查或驗算，寫出答案。

3列方程解應(yīng)用題的方法

*綜合法：先把應(yīng)用題中已知數(shù)（量）和所設(shè)未知數(shù)（量）列成有關(guān)

的代數(shù)式，再找出它們之間的等量關(guān)系，進(jìn)而列出方程。這是從部分

到整體的一種思維過程，其思索方向是從已知到未知。

*分析法：先找出等量關(guān)系，再依據(jù)詳細(xì)建立等量關(guān)系的須要，把應(yīng)

用題中已知數(shù)（量）和所設(shè)的未知數(shù)（量）列成有關(guān)的代數(shù)式進(jìn)而列

出方程。這是從整體到部分的一種思維過程，其思索方向是從未知到

已知。

4列方程解應(yīng)用題的范圍

小學(xué)范圍內(nèi)常用方程解的應(yīng)用題：

a一般應(yīng)用題；

b和倍、差倍問題；

c幾何形體的周長、面積、體積計算；

d分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題；

e比和比例應(yīng)用題。

三、比和比例

1比的意義和性質(zhì)

(1)比的意義

兩個數(shù)相除又叫做兩個數(shù)的比。“：”是比號，讀作“比”。比號

前面的數(shù)叫做比的前項，比號后面的數(shù)叫做比的后項。比的前項除以

后項所得的商，叫做比值。

同除法比較，比的前項相當(dāng)于被除數(shù)，后項相當(dāng)于除數(shù)，比值相當(dāng)于

商。

比值通常用分?jǐn)?shù)表示，也可以用小數(shù)表示，有時也可能是整數(shù)。

比的后項不能是零。依據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，可知比的前項相當(dāng)于

分子，后項相當(dāng)于分母，比值相當(dāng)于分?jǐn)?shù)值。

(2)比的性質(zhì)

比的前項和后項同時乘上或者除以相同的數(shù)(0除外)，比值不變，

這叫做比的基本性質(zhì)。

(3)求比值和化簡比

求比值的方法：用比的前項除以后項，它的結(jié)果是一個數(shù)值可以是整

數(shù)，也可以是小數(shù)或分?jǐn)?shù)。

依據(jù)比的基本性質(zhì)可以把比化成最簡潔的整數(shù)比。它的結(jié)果必需是一

個最簡比，即前、后項是互質(zhì)的數(shù)。

(4)比例尺

圖上距離：實際距離二比例尺

要求會求比例尺；已知圖上距離和比例尺求實際距離；已知實際距離

和比例尺求圖上距離。

線段比例尺：在圖上附有一條注有數(shù)目的線段，用來表示和地面上相

對應(yīng)的實際距離。

(5)按比例安排

在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和日常生活中，經(jīng)常須要把一個數(shù)量依據(jù)肯定的比來進(jìn)行

安排。這種安排的方法通常叫做按比例安排。

方法：首先求出各部分占總量的幾分之幾，然后求出總數(shù)的幾分之幾

是多少。

2比例的意義和性質(zhì)

(1)比例的意義

表示兩個比相等的式子叫做比例。

組成比例的四個數(shù)，叫做比例的項。

兩端的兩項叫做外項，中間的兩項叫做內(nèi)項。

(2)比例的性質(zhì)

在比例里，兩個外項的積等于兩個兩個內(nèi)向的積。這叫做比例的基本

性質(zhì)。

(3)解比例

依據(jù)比例的基本性質(zhì)，假如已知比例中的任何三項，就可以求出這個

數(shù)比例中的另外一個未知項。求比例中的未知項，叫做解比例。

3正比例和反比例

(1)成正比例的量

兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變更，另一種量也隨著變更，假如這兩種量

中相對應(yīng)的兩個數(shù)的比值(也就是商)肯定，這兩種量就叫做成正比

例的量，他們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。用字母表示y/x=k(肯定)

(2)成反比例的量

兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變更，另一種量也隨著變更，假如這兩種量

中相對應(yīng)的兩個數(shù)的積肯定，這兩種量就叫做成反比例的量，他們的

關(guān)系叫做反比例關(guān)系。用字母表示xXy=k(肯定)

四、度量衡

一長度

長度是一維空間的度量。

(二)長度常用單位

*公里(km)*米(m)*分米(dm)*厘米(cm)*毫米(mm)*微米

(um)

(三)單位之間的換算

*1毫米=1000微米*1厘米=10毫米*1分米=10厘米*

1米=1000毫米*1千米=1000米

二面積

（一）什么是面積

面積，就是物體所占平面的大小。對立體物體的表面的多少的測量一

般稱表面積。

（二）常用的面積單位

*平方毫米*平方厘米*平方分米*平方米*平方千米

（三）面積單位的換算

*1平方厘米=100平方毫米*1平方分米=100平方厘米*1平

方米=100平方分米

*1公傾=10000平方米*1平方公里=100公頃

三體積和容積

（一）什么是體積、容積

體積，就是物體所占空間的大小。

容積，箱子、油桶、倉庫等所能容納物體的體積，通常叫做它們的容

積。

（二）常用單位

1體積單位

*立方米*立方分米*立方厘米

2容積單位*升*毫升

（三）單位換算

1體積單位

*1立方米=1000立方分米

*1立方分米=1000立方厘米

2容積單位

*1升=1000毫升

*1升=1立方米

*1毫升=1立方厘米

四質(zhì)量

（一）什么是質(zhì)量

質(zhì)量，就是表示表示物體有多重。

（二）常用單位

*噸t*千克kg*克g

（三）常用換算

*一噸=1000千克

*1千克=1000克

五時間

（一）什么是時間

是指有起點和終點的一段時間

（二）常用單位

世紀(jì)、年、月、日、時、分、秒

（三）單位換算

*1世紀(jì)二100年

*1年=365天平年

*一年二366天閏年

*一、三、五、七、八、十、十二是大月大月有31天

*四、六、九、H^一是小月小月小月有30天

*平年2月有28天閏年2月有29天

*1天=24小時

*1小時=60分

*一分=60秒

六貨幣

（一）什么是貨幣

貨幣是充當(dāng)一切商品的等價物的特別商品。貨幣是價值的一般代表,

可以購買任何別的商品。

（二）常用單位

*元*角*分

（三）單位換算

*1元=10角

*1角=10分

五、幾何的初步學(xué)問

一線和角

（1）線

直線：直線沒有端點；長度無限；過一點可以畫多數(shù)條，過兩點只

能畫一條直線。

射線：射線只有一個端點；長度無限。

*線段：線段有兩個端點，它是直線的一部分；長度有限；兩點的

連線中，線段為最短。

*平行線：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。

兩條平行線之間的垂線長度都相等。

*垂線：兩條直線相交成直角時，這兩條直線叫做相互垂直，其中

一條直線叫做另一條直線的垂線,相交的點叫做垂足。

從直線外一點到這條直線所畫的垂線的長叫做這點到直線的距離。

(2)角

(1)從一點引出兩條射線，所組成的圖形叫做角。這個點叫做角的

頂點，這兩條射線叫做角的邊。

(2)角的分類

銳角：小于90°的角叫做銳角。

直角：等于90°的角叫做直角。

鈍角：大于90°而小于180°的角叫做鈍角。

平角：角的兩邊成一條直線，這時所組成的角叫做平角。平角180°o

周角：角的一邊旋轉(zhuǎn)一周，與另一邊重合。周角是360。。

二平面圖形

1長方形

(1)特征：對邊相等，4個角都是直角的四邊形。有兩條對稱軸。

(2)計算公式：c=2(a+b)s=ab

2正方形

(1)特征：四條邊都相等，四個角都是直角的四邊形。有4條對

稱軸。

(2)計算公式：c=4as=a2

3三角形

(1)特征：由三條線段圍成的圖形。內(nèi)角和是180度。三角形具

有穩(wěn)定性。三角形有三條高。

(2)計算公式：s=ah/2

(3)分類

按角分

銳角三角形：三個角都是銳角。

直角三角形：有一個角是直角。等腰三角形的兩個銳角各為45度，

它有一條對稱軸。

鈍角三角形：有一個角是鈍角。

按邊分

不等邊三角形：三條邊長度不相等。

等腰三角形：有兩條邊長度相等；兩個底角相等；有一條對稱軸。

等邊三角形：三條邊長度都相等；三個內(nèi)角都是60度；有三條對稱

軸。

4平行四邊形

(1)特征：兩組對邊分別平行的四邊形。相對的邊平行且相等。

對角相等，相鄰的兩個角的度數(shù)之和為180度。平行四邊形簡潔變形。

(2)計算公式：s=ah

5梯形

(1)特征：只有一組對邊平行的四邊形。

(2)中位線等于上下底和的一半。

(3)等腰梯形有一條對稱軸。

(2)公式：s=(a+b)h/2=mh

6圓

(1)圓的相識：平面上的一種曲線圖形。

圓中心的一點叫做圓心。一般用字母。表示。

半徑：連接圓心和圓上隨意一點的線段叫做半徑。一般用r表示。

在同一個圓里，有多數(shù)條半徑，每條半徑的長度都相等。

通過圓心并且兩端都在圓上的線段叫做直徑。一般用d表示。

同一個圓里有多數(shù)條直徑，全部的直徑都相等。

同一個圓里，直徑等于兩個半徑的長度，即d=2r。

圓的大小由半徑確定。圓有多數(shù)條對稱軸。

(2)圓的畫法

把圓規(guī)的兩腳分開，定好兩腳間的距離(即半徑)；

把有針尖的一只腳固定在一點(即圓心)上；

把裝有鉛筆尖的一只腳旋轉(zhuǎn)一周，就畫出一個圓。

(3)圓的周長

圍成圓的曲線的長叫做圓的周長。

把圓的周長和直徑的比值叫做圓周率。用字母n表示。

(4)圓的面積

圓所占平面的大小叫做圓的面積。

(5)計算公式d=2rr=d/2c=Hdc=2Hrs=rir2

7扇形

(1)扇形的相識

一條弧和經(jīng)過這條弧兩端的兩條半徑所圍成的圖形叫做扇形。

圓上AB兩點之間的部分叫做弧，讀作“弧AB”。

頂點在圓心的角叫做圓心角。

在同一個圓中，扇形的大小與這個扇形的圓心角的大小有關(guān)。

扇形有一條對稱軸。

⑵計算公式s=nrir2/360

圓環(huán)

(1)特征

由兩個半徑不相等的同心圓相減而成，有多數(shù)條對稱軸。

(2)計算公式s=n(R2-r2)

9軸對稱圖形

(1)特征

假如一個圖形沿著一條直線對折，兩側(cè)的圖形能夠完全重合，這個圖

形就是軸對稱圖形。折痕所在的這條直線叫做對稱軸。

正方形有4條對稱軸，長方形有2條對稱軸。

等腰三角形有2條對稱軸，等邊三角形有3條對稱軸。

等腰梯形有一條對稱軸，圓有多數(shù)條對稱軸。

菱形有4條對稱軸，扇形有一條對稱軸。

三立體圖形

（一）長方體

1特征：六個面都是長方形（有時有兩個相對的面是正方形）。

相對的面面積相等，12條棱相對的4條棱長度相等。

有8個頂點。相交于一個頂點的三條棱的長度分別叫做長、寬、高。

兩個面相交的邊叫做棱。三條棱相交的點叫做頂點。

把長方體放在桌面上，最多只能看到三個面。

長方體或者正方體6個面的總面積，叫做它的表面積。

2計算公式s=2（ab+ah+bh）V=shV-abh

（二）正方體

1特征

六個面都是正方形六個面的面積相等12條棱，棱長都相等

有8個頂點正方體可以看作特別的長方體

2計算公式S表=6a?v=a3

（三）圓柱

1圓柱的相識

圓柱的上下兩個面叫做底面。

圓柱有一個曲面叫做側(cè)面。

圓柱兩個底面之間的距離叫做高。

進(jìn)一法：實際中，運(yùn)用的材料都要比計算的結(jié)果多一些，因此，要

保留數(shù)的時候，省略的位上的是4或者比4小，都要向前一位進(jìn)1。

這種取近似值的方法叫做進(jìn)一法。

2計算公式s側(cè)=（±s表=5側(cè)+$底X2v=sh/3

（四）圓錐

1圓錐的相識

圓錐的底面是個圓，圓錐的側(cè)面是個曲面。

從圓錐的頂點究竟面圓心的距離是圓錐的高。

測量圓錐的高：先把圓錐的底面放平，用一塊平板水平地放在圓錐的

頂點上面，豎直地量出平板和底面之間的距離。

把圓錐的側(cè)面綻開得到一個扇形

2計算公式v=sh/3

（五）球

1相識

球的表面是一個曲面，這個曲面叫做球面。

球和圓類似，也有一個球心，用0表示。

從球心到球面上隨意一點的線段叫做球的半徑，用r表示，每條半徑

都相等。

通過球心并且兩端都在球面上的線段，叫做球的直徑，用d表示，每

條直徑都相等,直徑的長度等于半徑的2倍，即d=2ro

2計算公式d=2r

第五章簡潔的統(tǒng)計

一統(tǒng)計表

（一）意義

*把統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫在肯定格式的表格內(nèi)，用來反映狀況、說明問題,

這樣的表格就叫做統(tǒng)計表。

（二）組成部分

*一般分為表特別和表格內(nèi)兩部分。表特別部分包括標(biāo)的名稱，單

位說明和制表日期；表格內(nèi)部包括表頭、橫標(biāo)目、縱標(biāo)目和數(shù)據(jù)四個

方面。

（三）種類

*單式統(tǒng)計表：只含有一個項目的統(tǒng)計表。

*復(fù)式統(tǒng)計表：含有兩個或兩個以上統(tǒng)計項目的統(tǒng)計表。

*百分?jǐn)?shù)統(tǒng)計表：不僅表明各統(tǒng)計項目的詳細(xì)數(shù)量，而且表明比較量

相當(dāng)于標(biāo)準(zhǔn)量的百分比的統(tǒng)計表。

（四）制作步驟

1搜集數(shù)據(jù)

2整理數(shù)據(jù)：

要依據(jù)制表的目的和統(tǒng)計的內(nèi)容，對數(shù)據(jù)進(jìn)行分類。

3設(shè)計草表：

要依據(jù)統(tǒng)計的目的和內(nèi)容設(shè)計分欄格內(nèi)容、分欄格畫法，規(guī)定橫欄、

豎欄各需幾格，每格長度。

4正式制表：

把核對過的數(shù)據(jù)填入表中，并依據(jù)制表要求，用簡潔、明確的語言寫

上統(tǒng)計表的名稱和制表日期。

六、統(tǒng)計圖

（一）意義

用點線面積等來表示相關(guān)的量之間的數(shù)量關(guān)系的圖形叫做統(tǒng)計圖。

(二)分類

1條形統(tǒng)計圖

用一個單位長度表示肯定的數(shù)量，依據(jù)數(shù)量的多少畫成長短不同的直

條，然后把這些直線依據(jù)肯定的依次排列起來。

優(yōu)點：很簡潔看出各種數(shù)量的多少。

留意：畫條形統(tǒng)計圖時，直條的寬窄必需相同。

取一個單位長度表示數(shù)量的多少要依據(jù)詳細(xì)狀況而確定；復(fù)式條形

統(tǒng)計圖中表示不同項目的直條，要用不同的線條或顏色區(qū)分開，并在

制圖日期下面注明圖例。

制作條形統(tǒng)計圖的一般步驟：

(1)依據(jù)圖紙的大小，畫出兩條相互垂直的射線。

(2)在水平射線上，適當(dāng)安排條形的位置，確定直線的寬度和間隔。

(3)在與水平射線垂直的深線上依據(jù)數(shù)據(jù)大小的詳細(xì)狀況，確定單

位長度表示多少。

(4)依據(jù)數(shù)據(jù)的大小畫出長短不同的直條，并注明數(shù)量。

2折線統(tǒng)計圖

用一個單位長度表示肯定的數(shù)量，依據(jù)數(shù)量的多少描出各點，然后把

各點用線段順次連接起來。

優(yōu)點：不但可以表示數(shù)量的多少，而且能夠清晰地表示出數(shù)量增減變

更的狀況。

留意：折線統(tǒng)計圖的橫軸表示不同的年份、月份等時間時，不同時間

之間的距離要依據(jù)年份或月份的間隔來確定。

制作折線統(tǒng)計圖的一般步驟：

(1)依據(jù)圖紙的大小，畫出兩條相互垂直的射線。

(2)在水平射線上，適當(dāng)安排折線的位置，確定直線的寬度和間隔。

(3)在與水平射線垂直的深線上依據(jù)數(shù)據(jù)大小的詳細(xì)狀況，確定單

位長度表示多少。

(4)依據(jù)數(shù)據(jù)的大小描出各點，再用線段順次連接起來，并注明數(shù)

量。

3扇形統(tǒng)計圖

用整個圓的面積表示總數(shù)，用扇形面積表示各部分所占總數(shù)的百分

數(shù)。

優(yōu)點：很清晰地表示出各部分同總數(shù)之間的關(guān)系。

制扇形統(tǒng)計圖的一般步驟：

(1)先算出各部分?jǐn)?shù)量占總量的百分之幾。

(2)再算出表示各部分?jǐn)?shù)量的扇形的圓心角度數(shù)。

(3)取適當(dāng)?shù)陌霃疆嬕粋€圓，并依據(jù)上面算出的圓心角的度數(shù)，在

圓里畫出各個扇形。

(4)在每個扇形中標(biāo)明所表示的各部分?jǐn)?shù)量名稱和所占的百分?jǐn)?shù)，

并用不同顏色或條紋把各個扇形區(qū)分開。

七、應(yīng)用題

(-)整數(shù)和小數(shù)的應(yīng)用

1簡潔應(yīng)用題

(1)簡潔應(yīng)用題：只含有一種基本數(shù)量關(guān)系，或用一步運(yùn)算解答的

應(yīng)用題，通常叫做簡潔應(yīng)用題。

（2）解題步驟：

a審題理解題意：了解應(yīng)用題的內(nèi)容，知道應(yīng)用題的條件和問題。讀

題時，不丟字不添字邊讀邊思索，弄明白題中每句話的意思。也可以

復(fù)述條件和問題，幫助理解題意。

b選擇算法和列式計算：這是解答應(yīng)用題的中心工作。從題目中告知

什么，要求什么著手，逐步依據(jù)所給的條件和問題，聯(lián)系四則運(yùn)算的

含義，分析數(shù)量關(guān)系，確定算法，進(jìn)行解答并標(biāo)明正確的單位名稱。

C檢驗：就是依據(jù)應(yīng)用題的條件和問題進(jìn)行檢查看所列算式和計算過

程是否正確，是否符合題意。假如發(fā)覺錯誤，立刻改正。

2復(fù)合應(yīng)用題

（1）有兩個或兩個以上的基本數(shù)量關(guān)系組成的，用兩步或兩步以上

運(yùn)算解答的應(yīng)用題，通常叫做復(fù)合應(yīng)用題。

（2）含有三個已知條件的兩步計算的應(yīng)用題。

求比兩個數(shù)的和多（少）幾個數(shù)的應(yīng)用題。

比較兩數(shù)差與倍數(shù)關(guān)系的應(yīng)用題。

（3）含有兩個已知條件的兩步計算的應(yīng)用題。

已知兩數(shù)相差多少（或倍數(shù)關(guān)系）與其中一個數(shù)，求兩個數(shù)的和（或

差）。

已知兩數(shù)之和與其中一個數(shù)，求兩個數(shù)相差多少（或倍數(shù)關(guān)系）。

（4）解答連乘連除應(yīng)用題。

（5）解答三步計算的應(yīng)用題。

(6)解答小數(shù)計算的應(yīng)用題：小數(shù)計算的加法、減法、乘法和除法

的應(yīng)用題，他們的數(shù)量關(guān)系、結(jié)構(gòu)、和解題方式都與正式應(yīng)用題基本

相同，只是在已知數(shù)或未知數(shù)中間含有小數(shù)。

d答案：依據(jù)計算的結(jié)果，先口答，逐步過渡到筆答。

(3)解答加法應(yīng)用題：

a求總數(shù)的應(yīng)用題：已知甲數(shù)是多少，乙數(shù)是多少，求甲乙兩數(shù)的和

是多少。

b求比一個數(shù)多幾的數(shù)應(yīng)用題：已知甲數(shù)是多少和乙數(shù)比甲數(shù)多多少,

求乙數(shù)是多少。

(4)解答減法應(yīng)用題：

a求剩余的應(yīng)用題：從已知數(shù)中去掉一部分，求剩下的部分。

-b求兩個數(shù)相差的多少的應(yīng)用題：已知甲乙兩數(shù)各是多少，求甲

數(shù)比乙數(shù)多多少，或乙數(shù)比甲數(shù)少多少。

c求比一個數(shù)少幾的數(shù)的應(yīng)用題：已知甲數(shù)是多少，，乙數(shù)比甲數(shù)少

多少，求乙數(shù)是多少。

(5)解答乘法應(yīng)用題：

a求相同加數(shù)和的應(yīng)用題：已知相同的加數(shù)和相同加數(shù)的個數(shù)，求總

數(shù)。

b求一個數(shù)的幾倍是多少的應(yīng)用題：已知一個數(shù)是多少，另一個數(shù)是

它的幾倍，求另一個數(shù)是多少。

(6)解答除法應(yīng)用題：

a把一個數(shù)平均分成幾份，求每一份是多少的應(yīng)用題：已知一個數(shù)和

把這個數(shù)平均分成幾份的，求每一份是多少。

b求一個數(shù)里包含幾個另一個數(shù)的應(yīng)用題：已知一個數(shù)和每份是多少,

求可以分成幾份。

c求一個數(shù)是另一個數(shù)的的幾倍的應(yīng)用題：已知甲數(shù)乙數(shù)各是多少，

求較大數(shù)是較小數(shù)的幾倍。

d已知一個數(shù)的幾倍是多少，求這個數(shù)的應(yīng)用題。

(7)常見的數(shù)量關(guān)系：

總價=單價X數(shù)量

路程=速度X時間

工作總量=工作時間X工效

總產(chǎn)量=單產(chǎn)量X數(shù)量

3典型應(yīng)用題

具有獨(dú)特的結(jié)構(gòu)特征的和特定的解題規(guī)律的復(fù)合應(yīng)用題，通常叫做典

型應(yīng)用題。

(1)平均數(shù)問題：平均數(shù)是等分除法的發(fā)展。

解題關(guān)鍵：在于確定總數(shù)量和與之相對應(yīng)的總份數(shù)。

算術(shù)平均數(shù)：已知幾個不相等的同類量和與之相對應(yīng)的份數(shù)，求平均

每份是多少。數(shù)量關(guān)系式：數(shù)量之和十?dāng)?shù)量的個數(shù)二算術(shù)平均數(shù)。

加權(quán)平均數(shù)：已知兩個以上若干份的平均數(shù)，求總平均數(shù)是多少。

數(shù)量關(guān)系式(部分平均數(shù)X權(quán)數(shù))的總和;(權(quán)數(shù)的和)=加權(quán)平均

數(shù)。

差額平均數(shù)：是把各個大于或小于標(biāo)準(zhǔn)數(shù)的部分之和被總份數(shù)均

分，求的是標(biāo)準(zhǔn)數(shù)與各數(shù)相差之和的平均數(shù)。

數(shù)量關(guān)系式：（大數(shù)一小數(shù)）十2二小數(shù)應(yīng)得數(shù)最大數(shù)與各數(shù)之差

的和十總份數(shù)=最大數(shù)應(yīng)給數(shù)最大數(shù)與個數(shù)之差的和十總份數(shù)

=最小數(shù)應(yīng)得數(shù)。

例：一輛汽車以每小時100千米的速度從甲地開往乙地，又以每小

時60千米的速度從乙地開往甲地。求這輛車的平均速度。

分析：求汽車的平均速度同樣可以利用公式。此題可以把甲地到乙地

的路程設(shè)為“1”，則汽車行駛的總路程為“2”，從甲地到乙地

的速度為100,所用的時間為，汽車從乙地到甲地速度為60千

米，所用的時間是，汽車共行的時間為+=,汽車的平均速

度為2:=75（千米）

（2）歸一問題：已知相互關(guān)聯(lián)的兩個量，其中一種量變更，另一種

量也隨之而變更，其變更的規(guī)律是相同的，這種問題稱之為歸一問題。

依據(jù)求“單一量”的步驟的多少，歸一問題可以分為一次歸一問題，

兩次歸一問題。

依據(jù)球癡單一量之后，解題采納乘法還是除法，歸一問題可以分為正

歸一問題，反歸一問題。

一次歸一問題，用一步運(yùn)算就能求出“單一量”的歸一問題。又稱“單

歸一?！?/p>

兩次歸一問題，用兩步運(yùn)算就能求出“單一量”的歸一問題。又稱“雙

歸一?！?/p>

正歸一問題：用等分除法求出“單一量”之后，再用乘法計算結(jié)果的

歸一問題。

反歸一問題：用等分除法求出“單一量”之后，再用除法計算結(jié)果的

歸一問題。

解題關(guān)鍵：從已知的一組對應(yīng)量中用等分除法求出一份的數(shù)量（單一

量），然后以它為標(biāo)準(zhǔn)，依據(jù)題目的要求算出結(jié)果。

數(shù)量關(guān)系式：單一量X份數(shù)二總數(shù)量（正歸一）

總數(shù)量;單一量二份數(shù)（反歸一）

例一個織布工人，在七月份織布4774米，照這樣計算，織布6930

米，須要多少天？

分析：必需先求出平均每天織布多少米，就是單一量。69304-（477

44-31）=45（天）

（3）歸總問題：是已知單位數(shù)量和計量單位數(shù)量的個數(shù)，以與不同

的單位數(shù)量（或單位數(shù)量的個數(shù)），通過求總數(shù)量求得單位數(shù)量的個

數(shù)（或單位數(shù)量）。

特點：兩種相關(guān)聯(lián)的量，其中一種量變更，另一種量也跟著變更，不

過變更的規(guī)律相反，和反比例算法彼此相通。

數(shù)量關(guān)系式：單位數(shù)量X單位個數(shù);另一個單位數(shù)量=另一個單位

數(shù)量單位數(shù)量X單位個數(shù);另一個單位數(shù)量=另一個單位

數(shù)量。

例修一條水渠，原安排每天修800米，6天修完。實際4天修

完，每天修了多少米？

分析：因為要求出每天修的長度，就必需先求出水渠的長度。所以也

把這類應(yīng)用題叫做“歸總問題”。不同之處是“歸一”先求出單一量,

再求總量，歸總問題是先求出總量，再求單一量。800X64-

4=1200（米）

4）和差問題：已知大小兩個數(shù)的和，以與他們的差，求這兩個數(shù)各

是多少的應(yīng)用題叫做和差問題。

解題關(guān)鍵：是把大小兩個數(shù)的和轉(zhuǎn)化成兩個大數(shù)的和（或兩個小數(shù)的

和），然后再求另一個數(shù)。

解題規(guī)律：（和+差）+2=大數(shù)大數(shù)一差二小數(shù)

（和一差）十2二小數(shù)和一小數(shù)二大數(shù)

例某加工廠甲班和乙班共有工人94人，因工作須要臨時從乙班調(diào)

46人到甲班工作，這時乙班比甲班人數(shù)少12人，求原來甲班和乙

班各有多少人？

分析：從乙班調(diào)46人到甲班，對于總數(shù)沒有變更，現(xiàn)在把乙數(shù)轉(zhuǎn)化

成2個乙班，即94—12,由此得到現(xiàn)在的乙班是（94-12）

4-2=41（人），乙班在調(diào)出46人之前應(yīng)當(dāng)為41+46=87（人），

甲班為94-87=7（人）

（5）和倍問題：已知兩個數(shù)的和與它們之間的倍數(shù)關(guān)系，求兩個數(shù)

各是多少的應(yīng)用題，叫做和倍問題。

解題關(guān)鍵：找準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)數(shù)（即1倍數(shù)）一般說來，題中說是“誰”的幾

倍，把誰就確定為標(biāo)準(zhǔn)數(shù)。求出倍數(shù)和之后，再求出標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)量是多

少。依據(jù)另一個數(shù)（也可能是幾個數(shù)）與標(biāo)準(zhǔn)數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，再去求

另一個數(shù)（或幾個數(shù)）的數(shù)量。

解題規(guī)律：和：倍數(shù)和二標(biāo)準(zhǔn)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)數(shù)X倍數(shù)=另一個數(shù)

例：汽車運(yùn)輸場有大小貨車H5輛，大貨車比小貨車的5倍多7

輛，運(yùn)輸場有大貨車和小汽車各有多少輛？

分析：大貨車比小貨車的5倍還多7輛，這7輛也在總數(shù)115輛

內(nèi)，為了使總數(shù)與（5+1）倍對應(yīng)，總車輛數(shù)應(yīng)（115-7）輛。

列式為（115-7）4-（5+1）=18（輛），18X5+7=97（輛）

（6）差倍問題：已知兩個數(shù)的差，與兩個數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，求兩個數(shù)

各是多少的應(yīng)用題。

解題規(guī)律：兩個數(shù)的差?（倍數(shù)一1）=標(biāo)準(zhǔn)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)數(shù)X倍數(shù);另

一個數(shù)。

例甲乙兩根繩子，甲繩長63米，乙繩長29米，兩根繩剪去同

樣的長度，結(jié)果甲所剩的長度是乙繩長的3倍，甲乙兩繩所剩長度

各多少米？各減去多少米？

分析：兩根繩子剪去相同的一段，長度差沒變，甲繩所剩的長度是乙

繩的3倍，實比乙繩多（3-1）倍，以乙繩的長度為標(biāo)準(zhǔn)數(shù)。列式

（63-29）4-（3-1）=17（米）…乙繩剩下的長度，17X3=51

（米）…甲繩剩下的長度，29-17=12（米）…剪去的長度。

（7）行程問題：關(guān)于走路、行車等問題，一般都是計算路程、時間、

速度，叫做行程問題。解答這類問題首先要搞清晰速度、時間、路程、

方向、杜速度和、速度差等概念，了解他們之間的關(guān)系，再依據(jù)這類

問題的規(guī)律解答。

解題關(guān)鍵與規(guī)律：

同時同地相背而行：路程=速度和X時間。

同時相向而行：相遇時間:速度和X時間

同時同向而行（速度慢的在前，快的在后）：追與時間;路程速度差。

同時同地同向而行（速度慢的在后，快的在前）：路程二速度差X時

間。

例甲在乙的后面28千米，兩人同時同向而行，甲每小時行16千

米，乙每小時行9千米，甲幾小時追上乙？

分析：甲每小時比乙多行（16-9）千米，也就是甲每小時可以追近

乙（16-9）千米，這是速度差。

已知甲在乙的后面28千米（追擊路程），28千米里包含著幾個

（16-9）千米，也就是追擊所須要的時間。列式28+（16-9）

=4（小時）

（8）流水問題：一般是探討船在“流水”中航行的問題。它是行程

問題中比較特別的一種類型，它也是一種和差問題。它的特點主要是

考慮水速在逆行和順行中的不同作用。

船速：船在靜水中航行的速度。

水速：水流淌的速度。

順?biāo)俣龋捍樍骱叫械乃俣取?/p>

逆水速度：船逆流航行的速度。

順?biāo)俣?水速

逆速二船速一水速

解題關(guān)鍵：因為順流速度是船速與水速的和，逆流速度是船速與水速

的差，所以流水問題當(dāng)作和差問題解答。解題時要以水流為線索。

解題規(guī)律：船行速度二（順?biāo)俣?逆流速度）;2

流水速度;（順流速度逆流速度）;2

路程=順流速度X順流航行所需時間

路程=逆流速度X逆流航行所需時間

例一只輪船從甲地開往乙地順?biāo)校啃r行28千米，到乙地

后，又逆水航行，回到甲地。逆水比順?biāo)嘈?小時，已知水速每

小時4千米。求甲乙兩地相距多少千米？

分析：此題必需先知道順?biāo)乃俣群晚標(biāo)氁臅r間，或者逆水速

度和逆水的時間。已知順?biāo)俣群退魉俣龋虼瞬浑y算出逆水的

速度，但順?biāo)玫臅r間，逆水所用的時間不知道，只知道順?biāo)饶?/p>

水少用2小時，抓住這一點，就可以就能算出順?biāo)畯募椎氐揭业氐?/p>

所用的時間，這樣就能算出甲乙兩地的路程。列式為284X2=20

（千米）20X2=40（千米）404-（4X2）=5（小時）

28X5=140（千米）。

（9）還原問題：已知某未知數(shù)，經(jīng)過肯定的四則運(yùn)算后所得的結(jié)果,

求這個未知數(shù)的應(yīng)用題，我們叫做還原問題。

解題關(guān)鍵：要弄清每一步變更與未知數(shù)的關(guān)系。

解題規(guī)律：從最終結(jié)果動身，采納與原題中相反的運(yùn)算（逆運(yùn)算）

方法，逐步推導(dǎo)出原數(shù)。

依據(jù)原題的運(yùn)算依次列出數(shù)量關(guān)系，然后采納逆運(yùn)算的方法計算推導(dǎo)

出原數(shù)。

解答還原問題時留意視察運(yùn)算的依次。若須要先算加減法，后算乘除

法時別遺忘寫括號。

例某小學(xué)三年級四個班共有學(xué)生168人，假如四班調(diào)3人到三班,

三班調(diào)6人到二班，二班調(diào)6人到一班，一班調(diào)2人到四班，則

四個班的人數(shù)相等，四個班原有學(xué)生多少人？

分析：當(dāng)四個班人數(shù)相等時，應(yīng)為168:4,以四班為例，它調(diào)給

三班3人，又從一班調(diào)入2人，所以四班原有的人數(shù)減去3再加

上2等于平均數(shù)。四班原有人數(shù)列式為168?4-2+3-43（人）

一班原有人數(shù)列式為168:4-6+2=38（人）；二班原有人數(shù)列式

為168+4-6+6=42（人）三班原有人數(shù)列式為1684-4-3+6=45

（人）。

10）植樹問題：這類應(yīng)用題是以“植樹”為內(nèi)容。凡是探討總路程、

株距、段數(shù)、棵樹四種數(shù)量關(guān)系的應(yīng)用題，叫做植樹問題。

解題關(guān)鍵：解答植樹問題首先要推斷地形，分清是否封閉圖形，從而

確定是沿線段植樹還是沿周長植樹，然后按基本公式進(jìn)行計算。

解題規(guī)律：沿線段植樹

棵樹二段數(shù)+1棵樹二總路程+株距+1

株距二總路程十（棵樹-1）總路程二株距X（棵樹-1）

沿周長植樹

棵樹二總路程十株距

株距二總路程十棵樹

總路程=株距X棵樹

例沿馬路一旁埋電線桿301根，每相鄰的兩根的間距是50米。

后來全部改裝，只埋了201根。求改裝后每相鄰兩根的間距。

分析：本題是沿線段埋電線桿，要把電線桿的根數(shù)減掉一。列式為50

X（301-1）4-（201-1）=75（米）

（11）盈虧問題：是在等分除法的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。他的特點是

把肯定數(shù)量的物品，平均安排給肯定數(shù)量的人，在兩次安排中，一次

有余，一次不足（或兩次都有余），或兩次都不足），已知所余和不

足的數(shù)量，求物品適量和參與安排人數(shù)的問題，叫做盈虧問題。

解題關(guān)鍵：盈虧問題的解法要點是先求兩次安排中安排者沒份所得物

品數(shù)量的差，再求兩次安排中各次共分物品的差（也稱總差額），用

前一個差去除后一個差，就得到安排者的數(shù)，進(jìn)而再求得物品數(shù)。

解題規(guī)律：總差額;每人差額二人數(shù)

總差額的求法可以分為以下四種狀況：

第一次多余，其次次不足，總差額:多余+不足

第一次正好，其次次多余或不足，總差額二多余或不足

第一次多余，其次次也多余，總差額:大多余-小多余

第一次不足，其次次也不足，總差額=大不足-小不足

例參與美術(shù)小組的同學(xué)，每個人分的相同的支數(shù)的色筆，假如小組

10人，則多25支,假如小組有12人,色筆多余5支。求每人分

得幾支？共有多少支色鉛筆？

分析：每個同學(xué)分到的色筆相等。這個活動小組有12人，比10人

多2人，而色筆多出了（25-5）=20支，2個人多出20支,

一個人分得10支。列式為（25-5）+（12-10）=10（支）10

X12+5=125（支）。

（12）年齡問題：將差為肯定值的兩個數(shù)作為題中的一個條件，這種

應(yīng)用題被稱為“年齡問題”。

解題關(guān)鍵：年齡問題與和差、和倍、差倍問題類似，主要特點是隨

著時間的變更，年歲不斷增長，但大小兩個不同年齡的差是不會變更

的，因此，年齡問題是一種“差不變”的問題，解題時，要擅長利用

差不變的特點。

例父親48歲，兒子21歲。問幾年前父親的年齡是兒子的4倍？

分析：父子的年齡差為48-21=27（歲）。由于幾年前父親年齡是兒

子的4倍，可知父子年齡的倍數(shù)差是（4-1）倍。這樣可以算出幾

年前父子的年齡，從而可以求出幾年前父親的年齡是兒子的4倍。

列式為：21（48-21）4-（4-1）=12（年）

（13）雞兔問題：已知“雞兔”的總頭數(shù)和總腿數(shù)。求“雞”和“兔”

各多少只的一類應(yīng)用題。通常稱為“雞兔問題”又稱雞兔同籠問題

解題關(guān)鍵：解答雞兔問題一般采納假設(shè)法，假設(shè)全是一種動物（如全

是“雞”或全是“兔”，然后依據(jù)出現(xiàn)的腿數(shù)差，可推算出某一種的

頭數(shù)。

解題規(guī)律：（總腿數(shù)一雞腿數(shù)X總頭數(shù)）十一只雞兔腿數(shù)的差二兔子

只數(shù)

兔子只數(shù)二（總腿數(shù)-2X總頭數(shù)）:2

假如假設(shè)全是兔子，可以有下面的式子：

雞的只數(shù)=（4X總頭數(shù)-總腿數(shù)）+2

兔的頭數(shù)二總頭數(shù)-雞的只數(shù)

例雞兔同籠共50個頭，170條腿。問雞兔各有多少只？

兔子只數(shù)（170-2X50）4-2=35（只）

雞的只數(shù)50-35=15（只）

（二）分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用

1分?jǐn)?shù)加減法應(yīng)用題：

分?jǐn)?shù)加減法的應(yīng)用題與整數(shù)加減法的應(yīng)用題的結(jié)構(gòu)、數(shù)量關(guān)系和解題

方法基本相同，所不同的只是在已知數(shù)或未知數(shù)中含有分?jǐn)?shù)。

2分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題：

是指已知一個數(shù)，求它的幾分之幾是多少的應(yīng)用題。

特征：已知單位“1”的量和分率，求與分率所對應(yīng)的實際數(shù)量。

解題關(guān)鍵：精確推斷單位“1”的量。找準(zhǔn)要求問題所對應(yīng)的分率，

然后依據(jù)一個數(shù)乘分?jǐn)?shù)的意義正確列式。

3分?jǐn)?shù)除法應(yīng)用題：

求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾（或百分之幾）是多少。

特征：已知一個數(shù)和另一個數(shù)，求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾或百

分之幾?！耙粋€數(shù)”是比較量，“另一個數(shù)”是標(biāo)準(zhǔn)量。求分率或百

分率，也就是求他們的倍數(shù)關(guān)系。

解題關(guān)鍵:從問題入手，搞清把誰看作標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)也就是把誰看作了“單

位一”，誰和單位一的量作比較，誰就作被除數(shù)。

甲是乙的幾分之幾（百分之幾）：甲是比較量，乙是標(biāo)準(zhǔn)量，用甲除

以乙。

甲比乙多（或少）幾分之幾（百分之幾）：甲減乙比乙多（或少幾分

之幾）或（百分之幾）。關(guān)系式（甲數(shù)減乙數(shù)）/乙數(shù)或（甲數(shù)減乙

數(shù)）/甲數(shù)。

已知一個數(shù)的幾分之幾（或百分之幾），求這個數(shù)。

特征：已知一個實際數(shù)量和它相對應(yīng)的分率，求單位“1”的量。

解題關(guān)鍵：精確推斷單位“1”的量把單位“1”的量看成X依據(jù)分?jǐn)?shù)

乘法的意義列方程，或者依據(jù)分?jǐn)?shù)除法的意義列算式，但必需找準(zhǔn)和

分率相對應(yīng)的已知實際

數(shù)量。

4出勤率

發(fā)芽率二發(fā)芽種子數(shù)/試驗種子數(shù)X100%

小麥的出粉率=面粉的重量/小麥的重量X100%

產(chǎn)品的合格率;合格的產(chǎn)品數(shù)/產(chǎn)品總數(shù)X100%

職工的出勤率=實際出勤人數(shù)/應(yīng)出勤人數(shù)X100%

5工程問題：

是分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的特例，它與整數(shù)的工作問題有著親密的聯(lián)系。它是探

討工作總量、工作效率和工作時間三個數(shù)量之間相互關(guān)系的一種應(yīng)用

題。

解題關(guān)鍵：把工作總量看作單位“1”，工作效率就是工作時間的倒

數(shù)，然