2023-2024學年七年級數學下冊舉一反三系列專題51 平行線的判定【九大題型】（舉一反三）（人教版）含解析

2023.2024學年七年級數學下冊舉一反三系列專題5.1平行線的判定

【九大題型】

【人教版】

【題型?對頂角的識別及其性質】...............................................................1

【題型2平行、垂直】..........................................................................2

【題型3平行公理及其推論】...................................................................4

【題型4同位角相等，兩直線平行】.............................................................5

【題型5內錯角相等，兩直線平行】.............................................................6

【題型6同旁內角互補，兩直線平行】............................................................7

【題型7平行線的判定方法的綜合運用】.........................................................8

【題型8角平分線與平行線的判定綜合運用】.....................................................9

【題型9平行線判定的實際應用】..............................................................11

”片聲一定三

【題型1對頂角的識別及其性質】

【例1】（2022?內蒙古呼倫貝爾?七年級期中）下列各圖中，因1與團2是對頂角的是（）

【變式1-1］（2022?廣東?揭西縣陽夏華僑中學七年級期末）已知：如圖，直線A3、C。相交于點O,OE平

分（MOC,團EOC呼CO&

E

OB

D

⑴圖中的對頂角有對，它們是.

⑵圖中互補的角有對，它們是.

（3）求（3E。。的度數.

【變式1-2］（2021?山東?濟南市鋼城區(qū)實驗學校期末）如圖，直線A8,CO相交于點O,0E1CD,。尸平

分/4。0,若24。。=50。.求NE0F的度數.

【變式1-3］（2022?遼宇?鞍山市第二中學七年級階段練習）直線AB,CC相交于點。，0E平分iBOD,。廣平

分乙COE.

（1）若440C=76°,/-BOF=度.

⑵若乙8。尸=36°,“0C的度數是多少？

【題型2平行、垂直】

【例2】（2022?福建JI門雙十中學海滄附屬學校七年級期末）如圖，點A在直線//上，點氏C在直線/2

上，」酗2,A皿AB=4fBC=3,則下列說法正確的是（)

BC

A.點A到直線/2的距離等于4

B.點C到直線//的距離等于4

C.點C到48的距離等于4

D.點B到AC的距離等于3

【變式2-1］（2022?廣西?欽州市第四中學七年級階段練習）下列說法正確的是（）

A.在同一平面內，a,b,c是直線,且a||b,b||c,則allc

B.在同一平面內，Q,b,c是直線，且Q_L力，b1c,則QJ_c

C.在同一平面內，a,b,c是直線，且a||b,b_Lc,則a||c

D.在同一平面內，a,b,c是直線，且，all仇匕|憶則a_Lc

【變式2?2】（2022?吉林?公主嶺疔陶家中學七年級階段練習）如圖，因為BC上I,B為垂足，所以

4B和BC重合，其理由是（）

A

C

----------------------7

B

A.兩點確定一條直線

B.在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直

C.垂直同一條直線的兩條直線平行

D.垂線段最短

【變式2-3］（2022?江蘇?九年級）如圖，點4、點8是直線/上兩點，4B=10,點M在直線/外，MB=6,

M4=8,MMB=90。，若點P為直線/上一動點，連接MP,則線段MP的最小值是.

【知識點平行線的判定】

1.平行公理及其推論

①經過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行.

②如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.

2.平行線的判定方法

①兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.（同位角相等，兩直線平行）.

②兩條直線被第三條直線所截，如果內錯角相等，那么這兩條直線平行.（內錯角相等，兩直線平行.

③兩直線被第三條直線所截,如果同旁內角互補,則這兩條直線平行.（同旁內角互補,兩直線平行.）

【題型3平行公理及其推論】

【例3】（2022?江西上饒?七年級期中）同一平面內的四條直線若滿足。_1仇81c,cld,則下列式子成

立的是（）

A.a\\dB.bldC.aidD.b\\c

【變式3-1］（2022?河南?漂河?七年級期末）如圖，工人師傅用角尺畫出工件邊緣48的垂線。和b,得到013

A.連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短

B.在同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行

C.在同一平面內，過一點有一條而且僅有一條直線垂直于已知直線

D.經過直線外一點，有且只有一條直線與這條宜線平行

【變式3-2］（2022?湖北武漢?七年級期中）下列命題：①內錯角相等；②兩個銳角的和是鈍角；③a,b,

c是同一平面內的三條直線，若a//b,b//c,則a//c\@a,b,c是同一平面內的三條直線，若alb,

blc,則a_Lc；其中真命題的個數是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【變式3-3］（2022?四川?甘孜藏族自治州教育局七年級期末）如圖，ABWCD,如果乙1=乙2,那么E尸與

力8平行嗎？說說你的理由.解：因為乙1=乙2,

所以II.（）

又因為A8IICD,

所以4BIIE了.)

DC

【題型4同位角相等，兩直線平行】

【例4】(2022?甘肅?隴南育才學校七年級期末期口圖,AB1MN,垂足為B,CD1MN,垂足為D,Z1=Z2.在

下面括號中填上理由.

因為AB1MN,CD1MN,

所以N/BM=NCDM=90。.

乂因為41=42(),

所以々ABM-zl=zCDM-Z2(),

^Z.EBM=Z.FDM.

所以E8||F0()

【變式4.1】(2022?湖北?新春縣向橋鄉(xiāng)白水中學七年級階段練習)如圖，過直線外一點畫已知直線的平行

線的方法叫"推平行線”法，其依據是.

【變式4-2](2022?山東泰安?七年級期末)如圖，AB1BC,41+42=90。，42=乙3.請說明線段8E與

。”的位置關系？為什么？

【變式4-3］（2022?北京東城?七色級期末）如圖，直線］與直線48,G）分別交于點E,F,乙1是它的補角的

3倍，zl-Z2=90°.判斷力B與CD的位置關系，并說明理由.

【題型5內錯角相等，兩直線平行】

【例5】（2022?山東?曲阜九巨龍學校七年級階段練習）如圖，點A在直線OE上，A龐L4C于A,既與團。互

余，OE和8c平行嗎？若平行，請說明理由.

【變式5-1］（2022?北京市房山區(qū)燕山教委八年級期中）如圖，已知乙1二75。，42=35。，Z3=40°,求證:

【變式5-2］（2022?福建?莆田第二十五中學八年級階段練習）如圖，。尸是△48。外角44cM的平分線,

44cB=40。，匕4=70。，求證：ABWCF.

A

【變式5-3]（2022?遼寧?阜新市第十中學七年級期中）如圖，A13WDE,01=（MCB,^CAB^BAD,試說明

ADWBC.

【題型6同旁內角互補，兩直線平行】

【例6】（2022?河北衡水?七年級階段練習）已知：z_A=/.C=120°,^AEF=/.CEF=60°,求證：ABWCD.

BA

F，七

DC

【變式6-1]（2022?西藏昂仁縣中學七年級期中）如圖，0CA/9=2O°,團8=70。，求證：AD\\BC.

【變式6-2]（2022?甘肅?平涼市第七中學七年級期中）如圖,11=30°,-B=60°,ABIAC.

（1）N04B+N8等于多少度？

（2）八D與BC平行嗎？請說明理由.

【變式6-3]（2022?北京市第五中學分校七年級期末）如圖，已知點七在/3C上，BD^AC,E/^AC,垂足分

別為。，F,點M,G在A5上，GF交BD于點、H,回創(chuàng)〃>+財4c=180。，01=02,求證：MD\GF.

A

下面是小穎同學的思考過程，請補全證明過程并在括號內填上證明依據.

證明：0BZM4C,Ef^AC,

團團8QC=90°,0EFC=90°（①）.

WDC=^EFC（等量代換）.

配DUE/（同位角相等，兩直線平行）.

002=@CZ?D（②）.

001=02（已知）.

m=^CBD（等量代換）.

回③—（內錯角相等，兩直線平行）.

00^WD+0ABC=18O°（已知），

團MDIIBC（④）.

^MDWGF（⑤）.

【題型7平行線的判定方法的綜合運用】

【例7】（2022?廣西賀州?七年級國末）如圖，有下列條件：①，1=42；（2）Z34-Z4=180°；@Z5+Z6=

180°；④乙2=，3.其中，能判斷直線allb的有（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

【變式7-1］（2022?浙江臺州?七年級期末）在鋪設鐵軌時，兩條直軌必須是互相平行的，如圖，已經知道42

是直角，那么再度量圖中已標出的哪個角，不用判斷兩條直軌是否平行（）

鐵軌

枕木

A.Z1B.Z3C.Z4D.Z5

【變式7?2】（2022?山西臨汾?七年級期末）在下列圖形中,已婦乙1=42,一定能推導出匕II%的是（）

【變式7-3】（2022?山東日照?七年級期末）如圖，在下列給出的條件中，不能判定DEIIBC的是（）

A.Z.1=Z.2B.Z.3=Z4C.z.5=Z.CD.乙B+乙BDE=180°

【題型8角平分線與平行線的判定綜合運用】

【例8】（2022?吉林?大安市樂勝鄉(xiāng)中學校七年級階段練習）如圖，在四邊形48C。中，〃DC+乙4"=180°,

Z.ADF+Z.AFD=90",點、E、尸分另lj在OC、A8上，KBE.。尸分另lj平分IM8C、E3AOC,歲lj斷/￡、。尸是

否平行，并說明理由.

AB

【變式8-1］（2022?江蘇?揚州市邪江區(qū)實驗學校七年級期末）將下列證明過程補充完整:

已知：如圖，點E在A3上,且CE平分IMCO,回1=團2.求證：ABWCD.

證明：田CE平分財C。（已知），

002=0（）.

（2101=02（已知）,

0（211=0（）.

^ABWCD（）.

【變式8-2］（2022?遼寧沈陽?七年級期末）按邏輯填寫步驟和理由，將下面的證明過程補充完整

如圖，直線MN分別與直線AC、DG交于點B、F,>01=02.幽8尸的角平分線BE交直線DG于點E,⑦BFG

的角平分線R7交直線AC于點C.

求證:BE||CF.

證明：001=02（已知）

EL4/?F=01（對頂角相等）

團BFGF2（）

酶A3F=（等量代換）

團BE平分財8尸（已知）

^EBF=-（）

2---------------------------------------------------

團尸。平分田BrG（已知）

團匕CFB=-（）

2--------------------

00EBF=

gBEIICF（）

【變式8-3］（2022?內蒙古?扎贊特旗音德爾第三中學七年級期末）如圖，點G在C。上，已知zB4G+匕/lGD=

180u,區(qū)4平分N8AG,"G平分4AGC.請說明AX||GP.的理由.

解：因為/BAG+LAGD=180°（已知），

Z.AGC+^AGD=180°（）,

所以的G=^AGC（）.

因為E4平分

所以N1=\z-BAG{）.

因為FG平分乙4GC,

所以△2=：,

得，1=42（等量代換），

所以（）.

【題型9平行線判定的實際應用】

【例9】（2022?全國?七年級課時練習）如圖，若將木條〃繞點。旋轉后使其與木條〃平行，則旋轉的最小

角度為（）

O150°

65°

b

A.65°B.85°C.95°D.115°

【變式9-1］（2022?河南?鄭州外國語學校經開校區(qū)七年級階段練習）如圖所示的四種沿A5進行折疊的方法

中，不一定能判斷紙帶兩條邊人互相平行的是（）

圖1

A.如圖1,展開后測得團1=團2B.如圖2,展開后測得131=132且133=04

C.如圖3,測得團1=團2D.在圖4中，展開后測得團1+團2=180。

【變式9-2］（2022?全國?七年級）一輛汽車在廣闊的草原上行駛，兩次拐彎后，行駛的方向與原來的方向

相同，那么這兩次拐彎的角度可能是（）

A.第一次向右拐40。,第二次向右拐140。.

B.第一次向右拐40。，第二次向左拐40。.

C.第一次向左拐40。，第二次向右拐140。.

D.第一次向右拐140。，第二次向左拐40。.

【變式9-3］（2022?江蘇?南京外國語學校七年級期中）如圖，n、b、c三根木棒釘在一起,41=70°,Z2=100°,

現將木棒〃、〃同時順時針旋轉一冏，速度分別為18度/秒和3度/秒，兩根木棒都停止時運動結束，則

秒后木棒。，b平行.

2

1

專題5.1平行線的判定【九大題型】

【人教版】

【題型?對頂角的識別及其性質】...............................................................1

【題型2平行、垂直】..........................................................................2

【題型3平行公理及其推論】..................................................................20

【題型4同位角相等，兩直線平行】............................................................23

【題型5內錯角相等，兩直線平行】............................................................25

【題型6同旁內角互補，兩直線平行】..........................................................28

【題型7平行線的判定方法的綜合運用】........................................................31

【題型8角平分線與平行線的判定綜合運用】....................................................34

【題型9平行線判定的實際應用】..............................................................38

”勿注T三

【題型1對頂角的識別及其性質】

【例1】（2022?內蒙古呼倫貝爾?七年級期中）下列各圖中，回1與回2是對頂角的是（）

【答案】C

【分析】根據對頂角的概念逐一判斷即可.

【詳解】解：A、陽與膛的頂點不相同，故不是對頂角，此選項不符合題意;

B、團1與吃的一邊不是反向延長線，故不是對頂角，此選項不符合題意；

C、團1與團2是對頂角，故此選項符合題意；

D、01與02的一邊不是反向延長線，故不是對頂角，此選項不符合題意.

故選：c.

【點睛】本題考查的是對頂角的判斷，有一個公共頂點，并且一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向

延長線，具有這種位置關系的兩個角，互為對頂角,解題關鍵是熟練掌握定義，正確判斷.

【變式1-1］（2022?廣東?揭西縣陽夏華僑中學七年級期末）已知：如圖，直線48、CO相交于點。，0E平

分MOC,^EOC=^COB.

⑴圖中的對頂角有對，它們是.

（2）圖中互補的角有對，它們是.

⑶求I3E。。的度數.

【答案】（1）兩；財。。和（38。。，（38OC和也4。。

（2）八；團40c和團BOC,財。。和M0。，團B0。和0400,團80。和回BOC,0A0石和團80E,團EOC和回E0。,

（3E0C和團石08,M0E和團EOO

⑶140°

【分析】（1）根據對頂角的定義，判斷即可；

（2）根據補角的定義進行判斷即可；

（3）根據。￡平分同4OC,得出自EOC=0AOE,設回BOC=x,^EOC=^AOE=-xf列出關于工的方程，解

方程即可得出（3B0C的度數，再求出ODOE的度數，即可得出結杲.

（1）

解：圖中的對頂角有：MOC和團BOO,0/OC和（MOO.

故答案為：兩；0AOC和團BOO,團80c和西OO.

（2）

圖中互補的角有：園4。。和團30C,團40。和財0。，回80。和財0。，團80。和團30C,團40E和gBOE,^EOC

和住EOD,

團。E平分團40C,

配L4。氏13C0E,

^OE+^BOE=18Q°,

團團CO￡+08OE=18O°,

釀EOC和團EO8互補，

釀COE+0EOO=18O°,

(30AOE+{3EOD=18O°,

團財OE和(3EOD互補.

故答案為：八；財。C和國8OC,朋OC和MO力，團80。和財O。，回BOD和團80C,血4OE和(3B0E,0EOC

和田EO。，(3EOC和mE08,0AOE和團EOO.

(3)

團0E平分(M0C,

團團EOC=(HAO￡,

設R80C=x,則回EOC=MOE="由平角定義得，

7X+TX+X=180°,

53

解得：x=100°

^EOC=^AOE=-(180°-100°)=40°,

2

國國。OE=100o+40°=140°,

答：回￡0。的度數為140。.

【點睛】本題主要考查了對頂角的定義、補角的定義、角平分線的定義，熟練掌握相關定義，根據題意求

出B8OC的度數，是解題的關鍵.

【變式1-2](2021?山東?濟南市釗城區(qū)實驗學校期末)如圖，直線A8,CO相交于點。，0EKD,。/平

分，4。。，若4力。0=50°.求Z_E。尸的度數.

【答案】65°

【分析】根據角平分線的定義可得團尸。歷團40尸=地。。=25。，根據垂線的性質可得同E。。=90。，再進行解答

即可.

【詳解】解：團0洋平分囪4。。=50°,

團團尸0。=財0尸=翅0。=25°,

回OE0C。，

00EOD=9O%

00EOF=0EOD-ara/>9Oo-25o=65o.

【點睛】本題主要考查了垂線的性質和角平分線的定義，熟練掌握相關的性質是解答本題的關鍵.

【變式1-3](2022?遼寧?鞍山市第二中學七年級階段練習)直線48,CO相交于點。，0E平分乙BOD,。尸平

分“0E.

(1)若4力。。=76。，Z-BOF=度.

(2)若乙8。5=36。，乙力。。的度數是多少？

【答案】⑴33

⑵兇OC的度數是72°

【分析】(1)根據對頂角、鄰補用、角平分線的定義，求出團E。尸和(3EO8的度數，再根據角的和差即可得

(38OF的度數；

(2)根據對頂角、鄰補角、角平分線的定義，先用mBOE的等式表示財0c，再根據角分線的定義，列出等

式即可求得結果.

(1)

???Z.AOC=76°,

乙BOD=Z-AOC=76°,

???0E平分48。。，

/BOE=LD0E=38°,

VZ.COE+Z-DOE=180°,

???乙COE=180°-乙DOE=142°,

???OF平分“OE,

???/.EOF=乙COF=71°,

???Z.BOF+乙BOE=乙EOF,

Z.BOF=乙EOF-乙BOE

=71°-38°

=33°

故答案為：33；

（2）

設乙4OC=x0,

乙BOD=/LAOC=x°,

???OE平分乙BOD,

???/BOE=zDOF=-x°,

2

vZ.COE+Z.DOE=180°,

Z.COE=180°-乙DOE=180°--x°,

2

???0戶平分”O(jiān)E.

:"EOF="OF=1（180°-1xo）°,

vLBOV+乙BOE=乙EOF,乙BOF=36°

:.36。+#=：（180。一2。，

x=72°.

【點睛】本題考查了對頂角、鄰補角、角平分線的定義，解題關鍵是觀察圖形分清楚哪兩個角相等，哪些

角相加得180度.

【題型2平行、垂直】

【例2】（2022?福建?廈門雙十中學海滄附屬學校七年級期末）加圖，點A在直線//上，點從C在直線/2

上，A施伉ACW/八A8=4,BC=3,則下列說法正確的是（）

A1\

BC12

A.點A到直線/2的距離等于4

B.點C到直線//的距離等于4

C.點C.到AA的距離等于4

D.點8到AC的距離等于3

【答案】A

【分析】根據點到直線的距離的定義：直線外一點到這條直線的垂線段的長度，即可得到答案.

【詳解】解：點A到直線匕的距離為48的長，等于4,故A正確；

點C到直線〃的距離為4c的長，大于4,故B錯誤；

點C到A8的距高為8c的長，等于3,故C錯誤；

同理，點8到AC的距離也不是3,故D錯誤，

故選：A

【點睛】本題考查點到直線的距離，掌握定義是解題的關鍵.

【變式2-1］（2022?廣西?欽州市第四中學七年級階段練習）下列說法正確的是（）

A.在同一平面內，a,b,c是直線,且a||b,b||c,則a||c

B.在同一平面內，Q,b,c是直線，且a1匕，b1c,則a_Lc

C.在同一平面內,a,b,c是直線，且a||b,bJLc,則a||c

D.在同一平面內，a,b,c是直線，且，all-b||c則a1c

【答案】A

【分析】根據平行線的性質分析判斷即可.

【詳解】A.在同一平面內，a,/?,c是直線，且a||b,b||c,則a||c,故選項正確，符合題意.

B.在同一平面內，a,b,c是直線，且a_L匕，b1c,則?！?故選項錯誤，不符合題意.

C.在同一平面內，a,b,c是直線，且a||b,b_Lc,則a_Lc,故選項錯誤，不符合題意.

D.在同一平面內，a,b,c是直線，且，。怙*|憶則0〃的故選項錯誤，不符合題意.

故選:A.

【點睛】本題主要考查了平行線的性質，準確分析判斷是解題的關鍵.

【變式2-2］（2022?吉林?公土嶺；陶家中學七年級階段練習）如圖，因為4311,BC工1,B為垂足，所以

和BC重合，其理由是（）

A

C

-----------=>----------/

B

A.兩點確定一條直線

B.在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直

C.垂直同一條直線的兩條直線平行

D.垂線段最短

【答案】B

【分析】利用“平面內，經過一點有且只有一條直線與已知直線垂直〃，逐一分析，排除錯誤答案即可.

【詳解】解：A.點A、C可以確定一條直線，但不可以確定三點B、A、C都在直線/的垂線上，故本選項錯

誤；

B.直線84、8c都經過一個點B,且都垂直于直線/,故本選項正確；

C.在同一平面內，經過一點有且只有一條直線與已知宜線垂直，故本選項錯誤；

D.此題沒涉及到線段的長度，故本選項錯誤；

故選:B.

【點睛】本題考查了垂直的定義、兩點確定?條直線、垂線段最短，熟練掌握和運用各定義和性質是解決

本題的關鍵.

【變式2-3］（2022?江蘇?九年級）如圖，點4、點8是直線/上兩點，4B=10,點M在直線/外，MB=6,

M4=8,MMB=90。，若點P為直線/上一動點，連接MP,則線段MP的最小值是.

【答案】4.8

【分析】根據垂線段最短可知：當M限48時，有最小值，利用三角形的面積可列式計算求解的最

小值.

【詳解】解：當MPaAB時，MP有最小值，

BAB=10,MB=6,MA=8,^AMB=9Q°,

0A8?MP=AM?8M,

即10A/P=6x8,

解得M尸=4.8.

故答案為：4.8.

【點睛】本題主要考查垂線段最短，三角形的面積，找到MP最小時的2點位置是解題的關鍵.

【知識點平行線的判定】

1.平行公理及其推論

①經過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行.

②如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.

2.平行線的判定方法

①兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.（同位角相等，兩直線平行）.

②兩條直線被第三條直線所截，如果內錯角相等，那么這兩條直線平行.（內錯角相等，兩直線平行.

③兩直線被第三條直線所截，如果同旁內角互補，則這兩條直線平行.（同旁內角互補，兩直線平行.）

【題型3平行公理及其推論】

【例3】（2022?江西上饒?七年級期中）同一平面內的四條直線若滿足a_Lb,blc,cld,則下列式子成

立的是（）

A.a\\dB.bldC.aidD.b\\c

【答案】C

【分析】根據同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線平行，可證allc,再結合cld,可證aid.

【詳解】解：Q1b,b1c,

0a||c,

0c1d,

0a1d,

故選:C.

【點睛】本題主要考查了平行線及垂線的性質，解題的關鍵是掌握同一平面內，垂直于同一條直線的兩條

直線平行.

【變式3?1】（2022?河南漂河?七年級期末）如圖,工人師傅用角尺畫出工件邊緣A8的垂線。和b,得到a||3

理由是（）

A.連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短

B.在同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行

C.在同一平面內，過一點有一條而且僅有一條直線垂直于已知直線

D.經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行

【答案】B

【分析】三條直線A8、a、6位于同?平面內，且直線。與直線人都垂直于AB,即可根據在同?平面內，

垂直于同一條直線的兩條直線互相平行的性質來判斷出可〃.

【詳解】圖直線A8、。、〃位于同一平面內，且ABB。、AB^b

加怙（同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行）

故答案為B.

【點睛】本題考查了平行線判定的性質，根據已知題目反應出兩條直線是同一平面內，且同時垂宜于一條

直線是本題的關鍵.

【變式3-2］（2022?湖北武漢?七年級期中）下列命題：①內錯角相等；②兩個銳角的和是鈍角：③〃，b,

c是同一平面內的三條直線，若d/b,b//c,則a//c；④。，b,c是同一平面內的三條直線，若a工b,

blc,則〃_1_。；其中真命題的個數是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】A

【分析】根據平行線性質可判斷①，根據兩銳角的大小求和可判斷②，根據平行公理推論可判斷③，根

據垂直定義得出團1=團2=90。，然后利用同位角相等，兩直線平行的判定可判斷④.

【詳解】解：①兩直線平行，內錯角相等，故①不正確；

②兩個銳角的和可以是銳角，直角，鈍角，故②不正確；

③a,b,。是同一平面內的三條直線，若加力，b//c,則a〃c,故③正確；

④a,b,c是同一平面內的三條直線，如圖

^aLb,bA.c,

001=90°,02=90°,

001=02

0c,故④不正確；

回真命題只有1個.

故選A

【點睛】本題考查平行線的性質與判定，兩銳角和的大小，掌握平行線的性質與判定，銳角定義是解題關

鍵.

【變式3-3］（2022?四川?甘孜藏族自治州教育局七年級期末）如圖，ABWCD,如果乙1=匕2,那么E尸與

平行嗎？說說你的理由.解：因為乙1=/2,

所以II.（）

又因為4例|。。,

所以4BIIEF.（）

【答案】CDIIE/;內錯角相等，兩直線平行；平行于同一直線的兩條直線平行

【分析】根據平行線的判定定理完成填空即可求解.

【詳解】解：因為41=匕2,

所以CQIIE尸.（內錯角相等，兩直線平行）

又因為力例ICD,

所以力BIIEF.（平行于同一直線的兩條直線平行）

【點睛】本題考查了平行線的判定，平行公理，掌握平行線的判定定理是解題的關鍵.

【題型4同位角相等，兩直線平行】

[例4]（2022?甘肅?隴南育才學校七年級期末）如圖，AB1MN,垂足為B,CD1MN,垂足為。,Z1=Z2.在

下面括號中填上理由.

因為481MN,CD1MN,

所以448M="DM=90°.

又因為匕1=乙2（）,

所以4ABM-=-Z2（）,

^LEBM=Z.FDM.

所以E8||FD（）

【答案】已知等量減等量，差相等同位角相等，兩直線平行

【分析】根據垂線的定義，得出NABM=2COM=90。，再根據集的等量關系，得出乙EBM=4FDM,然后再

根據同位角相等，兩直線平行，得出mD,最后根據解題過程的理由填寫即可.

【詳解】因為AB1MN,CD1MN,

所以乙48M=iCDM=90°.

又因為/1=42（已知），

所以N48M-41=NCDM—42（等量減等量，差相等），

即

所以尸O（同位角相等，兩直線平行）.

【點睛】本題考查了垂線的定義、平行線的判定，解本題的關鍵在熟練掌握平行線的判定定理.

【變式4-1]（2022?湖北?靳春縣向橋鄉(xiāng)白水中學七年級階段練習）如圖，過直線外一點畫已知直線的平行

線的方法叫"推平行線”法，其依據是.

【答案】同位角相等，兩直線平行

【分析】作圖時保持131=（32,根據同位角相等，兩直線平行即可畫出已知直線的平行線.

【洋解】解：過直線外一點畫已知直線的平行線的方法叫“推平行線'‘法，其依據是：同位角相等，兩直線平

行.

故答案為：同位角相等，兩直線平行.

【點睛】本題主要考查了平行線的判定和性質，平行公理，解決本題的關鍵是掌握平行線的判定和性質.

【變式4-2］（2022?山東泰安?七年級期末）如圖，ABIBC,Zl+Z.2=90%42=43.請說明線段8E與

。產的位置關系？為什么？

【答案】NEH力兄見解析

【分析】由已知推出圉3+回4=90°,利用乙1+/2=90°,Z.2=Z3,得到囹1=回4,即可得到結論班||。兄

【詳解】解:BEWDF,

胤4B1BC,

蚓8c=90°,

003+04=90°,

0Z1+Z2=90°,ZZ=Z3,

SBEHDF.

【點睛】此題考查了平行線的判定定理，熟記平行線的判定定理并熟練應用是解題的關鍵.

【變式4-3］（2022?北京東城?七色級期末）如圖，直線2與直線4B,CD分別交于點E,F,乙1是它的補角的

3倍，41—22=90。.判斷AB與CD的位置關系，并說明理由.

【答案】力AIIC〃；理由見解析

【分析】先根據補角的定義求出N1的度數，然后求出回CFE和吃的度數，最后根據平行線的判定進行解答

即可.

【詳解】解：AB||CD；理由如下:

團乙1是它的補角的3倍，

團設乙1=訪則乙1的補角為“，

團a+：a=180°,

解得：a=135%

0Z1=135°,

0ZCFE=180°-zl=45°,

azl-Z2=90°,

團42=-90。=45。，

0Z2=乙CFE=45°,

團力BIICD.

【點睛】本題主要考查了補角的有關計算，平行線的判定，根據題意求出42=ZC/E=45。，是解題的關鍵.

【題型5內錯角相等，兩直線平行】

【例5】（2022?山東?曲阜九巨龍學校七年級階段練習）如圖，點A在直線。七上，于A,（31與（3C互

余，力石和平行嗎？若平行，請說明理由.

【分析】由垂吏定義可得（35AC=90°,根據平角定義得O1+E1BAC+團CAE=180。，即可得出吼+0CAE=90。，由（31

與叵C互余，根據余角的性質即可得出I3C4氏團C,根據平行線的判定定理即可得出結論.

【詳解】解：平行，理由如下：

^AB^AC,

00MC=9O°,

001+05AC+0CAE=18O°,

001+0C/1E=9OO,

（3陽與（3C互余，即團l+@C=90°,

00CAE=0C,

0DEHBC.

【點睛】本題考查平行線的判定，余角的性質，熟練掌握平行線的判定定理是解題的關鍵.

【變式5-1］（2022?北京市房山區(qū)燕山教委八年級期中）如圖，已知41=75。，Z2=35°,/=40°,求證:

a\\b.

【答案】見解析

【分析】先根據三角形內角和性質，求得乙4=75。，再根據乙1=75。，即可得到乙1=24,進而判定allb.

【詳解】證明：如下圖：

vZ4=Z.3+Z.2=75°,

又???N1=75°,

???zl=Z.4,

：,a\\b.

【點睛】本題主要考查了平行線的判定以及三角形內角和性質，解題時注意：內錯角相等，兩直線平行.

【變式5-2]（2022?福建?莆田第二十五中學八年級階段練習）如圖，C尸是8c外角乙4cM的平分線，

匕4。8=40°,z/l=70o,求證：ABWCF.

【答案】證明見解析

【分析】由角平分線的定義及補角的定義可求得44CE的度數，即可得=進而可證明結論.

【詳解】證明:EUACB=40°,

0Z4CM=18O0-4OO=14O°,

團C》是△ABC夕卜角乙4cM的平分線，

團NX44CM=70。，

（34=70。，

^A=z.ACF=70°t

^ABWCF.

【點睛】本題主要考查角平分線的定義、三角形外角的性質和平行線的判定，證得44=4力。/是解題的關鍵.

【變式5-3]（2022?遼寧?阜新市第十中學七年級期中）如I圖，ABWDE,團1=0AC8,（3C人成扣BW,試說明

【分析】根據平行線的性質得團84C=（31,等量代換得mACB/BAC,根據乙。48可得MCB/OAC,

即可得.

【詳解】證明：財團IDE,

釀8AoeII,

001=0ACB,

^ACB=^BAC,

0ZC/1F乙BA。，

00ACS=0DAC,

（34DII8C.

【點睛】本題考查了平行線的判定與性質，解題的關鍵是掌握平行線的判定與性質.

【題型6同旁內角互補，兩直線平行】

【例6】（2022?河北衡水?七年級階段練習）已知：z/1=ZC=120°,AAEF=Z.CEF=60°,求證：AB\\CD.

BA

F，七

DC

【答案】見解析

【分析】根據同旁內角互補，兩直線平行，再根據平行于同一條直線的兩條直線平行即可證明結論.

【詳解】證明：???Z-A=Z.C=120。，Z-AEF=tCEF=60°,

:.Z.A+Z.AEF=180°,Z-C+乙CEF=180°,

AB||EF,CD||EF,

:.AB||CD.

【點睛】本題考查了平行線的判定，解決本題的關鍵是掌握平行線的判定.

【變式6-1]（2022?西藏昂仁縣中學七年級期中）如圖，回。。=20。，魴=70°,A屬L4C,求證：AD\\BC.

【答案】見解析

【分析】根據問旁內角互補，兩直線平行證明即可.

【詳解】解：財砥4。，

00/MC=9O0,

團團CAQ=200,團4=70°,

005+0BAD=7Oo+9Oo+2Oo=18O°,

^ADWBC.

【點睛】本題考查平行線的判定、垂直定義，熟練掌握平行線的判定方法是解答的關鍵.

【變式6-2](2022?甘肅?平涼市第七中學七年級期中)如圖，=30°,=60°,AB1AC.

(1)ZD48+NB等于多少度？

(2)人/)與平行嗎？請說明理由.

【答案】⑴毗)八〃+團4=180°

(2)AD||BC；理由見解析

【分析】(1)由己知可求得回D4B=120。，從而可求得團D4B+13B=18O°；

(2)根據同旁內角互補兩直線平行可得ADIIBC.

(1)

解：M的4C,

00^C=9O°.

又即)1=30°,

(U0/MZJ=12OO,

00￡?=60°,

回回。A8+S8=180°.

(2)

解:ADIIBC.理由如下:

團團7X48+08=180°,

^AD||BC.

【點睛】本題主要考行了平行線的判定，解題的關鍵是熟練掌握向旁內角互補，兩直線平行.

【變式6-3](2022?北京市第五中學分校七年級期末)如圖，已知點石在8c上，8D0AC,EF^AC,垂足分

別為O,F,點、M,G在A3上，GF交BD于點H,團創(chuàng)〃)@80=180。，01=02,求證：MD1GF.

A

下面是小穎同學的思考過程，請補全證明過程并在括號內填上證明依據.

證明：盟“期LAC,￡7?4C,

00/?DC=9O0,0EFC=90°（①）.

國目BDC=?EFC（等量代換）.

團8DIIE/（同位角相等，兩直線平行）.

002=0CZ?D（（2））.

001=02（已知）.

001=（3CBD（等量代換）.

回③—（內錯角相等，兩直線平行）.

WBMD+SlAffC=180°（已知），

團MDIIBC（④）.

^MDWGF（⑤）.

【答案】垂直的定義；兩直線平行，同位角相等；G距8c同旁內角互補，兩直線平行；平行于同?直線

的兩直線平行.

【分析】根據垂直定義得出（3BOC=[3EFC,根據平行線的判定推出8Q0EF,根據平行線的性質得出13c80=

02,求出團CBQ=mi,根據平行線的判定得出GF13MZ）即可.

【詳解】證明：團BZ）a4C,EF^AC,

00^DC=9O°,同石/C=90°（垂直的定義）.

WDC=^EFC（等量代換）.

回5/龍￡尸（同位角相等，兩直線平行）.

002=0CBD（兩直線平行，同位角相等）.

001=02（已知）.

001=0CBD（等量代換）.

團G麗BC（內錯角相等，兩直線平行）.

能18MQ+團48c=180°（已知），

回MD08C（同旁內角互補，兩直線平行）.

0/WD3GF（平行于同一直線的兩直線平行）.

故答案為：垂直的定義；兩直線平行，同位角相等；GR38C；同旁內角互補，兩直線平行；平行于同一直

線的兩直線平行.

【點睛】本題考查了平行線的判定與性質；熟練掌握平行線的判定與性質是解題的關鍵.

【題型7平行線的判定方法的綜合運用】

【例7】（2022?廣西賀州?七年級期末）如圖，有下列條件：@zl=z2：@Z3+z4=180°；@z5+z6=

180°；@Z2=Z3.其中，能判斷直線allb的有（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

【答案】B

【分析】同位角相等，兩直線平行；內錯角相等，兩直線平行；同旁內角互補，兩直線平行.依據平行線

的判定方法即可得出結論.

【詳解】解：①由自1=回2,可得可俗；

②由團3+04=180°,可得川|〃；

③由加+06=180。，03+06=180°,可得（35=（33,即可得到。|仍；

④由132=133,不能得到川I岳

故能判斷直線〃怙的有3個，

故選：B.

【點睛】本題主要考查平行線的判定，掌握平行線的判定方法是解決問題的關鍵.

【變式7-1］（2022?浙江臺州?七年級期末）在鋪設快軌時，兩條直軌必須是互相平行的，如圖，已經知道42

是直角，那么再度量圖中已標出的哪個角，不用判斷兩條直軌是否平行（）

鐵軌

枕木

A.Z1B.Z3C.Z4D.Z5

【答案】A

【分析】因為團2是直角，只要找出與a互為同位角、內錯角、同旁內角的其他角，根據平行線的判定定

理判定即可得到正確答案.

【詳解】因為伺2是直角，回4和E2是同位角，如果度量出44二90°,

根據“同位角相等，兩直線平行〃，就可以判斷兩條直軌平行，

團5和團2是內錯角，如果度量出乙5=90°,

根據“內錯角相等，兩直線平行〃，就可以判斷兩條直軌平行，

團3和團2是同旁內角，如果度量出43二90°,

根據“同旁內角互補，兩直線平行"，就可以判斷兩條直軌平行，

所以答案為：A.

【點睛】本題考查兩直線平行的判定定理，解決本題的關鍵是熟練的掌握平行線的判定定理.

【變式7-2]（2022?山西臨汾?七年級期末）在下列圖形中，已知乙1二42,一定能推導出。。的是（）

【答案】D

【分析】根據鄰補角的定義，對頂角相等和平行線的判定定理即可求解.

【詳解】解：A.如圖，

2

zl=z2,41+43=180°,

z2+z3=180°,

，不能推導出II，2，不符合題意；

B.如圖，

Vzl=42,z.1+43=180°,

?-?z2+z.3=100°,

???不能推導出。||，2,不符合題意；

C.如圖，

*1

???zl=z2,zl4-Z3=180°,

???Z24-Z.3=180%

二不能推導出，1II%，不符合題意：

D.如圖，

zl=z2,zl=z.3>

:，z2=z3,

???一定能推導出。|“2，符合題意.

故選：D.

【點睛】本題考查了平行線的判定,關鍵是熟悉同位角相等，兩直線平行:內錯角相等，兩直線平行；同

旁內角互補，兩直線平行的知識點.

【變式7-3]（2022?山東Fl照?七年級期末）如圖，在下列給出的條件中，不能判定CEIIBC的是（）

A.41=42B.43=Z4C.45=乙CD.乙B+Z.BDE=180°

【答案】B

【分析】根據平行線的判定定理逐一判斷即可.

【詳解】因為N1=N2,

所以DEII8C,

故A不符合題意；

因為43=44,

不能判斷OEIIBC,

故B符合題意；

因為45=Z.C,

所以DEII8C,

故C不符合題意；

因為4B+NB