專題8仿射變換在圓錐曲線中的應(yīng)用微點(diǎn)2仿射變換在圓錐曲線中的應(yīng)用（二）

專題8仿射變換在圓錐曲線中的應(yīng)用微點(diǎn)2仿射變換在圓錐曲線中的應(yīng)用（二）專題8利用仿射變換輕松解決圓錐曲線問題微點(diǎn)2仿射變換在圓錐曲線中的應(yīng)用（二）【微點(diǎn)綜述】在上一微點(diǎn)我們研究了仿射變換的定義、性質(zhì)及其在圓錐曲線中的初步應(yīng)用——求軌跡、作圖、求直線的斜率、求弦長(zhǎng)等，本節(jié)我們討論仿射變換的進(jìn)一步應(yīng)用——處理同一條線段的比例問題、面積問題、以及綜合運(yùn)用．由仿射變換的性質(zhì)，總結(jié)可得下表：變換前變換后方程橫坐標(biāo)縱坐標(biāo)斜率面積弦長(zhǎng)不變量平行關(guān)系；共線線段比例關(guān)系；點(diǎn)分線段的比仿射變換一般而言主要應(yīng)用于選填中快速得出結(jié)果，對(duì)于解答題可以利用仿射變換快速得出結(jié)果但是容易丟掉步驟分，因此還是用正常解法寫出過程．（五）利用仿射變換處理同一條線段的比例問題例7．（2018年高考浙江卷17）已知點(diǎn)，橢圓上兩點(diǎn)滿足，則當(dāng)時(shí)，點(diǎn)橫坐標(biāo)的絕對(duì)值最大．【答案】5【解析】解法一：如圖，作仿射變換：得，由于三點(diǎn)共線，則變換后依然共線，且對(duì)應(yīng)長(zhǎng)度的比不變，則有，不妨設(shè)在第一象限，設(shè)且，則，由于在圓上，則，當(dāng)時(shí)，取最大值，即點(diǎn)的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值最大，此時(shí)．解法二：令．，則，，，，，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)橫坐標(biāo)的絕對(duì)值最大．解法三：顯然直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立方程可得，記，，則，，由可得，所以，，當(dāng)取最大值時(shí)，，此時(shí)．【評(píng)注】解析幾何中的最值是高考的熱點(diǎn)，在圓錐曲線的綜合問題中經(jīng)常出現(xiàn)，求解此類問題的一般思路為在深刻認(rèn)識(shí)運(yùn)動(dòng)變化的過程之中，抓住函數(shù)關(guān)系，將目標(biāo)量表示為一個(gè)(或者多個(gè))變量的函數(shù)，然后借助于函數(shù)最值的探求來使問題得以解決．例8．已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，離心率為，A，B是橢圓C上兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OA，OB的斜率之積為．（1）求橢圓C的方程；（2）若射線OA上的點(diǎn)Р滿足，且PB與橢圓交于點(diǎn)Q，求的值．【解析】（1）設(shè)橢圓的焦距為2c，易知一個(gè)∴橢圓方程為平（2）解法1：設(shè)，則，設(shè)，則由于A，B，Q都在橢圓上，并且，因此，∴（舍）或，因此．解法2：作變換，于是橢圓C變?yōu)閳A：，因此，，過點(diǎn)O作于H，則，又由于．思考總結(jié)：當(dāng)出現(xiàn)同一條邊的比值問題的時(shí)候很多時(shí)候就可以考慮能否用仿射變換利用圓的性質(zhì)對(duì)其作變形化簡(jiǎn)，很多情況能簡(jiǎn)化相當(dāng)多的問題．而這道題還出現(xiàn)了斜率之積為，于是更加考慮用仿射變換去解決．（六）利用仿射變換處理面積問題利用仿射變換可以將橢圓內(nèi)接三角形變成圓內(nèi)接三角形，它們的面積之間存在固定的比例關(guān)系，而求解圓內(nèi)接三角形的面積運(yùn)算量要低很多．例9．M，N分別是橢圓和上的動(dòng)點(diǎn)，則面積最大值為．【答案】【解析】作變換之后兩個(gè)橢圓均變?yōu)閳A，方程分別為，故，當(dāng)時(shí)面積最大，此時(shí)，．例10．（2019年高考全國(guó)II理21）已知，動(dòng)點(diǎn)滿足直線AM與直線BM斜率之積為，記M的軌跡為曲線C．（1）求C的方程，并說明C是什么曲線；（2）過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，軸，垂足為E．連接QE并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)G．（i）證明：是直角三角形；（ⅱ）求面積的最大值．【解析】（1）由題意得，整理得曲線C的方程：，∴曲線C是焦點(diǎn)在x軸上不含長(zhǎng)軸端點(diǎn)的橢圓．（2）（i）解法1：設(shè)，則，，∴直線QE的方程為：，與聯(lián)立消去y，得，∴，∴，∴，∴，把代入上式，得，∴，∴，故為直角三角形．解法2：作變換后橢圓C變?yōu)閳A，方程為，由于為直徑，則，則，又，∴即是直角三角形．（ii）．令，則，，利用函數(shù)在的單調(diào)性可知，（時(shí)取等號(hào)），∴（此時(shí)），故面積的最大值為．【評(píng)注】求△面積的構(gòu)建有以下方法：（1）；（2）設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則；（3）設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則；（4）；（5）仿射變換；（6）用角表示面積．例11．（2014年高考新課標(biāo)Ⅰ理20）已知點(diǎn)，橢圓的離心率為，F(xiàn)是橢圓的右焦點(diǎn)，直線AF的斜率為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）求E的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)A的直線l與E相交于P，Q兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求l的方程．【分析】這里第二問出現(xiàn)面積最大，因此可以聯(lián)想仿射變換化橢為圓去做．【解析】（I）設(shè)，由條件知，得，又，∴，故E的方程．（2）解法1：作變換，橢圓E變?yōu)閳A：，此時(shí)過點(diǎn)，此時(shí)，因此最大時(shí)，同樣最大．，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)最大，設(shè)直線方程為，那么O到直線距離，，∴直線l的方程為：．解法2：依題意當(dāng)軸不合題意，故設(shè)直線，設(shè)，將代入，得，當(dāng)，即時(shí)，，從而，又點(diǎn)O到直線PQ的距離，∴的面積，設(shè)，則，，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，且滿足，∴當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，l的方程為：或．【評(píng)注】當(dāng)過橢圓外一個(gè)定點(diǎn)P作一條直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)時(shí)，面積最大值，當(dāng)且僅當(dāng)經(jīng)過仿射變換之后的與原點(diǎn)O所構(gòu)成的三角形為直角三角形時(shí)取到最大值．如果定點(diǎn)P是圓內(nèi)點(diǎn)，則有兩種情況：①如果作仿射變換之后到圓心距離大于等于，那么面積最大值仍然是，②如果作仿射變換之后到圓心距離小于，那么當(dāng)時(shí)面積取到最大值．例12．已知A，B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，P為橢圓C上異于A，B兩點(diǎn)的任意一點(diǎn)，直線PA，PB的斜率分別記為．（1）求；（2）過坐標(biāo)原點(diǎn)О作與直線PA，PB平行的兩條射線分別交橢圓C于點(diǎn)M，N，問：的面積是否為定值？請(qǐng)說明理由．【分析】第一問的，并且出現(xiàn)了以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積因此考慮用仿射變換去處理．【解析】（1）設(shè)，則，∴．（2）解法1：①軸時(shí)，設(shè)，則，又，則．②與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線MN方程為：，，∴．綜上可知，面積為．解法2：作變換，橢圓C變?yōu)閳A：，于是，∴，則，∴．【總結(jié)思考】當(dāng)斜率之積出現(xiàn)時(shí)，很多情況都可以考慮用仿射變換去處理，∵經(jīng)過變換之后，這兩條直線變成垂直了，于是就可以利用垂直以及圓的特殊性質(zhì)去處理．（七）仿射變換的綜合應(yīng)用例13．已知橢圓，分別為橢圓左右焦點(diǎn)，過作兩條互相平行的弦，分別與橢圓交于四點(diǎn)，若當(dāng)兩條弦垂直于軸時(shí)，點(diǎn)所形成的平行四邊形面積最大，則橢圓離心率的取值范圍為．【分析】利用仿射變換將橢圓變換為圓，此時(shí)四點(diǎn)分別變換為四點(diǎn)，由仿射變換時(shí)變換前后對(duì)應(yīng)圖形的面積比不變這個(gè)性質(zhì)，故將上述題目中的橢圓變換為圓時(shí)，四點(diǎn)所形成的平行四邊形面積最大值仍在兩條弦與軸垂直時(shí)取到，故只需研究在圓的一條直徑上，取關(guān)于圓心對(duì)稱的兩點(diǎn)，當(dāng)為多少時(shí)，能使得過的兩條互相平行的弦與此直徑垂直時(shí)刻，與圓的四個(gè)交點(diǎn)所形成的面積最大．【解析】作仿射變換，令，可得仿射坐標(biāo)系，在此坐標(biāo)系中，上述橢圓變換為圓，點(diǎn)坐標(biāo)分別為，過作兩條平行的弦分別與圓交于四點(diǎn)．由平行四邊形性質(zhì)易知，三角形的面積為四點(diǎn)所形成的平行四邊形面積的，故只需令三角形面積的最大值在弦與軸垂直時(shí)取到即可．由文[2]中的結(jié)論，易得當(dāng)時(shí)，三角形面積的最大值在弦與軸垂直時(shí)取到．故此題離心率的取值范圍為．【評(píng)注】此題的一般解法也較多，但按照常規(guī)解法則較為繁瑣．而上述解法利用仿射變換把橢圓變換為圓后，由于圓中三角形面積的計(jì)算較為簡(jiǎn)便，故使得本題的解答過程大大簡(jiǎn)化．本題以面積的求解為載體，在此載體下可以有多種變式，筆者給出一種，有興趣的讀者不妨用仿射變換的辦法嘗試求解．例13變式．1．已知橢圓，為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，過點(diǎn)的弦與橢圓交于兩點(diǎn)，若使得三角形面積為的弦存在兩條，則取值范圍為_________________．例14．2．已知?jiǎng)又本€與橢圓C:交于，兩個(gè)不同點(diǎn)，且的面積=,其中為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)證明和均為定值;(2)設(shè)線段的中點(diǎn)為，求的最大值；(3)橢圓C上是否存在點(diǎn)D，E，G，使得？若存在，判斷的形狀；若不存在，請(qǐng)說明理由.【總結(jié)】以上內(nèi)容是對(duì)仿射變換在解析幾何應(yīng)用的總結(jié)，當(dāng)然有些題有其它做法，但是應(yīng)用仿射變換解決起來更簡(jiǎn)捷、更方便．從以上例題可以總結(jié)得出，應(yīng)用仿射變換中的仿射不變性質(zhì)與仿射不變量解題的步驟可概括如下：①判斷求解的問題是否能利用仿射不變性質(zhì)，仿射不變量求解，一般涉及到點(diǎn)共直線，直線共點(diǎn)，線段比，面積比等一類問題皆可應(yīng)用仿射變換解題；②選擇合適的仿射變換，找出所給圖形的合適的仿射圖形；③在仿射圖形中求證，寫出具體的仿射變換及解題過程．但值得我們注意的是，所考慮的問題都必須是仿射性質(zhì)的問題，否則這種方法就不適用了．如有關(guān)線段長(zhǎng)度，直線垂直，直線夾角大小的問題屬于非仿射性質(zhì)，自然就不能使用平行投影的方法解決．【針對(duì)訓(xùn)練】3．如圖，作斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且在直線的上方，則△內(nèi)切圓的圓心所在的定直線方程為__________________________．4．已知橢圓的右端點(diǎn)為A，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若在橢圓上存在一點(diǎn)P使得OP⊥PA，則此橢圓離心率的取值范圍是________.5．在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的右準(zhǔn)線為直線，動(dòng)直線交橢圓于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，射線分別交橢圓及直線于點(diǎn)，如圖，當(dāng)兩點(diǎn)分別是橢圓的右頂點(diǎn)及上頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（其中為橢圓的離心率），且．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)如果是的等比中項(xiàng)，那么是否為常數(shù)？若是，求出該常數(shù)；若不是，請(qǐng)說明理由．6．Р是橢圓上任意一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，過點(diǎn)Q的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，并且，則面積為______________．7．在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的右準(zhǔn)線為直線，動(dòng)直線交橢圓于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，射線分別交橢圓及直線于點(diǎn)，如圖，當(dāng)兩點(diǎn)分別是橢圓的右頂點(diǎn)及上頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（其中為橢圓的離心率），且．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)如果是的等比中項(xiàng)，那么是否為常數(shù)？若是，求出該常數(shù)；若不是，請(qǐng)說明理由．（2022成都一模）8．已知橢圓的離心率為，且直線與圓相切．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)﹐，為線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線與橢圓相交于點(diǎn)，且點(diǎn)在以為直徑的圓上．記，的面積分別為，，求的取值范圍．9．平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別是，以為圓心以3為半徑的圓與以為圓心以1為半徑的圓相交，且交點(diǎn)在橢圓上.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)橢圓，為橢圓上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，射線交橢圓于點(diǎn).（i）求的值；（ⅱ）求面積的最大值.參考答案：1．【分析】當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，可驗(yàn)證知其不合題意；可設(shè)，由在直線上可得；將直線與橢圓方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理的形式，利用弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線距離公式可表示出，將代入化簡(jiǎn)可整理得到，根據(jù)滿足題意的直線有兩條可知，結(jié)合點(diǎn)在橢圓內(nèi)即可求得的范圍.【詳解】當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，其方程為，則，，，不合題意；直線斜率存在，可設(shè)其方程為：，在直線上，，即；由得：，，即；設(shè)，，，，，又原點(diǎn)到直線距離，，則，將代入上式得：，，即，整理可得：，使得三角形面積為的弦存在兩條，，；在橢圓內(nèi)部，，則，，或，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.2．(1)；(2)(3)橢圓C上不存在三點(diǎn)，使得

【分析】（1）根據(jù)已知設(shè)出直線的方程，利用弦長(zhǎng)公式求出|PQ|的長(zhǎng)，利用點(diǎn)到直線的距離公式求點(diǎn)O到直線的距離，根據(jù)三角形面積公式，即可求得和均為定值；（2）由（I）可求線段PQ的中點(diǎn)為M，代入|OM|?|PQ|并利用基本不等式求最值；（3）假設(shè)存在，滿足，由（1）得，，，，，，從而得到的坐標(biāo)，可以求出方程，從而得出結(jié)論.(1)（?。┊?dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，所以∵在橢圓上∴

①又∵，∴

②由①②得，．此時(shí)；（ⅱ）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，是直線的方程為，將其代入得故即又，∴∵點(diǎn)到直線的距離為∴又整理得此時(shí)綜上所述結(jié)論成立．(2)（?。┊?dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由（1）知，因此．（ⅱ）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，由（1）知所以．當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．綜合（1）（2）得的最大值為.(3)橢圓C上不存在三點(diǎn)，使得

證明：假設(shè)存在，滿足由（1）得，，，，，解得：，.因此從集合中選取，從集合中選取；因此只能從點(diǎn)集這四個(gè)點(diǎn)選取三個(gè)不同的點(diǎn)，而這三個(gè)點(diǎn)的兩兩連線必然有一條經(jīng)過原點(diǎn)，這與矛盾.所以橢圓C上不存在三點(diǎn)，使得

【點(diǎn)睛】本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線的距離公式，是一道綜合性的試題，考查了學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力．（3）考查學(xué)生觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題解決問題的能力.3．【分析】作仿射變換，則橢圓變成圓，則可得，由垂徑定理可得的方程，從而可求得的方程【詳解】如圖，作仿射變換：，橢圓變?yōu)?，直線的斜率變?yōu)橹本€的斜率，變?yōu)椋纱箯蕉ɡ砥椒?，其方程為，平分，△?nèi)切圓的圓心所在的定直線方程為．故答案為：4．【分析】根據(jù)題意，求出點(diǎn)的軌跡，再與橢圓方程聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為一元二次方程在區(qū)間內(nèi)有一個(gè)根，結(jié)合圖像即可得到，關(guān)系，進(jìn)而得到離心率的取值范圍.【詳解】由題意得，點(diǎn)P在以為直徑的圓上，因，，則以為直徑的圓方程為：，即，聯(lián)立，得，令，則，，結(jié)合圖像可知，要使OPPA，只需方程在區(qū)間內(nèi)有一個(gè)根，根據(jù)二次函數(shù)根的分布，得，即，因，故，即，又因，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．5．(1)(2)為定值【分析】（1）由已知條件求得，，由此列出方程組，求得的值，即可求解；（2）把代入橢圓，得到，取得，得到的方程為，聯(lián)立方程組，求得，結(jié)合，列出方程求得，即可求解.（1）解：橢圓的右準(zhǔn)線為直線，動(dòng)直線交橢圓于兩點(diǎn)，當(dāng)零點(diǎn)分別是橢圓的有頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)時(shí)，則，因?yàn)榫€段的中點(diǎn)為，射線分別角橢圓及直線與兩點(diǎn)，所以，由三點(diǎn)共線，可得，解得，因?yàn)?，所以，可得，又由，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）解：把代入橢圓，可得，可得，則，所以，即,所以直線的方程為，由，可得，因?yàn)槭堑牡缺戎许?xiàng)，所以，可得，又由，解得，所以，此時(shí)滿足，所以為常數(shù).6．【分析】通過伸壓變換將橢圓變成圓再還原回去.【詳解】作變換之后橢圓變?yōu)閳A，方程為，是的重心，又O是的外心′是等邊三角形，∴．故答案為：7．(1)(2)為定值【分析】（1）由已知條件求得，，由此列出方程組，求得的值，即可求解；（2）把代入橢圓，得到，取得，得到的方程為，聯(lián)立方程組，求得，結(jié)合，列出方程求得，即可求解.（1）解：橢圓的右準(zhǔn)線為直線，動(dòng)直線交橢圓于兩點(diǎn)，當(dāng)零點(diǎn)分別是橢圓的有頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)時(shí)，則，因?yàn)榫€段的中點(diǎn)為，射線分別角橢圓及直線與兩點(diǎn)，所以，由三點(diǎn)共線，可得，解得，因?yàn)?，所以，可得，又由，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）解：把代入橢圓，可得，可得，則，所以，即,所以直線的方程為，由，可得，因?yàn)槭堑牡缺戎许?xiàng)，所以，可得，又由，解得，所以，此時(shí)滿足，所以為常數(shù).8．（1）；（2）．【解析】（1）依題意得到，再利用點(diǎn)到直線的距離公式得到，再根據(jù)解方程即可；（2）由為線段的中點(diǎn)，可得，對(duì)直線的斜率的斜率存在與否分兩種情況討論，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線，，．聯(lián)立直線與橢圓方程，消元列出韋達(dá)定理，根據(jù)，即可得到，從而得到與的關(guān)系，即可求出面積比的取值范圍；【詳解】解：（1）∵橢圓的離心率為，∴（為半焦距）．∵直線與圓相切，∴．又∵，∴，．∴橢