《距離的計算》參考課件

向量法求距離AB1、已知A(x1

,y1,z1),B(x2

,y2,z2)|AB|=其中dA,B表示A與B兩點間的距離，這就是空間兩點間的距離公式。2.點到平面的距離已知AB為平面a的一條斜線段,n平面a的法向量.則A到平面a的距離||AB

·n||nd=αBCAnβa3.直線和它平行平面的距離n已知直線a∥平面β,求a到平面β的距離AB在a和平面β上分別任取一點A和Bn是平面β的一個法向量直線a和它平行平面β的距離為||AB

·n||nd=βa4.兩個平行平面間的距離ABn||AB

·n||nd=A、B分別是a、β上的任意點，n是平面a、β的一個法向量ababAB只需在兩條異面直線a、b上分別任取一點A、B。設(shè)與a、b的方向向量都垂直的向量為n則nn·a=0n·b=0∴

a、b之間的距離||AB

·n||nd=3、求兩條異面直線的距離1GKFEAB1C1D1CDBAzyx例1：棱長為1的正方形ABCD—A1B1C1D1中,E,F,G,K分別是棱AD,AA1,A1B1,D1D的中點，①求A1D與CK的夾角；②求點B到平面EFG的距離；③二面角G—EF—D1的大?。ㄓ萌呛瘮?shù)表示）④DD1與平面EFG所成的角；（用三角函數(shù)表示）⑤求A1D與CK之間的距離。解：以D為坐標(biāo)原點DA,DC,DD1為單位正交基底建立直角坐標(biāo)系。GKFEA1B1C1D1CDBAzyx①∵A1(1,0,1)D(0,0,0)C(0,1,0)∴DA1=(1,0,1),CKcosDA1=||CK·||DA1CKDA1·∴DA1與CK的夾角為②求點B到平面EFG的距離；zyxGKFEA1B1C1D1CDBA設(shè)面EGF的法向量=(x,y,z)nn·EG=0n·EF=0令x=1,得=(1,1,－1)n∴點B到平面EFG||BE

·n||nd=③二面角G—EF—D1的大小（用三角函數(shù)表示）zyxGKFEA1B1C1D1CDBA由②知面GEF的法向量=(1,1,－1)n而面DAD1A1法向量DC

=(0,1,0),,cosDCn在二面角G—EF—D1內(nèi)是指向面GEFnDC

是背離平面DAD1A1∴二面角G—EF—D1為④DD1與平面EFG所成的角；（用三角函數(shù)表示）zyxGKFEA1B1C1D1CDBA由②知面GEF的法向量=(1,1,－1)nDD1∵=(0,0,1),cosDD1n,∴DD1n∴

DD1與平面EFG所成的角為⑤求A1D與CK之間的距離。GKFEA1B1C1D1CDBAzyxA1D∵=(－1,0,－1)=(x,y,z)n且設(shè)令x=2,得=(2,－1,－2)nGKFEA1B1C1D1CDBAzyx=(2,－1,－2)n∴A1D與CK之間的距離||DK

·n||nd=例2正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中底面邊長為4,側(cè)棱長為5,P為CC1上的任意一點.①求證:BD⊥AP②C1P=2,求二面角A—B1P—B的正切值。zyxA1B1C1D1CDBAP①證明：以D為坐標(biāo)原點建立如圖所示坐標(biāo)系。∴A(4,0,0),B(4,4,0)D(0,0,0)由已知可知P(0,4,z)APBD=(－4,4,z),=(－4,－4,0),AP·BD=16－16=0

AP⊥BD

AP⊥BD②C1P=2,求二面角A—B1P—B的正切值。解：P(0,4,3)B1(4,4,5)zyxA1B1C1D1CDBAPAP=(－4,4,3)PB1=(4,0,2)令平面APB1的法向量為=(x,y,z)nn·n·AP=0PB1=0由令x=2得=(2,5,－4)n而面BCPB1的法向量為CD的方向向量=(0,1,0)m,cosmn在二面角A—B1P—B內(nèi)是指向平面APB1nzyxA1B1C1D1CDBAP在二面角A—B1P—B內(nèi)是指向平面APB1nm在二面角A—B1P—B內(nèi)是背離平面BCPB1故二面角A—B1P—B的平面角為,mn不妨令二面角A—B1P—B的平面角為αtanα∴二面角A—B1P—B的正切值為例3在三棱錐D—ABC中,底面△ABC是等腰直角三角形,側(cè)面△DBC是等邊三角形,平面DBC⊥平面ABC,AB=AC=4,E,F分別為BD,AD中點。①求二面角F—CE—D的大小；②求點B到平面CEF的距離；③直線CE與平面ABC所成的角；O解：找BC的中點O,連AO,DO∵△ABC是等腰三角形∴AO⊥BC于ODO⊥BC于O∴DO⊥面ABC故可以以O(shè)為坐標(biāo)原點OA、OC、OD分別為x,y,z軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系zyxBFEDACABCOxyxOzyBFEDACABCOxy設(shè)面EFC的法向量=(x,y,z)nn·CE=0n·EF=0由令x=1因OA⊥面BCD,故=(1,0,0)為面BCD的一個法向量mxOzyBFEDACm=(1,0,0)在二面角F—CE—D內(nèi)指向面EFC,nm在二面角F—CE—D內(nèi)是背離面BCD∴二面角F—CE—D的大小等于即二面角F—CE—D的大小為