通關(guān)練25錯(cuò)位相減法求和

通關(guān)練25錯(cuò)位相減法求和eq\o\ac(○,通)eq\o\ac(○,關(guān))eq\o\ac(○,練)一、單選題1．（2023秋·天津河北·高二天津外國語大學(xué)附屬外國語學(xué)校?？计谀┮阎獢?shù)列的通項(xiàng)公式為：，，則數(shù)列的前100項(xiàng)之和為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用錯(cuò)位相減法求和作答.【詳解】令數(shù)列的前n項(xiàng)和為，因?yàn)椋瑒t，則有兩式相減得：，因此，有，所以數(shù)列的前100項(xiàng)之和為.故選：B2．（2022秋·安徽合肥·高二統(tǒng)考期末）在數(shù)列中，若，且對(duì)任意的有，則使數(shù)列前n項(xiàng)和成立的n最大值為（

）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】B【分析】由題知數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項(xiàng)為，進(jìn)而得，再根據(jù)錯(cuò)位相減法得，進(jìn)而將不等式轉(zhuǎn)化為，令，再結(jié)合其單調(diào)性求解即可.【詳解】解：因?yàn)閷?duì)任意的有，所以，即數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項(xiàng)為，所以，，所以，，所以，所以，所以即為，所以，令，則，即，所以為單調(diào)遞減數(shù)列，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，滿足，當(dāng)時(shí)，，不滿足，所以成立的n最大值為，所以，數(shù)列前n項(xiàng)和成立的n最大值為.故選：B3．（2023秋·山東青島·高二山東省青島第五十八中學(xué)?？计谀?duì)于給定的正整數(shù)，設(shè)集合，，且?．記為集合中的最大元素，當(dāng)取遍的所有非空子集時(shí)，對(duì)應(yīng)的所有的和記為，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)的定義，推出的表達(dá)式，再計(jì)算即可.【詳解】根據(jù)題意知A為集合的非空子集，滿足的集合只有1個(gè)，即；滿足的集合有2個(gè)，即{2}，{1，2}；滿足的集合有4個(gè)，即{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}；……；滿足的集合有個(gè)，所以，則，兩式相減得，所以，所以；故選：D.4．（2022秋·天津南開·高二天津市天津中學(xué)?？计谀┤艉瘮?shù)，則稱f（x）為數(shù)列的“伴生函數(shù)”，已知數(shù)列的“伴生函數(shù)”為，，則數(shù)列的前n項(xiàng)和（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由已知可得數(shù)列為等比數(shù)列，其首項(xiàng)為，公比也為2，從而可求得，則，從而可表示出，令，利用錯(cuò)位相減法可求出，從而可求得結(jié)果【詳解】依題意，可得，所以，即，故數(shù)列為等比數(shù)列，其首項(xiàng)為，公比也為2，所以，所以，所以，所以.令，則，兩式相減，得，所以，所以.故選：C.二、多選題5．（2022秋·廣東深圳·高二校聯(lián)考期末）數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，，則有（

）A．{Sn}為等比數(shù)列 B．C． D．{nSn}的前n項(xiàng)和為【答案】ACD【分析】根據(jù)數(shù)列前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式、錯(cuò)位相減法進(jìn)行逐一判斷即可.【詳解】因?yàn)?，所以{Sn}為等比數(shù)列，因此選項(xiàng)A正確；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，不適合上式，所以選項(xiàng)B不正確，選項(xiàng)C正確；設(shè){nSn}的前n項(xiàng)和為，，，，得，，所以選項(xiàng)D正確，故選：ACD6．（2022秋·黑龍江七臺(tái)河·高二勃利縣高級(jí)中學(xué)?？计谀┮阎獢?shù)列的首項(xiàng)為4，且滿足，則（

）A．為等差數(shù)列B．為遞增數(shù)列C．的前項(xiàng)和D．的前項(xiàng)和【答案】BD【分析】由得，所以可知數(shù)列是等比數(shù)列，從而可求出，可得數(shù)列為遞增數(shù)列，利用錯(cuò)位相減法可求得的前項(xiàng)和，由于，從而利用等差數(shù)列的求和公式可求出數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】由得，所以是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故A錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，顯然遞增，故B正確；因?yàn)?，，所以，故，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以的前?xiàng)和，故D正確.故選：BD【點(diǎn)晴】本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，涉及到遞推公式求通項(xiàng)，錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，等差數(shù)列前n項(xiàng)和等，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道中檔題.7．（2022秋·湖南·高二校聯(lián)考期末）設(shè)和分別為數(shù)列和的前n項(xiàng)和．已知，，則（

）A．是等比數(shù)列 B．是遞減數(shù)列C． D．【答案】ABD【分析】利用及求得的遞推關(guān)系式，確定數(shù)列性質(zhì)得出通項(xiàng)公式，求出后，可得其單調(diào)性，計(jì)算，由錯(cuò)位相減求得后，利用的正負(fù)可得.，從而判斷各選項(xiàng)．【詳解】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，即，又，所以，即，所以是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，所以．因?yàn)椋?，是遞減數(shù)列．因?yàn)?，所以．①，②，①－②得，所以，所以，所以．故選：ABD．8．（2023秋·吉林·高二吉林一中?？计谀┮阎獢?shù)列滿足，，，，是數(shù)列的前項(xiàng)和，則下列結(jié)論正確的有（

）.A． B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 D．【答案】ABD【分析】由可求得的值，可判斷A選項(xiàng)；利用等比數(shù)列的定義可判斷B選項(xiàng)；求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用等差數(shù)列的定義可判斷C選項(xiàng)；利用錯(cuò)位相減法可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，即，可得，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，由A選項(xiàng)可得，可得，且，所以，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，由A選項(xiàng)可知，，故，所以，，則，故數(shù)列為等差數(shù)列，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，，①，②①②可得，因此，，D對(duì).故選：ABD.9．（2022春·山東日照·高二校聯(lián)考期末）若正整數(shù)m，n只有1為公約數(shù)，則稱m，n互質(zhì)，對(duì)于正整數(shù)k，是不大于k的正整數(shù)中與k互質(zhì)的數(shù)的個(gè)數(shù)，函數(shù)以其首名研究者歐拉命名，稱為歐拉函數(shù)，例如：，，，.已知?dú)W拉函數(shù)是積性函數(shù)，即如果m，n互質(zhì)，那么，例如：，則（

）A． B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C．?dāng)?shù)列不是遞增數(shù)列 D．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和小于【答案】ABD【分析】根據(jù)歐拉函數(shù)定義可判斷A；小于的正整數(shù)中所有不是2的倍數(shù)的整數(shù)都與互質(zhì)，然后可判斷B；由B中方法可得，然后由性質(zhì)可判斷C；由錯(cuò)位相減法可判斷D.【詳解】，，∴，A對(duì)；∵2為質(zhì)數(shù)，∴在不超過的正整數(shù)中，所有偶數(shù)的個(gè)數(shù)為，∴為等比數(shù)列，B對(duì)；∵與互質(zhì)的數(shù)為1，2，4，5，7，8，10，11，…，，.共有個(gè)，∴，又∵，∴是遞增數(shù)列，故C錯(cuò)誤；，的前n項(xiàng)和為設(shè)，則，所以，，所以，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和小于，故D正確.故選：ABD.三、填空題10．（2022秋·湖北荊州·高二荊州中學(xué)?？计谀┮阎獢?shù)列的通項(xiàng)公式為，則數(shù)列的前項(xiàng)和_______.【答案】【分析】利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和即可.【詳解】由數(shù)列的通項(xiàng)公式為，所以數(shù)列的前項(xiàng)和為：，①則：，②①②：，即，即，即，即，即，即，所以，故答案為：.11．（2023秋·江蘇淮安·高二統(tǒng)考期末）小張計(jì)劃連續(xù)十年向某公司投放資金，第一年年初投資10萬元，以后每年投資金額比前一年增加2萬元，該公司承諾按復(fù)利計(jì)算，且年利率為10%，第十年年底小張一次性將本金和利息取回，則小張共可以取得______萬元．（結(jié)果用數(shù)字作答）．參考數(shù)據(jù)：，，．【答案】305【分析】根據(jù)給定信息，構(gòu)建數(shù)列，再利用錯(cuò)位相減法求和作答.【詳解】依題意，小張每年向公司投資金額構(gòu)成以10為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，，因此每年的投資到第十年年底的本金和利息和為，10次投資到第十年年底本金和利息總和為，則，于是得，兩式相減得，則有，所以小張共可以取得305萬元.故答案為：305四、解答題12．（2023秋·廣東江門·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列為遞增的等比數(shù)列，，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解；（2）利用（1）的結(jié)論及數(shù)列求和中的錯(cuò)位相減法即可求解.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，，則因?yàn)?，且，所以，解得或（舍去），所以?shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）可得，所以，所以

由，得，所以.13．（2023秋·山西晉城·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)計(jì)算即可；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論得出：，則數(shù)列的前項(xiàng)和可用錯(cuò)位相減法求得．【詳解】（1）當(dāng)，，解得，當(dāng)時(shí)，，，兩式相減得，化簡得，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以；（2）由（1）可得：，①，②，由①②得，所以.14．（2023秋·山東泰安·高二?？计谀┮阎?xiàng)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3＝12，且2a1，a2，a3＋1成等比數(shù)列．(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)記bn＝的前n項(xiàng)和為Tn，求Tn．【答案】(1)an＝3n－2(2)【分析】（1）利用等差數(shù)列的性質(zhì)以及S3＝12可求出a2＝4，再利用2a1，a2，a3＋1成等比數(shù)列求出公差d，進(jìn)而可求得{an}的通項(xiàng)公式；（2）結(jié)合（1）可得bn的通項(xiàng)公式，再利用錯(cuò)位相減求和即可．【詳解】（1）設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列{an}的公差為d，則d＞0．∵S3＝12，即a1＋a2＋a3＝12，∴3a2＝12，∴a2＝4，又2a1，a2，a3＋1成等比數(shù)列，∴，即42＝2(4－d)·(4＋d＋1)，解得d＝3或d＝－4(舍去)，∴a1＝a2－d＝1，故an＝3n－2．（2）結(jié)合（1）得，∴①，得②，①－②得，，∴．15．（2023秋·重慶沙坪壩·高二重慶一中?？计谀┮阎獢?shù)列的前項(xiàng)和為，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，數(shù)列前項(xiàng)和為，是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意，恒成立，若存在，求出實(shí)數(shù)的所有取值；若處存在，說明理由．【答案】(1)；(2)存在，0.【分析】（1）根據(jù)給定的遞推公式，探討數(shù)列的性質(zhì)，再求出其通項(xiàng)公式作答.（2）由（1）求出，利用錯(cuò)位相減法求出，再結(jié)合數(shù)列不等式恒成立求解作答.【詳解】（1）數(shù)列的前項(xiàng)和為，，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得：，即有，而，即，因此數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.（2）由（1）知，，，則，兩式相減得：，于是得，顯然，，假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意，恒成立，則存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意恒成立，即，成立，當(dāng)為正偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)為正奇數(shù)時(shí)，，從而，所以存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意，恒成立，的值為0.16．（2023秋·湖南懷化·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足．(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)若，數(shù)列前項(xiàng)的和為，求．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）將條件兩邊同時(shí)取倒數(shù)，然后兩邊同時(shí)減1，可證明等比數(shù)列.（2）利用錯(cuò)位相減法求和即可.【詳解】（1）由，得，即，即，所以數(shù)列為等比數(shù)列，首項(xiàng)，公比（2）由（1）得，①②①②，得17．（2023秋·山東菏澤·高二山東省鄄城縣第一中學(xué)?？计谀┰跀?shù)列中，.(1)證明：是等比數(shù)列；(2)若數(shù)列的前項(xiàng)和，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)已知可得，進(jìn)而可證明為等比，（2）根據(jù)的關(guān)系可求解，由（1）知，進(jìn)而可得，由錯(cuò)位相減法即可求解.【詳解】（1）證明：因?yàn)?，所以，又，所以，所?所以是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列.（2）由（1）知，因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，滿足上式，所以.所以.，①由①，得，②①②相減得所以.18．（2023秋·河南信陽·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列前n項(xiàng)和為，，.(1)證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)證明見解析，；(2).【分析】（1）根據(jù)數(shù)列前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可；（2）運(yùn)用錯(cuò)位相減法進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）由題知，即，即，∵，∴，∴數(shù)列是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，∴，∴；（2），∴，①∴，②①－②得，，∴.19．（2023秋·廣東廣州·高二華南師大附中?？计谀┮阎獢?shù)列滿足且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，求的前n項(xiàng)和為．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意可知，為等比數(shù)列，已知首項(xiàng)和公比，利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求解.（2）求出的通項(xiàng)，錯(cuò)位相減法求．【詳解】（1）數(shù)列滿足且，∴是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，∴（2）由，得，，，兩式相減得，.20．（2023秋·廣東深圳·高二深圳大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀┮阎黜?xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用退一相減法可得數(shù)列為等差數(shù)列，進(jìn)而可得其通項(xiàng)公式；（2）利用錯(cuò)位相減法可得，再根據(jù)的單調(diào)性可得取值范圍.【詳解】（1）由，得①，所以當(dāng)時(shí)，②.由①減②，得.因?yàn)閿?shù)列為各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列，所以，又由，，得所以，所以故數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以；（2）由（1），得，所以數(shù)列的前項(xiàng)和.所以，兩式作差可得：，所以由于，，則數(shù)列在上單調(diào)遞增，于是.21．（2023秋·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）已知，且在直線上，其中是數(shù)列中的第項(xiàng).(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出直線的方程，再代入求解作答.（2）由（1）求出，再利用錯(cuò)位相減法求和作答.【詳解】（1）因?yàn)?，則直線的斜率為，直線的方程為：，即，又因?yàn)樵谥本€上，則有，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.（2）由（1）知，，則，于是得，兩式相減得：，所以數(shù)列的前項(xiàng)和.22．（2023秋·山西晉中·高二山西省平遙中學(xué)校?？计谀┰跀?shù)列中，，且．(1)證明：是等差數(shù)列；(2)求的前項(xiàng)和．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用構(gòu)造法證明該數(shù)列為等差數(shù)列；（2）利用錯(cuò)位相減法與分組求和法可得.【詳解】（1）由，得，等式左右同除，得，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列；（2）由（1）得，故，設(shè)，其前項(xiàng)和為，則，，故，即，故.23．（2023秋·河南商丘·高二校聯(lián)考期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若時(shí)，，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】(1)根據(jù)數(shù)列的遞推公式可得：數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，進(jìn)而求解即可；(2)結(jié)合（1）的結(jié)論得出：，利用錯(cuò)位相減法即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，得.①，當(dāng)時(shí)，②，①①可得，即，即.由題易知.又，數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，，即.（2）由（1）可知，，又，數(shù)列是等差數(shù)列，其首項(xiàng)為1，公差為1.，即.，，，.24．（2023秋·廣東廣州·高二?？计谀?shù)列的前n項(xiàng)和為，又知正項(xiàng)數(shù)列滿足，．(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)，；(2).【分析】（1）作差法結(jié)合與關(guān)系式得出可知為等比數(shù)列，再由可求的通項(xiàng)公式.由，根據(jù)等差數(shù)列求出的通項(xiàng)公式，進(jìn)而得到的通項(xiàng)公式；（2）由（1）知，.，寫出和的表達(dá)式，作差整理即可得出.【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，所以.當(dāng)時(shí)，有，，兩式相減，得，所以，所以，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比的等比數(shù)列.所以.由，，可得，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列.所以，所以.（2）解：由（1）知，.所以，，兩式相減可得，，所以.25．（2023秋·吉林·高二吉林市田家炳高級(jí)中學(xué)?？计谀┮阎炔顢?shù)列的前項(xiàng)和為，且.數(shù)列的前項(xiàng)和滿足,且.(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)，(2).【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，根據(jù)題意列出方程組，求得，可得；利用可得，相減可得，說明數(shù)列為等比數(shù)列，即可求得；（2）利用（1）的結(jié)論求得的表達(dá)式，利用錯(cuò)位相減法即可求得數(shù)列的前n項(xiàng)和.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，∵，則，解得，∴；數(shù)列的前項(xiàng)和滿足,且,故，則，由可得，可知，故，而適合該式，故為等比數(shù)列，則；（2）由（1）得，故，則,兩式相減得，故．26．（2023秋·浙江溫州·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列滿足：，（）(1)寫出，，并求的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列（），求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)，，的通項(xiàng)公式為：；(2).【分析】（1）由遞推公式求出，；根據(jù)遞推公式求出；（2）利用錯(cuò)位相減法求和.【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以，解得：；解得?當(dāng)時(shí)，由，得，所以為常數(shù)列.又，得，所以.綜上，，，的通項(xiàng)公式為：.（2）由，得，兩邊同乘以得：兩式相減得：整理得：.27．（2023秋·吉林長春·高二?？计谀┰O(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．?dāng)?shù)列滿足，，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(3)求數(shù)列（為正實(shí)數(shù)）的前項(xiàng)和【答案】(1)(2)證明見解析(3)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.【分析】（1）由等差數(shù)列基本量的計(jì)算，列方程組求出首項(xiàng)和公差，可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由題意解出數(shù)列的通項(xiàng)，由等比數(shù)列的定義證明數(shù)列是等比數(shù)列；（3）分類討論